CC BY
99
УДК 621.313.333:62-83
МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ С КОРОТКОЗАМКНУТЫМ РОТОРОМ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
1 2 © А.С. Глазырин1, Е.В. Боловин2
Национальный исследовательский Томский политехнический университет, 634034, Россия, г. Томск, пр. Ленина, 30.
Разработан и апробирован путем математического моделирования метод идентификации параметров асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором на основе разностных схем. Суммарное время задержек при составлении системы разностных уравнений принято равным четверти периода статорного напряжения. Для выделения математического ожидания оценок использовалась нелинейная прогнозирующая фильтрация. Определены оценки приведенного к статору активного сопротивления ротора, эквивалентной индуктивности обмотки ротора, эквивалентной индуктивности обмотки статора, результирующей индуктивности, обусловленной магнитным потоком в воздушном зазоре машины, эквивалентной постоянной времени цепи ротора асинхронного двигателя короткозамкнутым ротором. Среднеквадратичные значения относительных погрешностей оценок параметров составили не более 5%. Ил. 2. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: идентификация; разностные уравнения; асинхронный двигатель; метод наименьших квадратов.
IDENTIFICATION METHOD OF SQUIRREL CAGE MOTOR PARAMETERS BASED ON DIFFERENCE SCHEMES A.S. Glazyrin, E.V. Bolovin
Tomsk Polytechnic University, 30 Lenin Ave., Tomsk, 634034, Russia.
The article introduces the method to identify the squirrel cage induction motor parameters based on the difference schemes. The method has been tested by mathematical modeling. When forming a difference equations system the total delay time is taken equal to a quarter of the stator voltage period. The nonlinear predictive filtration has been used to determine the expectance estimators. The authors determine the estimators of rotor active resistance reduced to the stator, the rotor winding equivalent inductance, the stator winding equivalent inductance, the resulting inductance conditioned by the magnetic flux in the machine air gap, equivalent to the time constant of the rotor circuit in the squirrel cage induction motor. Root mean square values of relative errors of parameter estimations amounted less than 5%. 2 figures. 4 sources.
Key words: identification; difference equations; induction motor; least square method.
Введение
Асинхронные двигатели благодаря своим известным преимуществам, таким как простая конструкция, надежность, прочность и низкая стоимость, нашли очень широкое промышленное применение. Для повышения производительности, улучшения статической и динамической работы электродвигателя применяются преобразователи частоты, которые обычно используют два вида управления электродвигателем: скалярное и векторное. Оба метода управления во многом зависят от правильной оценки параметров асинхронного двигателя и очень чувствительны к их изменению. Таким образом, необходимо постоянно следить за изменением значений параметров двигателя и определять значения оценок параметров с минимальной погрешностью и в кратчайшие сроки. В данной статье представлен метод идентификации параметров асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором на основе разностных схем, обеспечивающий нахождение оценок параметров с допустимой погрешностью и обладающий очень высоким быстродействием.
Составление математической модели асинхронного двигателя для задач идентификации параметров Рассмотрим метод идентификации параметров динамического объекта, описанного системой дифференциальных уравнений четвертого порядка, а именно асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором на основе разностных схем с использованием датчиков угловой скорости вращения вала, токов и напряжений статора.
Согласно [1] математическую модель двигателя при общеизвестных допущениях можно составить на основе уравнений проекций тока статора и потокосцепления ротора в неподвижной системе координат а, в:
1Глазырин Александр Савельевич, кандидат технических наук, доцент кафедры электропривода и электрооборудования, тел.: (3822) 563255, е-mail: asglazyrin@tpu.ru
Glazyrin Alexander, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Electric Drive and Electrical Equipment, tel.: 8(3822)563255, e-mail: asglazyrin@tpu.ru
2Боловин Евгений Владимирович, магистрант кафедры электропривода и электрооборудования, тел.: (3822) 563255, е-mail: djon-raptor@mail.ru
Bolovin Evgeny, Graduate Student of the Department of Electric Drive and Electrical Equipment, tel.: 8(3822)563255, e-mail: djon-raptor@mail.ru
А',
Л с • Ц
• и -
1а
л
• *1а+"
К 2 •Ьт _ . ^ _ Ьп
А 1а т т2 2а т т
с • ц • ь 2 с • ц • ь2
• • ^20
^ и --^• ' + 1. - т и1в т '10 + т с • Ц с • Ц
Я\•Ь Ь
2 т \т/ ■ п
а + '
с• Ц • Ь22 ^
с • Ь1 • Ь
2а
---—•Ш + ^^•' -^ • а,.Ш2Й
Ж Ь2 2а Ь2 1а р 20
(1)
20
_ - ^2. •Ш + •Цт ^ ' + _ ^ у
л ~ ь2 Ш2в+ Ь2 1в р
2а
3 Ь
М ЭМ - -• '10-Ш20^ '1а)
Жг - М с)
где - активное сопротивление обмотки статора, Ом; Я'2 - приведенное к статору активное сопротивление ротора, Ом; Ц=Ц0+1т - эквивалентная индуктивность обмотки статора, Гн; 12=И2а - эквивалентная индуктивность обмотки ротора, Гн; 11а - индуктивность рассеяния обмотки статора, Гн; 1'2а - приведенная к статору индуктивность рассеяния обмотки ротора, Гн; 1т - результирующая индуктивность, обусловленная магнитным поТ
п п гн Т т
током в воздушном зазоре машины, Гн; Кэ - К1 + К^—^— - эквивалентное сопротивление двигателя, Ом;
Т 2
иы — Цт ^•Х)-л/2 • Ц ^ ) - синусоидальная по форме составляющая напряжения
статора по оси а ортогональной неподвижной системы координат а, в, В; Цр — Цт • соэ(2^ • • Х) — 42 • и • зт(2^ • • Х) - косинусоидальная по форме составляющая напряжения
статора по оси в ортогональной неподвижной системы координат а, в, В; и1иг — 42 • Ц - амплитудное значение
фазного напряжения статорной обмотки, В; и1- действующее значение фазного напряжения статорной обмотки, В; ^ - частота напряжения статора, Гц; ¡1а, 1 - составляющие тока статора (фазные токи обмотки статора) в системе координат а, в, А; Ф2а, Ф2р - составляющие потокосцепления ротора в системе координат а, в, Вб; Мэм -электромагнитный момент двигателя, Н-м; Мс - момент статического сопротивления на валу двигателя, включая
собственный момент трения двигателя, Н-м; с -1 -
Т2
Т •Т
-- коэффициент рассеяния; J - момент инерции дви-
гателя, кг-м .
Система (1) является громоздкой и неэффективной из-за наличия переменных состояний ротора, измерение которых в реальных условиях технически нецелесообразно, поэтому следуя рекомендациям, предложенным в [2] систему (1) можно преобразовать следующим образом:
1 ^-У ъ + + 2р-р-и-Ш
Т 2
2р
Ж с Т1
1 р
1Р- и1Р-у ^ + 2р
Т 1
Ж с • Т
Ш2Р -I
&И 3 Тт' 2
Тт Т2 •'1а Ш 2а Т2
Тт ■'1р Ш 2р
Т2 Т2
\
- 2р Ш2р
Ж
(2)
- 2р •&• Ш
2а
Ж 2 Т2 • 3
Ж
Р (Ш2а •% -Ш2В •/1а) °
где р-
Т.
с • Т1 • Т2
; у-
К2 • Т т
1 К
+--2-—; — Г2 - постоянная времени.
с • Т с • Т • Т 2 Т2
1
т
После многочисленных подстановок и замен в системе (2) получаем
а 21
К - /,„ + К-и, + К • г,-ш-ил + К -I ^^ + г,1+ К ■ ^
Па
аг Л'
1Р
Лг
(3)
Лг2 р
1в
йг
где К1 = -
а-Ц -Т2
К 2 =
1
а-Ц -Т2
■ V - К1 • Г - 1 • V - Я1 - + К2
К 3 =--Т ; К 4 =-- ; К 5 = —
а- Ц
а- Ц
а-Ц -Ь2
Динамическая идентификация параметров асинхронных электродвигателей с короткозамкнутым ротором на основе разностных схем
С учётом интервала Дt дискретизации по времени измерительной системы перейдём от дифференциального уравнения (ДУ) к системе разностных уравнений (РУ), записанных в матричном виде относительно текущего ^ и предыдущих tj_x.k4rb.t-k моментов времени при условии постоянства оценок параметров, где х=0, 1, 2,...5; к -коэффициент временной задержки.
'1а
- 1-к
и
1а
- 1к гр ■ Ш ]-1 - к - 'ф -
аи
1а
аг
и
1а - 2-к 2 - - к гр 'ш ]-2-- к • '1р - 2-к
1а
аг
'1а
] 3-к
и
1а
-3-к гр ' Ш]-3-к'г1р-3-к
1а
аг
'1а
- 4-к
и
1а
- 4 -к 2Р ' Ш1-4 - к "'1р - 4-к
1а
аг
'1а
] 5-к
и
1а
-5-к гр - Ш ]-5 -к-'1р- 5-к
йи
1а
аг
]-1-к
У-2 --к
]-3-к
/-4 - к
/-5 - к
гр 'ш ]-1 -ки1в- «
г „ - ш , 7 и - и,п
р ]-2 - - к ф - 2- к
гр ■ ш>3-ки1в-3-к
гр -ш--4-ки1в-4-
и
гр ■ ш>5-ки1в-5-к
и
К
К 2 К3
К 4
К
2
а 2ь
1а
V аг У
и2' ^
+ гр • ш !-1 - к
]-1-к
1а
аг2
+ гр - ш ]-2 - - к
у ]-2--к
]-2■ -к
2
й '1а V Л2 , 2
+ гр • ш ]-3 - к
]-3-к
а2'
1а
аг2
+ - ш
р - ш ]-4 - к '
У ]-4 - к
2
а2'
1а
аг2
+ гр • ш ]-5 - к
]-5 - к
(Л \ аг .
У ]-1 - к
(Л л
V аг у
(л Л
V аг У ]-3-к аг1р
V аг у
(л Л
V аг У]-5-к
]-4-к
(4)
где I ,^ - составляющие тока статора (фазные токи обмотки статора) в системе координат а, В;
1а]-л-к 1Р]-лк
ч Лг нат а, в;
(Л' \
V аг у . ,
V У ]-х-к
]-х-к
( а2г ^
а '1а
- первые производные токов статора (фазные токи обмотки статора) в системе коорди-
V аг2 У ,
V / ]-х• к
- вторые производные токов по оси а; и,„ - составляющие напряжения статора
1а>х- к 1р]-х к
по осям а и в;
и
1а
Лг
- производные напряжения статора по оси а на j, j_1•k, j_2•k,..., j_5•k шагах соответ-
] - х-к
ственно.
В системе (4) вектором неизвестных параметров [К1, К2, К3, К4, К5] является матрица
и1а
1а -и
(сЮл.
а - 1а- 1к
^ "И¡-1 . к^р-
11а и1а
1а ¡- 3к 1а ¡- 3к
1а
и 1а
и
и,„ 'Ш,9, ' 1
1а¡- 2.к 1а- 2-к р 1-2''к
р ш]-2 . . к '1Р
- 2 .. к
2р 'Ш ¡-3'к ' г1р- 3 'к
'Ш ¡-4 'к 'г1Р-4.к
^ '1
V й у ¡-1 . к (^ 1
V & У ¡-2 .. к ( йи
1а
V й У ¡-3 'к
( йи
1а
V й У ¡-4 ' к
(и
V й У ¡-5 ' к
^р -Ш ¡-1' к' и1р- 1'к
^ 'Ш, 9 ■ . и,о
Р ¡-2 '' к ф- 2'' к
^ 'Ш
Р .¡-3 'к ф ¡- 3'к
^р 'Ш ¡-4' к'и1р-4'к
' Ш ¡-5 ' к'и1р- 5'к
а- 5'к 1а- 5'к Р 1-5'к 1в- 5'к
- это матрица связи между неизвестными параметрами и внешними воздействиями, а
и1а 1а ¡-
(йи,
а - 1'к 1а- 1'к
^р 'Ш Я ' к-*1Р- ^к
1а
и,„ 'Ш,9, '1
1а- 2'к 1а- 2' ' к р ¡-2''к
11а и1а
1а - 3к 1а - 3к
р ш;-2 ' ' к '1Р
1а
и1а
и
- 2 '' к
2р 'Ш ¡-3 ' к ' г1р - з к
гр 'Ш 1-4'к 'г1Р-4'к
'Ш,-., '1
V й У ¡-1 ' к
(йи^ 1
V й У ¡-2 '' к ( йи
1а
V й У ¡-3 'к
( йи
1а
а- 5'к 1а- 5'к р ¡-5'к 1в- 5'к
- матрица внешних воздействий,
V й У ¡-4 ' к ( йЦа. 1
V й У-5'к
^р 'Ш ¡-1' к' и1Р - ^к
^ 'Ш, 9 ■ ' и1Н
р '' к ф - 2" к
'Ш 'и1Н
р .¡-3 'к ф ¡- 3'к
2р ' Ш ¡-4'к'и1Р- 4'к
2р ' Ш ¡-5' к'и1р-
I л2-й 11а
V 2 У ¡-1'к 2
й 11а
+ 2р 'Ш ¡-1'к
V й У ¡-2 '' к 2
й 11а
+ 2р 'Ш ¡-2' к
V 2 У ¡-3'к 2
+ 2р 'Ш ¡-3'к
й 1
V У ¡-4' к й 1,
+ ^р 'Ш¡-4 'к
V ^ У ¡-5'к
+ 2р 'Ш ¡-5' к
(Я \
Ш1Р
V й У ¡-1'к
(й1 Л й11р
V ^ У
(й1 л й11р
V ^ У
(й1 л
Ш1Р
V У
(й1 л
V У
¡-2' 'к
¡-3' к
¡-4' к
¡-5' к
- вектор неизвестных параметров [К1, К2, К3, К4, К5] .
На основании [3] был принят коэффициент временной задержки, соответствующий четверти периода ста-торного напряжения, что является оптимальным для улучшения степени обусловленности матрицы связи между неизвестными параметрами и внешними воздействиями.
Для нахождения оценок параметров системы вычислим коэффициенты 1С1, К2, Къ, КА, К5, решив систему уравнений (4) методом наименьших квадратов:
К 1 К 2
К 3
К 4
К,
и
а- 2к
и
2• • к
1а ;
и
1а
а - 4 к
и.
а - 4 к
1а
2
¿Ьа V *2 у т-1к
и
1а
2р 'Ют-2• к 'г1Р-2 к
2р 'ют-3к 'г1р-Зк
2р 'Ю Т-4 к 'г1р - 4 к
2р 'Ют-5 к 'г1р-5к
+ 2Р т-1 к
л
Ш1Р
2
¿11а
V *2 у - 2-к / ,2- Л
* *1а
I *2 т-зк
2
* *1а
V *2 , „ ,
V У у-4^к 2
* *1а
I *2 ,5к
+ ^р -Ют-2• к
+ -Ют-зк
+ ^ -Ю- 4к
+ ^ -Ют-5 • к
V * 1 т-1-к
V * У т-2 • • к
V * ут-зк
л
Ш1Р
V * 1м
V 1 ]-4 к
V * 1 -,к
ч Ж
1 1-Ь к
V * У }-ъ • к
V * У т-з • к
V * У т-4-к
1а
V * У т-5 • к
к • и1в - 1к
^ •Ю, ? к
р ]-2 •к 1в - 2- к
-илл
р т-3•к ф- З к
2р • Ют-4к 'и1Р-4к
2р • Ют-5к 'и1р- 5к
После нахождения коэффициентов определим оценки параметров АД с короткозамкнутым ротором следующим образом:
Я =-
К
Кл
3 .
-
К - К
Кл
5- I = ; I - Г.
Я
с = Т =
к:,
1
1V
1 -
Кл
■А;
> 2 ^ К, • Д К2 • с •
• г: -
Для обеспечения требования несмещенности полученные оценки были подвергнуты нелинейной прогнозирующей фильтрации. В [4] показано, что применение такой фильтрации позволяет уменьшить дисперсию оценок, при этом отфильтрованные значения практически не имеют запаздывания относительно моментов начала переходных процессов.
Апробирование метода идентификации параметров асинхронного двигателя
Для математического моделирования был использован асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором (АД) серии ST123L, имеющий следующие параметры [1]:
- номинальная мощность Рн = 22 кВт;
- номинальное напряжение ин= 190/330 В;
- номинальная частота ^ = 50 Гц;
- активное сопротивление статора ^ = 0,106 Ом;
- приведенное активное сопротивление ротора = 0,067 Ом;
- индуктивность рассеяния статорной обмотки 11а=0,684 мГн;
- приведенная к статору индуктивность рассеяния роторной обмотки 1'2а=0,667 мГн;
- результирующая индуктивность, обусловленная магнитным потоком в воздушном зазоре машины 1т=24,711 мГн;
- число пар полюсов 1Р=2;
- момент инерции двигателя Лдв=0,5962 кгм2
- номинальная скорость вращения ынон = 157 рад/с.
т-1 к
т-1 к
Построены процессы идентификации для параметров ¿1 , (рис.1) и Я'2, ¿2, Т (рис. 2) и сравнение их с реальными значениями.
, Гн , Гн , Гн , Гн
0,03
0,02
0,01
¿1
\
/ /
¿т / ¿1(1)
V- С) -►
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 с
Рис.1. Переходные процессы оценок Ц и ¿т идентификационной модели асинхронного двигателя
с короткозамкнутым ротором
Я 'Ц Ом
/2,Гн ¿2, Гн ; •101,с 2 •101,с
0,04
0,02
и 1
Я 2 \
1 - 1
Я 2 V ) \ Т2 \
Т )
Т / /
¿2 / 1 - N¿2«) - -
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 с
Рис.2. Переходные процессы оценок Я'2, /, Т2 идентификационной модели асинхронного двигателя
с короткозамкнутым ротором
Среднеквадратичное значение относительной погрешности оценки приведенного к статору активного сопротивления ротора АД
ЛЯ\ = .
1
Г ~ Л 2
12000/ Т)\ Г>1 \
* 2 ~К 2
12000 - 6000
./=6000
V * 2 у
100% = 1,563%.
Среднеквадратичное значение относительной погрешности оценки эквивалентной индуктивности обмотки ротора АД
ЛЬ2 =
1
12000( Г _ Т \
¿2 ¿2
12000 - 6000
/=6000
V ¿2 у
•100% = 3,195%.
Среднеквадратичное значение относительной погрешности оценки эквивалентной индуктивности обмотки статора АД
AL =.
1
12000 - 6000
12000
j=6000
Li-L L
2
J
•100% = 3,195%.
Среднеквадратичное значение относительной погрешности оценки результирующей индуктивности, обусловленной магнитным потоком в воздушном зазоре машины:
AL. =.
1
/■ ~ Л 2
120001т _Т \
Lm Lm
12000 - 6000
I
j=6000
V
L
•100% = 4,981%.
J
Среднеквадратичное значение относительной погрешности оценки эквивалентной постоянной времени цепи ротора
AT =.
1
/■ ~ \2 12000 [ T — T
12000 — 6000
j=6000
T
V T 2 J
100% = 1,934%.
Расхождения между реальными и оцененными значениями параметров, кроме активного сопротивления обмотки статора, составляют не более 5%, соответственно метод идентификации параметров асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором на основе разностных схем работоспособен.
При расчете активного сопротивления статора R1 предложенным методом погрешность оценивания составила 25%. Следовательно, можно исключить оценивание сопротивления статора, что повысит быстродействие процедуры идентификации. Предыдущие исследования [5] показали, что оценку RR возможно определить на
основе модификации рассматриваемого метода при условии неподвижности ротора.
Выводы
1. Разработан метод идентификации параметров асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором на основе разностных схем, позволяющий определять оценки приведенного к статору активного сопротивления ротора, эквивалентной индуктивности обмотки ротора, эквивалентной индуктивности обмотки статора, результирующей индуктивности, обусловленной магнитным потоком в воздушном зазоре машины, эквивалентной постоянной времени цепи ротора асинхронного двигателя короткозамкнутым ротором.
2. Асимптотическая устойчивость и несмещенность оценок параметров асинхронного двигателя достигается за счет выбора коэффициента временной задержки, соответствующего четверти периода статорного напряжения, а также применения нелинейной прогнозирующей фильтрации.
3. Апробирование метода на математической модели показало, что среднеквадратичные значения относительных погрешностей оценок параметров составили не более 5%.
Библиографический список
1. Удут Л.С., Мальцева О.П., Кояин Н.В. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Ч. 8: Асинхронный частотно-регулируемый электропривод: учеб. пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2о0о. 448 с.
2. Cincirone, M., M. Pucci, G. Cincirone, and G. A. Capolino. A new experimental application of least-squares techniques for the estimation of the parameter of the induction motor // IEEE Trans. on Ind. Applications. Sep. 2003. Vol. 39, No. 5. Р.1247—1255.
3. Боловин Е.В., Глазырин А.С. Способы повышения обусловленности матриц при решении систем разностных уравнений в задачах идентификации параметров динамических объектов // Известия Томского политехнического университета. 2013. Т. 322, № 2. С. 51-55.
4. Глазырин А.С. Динамическая идентификация параметров объектов управления электропривода на основе разностных схем // Электротехнические комплексы и системы управления. 2012. № 2 (26). C.42-48.
5. Боловин Е.В., Глазырин А.С. Идентификация параметров асинхронных электродвигателей с неподвижным короткозамкнутым ротором на основе разностных схем // Известия Томского политехнического университета. 2013. Т. 321, №5. С.101-105.
