Исследование влияния характеристики взаимного расположения полых сферических включений на напряженное состояние среды Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

СЕКЦИЯ D

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-S-I-101-107 УДК 678.5:678.016

Н.С. Берденников, П.А. Додонов, А.В. Задумов, Н.Н. Федонюк

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК И ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СРЕДЫ

Объект и цель научной работы. Объектом исследования являлась изотропная среда с произвольно расположенными в ней полыми сферическими включения, частным случаем которой является полимерный композиционный материал - сферопластик, состоящий из полимерной матрицы, плотно наполненной полыми стеклянными микросферами. Основная цель работы - исследование влияния геометрических и упругих характеристик, а также взаимного расположения полых сферических включений на концентрацию напряжений в материале с учетом их взаимодействия между собой и с границами среды.

Материалы и методы. Исходными данными для исследования являлись состав и структура сферопластика и характеристики его компонентов: полимерной матрицы и стеклянных микросфер. Исследования проводились с использованием решения задачи линейной теории упругости и метода конечных элементов, реализованного в программном комплексе ANSYS.

Основные результаты. Определена концентрация напряжений в сферических включениях и матрице в зависимости от их упругих характеристик и взаимного расположения включений относительно друг друга и границы среды. Анализ результатов исследований показывает хорошую сходимость аналитических и конечно-элементных решений, полученных с помощью ANSYS, и возможность применения принципа суперпозиции при использовании аналитических решений для учета взаимодействия сферических включений между собой и с границей среды.

Заключение. Установлено, что основное влияние на концентрацию напряжений около полых сферических включений оказывают различия в их объемных жесткостях и жесткостях среды. В зависимости от соотношения жесткостей близкое расположение включений друг к другу и границе может приводить к значительному росту концентрации напряжений как в самом включении, так и в среде. Использование принципа суперпозиции аналитических решений для систем с несколькими включениями обеспечивает достаточно хорошую точность определения компонентов напряженно-деформированного состояния, что создает базу для построения структурной модели деформирования и разрушения гетерогенных материалов типа сферопластика.

Ключевые слова: сферопластик, среда, матрица, микросферы, аналитическое решение, принцип суперпозиции, метод конечных элементов.

Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

SECTION D

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-S-I-101-107 UDC 678.5:678.016

N. Berdennikov, P. Dodonov, A. Zadumov, N. Fedonyuk

Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

Для цитирования: Н.С. Берденников, П.А. Додонов, А.В. Задумов, Н.Н. Федонюк. Исследование влияния характеристик и взаимного расположения сферических включений на напряженное состояние среды. ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия, 2020. Специальный выпуск 1. 101-107.

For citations: Berdennikov N., Dodonov P., Zadumov A., Fedonyuk N. Spherical inclusions, their arrangements and effect upon material stresses. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; Special Edition 1: 101-107 (in Russian)

SPHERICAL INCLUSIONS, THEIR ARRANGEMENTS AND EFFECT UPON MATERIAL STRESSES

Object and purpose of research. This paper discusses an isotropic medium with arbitrary arrangement of hollow spherical inclusions. An example of such medium is microsphere foam consisting of a polymeric matrix densely filled with hollow glass microspheres. The main purpose of this work is to investigate the effect of geometry, elasticity and mutual arrangement of these inclusions upon stress concentration in the material, taking into account their interaction with each other and the boundaries of material.

Materials and methods. The input data for this study were composition and structure of microsphere plastic, as well as parameters of its components (polymeric matrix and glass microspheres). The research was performed in ANSYS software package as per linear elasticity theory and finite-element method.

Main results. The study yielded stress concentration in the spherical inclusions and the matrix, depending on their elasticity and arrangement with respect to each other and the boundaries of the material. Test data analysis has shown a good correlation between analytical and FEM-based ANSYS solution, as well as the possibility to apply the superposition method in analytical solutions in order to take into account the interaction of inclusions with each other and with material boundary. Conclusion. It was found that stress concentrations near hollow spherical inclusions mostly depend on the difference between their volume stiffness and the stiffness of their environment and that too dense concentration of inclusions with respect to each other and the boundary might seriously increase stress concentrations in both the inclusions and their environment. Superposition of analytical solutions for systems with several inclusions yields rather accurate stress-strain state components, which could become the basis for a structural model of straining and failure of heterogeneous materials, like microsphere plastic.

Keywords: microsphere plastic, environment, matrix, microspheres, analytical solution, superposition principle, finite-element method.

The authors state that there are no possible conflicts of interest.

Введение

Introduction

Рассматривается изотропная среда, в которой произвольно расположены полые сферические включения. Частным случаем такой среды с включениями является сферопластик (СФП), состоящий из полимерной матрицы, которая плотно наполнена полыми стеклянными микросферами (рис. 1). Для построения структурной модели деформирования и разрушения такой среды со сферическими включениями, находящейся в условиях всестороннего сжатия, необходимо опре-

Микросферы Воздушные поры

X

Полимерная

матрица матрица

Рис. 1. Структура гетерогенных материалов типа сферопластика

Fig. 1. Structure of a heterogeneous material (microsphere plastic)

делить концентрацию напряжений в среде около этих включений и исследовать их влияние друг на друга в зависимости от характеристик включений и их взаимного расположения.

Для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) включений и матрицы при всестороннем сжатии в [1] были решены задачи теории упругости в линейной постановке для одного двухслойного сферического включения, находящегося вблизи границы в полупространстве, и двух двухслойных включений, расположенных в бесконечном пространстве. На базе созданного математического аппарата разработан вычислительный алгоритм, который реализован в программном коде на языке С++. Проведены расчеты концентрации напряжений в матрице с микросферами в сравнении с расчетами по методу конечных элементов (МКЭ) с помощью программного комплекса ANSYS. Сопоставление результатов этих расчетов показало, что они практически полностью согласуются между собой.

В настоящей работе рассматриваются особенности построения конечно-элементной модели (КЭМ), с помощью которой оценивается возможность использования указанных выше решений задач теории упругости для определения взаимодействия включений между собой и с границей среды. С этой целью исследуется НДС включений и матрицы в зависимости от их характеристик и взаимного расположения.

Построение конечно-элементной модели

Development of finite-element model

Построение КЭМ производилось в объемной (рис. 2а) см. вклейку и осесимметричной постановке (рис. 2б) см. вклейку. При разработке моделей были выполнены численные исследования с целью выбора оптимального сочетания таких факторов, как форма разбиения на элементы и густота КЭМ, тип элементов, способ деления геометрии модели на функциональные области. С учетом особенностей взаимного расположения сфер при разработке моделей использовались следующие основные принципы:

■ модели строились в параметрической постановке с целью возможности быстрого изменения параметров и получения нового решения;

■ задавалась очень мелкая гексагональная сетка для сферических включений и контактирующих с ними слоев матрицы и среды заданной толщины с характерными размерами элементов, равными 0,1-0,2 толщины стенки сферического включения;

■ с целью повышения точности использовались элементы с промежуточным узлом (SOLID186 и PLANE183);

■ применялось сочетание областей со структурированным и неструктурированным разбиением;

■ вокруг каждой сферы строился дополнительный слой гексагональных элементов на границе структурированной области с целью сглаживания результатов расчетов.

Исследование влияния упругих характеристик включения и его расположения на напряженное состояние системы «включение - матрица»

Elasticity and arrangement of inclusions and their effect upon material stresses

Влияние упругих характеристик включения можно наиболее наглядно проиллюстрировать через изменение соотношения между объемными модулями включения и полимерной матрицы, которые определяются по следующим формулам:

к = -

s 3

1 - ^ +1 (i+^ ) 1

Km =-

3(1 - 2 v„ )

нормальной упругости материалов включения и матрицы соответственно; vc, vm - коэффициенты Пуассона этих материалов; 5 - толщина стенки включения; r - радиус его наружной поверхности.

В качестве сферического включения в данном примере взята микросфера r = 50 мкм, 5 = 4 мкм. Рассмотренные варианты соотношений между упругими характеристиками материалов включения и матрицы приведены в табл. 1.

Расчеты проводились с использованием разрабо-тайного в [1] вычислительного алгоритма для двух случаев: сфера расположена в бесконечном пространстве, сфера расположена вблизи границы в полупространстве. При этом расстояние стенки сферы от границы было принято равным А = 15 мкм.

Результаты расчетов показывают, что для случая сферы в бесконечном пространстве наблюдается простая зависимость: чем больше жесткость включения, тем выше в нем все основные компоненты напряжений. В среде происходит другое перераспределение между компонентами напряжений (рис. 3, см. вклейку). С ростом жесткости включения радиальные напряжения в среде растут, а окружные снижаются, что обусловлено равенством средних напряжений в любой точке среды внешнему гидростатическому давлению.

Для случая сферы, расположенной у границы, наблюдаются возмущения как в сфере, так и в среде, которые усиливаются с увеличением различий в жесткостях сферы и среды и в положительную, и в отрицательную сторону (рис. 4, см. вклейку). Следует отметить, что при K = Km во всех рассмотренных случаях не наблюдается концентрации напряжений, т.е. среда становится квазиоднородной.

В качестве второго примера рассматривалась полубесконечная среда со сферическими включениями типа стеклянных микросфер при различных значе-

Таблица 1. Упругие характеристики материалов Table. 1. Elastic parameters of materials

где К Кт - объемные модули сферического включения и матрицы соответственно; Ес, Ет - модули

Материал Вариант расчета Модуль нормальной упругости, ГПа Коэффициент Пуассона

K = K s m 49,52 0,2

Включение K = 10K s m 495,2 0,2

K = 0,01K sm 0,495 0,2

Полимерная матрица - 4,8 0,38

Таблица 2. Упругие характеристики стекла и матрицы

Table. 2. Elastic parameters of glass and matrix

Характеристики Стекло Матрица

Модуль нормальной упругости, ГПа 65 4,8

Коэффициент Пуассона 0,2 0,38

ниях коэффициента заполнения объема ку. Считается, что все микросферы имеют одинаковый диаметр 100 мкм с толщиной стенки 1 мкм и расположены в узлах гексагональной решетки. Меняя ку, изменяем расстояние между сферами и их отстояние от границ среды. Наиболее напряженными являются микросферы, расположенные вблизи границы. Для определения их НДС и матрицы рассматривалась одна микросфера, окруженная слоем матрицы и расположенная в гомогенной среде с эффективными характеристиками. Эти характеристики, которые являются результатом осреднения свойств микросфер и матрицы, определялись с помощью метода самосогласования [2]. Их можно считать характеристиками сферопластика, модель которого построена на гексагональной системе упаковки микросфер равного диаметра. Упругие характеристики стекла микросфер и полимерной матрицы указаны в табл. 2. Результаты определения положения сферы относительно границы и упругих характеристик гомогенной среды в зависимости от коэффициента ку приведены в табл. 3.

Расчеты НДС сферы и матрицы при действии гидростатического давления производились по аналитическим формулам с помощью вычислительного алгоритма [1] и МКЭ с использованием программного комплекса ANSYS (рис. 5, см. вклейку). Согласно полученным результатам с увеличением коэффициента заполнения объема ку микросфера приближается к границе, что приводит к значительному увеличению концентрации напряжений в сфере. Из представленных графиков также видно, что резуль-

таты определения напряжений по МКЭ практически полностью совпадают с результатами аналитических расчетов.

Исследование влияния взаимодействия сферических включений на их напряженное состояние и напряженное состояние матрицы

Interaction between spherical inclusion and its effect upon stresses in the inclusions and the matrix

В гетерогенных материалах типа сферопластика сферические включения расположены относительно друг друга и границ среды достаточно близко, что приводит к перераспределению полей деформаций и напряжений в среде в результате их взаимодействия.

Для решения этой задачи можно воспользоваться МКЭ, что потребует значительных вычислительных ресурсов и приведет к большим временным затратам, учитывая реальное количество сферических включений в материале. Можно пойти другим путем, опираясь на решения двух базовых задач линейной теории упругости, которые были реализованы в виде вычислительного алгоритма, обладающего большей эффективностью по сравнению с МКЭ [1]. Для этого необходимо показать, что имея решения этих двух задач, можно определить НДС любого сферического включения, находящегося во взаимодействии с другими включениями и границей среды, применяя принцип суперпозиции.

Используя этот принцип, НДС произвольного k-го включения (и матрицы вокруг него) можно представить как (рис. 6):

■ при расположении включения вблизи границы

среды

т( к, q).

or = оГ~/ +Х

> =0^-

V ги

О -

q=l,m,n lJ

Таблица 3. Геометрические и упругие характеристики расчетной модели «микросфера - матрица - среда» Table. 3. Geometry and elastic parameters of "microsphere-matrix-environment" system

к у Толшцна слоя матрицы, мкм Расстояние от центра микросферы до границы, мкм Эффективный модуль нормальной упругости среды, ГПа Эффективный коэффициент Пуассона среды

0,4 10 61,4 2,99 0,363

0,5 6 57 2,64 0,36

0,7 0,89 50,9 1,99 0,353

■ при удаленном расположении включения от границы среды

а(:к ) = У а(:к

V ,т,п V

(к) « где: - тензор напряжении в к-ом включении

(или в матрице вокруг него); о,-/кч) - тензор напряжении, вызванных влиянием ч-го соседнего вклю-

(к)

чения на к-е включение; оГ - то же, но вызванных влиянием границы среды.

При определении НДС включении и матрицы, входящих в рассматриваемый ансамбль, были сделаны следующие предположения:

■ рассматривается только ближнее взаимодеи-ствие, иначе говоря, на выделенное включение деиствуют только соседние включения и близлежащая граница среды;

■ влияние взаимодействия соседних включений на выделенное включение не учитывается;

■ вне рассматриваемого ансамбля включений среда считается квазиизотропной и гомогенной с эффективными упругими характеристиками, найденными путем осреднения свойств включений и матрицы.

Для оценки возможности применения принципа суперпозиции при определении НДС включений и матрицы с помощью вычислительного алгоритма [1] для ансамбля, состоящего из нескольких включений вблизи границы среды, были рассмотрены два примера, в которых расчеты продублированы с использованием МКЭ.

В качестве первого примера рассматриваются два сферических включения, из которых одно расположено вблизи границы, а второе - над ним. Первым включением являлась микросфера диаметром йх = 100 мкм с толщиной стенки 1 мкм. Диаметр второго включения - микросферы - задавался дискретно: й2 = 10, 50, 100 мкм при толщине стенки также 1 мкм. Упругие характеристики материалов микросфер и матрицы приведены в табл. 2. Распо-

границы (а) и на удаленном расстоянии от нее (б)

Fig. 6. Arrangement of spherical inclusions near the boundary (a) and far from it (b)

ложение микросфер относительно друг друга и границы соответствовало коэффициенту упаковки ку = 0,7 (табл. 3). При этом расстояние между стенками сфер было равно 1,9 мкм.

Результаты расчетов, выполненных с помощью вычислительного алгоритма [1] и МКЭ при всестороннем сжатии, приведены на рис. 7, 8, (см. вклейку) для di = 100 мкм и d2 = 10, 50 мкм.

Во втором примере были проведены расчеты НДС включений и матрицы с помощью алгоритма [1] и МКЭ для ансамбля из трех микросфер, находящихся вблизи границы в полубесконечной среде. Положение микросфер относительно друг друга и границы задано в табл. 4 и показано на рис. 9.

Результаты определения напряжений в сферах и матрице для рассматриваемого ансамбля из трех сфер приведены на рис. 10, (см. вклейку).

Приведенные здесь примеры показывают достаточно хорошую сходимость результатов определения напряжений во включениях и матрицы, полученных аналитически с использованием вычислительного алгоритма [1] и по МКЭ с помощью программного комплекса ANSYS. Даже для такого достаточно сложного случая ансамбля из трех сфер, расположенных вблизи границы, расхожде-

Таблица 4. Параметры, характеризующие положение микросфер в среде Table. 4. Microsphere arrangement data

№ сферы Наружный диаметр сфер d, мкм Толщина стенки сферы, мкм Расстояние до границы Д, мкм Расстояние между сферами, мкм

Д12 Д13

i 25 i i

2 50 i i0 i i

3 100 i i0

Рис. 9. Расчетная схема задачи с тремя сферами, находящимися на границе полубесконечной среды

Fig. 9. Analytical layout for the problem of three spheres on the boundary of a semi-infinite medium

ние результатов не превышает 5 %, кроме напряжений офф /p в матрице около сферы dx = 25 мкм, где расхождение результатов между аналитическим решением и МКЭ достигает 18 % при сравнительно низком уровне этих напряжений.

Таким образом, применение принципа суперпозиции решений, полученных использованием вычислительного алгоритма [1], позволяет определить НДС включений и матрицы с приемлемой точностью при близком взаимодействии включений между собой и с границей среды. Тем самым открывается возможность построения структурной модели деформирования и разрушения гетерогенных материалов типа сферопластика с учетом конкретных гистограмм распределения сферических включений по диаметрам и характеристик материалов включений и матрицы.

Заключение

Conclusion

Результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие выводы:

■ основное влияние на концентрацию напряжений около полых сферических включений оказывают различия в объемных жесткостях включений и среды;

■ в зависимости от соотношения жесткостей включения и среды близкое расположение к границе может приводить к значительному росту концентрации напряжений как в самом включении, так и в среде;

■ заметное влияние на напряженное состояние рассматриваемой сферы оказывают близкорасположенные сферы большего диаметра;

■ аналитические решения базовых задач теории упругости [1] хорошо коррелируют с результатами численных расчетов по МКЭ;

■ использование принципа суперпозиции этих решений позволяет получить приемлемую точность определения концентрации напряжений в гетерогенных материалах при близком взаимодействии включений между собой и с границей среды.

Библиографический список

1. Федонюк Н.Н., Додонов П.А. Напряженное состояние изотропной среды со сферическими включениями при всестороннем сжатии // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020 Вып. 1(391) (в печ.).

2. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 336 с.

References

1. N. Fedonyuk, P. Dodonov. Stressed state of isotropic medium with spherical inclusions under omnidirectional pressure // Transactions of KSRC. 2020. Issue 1(391) (appear) (in Russian).

2. R. Christensen. Mechanics of Composite Materials (Russian translation). Moscow: Mir, 1982. 336 pp.

Сведения об авторах

Берденников Николай Сергеевич, инженер 1 категории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 415-49-46. E-mail: frost_m@ list.ru.

Додонов Павел Анатольевич, инженер ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@gmail.com. Задумов Андрей Владимирович, начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (911) 940-94-88. E-mail: a_zadumov@ ksrc.ru.

Федонюк Николай Николаевич, к.т.н., начальник лаборатории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шос-се, 44. Тел.: +7 (921) 928-57-39. E-mail: fednik46@yahoo.com.

Рис. 2. Конечно-элементные модели среды со сферическими включениями: а) объемная; б) осесимметричная

Fig. 2. Finite-element models of material with spherical inclusions: a) vdumetric; b) axially symmetric

0 30 I)-

-6 8 10 12

a)

60

90

120

150

ISO

полость oci сферы A\ = 10Л.',„

Ф"

0

О

0.5

1.5

6)

30

60

90

120

150

180 <p"

K.y - Km Ks = 0.01 A'„

Рис. 3. зависимость относительных напряжений пг, jp oft угла ф hü внутренней поверхности сферы (в), расположенной в бесконечном пространстве, и в матрице по поверхности ее соединения со сферой (б)

Fig. 3. Relative stresses а /р versus cp angle on a) internal surface of sphere in the infinite space and b) matrix-sphere border

<Vp<'W 0 30

-4 6 -8 -10 a)

60

'JO

120

полость без сферы К, =10 Кт

150

180

<р"

Рис. 4. Зависимость относительных напряжений ап/р от угла ср на внутренней поверхности сферы (а), расположенной в полупространстве вблизи границы, и в матрице по поверхности ее соединения со сферой (б)

Fig. 4. Relative stresses ап /р versus cp angle on a) internal surfaoe of sphere in the semi-space near the boundary and b) matrix-sphere bcrder

°лф(''| VP 0.12 0,1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

-0.02 ' -0,04 -0.06

6}

<^(/•0 VP 0 30 60 90 120 150 180

0 -15 -17 19 -21 -23 ф°1

4—

A

\

/ \

; \

-^ у > r

n 3 0 6 0 9 о i: о >0

" ' /

(рч

кг = 0.4 (аналитика) к = 0,5 (аналитика) ку = 0,7 (аналитика) 4,, = 0,4 (МКЭ)

----ку

" " А'

0,5 (МКЭ) 0,7 (МКЭ)

Рис. 5. Зависимости относительных напряжений а„/р (в) и /р (б) на внутренней поверхности сферы от угла ф для различных значений к.

Лд. Я. Relative stresses ow /р (г) and о % ¡р (Ь)

ол №в Internal Gurfece of sphere versus a t different k, values

0 II

-13

-15

-17

-19

-21 -23 -25

Ш'Р О

30

60

90

120

150

ISO

ipt'

- Сфера il\ = 100 (аналитика)

- Сфера t/2 = 50 (аналитика) -Сфера с/, = 100 (МКЭ) -Сфера c/j = 50(МКЭ)

Рис, 8. Зашатает» шноатгегемьк наряжении <т„ /р от угге ^ на внутретнх поверхностях «жропфер ^ - 100 и d, - 50 мкн, н (садящихся на грвицг пдатубвехонемнои среды, npi всесгерожен дейеташ тщмегатюеехого даалаия (отсчет угла <р для крзвйй сферы ведется от верхнего полоса сферы, для тмней Сферы - От нвкн&о полюса]

f Eg. в. Relative stresses а^/р verms р angle on "ntem-d suites of microspheres di = 100 aid d, = 50 pm on the bounday of sami-Inflnfte medium under cmnld Pactional hydrostatic pressure [jangle Is courted from the upper pole toMfte uppa- sphere and vice wrea)

"ФФ<''0 vp a) 0 60 о

120

180

240

300

360

-5 -10

-15 -20 -25

Ф "

0 -5 10 -15 -20 -25

0

30

60

90

120

150

180

Ф i>

Сфера t/) = 100 (аналитика)

- Сфера </j = 10 (аналитика)

- Сфера rfi = 100 (МКЭ) Сфера cl2 = 10 (МКЭ)

7. 3£вий*ЮСти ОтнОСмтельн их напряженки aw /р От угла ф на BHyipewnx поверхностях никросфер d, = 100 и с^ = 10 иен, находящихся на граница полувескэнечной среды, гри всесторонней дейстпм гидростатического давления (отсчетугла ф для верхней сферы ведется от верхнего полюса сферы, для нижней сферы - от нижнего полюса)

Нв- 7. Relative stresses /р veraus ф angle on internal surfaces of mloosphaes <11 = 100 arid d2 = 10 pm on the boundary of sari-infinite medium under omnidireclional hydrostatic pressure (o angle is counted From the upper pole for the upper sphere and vice versa)

6)

360

Ф о

- Сфера </| = 25 (аналитика)

- - Сфера (¡2 — 50 (аналитика)

- Сфера с/3 = 100 (аналитика)

-Сфера с/, =25 (МКЭ) - - - Сфера с/2= 50(МКЭ) --- Сфера с/3 = 100 (МКЭ)

Рис. 10. Зависимости относительных напряжений сщ/р от угла <р на внутренних поверхностях сфер (а) и в матрице на поверхностях их соединения со сферами (б) гри всестороннем действии гидростатического давления

Fig. id. Relative stresses ап /р versus ф angle on internal surfaces of spheres (a) and matrix-sphere border при under omnidirectional hydrostatic pressure

About the author

Berdennikov, Nikolay S., 1st category Engineer,Krylov StateResearch Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-49-46. E-mail: frost_m@list.ru. Dodonov, Pavel A., Engineer, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@ gmail.com.

Zadumov, Andrey V., Head of Sector, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (911) 940-94-88. E-mail: a_zadumov@ksrc.ru.

Fedonyuk, Nikolay N., Cand. Sci. (Eng.), Head of Laboratory, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (921) 92857-39. E-mail: fednik46@yahoo.com.

Поступила / Received: 30.01.20 Принята в печать / Accepted: 06.02.20 © Коллектив авторов, 2020