РАСЧЕТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МИКРОСФЕР В СТРУКТУРЕ СФЕРОПЛАСТИКА ПРИ ВСЕСТОРОННЕМ СЖАТИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-2-S-I-119-124 УДК 678.067:539.411

П.А. Додонов, А.Е. Рыжкин

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

РАСЧЕТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МИКРОСФЕР В СТРУКТУРЕ СФЕРОПЛАСТИКА ПРИ ВСЕСТОРОННЕМ СЖАТИИ

Выполнен анализ методов прогнозирования давления потери устойчивости микросфер в структуре сферопластика. Рассмотрено несколько микромеханических моделей, решения получены с использованием решений задач линейной теории упругости и метода конечных элементов. Проведено исследование компонент материала влияния на результаты геометрических и физико-механических характеристик. Близкое расположение включений к границе среды приводит к значительному снижению давления потери устойчивости. Предложена аналитическая модель, которая обеспечила получение консервативной оценки критического давления микросфер.

Ключевые слова: сферопластик, матрица, микросферы, аналитическое решение, метод конечных элементов, структурная устойчивость.

Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-2-S-I-119-124 UDC 678.067:539.411

P. Dodonov, A. Ryzhkin

Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

ANALYTICAL STUDY ON STABILITY OF MICROSPHERES IN SYNTACTIC FOAMS STRUCTURE UNDER HYDROSTATIC COMPRESSION

This paper analyses prediction methods for failure pressure of microspheres in the structure of syntactic foams, discussing several micromechanical models. The solutions were obtained as per linear elasticity theory and finite-element method. It was investigated how geometric and physical & mechanical characteristic of syntactic foams depend on its components. Pressure failure is much lower if the boundary of the medium is close to the inclusions. This paper suggests an analytical model that yielded conservative estimate of critical pressure for microspheres.

Keywords: syntactic foams, matrix, microspheres, analytical solution, finite-element method, structural stability. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.

Введение

Рассматривается микроструктура сферопластика (СФП), в которой в полимерной матрице произвольно расположены сферические включения - полые стеклянные микросферы (рис. 1, 2) [1].

Для построения структурной модели деформирования и разрушения среды со сферическими включениями, находящейся в условиях всестороннего сжатия, необходимо разработать эффективные

Для цитирования: Додонов П.А., Рыжкин А.Е. Расчетное исследование устойчивости микросфер в структуре сферопластика при всестороннем сжатии. Труды Крыловского государственного научного центра. 2020; Специальный выпуск 2: 119-124.

For citations: Dodonov P., Ryzhkin A. Analytical study on stability of microspheres in syntactic foams structure under hydrostatic compression. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; Special Edition 2: 119-124 (in Russian).

Микросферы Воздушные поры

Рис. 1. Структура гетерогенных материалов типа сферопластика

методы прогнозирования состояния микросфер, среды около них, исследовать их влияние друг на друга в зависимости от характеристик включений и их взаимного расположения.

Современные методы численного моделирования позволяют создавать в явном виде модели структуры СФП [2]. Для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) включений и матрицы при всестороннем сжатии был решен ряд задач, построены микромеханические модели эффективного расчета прочности микросфер [3, 4]. Было отмечено, что под гидростатическим давлением разрушение компонент может проходить по различным схемам, и потеря несущей способности микросфер может наступить не только ввиду растрескивания материала стекла при локальном достижении предельного НДС. В данной работе рассмотрены схемы разрушения микросфер из-за наступления критического давления потери устойчивости. Было предложено разделить схемы разрушения на три вида:

■ устойчивость сферы в глубине среды, вдали от границы объема и соседних микросфер;

■ устойчивость при приближении микросферы к границе объема;

■ устойчивость при приближении двух микросфер друг к другу.

По первому виду разрушения достаточно воспользоваться решением задачи потери устойчивости микросферы в бесконечной среде, обладающей гомогенизированными свойствами СФП. Предполагается, что такое решение применимо при значительном удалении микросферы от границы объема и

Рис. 2. Сканирование электронным микрографом структуры сферопластика; полые стеклянные микросферы плотно упакованы в эпоксидной смоле

других микросфер. Задачи о давлении потери устойчивости микросферы вблизи границы объема либо соседней сферы представляются качественно более сложными для получения аналитического решения. В настоящей работе задачи не получили точных решений. Вместо этого для серии частных случаев был проведен сравнительный анализ расчетных подходов и предложены области применимости альтернативных аналитических методов. На рис. 3, 4 представлены различные расчетные схемы, использованные в работе.

Микросфера вблизи границы среды

Рассмотрим задачу расчета давления потери устойчивости для сферических включений, расположенных вблизи границы среды. В работе было предложено рассмотреть две постановки решения этой задачи. В первой микросфера находится внутри тонкой сферической области, заполненной материалом связующего, и в объединенном виде они погружены в полубесконечную среду с характеристиками СФП (рис. 3а). Такая постановка учитывает геометрические и физико-механические особенности микроструктуры СФП и, со своими ограничениями, может отражать полноту сложности решаемой задачи. Для второй постановки рассматривалась задача о потере устойчивости двухслойной сферической оболочки, внутренний слой которой соответствует данной микросфере, а толщина внешнего совпадает с расстоянием между

Рис. 3. Модель микросферы вблизи границы среды (а) и альтернативная модель двухслойной оболочки (б) с соответствующими характеристиками геометрии и материалов

микросферой и границей среды (рис. 36). В работе был рассмотрен вопрос о возможности использования упрощенной задачи о двухслойной оболочке в качестве консервативной оценки относительно решения задачи в первой постановке.

В решаемых задачах расстояние между микросферой и границей среды будет относительно мало и внешний слой двухслойной оболочки также будет обладать малой толщиной 5. Задача о двухслойной оболочке под внешним давлением решалась в соответствии с теорией устойчивости тонких многослойных изотропных оболочек, отвечающих гипотезе Кирхгофа - Лява, предложенной С.А. Амбарцумя-ном [5]. Для записи решения введем обозначение

слоев i = I, II. Запишем выражения для коэффициентов деформаций двух слоев:

1 - у' Е ...

а' = — ; а' =—; Б' = . , ; Б' = у'Б', Е' 12 Е' 1 - (у' )2 12

где Е', V - упругие характеристики слоев. Эквивалентные жесткости двухслойной оболочки определены через выражения

С = £ JB'; K = B11 -¿2BD = B11 +1:3B C12 = X' t'B12' K12 = "2(tI][B12 - tI B12 )-

Рис. 4. Аналитическая модель задачи сферы в бесконечной среде (а) и модель с двумя сферами в бесконечной среде (б) под действием гидростатического давления

реализована в программном комплексе ANSYS и рассчитывала критическое давление для серии частных случаев с известными физико-механическими и геометрическими параметрами (см. таблицу).

На рис. 5 представлены результаты расчетов в сравнении с результатами КЭ-моделей. Из них видно, как при отдалении микросферы от границы объема и, соответственно, росте толщины второго слоя двухслойной сферы критическое давление значительно увеличивается. На рис. 5а видно, что критическое давление _ркр изменяется с 37 до ~300 МПа при изменении расстояний 5 в диапазоне 5 = 0-3,2 мкм. Расстояние в 3,2 мкм сопоставимо с характерным размером задачи dI/20 = 2,5 мкм.

Обозначенное расстояние от границы объема 5* на рис. 5а соответствует ограничению применимости аналитической модели двухслойной оболочки и переходу между использованием модели двухслойной оболочки (рис. 36) к модели сферы в бесконечной среде (рис. 4а). Естественным ограничением на применимость модели двухслойной оболочки является условие для толщин: ^ + ^ < г / 10, где г - внешний радиус внешнего слоя. Результаты показали, что для рассмотренных частных случаев с конкретными соотношениями физико-механических свойств материалов ограничение 5* оказывается меньше либо сопоставимо с этим условием.

Таблица. Расчетные физико-механические характеристики материалов

Характеристика Величина

Модуль Юнга стекла в составе микросфер, ГПа 60-70

Коэффициент Пуассона стекла в составе микросфер 0,2

Модуль Юнга эпоксидного связующего 3ЭТФ, ГПа 4,68

Коэффициент Пуассона эпоксидного связующего 3ЭТФ 0,35

Модуль Юнга СФП при растяжении, ГПа 3,54

Коэффициент Пуассона СФП при растяжении 0,29

Диапазон диаметров микросфер, мкм 20-70

Диапазон толщин стенки микросфер, мкм 0,5-1,2

Для выражения критического давления запишем также вспомогательные параметры:

с 1

Ро = с2 -С2; А = -; = (С(К2 + К2)-2КК—)—;

Ро Ро

= (К12с-кс12)—; т = ли(п-п°)+

Ро

2т 4о?12 2

Ал Ал Ал Критическое давление будет равно [5]:

Ркр = 24р1РЗ + Р2.

Полученное решение было скомбинировано с решением задачи потери устойчивости микросферы в бесконечной среде (рис. 4а), обладающей гомогенизированными свойствами СФП. Это было необходимо ввиду того, что в задаче о двухслойной оболочке прочность увеличивается с ростом толщины второго слоя Такой подход позволил оценить верхнюю границу прочности микросферы с ростом

Результаты расчетов, учитывающих полубесконечную среду СФП, были получены с использованием конечно-элементной (КЭ) модели. Расчетная схема КЭ-модели соответствует рис. 3а. Модель была

Предложенная аналитическая модель может быть использована для консервативной оценки давления потери устойчивости микросферы, находящейся вблизи границы объема.

Микросфера вблизи соседних микросфер

При рассмотрении задачи сфер в отдалении от границы рядом со сферой присутствуют только соседние сферы. Предполагается, что влияние соседних сфер на критическое давление потери устойчивости значительно ниже, чем влияние границы среды. Для проверки этого предположения была предложена расчетная схема (рис. 4б) и проведена серия КЭ-расчетов, результаты которых представлены на рис. 6. В серии расчетов рассматривались близко расположенные микросферы, находящиеся в бесконечной среде, обладающей гомогенизированными свойствами СФП. В серии расчетов отслеживалось давление потери устойчивости при изменении геометрических соотношений модели.

Как показали результаты, при снижении расстояния между сферами давление потери устойчивости падает не более чем на 50 % относительно расчетной задачи, при которой сферы находятся на отдалении 10 мкм.

Как показали расчеты НДС микросфер [4, 5] и ряд проведенных экспериментальных исследований, для рассматриваемых видов СФП приложение гидростатического давления порядка 200 МПа соответствует полной потере плавучести СФП и разрушению значительной доли микросфер. В расчетах структуры СФП при таких уровнях давления в материале микросфер главные сжимающие напряжения превышают 4000 МПа, а значит, разрушение наступает до давления потери устойчивости в 200 МПа (рис. 6) ввиду предела прочности стекла микросфер.

Вывод

На критическое давление полых сферических включений значительное влияние оказывает их расположение относительно границ среды. Близкое расположение включений к границе среды может приводить к значительному снижению давления потери устойчивости. Использование предложенной расчетной методики обеспечивает получение консервативной оценки критического давления, что создает базу для построения структурной модели деформирования и разрушения гетерогенных материалов типа СФП.

Рис. 5. Сравнение аналитического метода и метода конечных элементов при определении давления потери устойчивости микросферы диаметром / = 50 мкм вблизи границы объема при толщине стенки микросферы, равной: а) 0,50 мкм; б) 0,75 мкм; в) 1,00 мкм

Рис. 6. Влияние геометрических параметров на давление потери устойчивости (Ркр - критическое давление; Ркр10 - критическое давление на расстоянии 10 мкм; t1, ^ - диаметры и толщины стенок двух сфер;

Д12 - расстояние между ними)

Список использованной литературы

1. Gupta N., Ricci W. Comparison of compressive properties of layered syntactic foams having gradient in microballoon volume fraction and wall thickness // Materials Science and Engineering. 2006. A 427. P. 331-342.

2. Додонов П.А., Федонюк Н.Н. Моделирование структуры полимерного композиционного материала, армированного полыми стеклянными микросферами // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Т. 2. Вып. 392. С. 73-78.

3. Федонюк Н.Н., Додонов П.А. Напряженное состояние изотропной среды со сферическими включениями при всестороннем сжатии // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Вып. 4 (390).

4. Берденников Н.С., Додонов П.А., Задумов А.В., Федонюк Н.Н. Исследование влияния характеристик

и взаимного расположения полых стеклянных сферических включений на напряженное состояние среды // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Специальный выпуск 1. С. 101-107.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.

Сведения об авторах

Додонов Павел Анатольевич, инженер ФГУП «Крылов-ский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@gmail.com.

Рыжкин Анатолий Евгеньевич, ведущий инженер ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (911) 733-54-34. E-mail: A.RISHKIN@gmail.com.

Поступила / Received: 25.11.20 Принята в печать / Accepted: 08.12.20 © Додонов П.А., Рыжкин А.Е., 2020