CC BY-NC
25
DOI: 10.24937/2542-2324-2020-2-392-71-78 УДК 678.5+678.046.364
П.А. Додонов, Н.Н. Федонюк
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Россия, Санкт-Петербург
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОЛИМЕРНОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, АРМИРОВАННОГО ПОЛЫМИ СТЕКЛЯННЫМИ МИКРОСФЕРАМИ
Объект и цель научной работы. Полимерный композиционный материал типа сферопластик на микроуровне представляет собой гетерогенную среду, состоящую из включений (микросфер) и полимерного связующего, играющего роль матрицы. Целью работы является построение численного метода, позволяющего создавать структурные модели материала с учетом хаотического расположения включений, высокого значения их объемной доли для выбранной марки микросфер.
Материал и методы. Исходными данными являлись характеристики микросфер различных марок. Были исследованы существующие численные методы, позволяющие создавать плотные упаковки включений в конечном объеме. Основные результаты. Были реализованы различные численные методы решения полидисперсных задач. Отражены особенности результатов работы методов при расчетах с использованием характеристик различных марок микросфер. Численные методы позволяют достигать реальных величин объемных долей содержания включений в сферопластике. Качественное сравнение получаемых структур показывает сходство с реальной микроструктурой сферопластиков.
Заключение. Реализованные численные алгоритмы позволили создавать модель структуры материала при хаотическом расположении микросфер в конечном объеме с учетом заданных характеристик различных марок микросфер и их объемного содержания. Имея модель структуры материала и решения задач теории упругости о концентрации напряжений в среде с включениями, можно перейти к построению структурной модели материала. Реализация этой модели позволит исследовать процессы накопления повреждений в сферопластике вплоть до разрушения и определить направления повышения характеристик материалов такого типа.
Ключевые слова: плотная упаковка, сферопластик, микроструктура, моделирование, алгоритм Любачевского -Стиллинджера, полидисперсная задача.
Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2020-2-392-71-78 UDC 678.5+678.046.364
P. Dodonov, N. Fedonyuk
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
MODELING OF STRUCTURE FOR A POLYMERIC COMPOSITE MATERIAL REINFORCED WITH HOLLOW GLASS MICROSPHERES
Object and purpose of research. This study investigates a heterogeneous polymeric composite material (syntactic foam) consisting of a binder (polymeric matrix) and inclusions (microspheres) filling it. The purpose of this work is to obtain a numerical method that could develop structural models of material taking into account arbitrary arrangement of the inclusions and their high volume fraction for given brand of microspheres.
Materials and methods. This study was based on the specifications for microspheres of various brands. It analysed existing numerical methods for developing dense inclusion packs in finite volume.
Для цитирования: Додонов П.А., Федонюк Н.Н. Моделирование структуры полимерного композиционного материала, армированного полыми стеклянными микросферами. Труды Крыловского государственного научного центра. 2020; 2(392): 71-78.
For citations: Dodonov P., Fedonyuk N. Modeling of structure for a polymeric composite material reinforced with hollow glass microspheres. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; 2(392): 71-78 (in Russian).
Main results. The study implemented various numerical solution methods for polydispersion problems, reflecting the specifics of their practical application to various microsphere brands. Numerical methods yield actual volume contents of inclusions in microsphere foam. Qualitative comparison of obtained structures confirms their similarity to real ones. Conclusion. Numerical algorithms developed in this study made it possible to obtain a model of material structure with arbitrary arrangement of microspheres in finite volume taking into account the specifications and volume content of various microsphere brands. The model of material structure and solution of elasticity theory problems on stress concentration in the medium with inclusions enables the transition to developing a structure-based model of material. Implementation of this model will enable the investigation of damage accumulation in microsphere foam (up to its failure), thus pointing out the ways to improving performance parameters of these materials.
Keywords: dense pack, syntactic foam, microstructure, simulation, Lyubachevsky-Stillinger algorithm, polydispersion problem.
Authors declare lack of the possible conflicts of interests.
Введение
Introduction
Сферопластик (syntactic foams) широко используется в глубоководной технике для создания положительной плавучести и представляет собой неоднородно армированный полимерный композиционный материал, состоящий из полимерной матрицы, в которой расположены полые стеклянные микросферы (ПСМ) [1, 2]. В объеме материала микросферы расположены хаотически с высокой степенью наполнения. При переходе к макрообъему сферопластик (СФП) теоретически можно считать гомогенным и изотропным, обладающим одинаковыми свойствами в каждой точке объема и в любом направлении. Эти свойства можно рассматривать как осредненные (эффективные) характеристики среды, являющиеся результатом осреднения тем или иным методом свойств составляющих материал фаз.
Практически даже в макрообъеме материал не является однородным, что связано в основном с технологией его переработки. Существующая технология изготовления элементов плавучести из СФП заключается в послойной заливке неотвер-жденной композиции в матрицу, что может привести к различиям характеристик в слоях.
Стеклянные микросферы, используемые в СФП, при их качественном изготовлении представляют собой правильные по форме полые сферы (рис. 1). На рис. 2 представлено распределение ПСМ в матрице на основе эпоксидного связующего [3]. Видно, что микросферы расположены более или менее равномерно по объему и не образуют кластеры. В матрице материала также наблюдается наличие воздушных пор, возникших в процессе формования.
Для каждой марки ПСМ их распределение по диаметрам характеризуется определенной гистограммой. Типичная гистограмма распределения микросфер по диаметрам приведена на рис. 3.
Рис. 1. Полые стеклянные микросферы Fig. 1. Hollow glass microspheres Рис. 2. Распределение полых стеклянных микросфер по объему сферопластика Fig. 2. Volume distribution of hollow glass microspheres in the foam
Из нее видно, что у представленной марки микросфер имеются в наличии диаметры в широком диапазоне от 0 до dmax, где dmax - максимальный диаметр микросфер. Для марок микросфер, имеющих сравнительно высокие прочностные характеристики, величина dmax и средний диаметр сфер d^ сдвинуты в меньшую сторону и в наибольшей степени представлены микросферы диаметром d < 40 мкм.
Для построения структурной модели деформирования и разрушения СФП [4] под действием гидростатического давления необходимо, в первую очередь, построить модель структуры, из которой можно определить координаты каждой микросферы и ее расположение относительно других сфер и границ объема (рис. 4). При этом для получения СФП с наименьшей плотностью должны обеспечиваться максимально допустимый коэффициент заполнения объема (КЗО), который на практике обычно находится в диапазоне 50-75 % в зависимости от марки ПСМ, и гистограммы их распределения.
В настоящей работе впервые рассматривается задача моделирования структуры СФП на основе разных алгоритмов с учетом реальной гистограммы распределения микросфер по диаметрам. Результатом проведенного исследования является разработка численного алгоритма, позволяющего создать модель микроструктуры СФП для ее использования в задаче численного моделирования процессов накопления повреждений в материале и его разрушения при действии всестороннего гидростатического давления.
Моделирование плотных упаковок дискретных сред
Modeling of dense packs for discrete media
Равномерное закономерное распределение сфер в пространстве
В работе были рассмотрены различные подходы к получению полидисперсной упаковки сфер.
Монодисперсным (все частицы одного размера) упаковкам сфер с КЗО до ~74 % соответствует равномерное распределения сфер в объеме по узлам гексагональной (тетраэдрической, пирамидальной) кристаллической решетки. На рис. 5 (см. вклейку) представлены примеры монодисперсного распределения сфер с максимально возможной величиной КЗО.
Для рассматирваемых полидисперсных задач с реальными гистограммами распределения диаметров микросфер использование этого подхода приво-
P(d),' 12,00
8,00
4,00
0,00
—1
— 1,-
Тип
0,00
20,00 40,00 60,00 80,00 d, мкм
Рис. 3. Гистограмма массового распределения микросфер марки МС-ВП гр. А3 по диаметрам
Fig. 3. Mass distribution histogram for MS-VP Group A3 microspheres by diameter
Рис. 4. Расположение микросфер относительно друг друга и границ объема, а также ориентация локальных систем координат
Fig. 4. Microsphere arrangement with respect to each other and to volume boundaries, as well as orientation of local coordinate systems
дит к получению упаковки с КЗО до 15-30 % в зависимости от марки ПСМ. Без дополнительных шагов по уплотнению сфер данный подход не применим для задачи явного моделирования структуры СФП.
При решении монодисперсной задачи для каждой сферы могут быть определены 12 ближайших соседних сфер. Расстояние между центрами ближайших сфер фиксировано, а ориентация всех соседних сфер друг относительно друга в пространстве подчиняется симметрии решетки.
Здесь и далее, исходя из схемы расположения, показанной на рис. 4, используется следующий подход поиска ближайших сфер. Для всех i-х ближайших сфер к сфере с радиусом r оценивается
расстояние между ними А,-. Для оценки ближайших сфер вводится условие «соседства»:
А,- <
r + ri 2
Необходимо отметить, что минимально возможное расстояние между сферами Амин для всех рассмотренных методов определяется как А/ > Амин > 0 и на три порядка меньше среднего диаметра микросфер Амин << dср.
Подход «перекатывающихся частиц»
Для увеличения КЗО был рассмотрен подход «перекатывающихся частиц», в рамках которого
Рис. 6. Пример схемы движения сферы А по поверхностям второй Б и третьей В сфер до «столкновения» с четвертой сферой Д
Fig. 6. An example of Sphere A movement on the surfaces of Spheres B and C before collision with Sphere D
Число итераций 1.E+08
1.E+07 1.E+06 1.E+05 1.E+04 1.E+03
—I-1-1-1-
— Движение к 1-й сфере
- Добавление скольжения вдоль грани
— Движение до 2-х контактов - Движение до 3-х контактов
- Добавление кластеризации групп сфер
30%
35%
40%
45%
50% 55%
Рис. 7. Число итераций, необходимых для создания модели структуры из 2000 сфер методом «перекатывающихся» частиц
Fig. 7. Number of iterations required to develop the model structure of 2000 spheres as per "rolling" particles method
первоначальная позиция каждой сферы выбирается случайным образом в незанятом пространстве между уже созданными сферами. Новой сфере придается случайное направление движения. Сфера «наталкивается» на препятствие (границу объема или другую сферу) и «прилипает» к нему, т.е. обеспечивается заданное расстояние Дмин между стенками сфер. Далее происходит скольжение по поверхности в направлении следующего ближайшего «препятствия». Процесс повторяется еще раз для полного определения сферы в пространстве по трем точкам соприкосновения. Реализация данного метода требует решения серии задач для определения траекторий перемещения сфер. На рис. 6 показана условная схема «перекатывания» новой сферы А на позицию А* по поверхностям сфер Б и В до «столкновения» со сферой Д как пример одной из траекторий перемещения новых сфер.
В зависимости от гистограммы распределения ПСМ такой подход позволяет достичь КЗО 48-58 %. На рис. 7 представлены диаграммы, показывающие ограничения этого численного метода для решения полидисперсной задачи. Для одной марки ПСМ (и соответствующей гистограммы распределения размеров сфер) создавалась модель структуры из 2000 сфер. Число итераций, необходимых для создания структуры, стремится к бесконечности при приближении алгоритма к предельной величине КЗО. Количество итераций является мерой расчетного времени, и в алгоритме показывается суммарное число «попыток» найти свободную позицию для всех сфер. Так, для 2000 сфер необходимо порядка 107 «попыток», чтобы найти свободные позиции с учетом получения объемной доли ~54 % при использовании алгоритма «перекатывающихся частиц». Диаграммы на рис. 7 показывают, как изменяется количество итераций в зависимости от числа контактов при определении положения каждой новой сферы.
В получаемой этим методом структуре число «соседних» сфер зависит от расположения сферы, ее размеров и размеров ближайших сфер. Расстояние между центрами ближайших сфер случайно, как и ориентация всех соседних сфер друг относительно друга в пространстве. Проведенные расчетные эксперименты показали, что при решении задачи с 5000 сфер с различными гистограммами в среднем у каждой сферы располагаются до 6-9 соседних сфер.
Алгоритм
Любачевского - Стилинжера
Для достижения более высоких, реальных значений КЗО, указанных выше, был использован алгоритм Любачевского - Стилинжера (ЛСА), имитирующий процесс «сжатия» движущегося потока твердых сфер (в общем случае частиц), которые увеличиваются в размерах [5, 6]. Движение представляется как последовательность дискретных событий, где событиями являются абсолютно упругие соударения сфер друг с другом, а также с границами объема. Ведется учет числа соударений, пробега сфер между столкновениями, скорости сфер, позиции сфер и других параметров. Диаметры сфер растут с каждым шагом увеличения «давления сжатия» до достижения заданных величин. В начальный момент работы ЛСА создается случайное расположение сфер (частиц) в объеме со случайными ори-ентациями векторов скоростей (рис. 8).
Данный алгоритм явно определяет процесс динамики, взаимодействия и роста частиц, а значит, при использовании фиксированных исходных позиций сфер и набора параметров алгоритм будет давать повторяющиеся результаты структуры расположения сфер. Исследование результатов применения алгоритма для решения монодисперсной [5, 6] и бидисперсной задач [7-9] представлено в ряде работ - показано, что он наиболее эффективен для задач с незначительным различием в размерах сфер.
Рассмотрим абсолютно упругие соударения друг с другом двух увеличивающихся сфер разного размера (рис. 9). До момента столкновения сферы г и у обладают скоростями , иу. Если ввести ось,
соединяющую центры сфер, то она будет параллельна нормалям к поверхностям сфер в точке соударения. Скорости сфер раскладываются на компоненты, параллельные этой оси ((р), и у (р)),
и компоненты, ортогональные к оси (иг ^), и у (х)).
В ходе столкновений сферы «обмениваются» параллельными компонентами (р) и и у (р). После
^ * ^ *
столкновений к векторам скоростей и и у
необходимо добавить слагаемые, обусловленные расширением сфер к1йу1 и Нуйу :
U j = U j ( t ) + U j ( ^ ) + hiuji.
При этом йуг и йу являются единичными векторами, параллельными оси (рис. 9), соединяющей центры сфер, а коэффициенты Нг и Ну рассчитываются как скорости роста диаметров сфер ф, с!у: Н - —
- дг'
В рамках данной работы ЛСА был использован для решения полидисперсных задач распределения ПСМ в матрице. Для решения полидисперсной задачи с применением ЛСА каждой сфере присваивалась своя скорость «расширения», которая позволяла достичь заданного соотношения распределения микросфер по диаметрам. Полученный алгоритм был реализован в программном коде на языке С++. На рис. 10 (см. вклейку) представлен результат расчета для полидисперсной модели упаковки сфер, с КЗО ~65 %. Реализован-
Рис. 8. Процесс роста 2000 дисков от начальной конфигурации и после 2-104 столкновений [5]
Fig. 8. Growth of 2000 disks from the initial configuration and after 2-104 collisions [5]
Рис. 9. Схема динамики ударного взаимодействия для пары увеличивающихся сфер разных размеров
Fig. 9. Layout of shock interaction dynamics for a couple of growing spheres of different size
Относительная доля сфер, % 16 14
12 10
8 6 4 2
0 10 20 30 40 50 60 70
Число ближайших сфер, шт.
Рис. 11. Распределение по числу соседних сфер Fig. 11. Distribution of neighbouring spheres by number
ный подход позволил перейти к моделированию структуры сфер, близкой к реальной.
В результате применения ЛСА, как и в результате использования метода «перекатывающихся частиц», число ближайших соседних сфер для каждой сферы зависит от ее положения, ее размеров и размеров ближайших сфер. Расчетные эксперименты показали, что в среднем у каждой сферы расположено до 10-14 соседних сфер в зависимости от числа сфер (от 1000 до 100 000) и гистограммы их распределения.
Для одной из решенных полидисперсных задач с 50 000 сфер представлено распределение числа соседних сфер на рис. 11. Моделировался куб размерами 2*2*2 мм, с 50 000 сфер диаметром в диапазоне 10-110 мкм, с заданной величиной КЗО 65 %.
При исследовании решения задачи заполнения конечного объема сферами наблюдаются области с низким локальным КЗО ввиду близости к границам объема. На рис. 12 (см. вклейку) приведены результаты изменения КЗО при последовательном «удалении» этих областей вблизи границ объема, т.е. «отрезания» слоя заданной толщины от границы области. Помимо решения полидисперсной задачи с помощью ЛСА на рис. 12 представлен анализ решения монодисперсной задачи с равномерным распределением сфер диаметром ~60 мкм. Видно, что при регулярном закономерном расположении сфер в узлах гексагональной кристаллической решетки диаграмма изменения КЗО будет иметь циклический характер. Структуры, созданные с помощью ЛСА, показывают устойчивый КЗО при толщине отрезаемого слоя, превышающего средний диаметр ёср ~ 60 мкм, что свидетельствует о случайном,
хаотическом характере расположения сфер в получаемой структуре.
Для монодисперсной задачи алгоритм показывает КЗО с максимальным значением Хмакс. ~ 64 % и скорость расчета, значительно превышающую скорость расчета для массивов сфер с различными диаметрами [5, 6]. Для предельного случая бидис-персной задачи предполагается, что ЛСА позволяет получить КЗО, равное 87 %. Эта величина найдена из расчета, что множество сфер большего диаметра dL занимает максимально возможные для метода Хмакс. ~ 64 % объема, а множество сфер меньшего диаметра dS занимает Хмакс. ~ 64 % оставшихся 36 % (= 100 % - Хмакс.) объема. По этому принципу при равномерном распределении сфер с использованием гексагональной симметрии можно добиться предельной величины КЗО ~93 %. На практике эти результаты оказались труднодостижимы [7-9].
В данной работе для бидисперсных задач с 5000 сфер был проведен анализ чувствительности ЛСА к соотношениям диаметров сфер dL /dS и распределению долей «больших» PL и «малых» сфер PS = (100 % - PL). Результаты отображены на рис. 13 и 15 (см. вклейку) и показывают, что для достижения асимптотического решения, КЗО, равного 87 %, необходимо использовать соотношение диаметров dL /dS > 5.
На рис. 14 (см. вклейку) для различных марок ПСМ представлена сходимость ЛСА при приближении к предельному значению КЗО. Для каждой марки ПСМ была решена задача с 50 000 сфер. Как и на рис. 7, диаграммы обозначают ограничения численного метода для заданной гистограммы распределения микросфер по диаметрам. Число итераций/упругих столкновений, необходимых для создания модели структуры, стремится к бесконечности при приближении результата расчета алгоритма к предельной величине КЗО. Как и раньше, количество итераций/столкновений здесь является мерой расчетного времени.
Выводы
Conclusion
Реализованный численный алгоритм на основе алгоритма Любачевского - Стилинжера [5] позволил создать модель структуры СФП при случайном распределении ПСМ в конечном объеме с заданным КЗО и их реальной гистограммой. Имея модель структуры СФП и решения задач теории упругости о концентрации
Рис. 5. Равномерное распределение 900 сфер (а) и 46 208 сфер (б)
Fig. 5. Even distribution of 900 spheres (a) and 46 208 spheres (b)
Рис. 10. Распределение 1000 (а) и 50 000 (б) сфер в результате выполнения алгоритма Любачевского -Стилинжера
Fig. 10. Distribution of 1000 (a) and 50 000 (Ь) spheres yielded by Lyubachevsky-Stillinger algorithm
69.0%
О 68.5%
M
И 68.0%
67.5% 67.0% 66.5% 66.0% 65.5% 65.0%
распределение 50 000 сфер TTi-1 Д _ ТТгчтттттп;г1^тто»лпт1по
рас пределение 50 000 сфер \ - Полидисперсное пределение 100 000 сфер
рас
15
30 45 60 75 90 105 120 Толщина отрезаемого слоя, мкм
Рис. 12. Изменение коэффициента заполнения объема в зависимости от толщины «отрезаемого» слоя вблизи границы объема при решении методом Любачевского - Стилинжера полидисперсной и монодисперсной задач
Fig. 12. Volume content versus thickness of "cut-off" layer near the boundary of volume yielded by Lyubachevsky-Stillinger method for the monodispersion and the polydispersion problem
«отрезание» слоя
50 55 60 65 70 75 80
Pl
Рис. 13. Диаграмма, показывающая достигаемый коэффициент заполнения объема для бидисперсной структуры в зависимости от соотношения диаметров «больших» dL и «малых» ds микросфер и относительного содержания «больших» сфер PL
Fig. 13. Achieved volume content for bi-dispersion structure versus the ratio of diameters for "larger" dL and "smaller" ds microspheres and relative content of "larger" spheres PL
Рис. 14. Скорость числа упругих столкновений в процессе сжатия структуры из 50 000 сфер при использовании алгоритма Любачевского - Стилинжера для различных марок полых стеклянных микросфер
Fig. 14. The velocity of a number of elastic collision during the compression of a structure with 50 000 spheres yielded by Lyubachevsky-Stillinger algorithm for various brands of hollow glass microspheres
no
70%
'= l.E+ll =
©
" l.E+10
3
Ь
1 l.E+09
н
Ъ-
■ l.E+08
о H
~ l.E+07
l.E+06
60%
-Гистограмма МС-ВП-А9/20
-Гистограмма МС-ВП/Гр.5
-Гистограмма ПСМ [10]
----Монодисперсньте ПСМ
-Бшшсперсные ПСМ ( d, d-
-120
- 3.7, Pl-20% )
15. Распределение 5000 сфер результате выполнения алгоритма Любачевского - Стилинжера С aL/as =5,PL = 70 % (a), cL/os = 4,PL = 80 % (б)
Fig. 15. Distribution of 5000 spheres yielded by Lyubachevsky-Stillinger algorithm with aL/o = 5, P = 70 % (a), at/as = 4,PL = 80 % (b)
напряжений в среде с включениями [4], можно перейти к построению структурной модели материала. Реализация этой модели позволит исследовать процессы накопления повреждений в СФП вплоть до разрушения и определить направления повышения характеристик материалов такого типа.
Библиографический список
1. Shutov F.A. Syntactic polymer foams // Advances in Polymer Science. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1986. Vol. 73/74: Chromatography, foams, copolymers. P. 63-123.
2. Gupta N., Zeltmann S.E., Shunmugasamy V.C., Pini-setty D. Applications of polymer matrix syntactic foams // The Journal of The Minerals, Metals & Materials Society. 2014. Vol. 66(2). P. 245-254.
3. Ashrith H.S., Mrityunjay Doddamani, Vinayak Gaitonde. Effect of wall thickness and cutting parameters on drilling of glass microballoon/epoxy syntactic foam composites // Composite Structures. March 2019. Vol. 211. P. 318-336.
4. Федонюк Н.Н., Додонов П.А. Напряженное состояние изотропной среды со сферическими включениями при всестороннем сжатии // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Вып. 1(391). С. 64-75.
5. Lubachevsky B.D., Stillinger F.H. Geometric properties of random disk packings // J. Statistical Physics. 1990. Vol. 60. P. 561-583.
6. Torquato S., Stillinger F.H. Multiplicity of Generation, Selection, and Classification Procedures for Jammed Hard-Particle Packings // J. Phys. Chem. 2001. 105(47). 11849-11853.
7. Packing hyperspheres in high-dimensional Euclidean spaces / Skoge M., Donev A., Stillinger F.H., Torquato S. // Physical Review. 2006. Vol. 74. № 4. P. 041127. P. 1-11.
8. Torquato S. Random Heterogeneous Materials: Microstructure and Macroscopic Properties. NY: Springer, 2001. 703 с.
9. Kansal A.R., Torquato S., Stillinger F.H. Computer generation of dense polydisperse sphere packings // Journal of Chemical Physics. 2002. Vol. 117. № 18. P. 8212-8218.
10. Кржечковский П.Г., ПавлищевВ.И. Микромеханика разрушения неоднородной среды, армированной полыми стеклянными сферическими включениями, при всестороннем равномерном сжатии // Проблемы прочности. 1988. № 8. C. 92-97.
References
1. F.A. Shutov. Syntactic polymer foams // Advances in Polymer Science. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1986. Vol. 73/74: Chromatography, foams, copolymers. P. 63-123.
2. N. Gupta, S.E. Zeltmann, V.C. Shunmugasamy, D. Pini-setty. Applications of polymer matrix syntactic foams // The Journal of The Minerals, Metals & Materials Society. 2014. Vol. 66(2). P. 245-254.
3. H.S. Ashrith, Doddamani Mrityunjay, Gaitonde Vinayak. Effect of wall thickness and cutting parameters on drilling of glass microballoon/epoxy syntactic foam composites // Composite Structures. March 2019. Vol. 211. P. 318-336.
4. N. Fedonyuk, P. Dodonov. Stressed state of isotropic medium with spherical inclusions under omnidirectional pressure // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020. Vol. 1(391). P. 64-75 (in Russian).
5. B.D. Lubachevsky, F.H. Stillinger. Geometric properties of random disk packings // J. Statistical Physics. 1990. Vol. 60. P. 561-583.
6. S. Torquato, F.H. Stillinger. Multiplicity of Generation, Selection, and Classification Procedures for Jammed Hard-Particle Packings // J. Phys. Chem. 2001. 105(47). 11849-11853.
7. Packing hyperspheres in high-dimensional Euclidean spaces / M. Skoge, A. Donev, F.H. Stillinger, S. Torquato // Physical Review. 2006. Vol. 74. № 4. P. 041127. P. 1-11.
8. S. Torquato. Random Heterogeneous Materials: Microstructure and Macroscopic Properties. NY: Springer, 2001. 703 p.
9. A.R. Kansal, S. Torquato, F.H. Stillinger. Computer generation of dense polydisperse sphere packings // Journal of Chemical Physics. 2002. Vol. 117. № 18. P. 8212-8218.
10. P. Krzhechkovsky, V. Pavlischev. Micromechanics of fracture of a non-uniform medium reinforced by hollow spherical inclusions in uniform volumetric compression // Strength of Materials. 1988. No. 8. P. 92-97 (in Russian).
Сведения об авторах
Федонюк Николай Николаевич, к.т.н., начальник лаборатории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (921) 928-57-39. E-mail: fednik46@yahoo.com.
Додонов Павел Анатольевич, инженер 1 категории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Москов-
ское шоссе, 44. Тел.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@gmail.com.
About the authors
Nikolay N. Fedonyuk, Cand. Sci. (Eng.), Head of Laboratory, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskov-
skoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (921) 928-57-39. E-mail: fednik46@yahoo.com. Pavel A. Dodonov, Engineer 1st Category, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@gmail.com.
Поступила / Received: 17.01.20 Принята в печать / Accepted: 03.06.20 © Федонюк Н.Н., Додонов П.А., 2020
