Напряженное состояние изотропной среды со сферическими включениями при всестороннем сжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-391-64-75 УДК 678.7:678.019

Н.Н. Федонюк, П.А. Додонов

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ ПРИ ВСЕСТОРОННЕМ СЖАТИИ

Объект исследования и цель научной работы. Объектом исследования является полимерный композиционный материал (ПКМ) типа сферопластика, представляющий собой гетерогенную среду, состоящую из полимерной матрицы, наполненной сферическими включениями - микросферами. Основная цель работы заключается в разработке математического аппарата для определения концентрации напряжений, создаваемой в среде сферическими включениями, и построения на следующем этапе структурной модели деформирования и разрушения материалов такого типа при гидростатическом сжатии.

Материалы и методы. Исходными данными для исследований являлись состав и структура ПКМ и характеристики их компонентов: полимерной матрицы и стеклянных микросфер. Решение поставленной задачи проводилось с использованием методов линейной теории упругости.

Основные результаты. Решены задачи теории упругости о концентрации напряжений в бесконечной среде с двумя двухслойными сферическими включениями с разными геометрическими и физико-механическими характеристиками их слоев, и с одним двухслойным сферическим включением, находящимся вблизи границы среды. На базе созданного математического аппарата разработан вычислительный алгоритм, который реализован в программном коде на языке С++. Проведены расчеты концентрации напряжений в матрице с микросферами в сравнении с расчетами по МКЭ. Сопоставление результатов этих расчетов показало, что они практически полностью согласуются между собой. Заключение. Проведенные теоретические исследования показали, что разработанный математический аппарат обладает высокой вычислительной эффективностью и может быть использован для построения структурной модели деформирования и разрушения гетерогенных материалов типа сферопластиков при действии гидростатического давления. Ключевые слова: сферопластик, матрица, микросферы, среда, сферические включения, концентрация напряжений, теория упругости, вычислительный алгоритм. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-391-64-75 UDC 678.7:678.019

N. Fedonyuk, P. Dodonov

Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

STRESSED STATE OF ISOTROPIC MEDIUM WITH SPHERICAL INCLUSIONS UNDER OMNIDIRECTIONAL PRESSURE

Object and purpose of research. This study investigates polymeric composite material syntactic foam consisting of a polymeric matrix filled with glass microspheres. The main purpose of this study is to develop mathematical apparatus for calculation of stress concentrations generated in the medium by these spherical inclusions, thus paving the way to developing, at the next stage, a structured model for straining and failure of these materials due to hydrostatic compression. Materials and methods. The inputs for these studies were composition and structure of polymeric composites, as well as the properties of their components, i.e. polymeric matrix and glass microspheres. This task was accomplished as per linear elasticity theory methods.

Для цитирования: Федонюк Н.Н., Додонов П.А. Напряженное состояние изотропной среды со сферическими включениями при всестороннем сжатии. Труды Крыловского государственного научного центра. 2020; 1(391): 64-75. For citations: Fedonyuk N., Dodonov P. Stressed state of isotropic medium with spherical inclusions under omnidirectional pressure. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; 1(391): 64-75 (in Russian).

Main results. This work solved the problems of elasticity theory about stress concentration in the infinite medium with two spherical inclusions consisting of two layers with different geometry and physical & mechanical properties, and with one spherical inclusion (also double-layered) near the boundary of the medium. The mathematical apparatus developed in this study made it possible to create a calculation algorithm written in C++ language. Calculation results for stress concentration in the matrix with microspheres have been compared with FE calculation data and turned out to be in practically perfect correlation with them.

Conclusion. These theoretical studies have shown that the mathematical apparatus suggested in this paper is a very powerful calculation tool that can be used to develop a structured model of straining and failure for heterogeneous materials (syntactic foam) under hydrostatic pressure.

Keywords: syntactic foam, environment, matrix, microspheres, stress concentration, elasticity theory, calculation algorithm.

Authors declare lack of the possible conflicts of interests.

Введение

Introduction

Для создания положительной плавучести глубоководной техники широко применяется полимерный композиционный материал - сферопластик (СФП) с плотностью ниже плотности воды, представляющий собой полимерное связующее, играющее роль матрицы, в которой с высокой степенью наполнения расположены стеклянные микросферы диаметром 20-150 мкм. Основной проблемой в создании таких материалов является максимальное снижение плотности, и, следовательно, наибольшее увеличение силы плавучести. При этом их прочность при всестороннем сжатии гидростатическим давлением, водостойкость и объемная сжимаемость должны удовлетворять требованиям, обеспечивающим безопасную эксплуатацию элементов плавучести из этих материалов на заданных глубинах.

С позиций механики гетерогенных материалов СФП можно представить в виде изотропной среды, какой является полимерная матрица, которая армирована сферическими включениями - микросферами. К этому типу материалов можно отнести и композитный легковесный заполнитель, в котором роль среды играет СФП, а сферических включений - макросферы диаметром 50-100 мм из керамики.

Разработка таких материалов заключается в поиске среды и включений, обладающих требуемыми характеристиками, и в определении оптимальной структуры материала для обеспечения выполнения заданных требований, что невозможно без знания процессов, происходящих в них в условиях действия гидростатического давления высокого уровня. Одним из путей расширения представлений о материалах типа СФП является численное моделирование процессов деформирования, накопления

* За рубежом этот материал называется syntactic foam (синтактик).

повреждений и разрушения в них на базе структурных моделей. Построение таких моделей основывается на решении задач о концентрации напряжений в среде с включениями, которые находятся во взаимодействии друг с другом и границами среды. Учитывая, что при реализации структурной модели деформирования и разрушения СФП придется «обсчитывать» каждое включение, количество которых исчисляется тысячами, решение этих задач желательно получить в виде, позволяющем существенно сократить время счета. Таким образом, становится очевидным необходимость проведения исследований, направленных на решение задачи о взаимодействии сферических включений между собой и с границей в изотропной среде.

В качестве физической модели материала типа СФП рассматриваем среду, в которой хаотически расположены сферические включения разного диаметра (рис. 1). В этой модели можно выделить два базовых случая: включение находится вблизи границы среды; два включения расположены рядом вдалеке от границы. К каждому включению прилегает слой среды со своими характеристиками, в то время как остальная часть среды с включениями может быть заменена некоторой гомогенной средой с эффективными характеристиками, являющимися результатом осреднения свойств среды и включений с помощью тех или иных методов, например Фойгта -Рейсса, Хашина - Штрикмана, самосогласования и др. [1-3]. Имея решения двух базовых задач теории упругости в линейной постановке, можно затем воспользоваться принципом суперпозиции и с его помощью учесть влияние на каждое включение соседних включений и границы среды.

Решение задачи о сферической полости, расположенной в полубесконечной среде, получено в [4, 5]. На сферическое включение это решение распространено в [6]. Системы двух и более сферических включений одинакового диаметра, расположенных по одной оси в бесконечном пространстве,

Среда

с эффективными арактеристиками

¡ерические включения

Матрица

Рис. 1. Структура композиционного материала типа «сферопластик» и его физическая модель

Fig. 1. Structure and physical model of syntactic foam

_l__l_ .i—i__l_ _i ._ jl _l__i__1__jl _

P

тттгптгпт

f z

Рис. 2. Расчетная схема задачи и введенные системы координат (радиусы r0k - внутренние радиусы

внутренних слоев i = 1 двухслойных включений,

kk радиусы r1k - границы слоев, радиусы r2k - границы

внешних слоев i = 2 и среды i = 3)

Fig. 2. Analytical layout of the problem and coordinate systems (radii r0k - inner radii of inner layers i = 1 of double-layered inclusions, radii r1k - boundaries of layers, radii r2k -boundaries of outer layers i = 2 and medium i = 3)

рассмотрены в [7-9]. Задача о напряженном состоянии бесконечной среды с периодической системой сферических включений одинакового диаметра решена в [10] при заданных на бесконечности средних деформациях. Для сферических полостей разного диаметра решение получено в [11], где рассматривается осесимметричная деформация двух полостей, расположенных в бесконечной упругой среде, при осевом сжатии.

Несколько работ в этой области рассматривают множественные полости или включения в неограниченном упругом твердом теле. Метод комплексных переменных для решения проблемы множественных взаимодействующих круговых включений или полостей был использован в [12]. Векторный подход сферических гармоник для анализа упругих полей и эффективных модулей множественных взаимодействующих сферических включений был исследован в [13]. Для полученных решений влияние близости границы не было учтено. Исследование механики поверхностей разделов сред для кругового включения вблизи полуплоскости с использованием потенциала Папковича -Нейбера было проведено в работе [14], где были рассмотрены случаи одноосного растяжения при гидростатическом деформировании во включении.

В настоящей работе рассматриваются два двухслойных сферических включения разного диаметра, и, в общем случае, с разными характеристиками материалов их слоев, расположенных в бесконечном пространстве, находящемся в поле всестороннего сжатия под действием гидростатического давления. На внутренних поверхностях включений действует также давление разной интенсивности. Решение задачи проводится в линейной постановке. В соответствии со структурой исследуемого материала считаем, что как слои включения, так и сама среда являются изотропными в отношении своих упругих и прочностных свойств.

Исходные уравнения и граничные условия

Initial equations and boundary conditions

Введем местные: цилиндрическую rk, 9k, zk и сферическую Rk, фк, 9k (k = B, H) системы координат, связанные с центром каждого включения, и общую цилиндрическую систему координат r, 9, z, координатная плоскость которой z = 0 является плоскостью симметрии между центрами включений (рис. 2). Эта плоскость делит бесконечное пространство на два полупространства, в каждом из

B

которых расположено одно включение. Условия жесткой связи этих полупространств на границе г = 0 будут рассмотрены ниже. Если предположить, что связи нет, и на границу действует давление р, то исходная задача переходит в частный случай -задачу о концентрации напряжений около одного двухслойного включения, расположенного вблизи границы в полубесконечной среде.

Связь между цилиндрическими системами координат устанавливается следующими соотношениями:

9k = 9, rk — r, zB — z - h, zH =-z + h.

(1)

Или, введя безразмерные координаты r = r/h, z = z/h и учитывая осесимметричность задачи, можно (1) переписать к виду

rk — r, ~zB — z-

1,

th

— - z +1.

(2)

Предполагая, что между слоями включений и между включениями и средой имеет место абсолютно жесткое соединение, запишем следующие граничные условия: при К = 70к

ДО) _

J RR

= - Pk, °

* (1) Rq

при R — rk

k (i) = - k (i+1) _k (i) = _ k (¿+1).

J RR = ° RR

k(¿) _ uk(i+l) nk(i) = nk(i+1).

Ur — UR

(i —1,2; k — B, H)

u$ _ мф

(3)

grad div и + (1 - 2 v) au — 0.

Общее решение системы (5) для осесимметрич-ного случая может быть представлено, согласно [15], в форме Папковича - Нейбера:

20й = 4(1 - v)у3ez - grad(гу3 + у0),

или, переходя к скалярной форме, можно записать: ■ в цилиндрической системе координат:

2Gur — ^ + zd V з

dr dr

2Guz — ^ + - (3 - 4v)¥3; dz dz

в сферической системе координат:

2Gur — dV0 + R cos ф ^^ - (3 - 4v)v3cos ф0,

(6)

2Gum —

dR dR

1 dv0 dV3 „ „

--—+cos ф —113+(3 - 4v)y 3 sin ф,

R d ф d ф

(7)

где R = R/h, ф - безразмерные координаты местной сферической системы с началом в центре каждого включения.

В соответствии со схемой нагружения (рис. 2) граничные условия на бесконечности при r ^ да и z ^ ±да будут иметь вид

аZz(3) = аk!3 =-р, О™ = 0. (4)

Записав для каждого элемента структуры геометрические зависимости, физические соотношения закона Гука и уравнения равновесия линейной теории упругости, можно получить полную систему уравнений, которая известным путем преобразуется к стандартной системе уравнений в перемещениях. В векторной форме она может быть записана следующим образом [15]:

где - гармоническии скаляр; - произвольная гармоническая функция, v - коэффициент Пуассона.

Найдя у0, у3 с учетом удовлетворения граничных условии (3), (4), можно определить с помощью (6), (7) перемещения, и затем, из геометрических и физических соотношений теории упругости, все компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС), тем самым получив искомое решение задачи.

Построение общего решения для среды с двумя включениями

Obtaining a generic solution for a medium with two inclusions

Представим в каждом полупространстве (к = B, H) среды (i = 3) вектор перемещений U и тензор напряжений (S) в виде разложений на однородное поле гидростатического сжатия и возмущенное состояние, вызванное наличием включений

u k (3) — u¥(3) + йк(3);

Sk (3) — ( Sk (3))» + (Sk (3))v.

(8)

Очевидно, что «¥(3) = (3) и (3))„ = (£н(3))„.

Согласно [4, 15] однородное напряженное состояние описывается следующими гармоническими функциями:

(5) (V0(3))¥— ô03)R2ад, (VD» — RW, (9)

k(3)) — Q (3) R

Ш

(3)

где Q3) =

(3) = 1 - 2 V - ,(3)

Ö3(3)

3 p

Pn(\i) -

1 + \K3> ' ~" 2(1 + v(3)}; функции Лежандра первого рода n-ого порядка, ц = cos ф.

С учетом (9) и (6) компоненты вектора перемещений и тензора напряжений однородного поля будут определяться в цилиндрической системе координат по формулам

о= о=- p ок(3) = 0-

^ ГГ¥ -Г' ^ rz '

u

k(3) = ,

1 - 2V(3) - uk(3) =-

(3)

(10)

E

(3)

-rp, u

E

(3)

-z p.

(3)

¥ 0v = P

s AkmR

m=0

3 R -(m+1)Pm (ц) +

/1 XXzk r

(3)

¥3v ) = P

+ Jx3 (X) J o(^r )e-Xz3d X

0

¥ _

S BkmR-(m+1)Pm (Ц) +

m=0 ¥

+ J Xx2(X) J0(Xr")e-Xz3dX

(12)

R-(m+1)Pm(ц) = (-m— J XmJ0(Xr)eXz3dX

m!

функции (12) могут быть преобразованы к виду

„,3 (3)

¥ = P

¥ (-1)m ¥

s Akm ^f- jX mJ 0(Xr )e XZ3d X +

m=0 m! 0

¥

+ jxf( X) J 0(Xr )e-Xz3d X

(13)

¥ = P

s Bm

m=0

(-1)m

•JX mJ 0(Xr )e Xz3d X

j xx2(x)j0(Xr)e-Xz3dx

Для определения неизвестных функций Х1 (X), хЛХ) сформулируем условия сопряжения двух полупространств по плоскости I = 0. Из условия неразрывности деформаций и напряжений на поверхности I = 0 с учетом введенных систем координат можно записать

,,и

1= ur

и

Из выражений (10) видно, что граничные условия на бесконечности (4) удовлетворяются. Тогда из (8) следует, что компоненты возмущенного напряженного состояния на бесконечности при г ^ да и I ^ ±да должны быть равны ик(з) = о, = о. (11)

Для обеспечения выполнения условий (11) выбираем гармонические функции, описывающие возмущенное состояние, в виде [16]:

„B I _ Hi B I _ И I

0zz \z =0 = 0zz \z =0, 0rz \z =0 = 0rz \z =0

(14)

Предполагая, что в однородном состоянии при действии давления р плоскость I = 0 остается неподвижной, мы должны на перемещения точек каждого полупространства в направлении оси I наложить

1 - 2 V':3) б

перемещения и г =--—— р как абсолютно твер-

Е(3)

дого тела, которые следуют из (10) при I = -1, взятые с обратным знаком. Тогда, например, для и/(3) выражение (8) перепишется к следующему виду:

uk <3) = ukf> + uz¥3)

1 - 2v

(3)

E(3)

Аналогичным образом могут быть записаны другие выражения (8) с учетом (10), что позволяет представить условия сопряжения полупространств (14) при I = 0 в ином виде:

где Атк, Втк, хДХ), Х2к(Х) - соответственно, неизвестные коэффициенты и функции, определяемые из граничных условий (к = В, Н); J„(Xr) - модифицированные функции Бесселя первого рода порядка „ [17].

С помощью преобразования Ханкеля [18]

(-1)

uB,(3) =-uH(3); uB,(3) = uH(3);

B(3) = 0И(3). 0B(3) _-0И(3)

(15)

= -Or

Подставляя (1-) в (6) и затем в соответствующие геометрические и физические соотношения теории упругости и подчиняя выражения компонентов вектора перемещений и тензора напряжений условиям (15), получим систему уравнений для определения неизвестных функций, разрешая которую, применяя обращение Ханкеля [18], найдем

х3 (X ) = s

(-1)m

m=0 m!

-Xme-2X (Alm - 2Blm);

(16)

x2(X)=

¥ (-1)m

s Xm-1e-2XBlm, (3, l = B, И ; 3 ^ l)

m=0

0

Из (16) следует, что если включения одинаковы по своим геометрическим и упругим характеристикам, т.е. система симметрична относительно плоскости I = 0, то очевидно, что АтВ = Атн и Втв = Втн. В результате приходим к двум уравнениям, которые полностью совпадают с аналогичными уравнениями, полученными в [9] для системы двух одинаковых сфер, расположенных в бесконечном пространстве.

Используя известные соотношения между цилиндрическими и сферическими функциями [17], преобразуем (13) к сферической системе координат:

¥ Г = Р s ( AknR+ a knRn ) Pn (m);

n=0

(17)

¥r=ps да-(n+1)+ßnRn )Pn (m)

n=0

oo oo

где an = s Гn,m (A - 2Blm ); ßkn = — s Гn^L

m=0 m=0

(k, l = B, H ; k ^ l); (—1)n+m ¥

Гn m = (—) . j Xn+me—2XdX - гамма-функция [17].

n !m !

0

¥0(i) = Р s (Con)Rn+1 Pn+i (m)+Dn)R—(n+1)Pn (m));

ских уравнении для определения неизвестных ко

к г) к

эффициентов An, Bn

p = 0,3; i = 1, 2):

[ A]{X} = {B},

Cpnk(i), DpnKi) (k = B, H;

(19)

где [А] - блочная матрица коэффициентов системы размером 20(Ж+1)*20(Ж+1), имеющая вид

"[ А!]

[ A] =

[ A

[Al ] = [aj ] - матрицы размером

_[ A20] (M+1)*20(N+1);

(i = m + 1, j = n + (k — 1)N + k; l, k = 120, n = 0N,

m = 0, M ; N = M ® то);

{X} = {xj}- вектор неизвестных системы мерности 20(N+1);

r = CB(1) r = CB(2)

xn+1~ ^0n ' Xn+N+2 _ 0n '

r = AH x = BH.

n+18N+19 _ An ' n+19N+20 _ Dn '

X = DB(1) n+2 N+3~LJ0n '•••'

Подставляя (17) в (7) и затем в геометрические и физические соотношения теории упругости, можно найти все искомые компоненты возмущенного напряженно-деформированного состояния среды в сферической системе координат.

Напряженно-деформированное состояние слоев сферических включений опишем следующими гармоническими функциями, которые являются линейной комбинацией решений внешней и внутренней задач теории упругости [16]:

{В} = {{В1}, {В2}, ..., {В}, {В20}}- блок-вектор свободных членов системы мерности 20(М+1), содержащий компоненты внутренних рк (к = В, Н) и внешнего р силовых полей, {Вг} = {Ь,1}.

Решая систему (19) с помощью численных методов, можно определить коэффициенты С(

B(1)

B(2)

(18)

ОО ___

¥3) = Р2 (СзП)+ 0кП)Я-(п+1)Рп(ю).

п=0

Имея (18), можно с использованием (7) и известных соотношений теории упругости найти все компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в слоях включений.

Зная выражения для компонент вектора перемещений и тензора напряжений в слоях включений и среде, можно подчинить их граничным условиям (3). В результате, используя свойство ортогональности многочленов Лежандра [17], получим следующую систему линейных алгебраиче-

Сои"-', ..., ВИ', и затем, используя полученные здесь выражения и известные геометрические и физические соотношения теории упругости, вычислить искомые компоненты НДС включений и среды, подверженной гидростатическому сжатию.

Построение решения для среды с одним включением

Obtaining a solution for a medium with one inclusion

Для получения искомого решения можно взять только полупространство z > 0 (рис. 2). Совмещая общую и местную системы координат в центре включения Z = z, запишем для границы полупространства z = -1 как для свободной поверхности, на которую действует гидростатическое давление, следующие условия при z = -1:

а $ =- р, о(г? = 0.

Здесь и далее верхний индекс «В» опускаем.

(20)

Условия (20) с учетом (8) и (11) можно переписать к виду

т(3) I' ZZV \z =-1

= 0, 0(rZVlz=-1 = 0

(21)

Граничные условия на поверхностях контакта слоев включения и включения и среды (3) останутся без изменения.

Используя тот же набор гармонических функций уоД УэЯ (12) и уо(°, ¥э(° (' = 1, 2) (18) можно получить на основе разработанного подхода аналогичные зависимости и уравнения, за исключением системы уравнений для определения функций Х)(Х) в (12) и окончательной системы алгебраических уравнений. Это связано с необходимостью подчинения компонент НДС возмущенного состояния среды другим условиям на границе (21) в отличие от условий (15). В результате получаем следующие уравнения для определения неизвестных функций

Xi (X) = S

(-1)"

-Xm-1e-2X x

"=0 m!

X{х(3 - 4v(3) - 2X)A" - 2 [2(1 - V(3))(1 - 2v(3)) - X2 ] Bm };

(22)

X2(X

¥ / i\m

(-1) 1 m-1 -2X S-X e x

=о т!

х{2ХАт -(3-4v(3) + 2Х)Вт}.

В этом случае выражения для гармонических функций возмущенного состояния у0„(3), у3„(3 (17) будут иметь такой же вид, однако входящие в них коэффициенты ап и рп будут определяться по другим формулам:

а п =

¥ (г- -|

S {[(3 - 4v(3))r„," + 2(m +1)Г„,m ] A" +

m=0

+ 2

_(1 - v(3))(1 - 2v(3))rn,m-1 - (m + 1)Гn,m+1

в"

(23)

A +

n,m+1 m

вп = S{2(m + 1)Г

m=0

+ [(3 - 4v(3))rn,m - 2(m + 1)Гn,m+1 ]B

(-1)......

где, как и раньше, Г п

п !m !

jX

n+me-2X d X.

Используя зависимости и уравнения, полученные для среды с двумя включениями, и выражения

(22), (23), разрешающая система алгебраических уравнений, найденная тем же способом, будет иметь аналогичный вид:

[ A]{X} = {B}.

(24)

Однако здесь, в (24) в отличие от (19): [А] - блочная матрица коэффициентов системы размером 10(М+1)*10(М+1), где каждая матрица [А] = [а/], входящая в блок, имеет размер (М+1)х10(Л/+1),

(I = т +1, ] = п + (к - 1)Ы + к; I, к = 1,10, п =

m = 0, M ; N = M ® то);

{X} - вектор неизвестных системы мерности 10(N+1);

{B} - блок-вектор свободных членов системы мерности 10(М+1), содержащий, в отличие от [6], не только интенсивность р внешнего давления, но и параметр рВ, который является интенсивностью давления, действующего внутри включения.

Для решения систем уравнений (19), (24) был использован точный алгоритм LUP-разло-жения, оригинальная форма которого была предложена в работе [19]. Такое разложение осуществимо для любой невырожденной матрицы и при этом обладает высокой вычислительной устойчивостью.

На основании приведенных выше зависимостей и уравнений был разработан численный алгоритм определения НДС для задач с одним включением в полупространстве и с двумя включениями в бесконечной среде. Полученный алгоритм был реализован в программном коде на языке С++. Такой язык программирования был выбран ввиду высокой требовательности к производительности алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности 20(N+1). Численные исследования показали, что сходимость решения в концентраторах напряжений, создаваемых включениями, происходит при N > 20.

Результаты расчетов концентрации напряжений в среде с включениями

Stress calculation results for a medium with inclusions

В качестве примеров, иллюстрирующих возможности разработанного алгоритма, приведем ре-

0

Рис. 3. Распределения меридиональных нормальных напряжений афф в зависимости от угла ф (отсчет ведется от верхнего полюса сферы):

а) на внутренней поверхности сферы (r = r0);

б) в матрице (r = ri) (рис. 2)

Fig. 3. Distributions of meridional normal stresses стфф depending on angle ф as counted from the upper pole of the sphere:

a) on the inner surface of the sphere (r = r0);

b) in the matrix (r = r1) (Fig. 2)

o? фЫ/p 0 -5 -10 -15 -20 -25 0

o? ?(rl)/p 0

-0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3

30

60

90

120

150

a)

?o б)

Аналитическое

решение ---ANSYS

30

60

90

120

150

0

o

зультаты расчетов НДС среды с одним и двумя сферическими включениями, роль которых выполняют стеклянные микросферы. Среда находится в условиях всестороннего гидростатического сжатия. Размеры микросфер, толщина их стенки и слоя полимерной матрицы вокруг микросфер, а также расположение в среде соответствуют реальной структуре СФП при коэффициенте заполнения объема ку = 0,6. Упругие характеристики стекла и полимерной матрицы были приняты следующими:

■ для стекла - Ес = 65 ГПа, ус = 0,2;

■ для полимерной матрицы - Ет = 4,8 ГПа, ут = 0,38,

где Ес, Ет - модули нормальной упругости; ус, ут - коэффициенты Пуассона.

Эти значения также соответствовали реальным характеристикам материалов, применяемых в СФП.

В первом примере рассматривается микросфера, расположенная очень близко к границе среды. Эффективные характеристики среды, состоящей из матрицы, плотно заполненной микросферами с ку = 0,6, определялись методом самосогласования и были равны Е = 2,99 ГПа, V = 0,363.

Результаты расчетов показаны на рис. 3 в сравнении с расчетами, выполненными МКЭ с помощью программного комплекса А№У8. Конечно-элементное моделирование среды с включениями подробно рассмотрено в [20].

Из представленных результатов видно, максимальные напряжения сфф в микросфере (здесь

Рис. 4. Распределения меридиональных нормальных напряжений стфф в зависимости от угла ф (для верхней сферы отсчет ведется от ее верхнего полюса, для нижней - от ее нижнего полюса): а) на внутренней поверхности сфер (r = r0); б) в матрице (r = r1)

Fig. 4. Distributions of meridional normal stresses стфф depending on angle ф (counted from the upper pole for the upper sphere and vice versa):

a) on the inner surface of the sphere (r = r0);

b) in the matrix (r = r1)

o? фЫ/Р -10 -12 -14 -16 -18 -20 0

o? ?(r¡)/p -1,5 -1,7 -1,9 -2,1 -2,3

а)

\\ - -

dB = 50

dH = 100

/1

30

60

90

120

150

ф" б)

---- \ N

dB = 50

dH = 100 /1 J

30

60

90

120

150

0

o

- Аналитическое

решение ----ANSYS

r0/h = 0,9 r0/h = 0,5

amm G,

a/p -1,3 -1,6 -1,9 -2,2

mm "mm 'ее----aee -2,5

____ ---^

---

N \ \ \

^ \ \ \ \ \ \ \

\\ \\ \\

Рис. 5. Распределения меридиональных афф и окружных аее нормальных напряжений на поверхности полостей при r = r0 в зависимости от угла ф

Fig. 5. Distributions of meridional стфф and circumferential став normal stresses on the surface of cavities at r = r0 depending on ф angle

30

60

90

120

150

0

o

и далее все размеры даны в мкм) возникают на ее внутренней поверхности вблизи границы среды при ф = 150°-170°, а напряжения в матрице -в районе, наиболее близко расположенном к границе среды, т.е. при ф = 180°. Также можно видеть, что два решения - аналитическое, с использованием разработанного здесь алгоритма, и конечно-элементное - дают практически одинаковые результаты.

Второй пример посвящен определению НДС среды с двумя близко расположенными микросферами разного диаметра (рис. 4). Характеристики микросфер, матрицы и среды приняты такими же, как и в первом примере.

Проведенные расчеты показывают, что наиболее напряженной является большая сфера, и малая сфера практически не оказывает на нее влияния, за исключением района, где их стенки находятся наиболее близко друг к другу, т.е. при ф ~ 180°. В этом районе напряжения в малой сфере возрастают, в то время как в большой - уменьшаются. Аналогичный характер имеют распределения напряжений сфф в матрице вблизи ее контакта с микросферами.

В этом примере так же, как и в предыдущем, наблюдается практически полное соответствие между результатами расчетов, сделанными с использованием разработанного алгоритма и полученными с помощью А^У8.

Проведенные расчеты также показали, что вычислительная эффективность разработанного алгоритма выше, т.к. требуется значительно меньшее время, затрачиваемое на счет (включая затраты на подготовку исходных данных) по сравнению с МКЭ.

Взаимное влияние концентраторов напряжений наиболее наглядно видно на примере двух сферических полостей, расположенных в бесконечной среде на разном расстоянии друг от друга (рис. 5). Из теории упругости известно, что независимо от диаметра единичной сферической полости коэффициент концентрации напряжений всегда будет равен c/p = 1,5 [21]. При наличии второй полости коэффициент концентрации напряжений может измениться незначительно, если расстояние между двумя полостями относительно большое (r0/h = 0,5). При сближении полостей напряжения на поверхности полости возрастают, и при r0/h = 0,9 коэффициент концентрации напряжений становится равным c/p = 2,5 в зоне ф = 180°. Дальнейшее уменьшение расстояния между полостями приводит к еще большему увеличению напряжений сфф, Gee в полости, и, следовательно, к росту концентрации напряжений. Аналогичная картина наблюдается при сближении сферической полости с границей среды.

Заключение

Conclusion

Решена задача теории упругости о концентрации напряжений в изотропной бесконечной среде, находящейся в поле гидростатического сжатия, с двумя двухслойными сферическими включениями с разными геометрическими и физико-механическими характеристиками слоев. В частном случае из решения этой задачи получено решение для полубесконечной среды с одним двухслойным сферическим включением, находящимся вблизи границы среды. На базе созданного

математического аппарата разработан вычислительный алгоритм, который реализован в программном коде на языке С++. Результаты расчетов напряженно-деформированного состояния среды со сферическими включениями типа стеклянных микросфер с помощью этого алгоритма хорошо согласуются с результатами расчетов по МКЭ с использованием программного комплекса ANSYS. При этом по сравнению с МКЭ вычислительная эффективность разработанного алгоритма значительно выше. Обобщая изложенное, можно заключить, что в результате проведенных исследований создана теоретическая база для построения структурной модели деформирования и разрушения гетерогенных материалов типа сферопластиков при действии гидростатического давления.

Библиографический список

1. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. Москва: Мир, 1982. 334 с.

2. Hill R. Elastic Properties of Reinforced Solids: Some Theoretical Principles // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. Vol. 11. № 5. P. 357-372.

3. Хашин З. Упругие модули неоднородных материалов // Труды Американского общества инженеров-механиков. Серия Е: Прикладная механика. 1962. Т. 29. №. 1. С. 159-167.

4. Чанкветадзе Г.Г. Упругое полупространство со сферической полостью // Инженерный сборник. 1955. Т. XXII. С. 65-73.

5. Головченко Ю.Б. Концентрация в полубесконечной среде с полостью // Динамика и прочность судовых машин: сб. научных трудов. Николаев: НКИ, 1983. С. 104-114.

6. Головченко Ю.Б. Напряженное состояние системы «шаровое включение - матрица», спаянных по поверхности контакта // Технология судостроения и сварочного производства: сб. научных трудов. Николаев: НКИ, 1984. С. 20-28.

7. Вольперт В. С., Олегин И.П. Осесимметричное напряженное состояние пространства, содержащего систему сферических полостей или включений / Новосиб. ин-т инж. ж.-д. транспорта. Новосибирск, 1977. 19 с. Деп. в ВИНИТИ №3266-77.

8. Олегин И.П. Пространственное напряженное состояние бесконечного тела, содержащего одноперио-дическую систему жестких включений // Механика деформируемого тела и расчет транспортных со-

оружений: сб. научных трудов. Новосибирск: НИЖТ, 1980. С. 67-74.

9. Головченко Ю.Б. Напряженное состояние окрестности двух сферических оболочек, не имеющих адгезионных связей с упругой матрицей // Строительная механика корабля: сб. научных трудов. Николаев: НКИ, 1984. C. 86-94.

10. Кущ В.И. Упругое равновесие среды, содержащей периодически расположенные сферические включения // Прикладная механика. 1985. Т. 21. № 5. С. 18-27.

11. Калинин А.А., Федосеев Г.Н., Шмидт М.П. Сжатие упругого изотропного пространства с двумя сферическими полостями. [Витебск], 1981. 12 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1864-81.

12. Mogilevskaya S.G., Crouch S.L., Stolarski H.K. Multiple interacting circular nano-inhomogeneities with surface/interface effects // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2008. Vol. 56. № 6. P. 2298-2327.

13. Elastic interaction of spherical nanoinhomogeneities with Gurtin-Murdoch type interfaces /Kushch V.I., Mo-gilevskaya S.G., Stolarski H.K., Crouch S.L. // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2011. Vol. 59. № 9. P. 1702-1716.

14. Avazmohammadi R., Yang F., Abbasion S. Effect of interface stresses on the elastic deformation of an elastic half-plane containing an elastic inclusion // International Journal of Solids and Structures 2009. Vol. 46. № 14-15. P. 2897-2906.

15. Лурье А.И. Теория упругости. Москва: Наука, 1970. 939 с.

16. Tsuchida E., Nakahara I. Stresses in a semi - infinite bogy subjected to pressure on the surface of a cavity and plane boundary // Bulletin of JSME. 1972. Vol. 15. № 79. P. 1-10.

17. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции: [В 3 т.]. Москва: Наука, 1965-1967. (Справочная математическая б-ка).

18. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. 2-е изд., доп. Ленинград: Наука, 1967. 402 с.

19. Banachiewicz T. Méthode de résolution numérique des équations linéaires, du calcul des déterminants et des inverses, et de réduction des formes quadratiques // Bulletin Intern. Acad. Polonaise. Serie A: Sci.Math. 1938. P. 393-401.

20. Исследование влияния характеристик и взаимного расположения полых сферических включений на напряженное состояние среды / Берденников Н.С., ДодоновП.А., ЗадумовА.В., ФедонюкН.Н. // Труды

Крыловского государственного научного центра. 2020. Спец. выпуск № 1. C. 101-107.

21. Хан Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения. Москва: Мир, 1988. 343 с.

References

1. R. Christensen. Mechanics of Composite Materials. Moscow: Mir, 1982. 336 p. (Russian translation).

2. R. Hill. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. Vol. 11. № 5. P. 357-372.

3. Z. Hashin. The elastic moduli of heterogeneous materials // Transactions of ASME, Series E: Applied Mechanics. 1962. Vol. 29. No. 1. P. 159-167.

4. G. Chankvetadze. Elastic semi-space with a spherical cavity // Inzhenerny Sbornik (Engineering Compendium). 1955. Vol. 22. P. 65-73 (in Russian).

5. Yu. Golovchenko. Concentration in semi-infinite medium with cavity // Dynamics and strength of ship machinery: Compendium of papers. Nikolaev Shipbuilding Institute, 1983. P. 104-114 (in Russian).

6. Yu. Golovchenko. Stresses state of system "spherical inclusion - matrix" welded by their contact surfaces // Technology of shipbuilding and welding: Compendium of papers. Nikolaev Shipbuilding Institute, 1984. P. 2028 (in Russian).

7. V. Volpert, I. Olegin. Axially symmetric stressed state of the space with a system of spherical cavities or inclusions / Novosibirsk Institute of Railroad Engineers, 1977. 19 p. VINITI Depository No. 3266-77 (in Russian).

8. I. Olegin. Spatial stressed state of infinite body with a single-period system of stiff inclusions // Mechanics of deformable body and calculation of transport structures: Compendium of Papers. Novosibirsk Institute of Railroad Engineers, 1980. P. 67-74 (in Russian).

9. Yu. Golovchenko. Stressed state of the vicinity of two spherical shells without adhesion to an elastic matrix // Naval structural mechanics: Compendium of papers. Nikolaev Shipbuilding Institute, 1984. P. 86-94 (in Russian).

10. V. Kush. Elastic equilibrium of the medium with periodically arranged spherical inclusions // Prikladnaya Mek-hanika (International Applied Mechanics). 1985. Vol. 21. No. 5. P. 18-27 (in Russian).

11. A. Kalinin, G. Fedoseev, M. Shmidt. Compression of elastic isotropic space with two spherical cavities. Vitebsk, 1981. 12 p. VINITI Depository No. 1864-81 (in Russian).

12. S.G. Mogilevskaya, S.L. Crouch, H.K. Stolarski. Multiple interacting circular nano-inhomogeneities with surface/interface effects // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2008. Vol. 56. № 6. P. 2298-2327.

13. Elastic interaction of spherical nanoinhomogeneities with Gurtin - Murdoch type interfaces / V.I. Kushch, S.G. Mogilevskaya, H.K. Stolarski, S.L. Crouch // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2011. Vol. 59. № 9. P. 1702-1716.

14. R. Avazmohammadi, F. Yang, S. Abbasion. Effect of interface stresses on the elastic deformation of an elastic half-plane containing an elastic inclusion // International Journal of Solids and Structures. 2009. Vol. 46. № 14-15. P. 2897-2906.

15. A. Lurie. Elasticity theory. Moscow: Nauka, 1970, 939 p. (in Russian).

16. E. Tsuchida, I. Nakahara. Stresses in a semi - infinite body subjected to pressure on the surface of a cavity and plane boundary // Bulletin of JSME. 1972. Vol. 15. № 79. P. 1-10.

17. H. Bateman, A. Erdélyi. Higher Transcendental Functions (3 vols). Moscow: Nauka, 1965-1967 (Russian translation).

18. Ya. Ufland. Integral transformations in elasticity theory problems. 2nd edition, revised. Leningrad: Nauka, 1967. 402 p. (in Russian).

19. T. Banachiewicz. Méthode de résolution numérique des équations linéaires, du calcul des déterminants et des inverses, et de réduction des formes quadratiques // Bulletin Intern. Acad. Polonaise. Serie A: Sci.Math. 1938. P. 393-401.

20. N. Berdennikov, P. Dodonov, A. Zadumov, N. Fedonyuk. Spherical inclusions, their arrangements and effect upon material stresses // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020. Special Issue No. 1. P. 101-107 (in Russian).

21. H. Hahn. Elastizitatstheorie. Moscow: Mir, 1988. 343 p. (Russian translation).

Сведения об авторах

Федонюк Николай Николаевич, к.т.н., начальник лаборатории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (921) 928-57-39. E-mail: fednik46@yahoo.com.

Додонов Павел Анатольевич, инженер 1 категории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@gmail.com.

About the authors

Nikolay N. Fedonyuk, Cand. Sci. (Eng.), Head of Laboratory, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (921) 928-57-39. E-mail: fednik46@yahoo.com.

Pavel A. Dodonov, Engineer 1st Category, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@gmail.com.

Поступила / Received: 17.01.20 Принята в печать / Accepted: 13.03.20 © Федонюк Н.Н., Додонов П.А., 2020