CC BY
20Математика к Математическое
моделирование
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. №4. С. 42-58.
Б01:10.7463/шаШш.0416.0846276
Представлена в редакцию: 26.07.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана
ХДК 536.2
Математическая модель теплопереноса в сферопластике
Зарубин В. С.1'*, Кувыркин Г. Н.1, Савельева И. Ю.1 *fn2@bmstu.ru
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Построена четырехфазная математическая модель переноса тепловой энергии в представительном элементе структуры сферопластика, помещенном в неограниченный массив однородного материала, коэффициент теплопроводности которого подлежит определению в качестве эффективной характеристики сферопластика. Эта модель в сочетании с двойственной вариационной формулировкой задачи стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле, содержащей два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), достигающих на истинном решении задачи совпадающих экстремальных значений, сначала использована для установления гарантированных двусторонних границ области параметров, в которой находятся истинные значения эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика. Затем для получения расчетных зависимостей этого коэффициента от объемной концентрации микросфер четырехфазная модель путем введения эквивалентного коэффициента теплопроводности микросфер сведена к трехфазной. Проведен количественный анализ полученных расчетных зависимостей и определены значения их наибольшей возможной погрешности, позволяющие оценивать степень достоверности результатов прогноза эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика.
Ключевые слова: эффективный коэффициент теплопроводности; микросферы; сферопластик; четырехфазная математическая модель
Введение
К сферопластикам относят композиционные материалы, состоящие из полимерного или органосиликатного связующего и полых шаровых включений (в большинстве случаев стеклянных, но применяют и углеродные, фенольные, эпоксидные и кремнийорганические). Эти включения, называемые микросферами, имеют диаметр в пределах миллиметра с толщиной стенки в несколько микрометров [1, 2]. Для снижения плотности материала в конструкциях плавучих средств в некоторых случаях используют так называемые макросферы диаметром до 40мм и оболочкой толщиной 0,5-1,5 мм из сферопластика с микросферами [3].
Микросферы могут содержать инертные газы, например азот. Во многих странах налажен промышленный выпуск микросфер из кварца. В частности, в США изготавливаются микросферы марки Q-Gel, имеющие плотность 300 кг/м3, насыпную плотность до 100 кг/м3
и средний диаметр 75 мкм, отличающиеся высокой механической прочностью и низкой стоимостью. Наоборот, углеродные микросферы обладают сравнительно невысокими механическими характеристиками, но могут поглощать радиоизлучение в определенных диапазонах частот. Сферопластики с кремнийорганическими микросферами сочетают достаточно высокие механические и диэлектрические свойства [4, 5].
В силу низкой теплопроводности сферопластики применяют в различных теплоизоляционных конструкциях [6, 7, 8]. В качестве теплоизоляционных покрытий сферопластики наносят на внешнюю поверхность труб, в частности нефтегазопроводов, эксплуатируемых в зонах вечной мерзлоты, в заболоченных местностях и под водой [9, 10]. Основное назначение такой тепловой изоляции на объектах трубопроводного транспорта нефти состоит в снижении интенсивности теплового взаимодействия между транспортируемым продуктом и окружающей средой. Кроме того, теплоизоляция выполняет полностью или частично функции антикоррозионного покрытия, а также защищает от механического, химического, радиационного и других видов воздействий.
Конкретную область использования сферопластика в качестве теплоизоляционного материала прежде всего определяет его эффективный коэффициент теплопроводности Л, зависящий от коэффициентов теплопроводности элементов структуры сферопластика и от объемной концентрации Су шаровых включений. Количественная оценка значения Л этого коэффициента может быть получена методами математического моделирования [11, 12] с использованием математической модели, описывающей перенос тепловой энергии в сферо-пластике.
В данной работе построена четырехфазная математическая модель теплопереноса в представительном элементе структуры сферопластика, помещенном в неограниченный массив однородного материала, коэффициент теплопроводности которого подлежит определению в качестве искомой характеристики сферопластика. Эта модель в сочетании с двойственной вариационной формулировкой задачи стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле [13, 14] сначала использована для установления гарантированных двусторонних границ области параметров, в которой находятся истинные значения эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика, а затем для получения расчетных зависимостей этого коэффициента от объемной концентрации микросфер. Проведен количественный анализ полученных расчетных зависимостей и определены значения их наибольшей возможной погрешности, позволяющие оценивать степень достоверности результатов прогноза эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика.
1. Представительный элемент структуры сферопластика
Структуру сферопластика представим как совокупность составных частиц шаровой формы с наружным радиусом Кь каждый из которых включает полый шар с внутренним К0 и наружным К = радиусами, окруженный шаровым слоем связующего с коэффици-
ентом теплопроводности Л°. Значение Л° для большинства используемых в сферопластиках
Вт
связующих лежит в интервале 0,15 ... 0,35 ——.
м ■ К
Для материалов, применяемых при изготовлении микросфер, значение коэффициента
теплопроводности Ло может изменяться в достаточно широких пределах. Например, при
Вт
температуре 300 К его значение составляет для боросиликатного стекла 0,92 ... 1, 34 -и
Вт Вт м ■К
для кварца 1,36 —— [15], для углерода 3,49 ... 17,45 —— [16], а в случае полимерных мим ■ К в м ■ К
кросфер не превышает 1-. С увеличением температуры коэффициент теплопроводности
м ■ К
стекла возрастает и в первом приближении можно считать, что Л0 зависит от температуры линейно, причем в интервале от 300 К до 700 К удваивает свое значение [17]. Стеклянные микросферы можно считать непрозрачными для теплового излучения в инфракрасной области, характерной для рабочих температур сферопластиков. Эти температуры соответствуют длине волны излучения более 5 мкм.
В шаровой полости микросферы может находиться газ. Таким образом, модель структуры сферопластика включает четыре фазы: однородный материал, связующее, материал полого шарового включения и газ в его полости. Будем считать, что рассмотренная составная частица является представительным элементом структуры сферопластика и в тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом однородного материала, коэффициент теплопроводности Л которого подлежит определению как искомая эффективная характеристика сферопластика. Основное свойство этого элемента состоит в том, что его замена равновеликим шаром с коэффициентом теплопроводности Л не вызывает возмущения температурного поля в массиве однородного материала.
2. Модель теплопереноса в полости микросферы
Вследствие малого размера микросфер допустимо пренебречь возможным конвективным движением заполняющего их газа и учитывать перенос тепловой энергии лишь путем теплопроводности и в некоторой степени излучением. В качестве количественной оценки, которая оправдывает допущение о пренебрежении влиянием конвективным движением, можно использовать известное условие реализации так называемого режима псевдотеплопроводности в вертикальной щели в виде неравенства для числа Грасгофа [18]
Ог = ^ < 2800, (!)
где д0 = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения; 5 — толщина щели, ДТ — перепад температуры (в кельвинах) на стенках щели; V — кинематический коэффициент вязкости газа, имеющий для большинства газов при температуре Т к 300К значение порядка 10-5 м2/с. Если принять 5 = 2 мм и ДТ = 30 К, то Ог < 1, т.е. условие (1) будет заведомо выполнено.
Коэффициент теплопроводности Л' газа зависит от его состава и температуры и практически не изменяется в широком диапазоне изменения давления, уменьшаясь при давлении
менее 10 Па [15]. Зависимость Л' от температуры Т можно представить формулой Сазер-ленда [19]
Л' = Л' 273 + С ( Т ^3/2 (2)
Лд = Л0"Т+С ^ , (2)
где Л0 — значение коэффициента теплопроводности газа при температуре Т = 273 К, име-
Вт
ющее порядок 10-2 ——, а С — константа, равная, например, 104 К для молекулярного м ■ К
азота.
Газы, молекулы которых содержат менее трех атомов, можно считать диатермичными, т.е. не излучающими и прозрачными для теплового излучения [20]. В этом случае некоторый вклад в перенос тепловой энергии через полость вносит теплообмен излучением между участками ее поверхности с различной температурой. Если СЯ0/Т0 < 0,1 (С и Т0 — модуль вектора градиента температурного поля и температура в окрестности полости), то приведенный коэффициент теплопроводности Л'', характеризующий интенсивность теплопереноса излучением, можно считать равным 4еа0Т03Я0 [21], где е — коэффициент излучения поверхности полости, а0 = 5,67 ■ 10-8 0 Т 4 — постоянная Стефана — Больцмана. При е = 0,9,
м2 • К4
Вт
Т = 300 К и Я0 = 0,5 мм имеем Л'' ~ 0,7 ■ 10-3 ——, т.е. значение Л'' примерно на порядок
м ■ К
меньше Л0. Но с увеличением температуры это значение возрастает и при предельной для
Вт
сферопластика рабочей температуре около 700 К [7] составляет уже примерно 10-2 ——, что
м ■ К
сопоставимо со значением Л'д, определяемым формулой (2).
Интенсивность излучения многоатомных газов зависит от их давления и приведенной длины пути луча [20]. Но при давлении, близком к атмосферному, и малом размере полости влиянием этого фактора можно пренебречь. В итоге суммарную интенсивность теплоперено-са через пору в сферопластике можно характеризовать при помощи условного коэффициента теплопроводности Л' = Л'д + Л'' = Л'д + 4еа0Т03Я0.
3. Двусторонние оценки эфективного коэффициента теплопроводности
Для получения двусторонних оценок эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого сферопластика используем двойственную вариационную формулировку задачи стационарной теплопроводности в неоднородном теле [22]. Эта формулировка содержит два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), экстремальные значения которых совпадают на истинном решении этой задачи. Для минимизируемого функционала
3[Т] = 1у Л(М)(уТ(М})2 ¿V(М), (3)
где v — дифференциальный оператор Гамильтона, допустимые распределения Т (М) температуры, зависящие от положения точки М € V в замкнутой области V, занятой рассматриваемым неоднородным твердым телом с коэффициентом теплопроводности Л(М),
должны быть непрерывны и кусочно дифференцируемы в открытой области V, а на участках Бт с 5 поверхности 5, ограничивающей эту область, где заданы граничные условия в виде Т(Р) = /т(Р), Р € Бт, удовлетворять этим условиям. Максимизируемый функционал
IМ = -1 / ^ЛМ)" ¿V(М) - / Т(Р)я(Р) ■ п(Р) ¿5(Р), Р € 5, (4)
V Ят
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Б, допустимо рассматривать на непрерывно дифференцируемых распределениях я(м) (М € V) вектора плотности теплового потока, удовлетворяющих уравнению v ■ q(M) = 0, М € V, а на участках Бд с Б \ Бт, где заданы граничные условия в виде q(P) ■ п(Р) = /Т(Р), Р € БдТ, удовлетворять этим условиям. На истинных распределениях Т*(М) и q*(M) (М € V) функционалы (3) и (4) достигают совпадающих экстремальных значений, причем
3[Т] ^ 3[Т*] = I[я*] ^ I[я]. (5)
Замкнутую область V представим в виде прямого цилиндра высотой Н ^ Р1 с идеально теплоизолированной боковой поверхностью и заданными на каждом из оснований площадью Б0 ^ пР2 температурами Т0 и Тн > Т0. Диаметральное поперечное сечение представительного элемента структуры сферопластика совместим с основанием цилиндра, имеющим температуру Т0, т.е. область V будет содержать половину этого элемента. Остальная часть этой области будет занята однородным материалом с искомым коэффициентом теплопроводности Л. В качестве допустимого для функционала (3) примем линейное по высоте цилиндра распределение температуры с постоянной составляющей С = (Тн — Т0)/Н вектора градиента. Тогда из формулы (3) получим
3! [С] = ЛС2 НБ — пС2 (лр? — Л°(Р? — Р3) — Л0(Р3 — р?) — Л'Р03). (6)
Для функционала (4) простейшим допустимым распределением вектора плотности теплового потока я является постоянное значение q = — ЛС единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. В этом случае формула (4) примет вид
11[С] = — ЛС2 (НБ0 — — п ^ (+ Р0—+ + ЛС2НБ0. (7)
Принятые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от действительных и поэтому значения 31 [С] и 11 [С] не будут совпадать, но будут удовлетворять соотношению (5), причем 31 [С] > 11 [С]. В промежутке между этими значениями должно быть расположено и значение 30 = ЛС2НБ0/2 функционала (3) для однородной области с коэффициентом теплопроводности Л, поскольку замена половины представительного элемента структуры композита равновеликим объемом однородного материала не вызовет возмущения в принятом линейном распределении температуры, которое в этом случае будет соответствовать истинному распределению температуры
в рассматриваемой области. Тогда с учетом формулы (6) из условия Д [С] > получим для безразмерного истинного значения Л = Л/Л° верхнюю оценку
а + = £ = 1 - Су + Су л; > л, (8)
где л+ = л0 + (л' — л0)С0, л0 = Л0/Л°, л' = Л'/Л° и С0 = (Д0/Д)3 — пористость микросфер, а при использовании формулы (7) из условия Д [С] < найдем нижнюю оценку
л- = =1 — Су + Су/л- < л- (9)
где
1
л*
¿ + - ¿)C0
Отметим, что формулу для Л + можно получить с применением теории смесей [23]. Однако из этой теории в отличие от использованной двойственной вариационной формулировки, содержащей функционалы (3) и (4), не следует, что Л+ является верхней оценкой значения Л.
Значения Л+ и можно рассматривать как соответственно верхнюю и нижнюю оценки некоторого безразмерного эквивалентного коэффициента теплопроводности Л* = Л*/Л° микросферы при ее замене равновеликим сплошным шаром радиусом R.
4. Эквивалентный коэффициент теплопроводности микросферы
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой микросферы с внутренним R0 и наружным R радиусами и окружающего ее однородного материала с коэффициентом теплопроводности Л° связующего сферопластика. Центр полого шара поместим в начале сферической системы координат. Примем, что на большом расстоянии r от начала координат задан вектор градиента температурного поля в однородном материале, направленный по оси сферической системы координат, от которой происходит отсчет угловой координаты §, т.е. при r ^ то распределение температуры в этом материале описывает функция T2(r, §) = = T0 + Gr cos §, где G — модуль вектора градиента. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах имеет вид
1 3 fr2 9Т) | 1 _3_ fsin §9Т) | 1 92T = 0 (10)
r2 3r V 3r / r2 sin § 3§ V 3§ / r2 sin2 § 3^2
В данном случае благодаря коллинеарности заданного вектора градиента температурного
поля оси отсчета угловой координаты § распределение температуры симметрично относи-
СРТ
д Т оо _ п
тельно этой оси и не зависит от угловой координаты т.е. ^ 2 = 0.
При приближении к микросфере возникает возмущение температурного поля в однородном материале, описываемое также удовлетворяющим уравнению (10) дополнительным слагаемым ДТ(r, §) = (B°/r2) cos § [24], где B° — подлежащий определению постоянный
коэффициент. Таким образом, температурное поле в однородном материале, удовлетворяющее заданному условию при r ^ то и уравнению (10), описывает функция
( B° )
T°(r,tf) = T^(r,tf) + AT(r,tf) = To + (Gr + —J costf. (11)
Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в шаровом слое микросферы
T(r, tf) = To + ^Ar + B^j cos tf (12)
и в шаровой полости
( B' \
T'(r,tf) = To + (A'r + —J cos tf, (13)
причем в силу ограниченности значения температуры при r = 0 в соотношении (13) B' = 0.
В равенства (11)—(13) входят 4 неизвестных коэффициентов, которые необходимо найти из четырех граничных условий на сферических поверхностях с радиусами Ro и R, определяющих непрерывность на этих поверхностях распределения температуры и радиальной составляющей вектора плотности теплового потока. Из граничных условий на сферической поверхности радиусом Ro с учетом равенств B' = 0, (12) и (13) получим
A = A + B, A' = (a - щ) A. R0 V RO J A'
Отсюда, исключая коэффициент A', находим
A =2+^ R, A' = A = f. (14)
1 - A' Ro Ao Ao
Граничные условия на сферической поверхности радиусом R с учетом равенств (11) и (12) имеют вид
A + B = A° + R°- (A - RB )Ao = A° - f. (.5)
Заменим полую микросферу сплошным шаром радиусом R с эквивалентным коэффициентом теплопроводности A*, при котором коэффициенты A° и B° в формулах (15) сохранили бы свои значения. При такой замене распределение температуры в сплошном шаре вместо равенства (12) будет определять зависимость T* = To + A*r cos tf, а граничные условия (15) следует заменить равенствами A* = A° + B°/R3, A*A* = A° - 2B°/R3, где A* = A*/A°. Тогда с учетом равенств (15) запишем
(A° + R)a* = A° - £ = (A - I)Ao = (A + I)A*.
Отсюда, используя формулу (14), находим равенство для безразмерной величины эквивалентного коэффициента теплопроводности микросферы
~* = A* = 2 + а' - 2(1 - a')Co (16)
Ao 2 + а' + (1 - a')Co . ( )
На рис. 1 в полулогарифмических координатах по формуле (16) построены графики зависимости Л* от Со при различнык значениях параметра А'. Нижняя кривая построена для значения У = 0, когда поверхность полости микросферы идеально теплоизолирована, т.е. в полости отсутствует теплопроводная среда и допустимо пренебречь переносом тепловой энергии излучением. Каждая из остальные кривых соответствует значению А', совпадающему с ординатой этой кривой при С0 = 1.
0,02----------
0,011—————————
0 0,2 0,4 0,6 0,8 С0
Рис. 1. Зависимость безразмерной величины эквивалентного коэффициента теплопроводности микросферы от ее пористости при различных значениях параметра X'
В безразмерных параметрах А+ и А-, входящих в формулы (8) и (9), изменим нормировку, получив двусторонние оценки у + = 1 + (— 1)С0 и а- = (1 + (1/— 1)С0)-1 для безразмерной величины а* эквивалентного коэффициента теплопроводности микросферы. На рис. 2 приведены графики зависимостей от С0 верхней а+ (штрихпунктирные линии) и нижней а*
Рис. 2. Двусторонние границы областей расположения безразмерной величины эквивалентного коэффициента теплопроводности микросферы
(штриховые линии) оценок определяемой формулой (16) величины Л * (сплошные кривые) для значений V, равных ординатам кривых при Со = 1. Видно, что все кривые для Л* расположены в пределах границ, определяемых соответствующими двусторонними оценками. При Со = 0 и Со = 1 двусторонние оценки совпадают с соответствующим значением Л*, но по мере отклонения параметра Со от этих значений Со разность ДЛ* = Л+ — Л- возрастает, достигая наибольшего значения (1 — \/\г ) при Со = \[\.г (1 + \[\.г
Величину п* = ДЛ*/(Л + + Л*) можно рассматривать как наибольшую возможную относительную погрешность, которая может возникнуть при выборе в качестве безразмерной величины эквивалентного коэффициента теплопроводности микросферы полусуммы двусторонних оценок. На рис. 3 приведены графики зависимости п* от Со для некоторых значений Л7 = 1/Л/, причем эти графики симметричны относительно вертикальной прямой с абсциссой Со = 0, 5.
Рис. 3. Зависимость наибольшей возможной относительной погрешности безразмерной величины эквивалентого коэффициента теплопроводности микросферы от ее пористости при различных значениях параметра V
5. Эффективный коэффициент теплопроводности сферопластика
Проведенная выше замена полой микросферы сплошным шаром с эквивалентным коэффициентом теплопроводности Л* позволяет от исходной четырехфазной модели структуры сферопластика перейти к трехфазной модели с представительным элементом в виде такого шара радиусом Я, покрытым шаровым слоем связующего с наружным радиусом Ях. Для трехфазной модели известно решение задачи о тепловом взаимодействии указанного представительного элемента с неограниченным массивом однородного материала, имеюще-
го искомый коэффициент теплопроводности Л [24]. Из этого решения следует расчетная зависимость
а = ^ = 2 + А* — 2(1 — А *)Су
Л° 2 + Л* + (1 — Л*)Су ' ( )
по структуре аналогичная формуле (16), что дает возможность после замен на рис. 1 Л * на а, Со на Су и а' на А* использовать этот рисунок для анализа влияния параметров Су и а* на величину а.
Следует отметить, что формулу (17) можно преобразовать к виду, совпадающему с известной формулой Максвелла для среды с дисперсными шаровыми включениями, приведенной в работе [25] и полученной на основе двухфазной модели, состоящей из включения в виде сплошного шара с коэффициентом теплопроводности Л* и окружающей его среды с коэффициентом теплопроводности Л°, заполняющей неограниченную область.
Если провести построение двусторонних оценок для трехфазной модели структуры сфе-ропластика, то вместо формул (8) и (9) получим соответственно
а+ = Л+ = 1 + (Л* — 1)Су > а' а_ = =---< а' (18)
+ Л° 1 ; у > ' Л° 1 + (1/Л* — 1)Су <
что также по структуре аналогично двусторонним оценкам для безразмерной величины а* эквивалентного коэффициента теплопроводности микросферы. Поэтому для нахождения наибольшей возможной относительной погрешности п = (а + — а_)/(а + + а_), возникающей при выборе в качестве значения а полусуммы двусторонних оценок, определяемых соотношениями (18), можно использовать рис. 3 с заменой п* на п, С0 на Су и а' на Л*.
Наряду с соотношением(17) для расчета безразмерной величины эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика осреднением свойств смеси из микросфер и частиц связующего можно получить приближенную формулу [26]
А1 = Л- - (1 — Су + (А*)1/3)3. (19)
Еще один из возможных подходов к расчету эффективной теплопроводности сферопластика связан с применением метода самосогласования [27], который приводит к расчетной зависимости
а 2 = = 4(1 — (1 — Л*)(1 — 3Су) + 7(1 — (1 — Л*)(1 — 3Су ))2 + 8Л^. (20)
На рис. 4 приведены построенные с использованием соотношений (17)-(20) графики зависимостей от Су двусторонних оценок а + и а_ (штрихпунктирные и штриховые линии соответственно), а, а1 и а2 (соответственно сплошные кривые, пунктирные линии и сплошные кривые со светлыми кружками) при различных значениях параметра Л* (каждая кривая соответствует значению Л*, равному ординате этой кривой при Су = 1). Все графики для а, А1 и А2 не выходят за границы областей, определяемых соответствующими графиками
/->»/
О 0,2 0,4 0,6 0,8 Су
Рис. 4. Двусторонние границы областей расположения безразмерной величины эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика, рассчитанного по формулам (17), (19) и (20)
для двусторонних оценок. Следовательно, математические модели, использованные для построения расчетных зависимостей (17), (19) и (20), можно считать в первом приближении адекватно описывающими процесс переноса тепловой энергии в сферопластике.
Заключение
Построенная в работе четырехфазная математическая модель переноса тепловой энергии в представительном элементе структуры сферопластика, помещенном в неограниченный массив однородного материала, в сочетании с двойственной вариационной формулировкой задачи стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле, содержащей два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), достигающих на истинном решении задачи совпадающих экстремальных значений, позволила установить гарантированные двусторонние границы области параметров, в которой находятся истинные значения эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика. Затем для получения расчетных зависимостей этого коэффициента от объемной концентрации микросфер четырехфазная модель путем введения эквивалентного коэффициента теплопроводности микросфер сведена к трехфазной. Количественный анализ полученных расчетных зависимостей показал, что разработанные математические модели в первом приближении адекватно описывают процесс теплопереноса в сферопластике, а эти зависимости могут быть использованы для прогноза его эффективного коэффициента теплопроводности.
Работа выполнена по гранту МК-6573.2015.8 программы Президента РФ государственной поддержки молодых кандидатов наук, а также в рамках проекта 1712 по государственному заданию № 2014/104 Минобрнауки РФ и государственного задания по проекту № 1.2640.2014.
Список литературы
1. Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технология / Под ред. A.A. Берлина. СПб.: Профессия, 2011. 560 с.
2. Наполнители для полимерных композиционных материалов: Справочное пособие / Пер. с англ. под ред. П.Г. Бабаевского. М.: Химия, 1981. 736 с.
3. Ушков С.С., Николаев Г.И., Михайлов В.И., Матвеев Г.В., ХесинЮ.Д. Конструкционные материалы для глубоководных аппаратов // Судостроение. 2004. № 5. С. 111-114.
4. Селиванов О.Г., Михайлов В.А. Теплоизоляционные синтактовые материалы на основе термостойкого кремнийорганического полимера // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 7. С. 12-13.
5. Михайлов В.А. Синтактные материалы с высокими диэлектрическими свойствами на основе кремнийорганического полимера // Успехи современного естествознания. 2015. № 12. С. 47-50.
6. Соколов И.И., Долматовский М.Г., Деев И.С., Стеценко В.Я. Влияние физико-механических характеристик полых стеклянных микросфер на свойства сферопластиков // Пластические массы. 2005. №7. С. 16-18.
7. Филимонов А.С., Тарасов В.А., Комков М.А., Моисеев В.А., Тимофеев М.П., Герасимов Н.В. Влияние связующих на свойства новых теплоизоляционных покрытий с использованием стеклянных микросфер // Инженерный журнал: наука и инновации. 2012. №9. С. 185-192. DOI: 10.18698/2308-6033-2012-9-383
8. Симонов-Емельянов И.Д., Апексимов Н.В., Зарубина А.Ю., Зубков С.Б. Обобщенные параметры структуры, составы и свойства дисперсно-наполненных полимерных композиционных материалов со стеклянными шариками // Пластические массы. 2012. №5. С. 52-57.
9. Погосян М.А., Барковский А.Ф., Рожков А.И., Поляков Ю.Г., Господарский С.А. Антенный обтекатель, способ его изготовления и способ изготовления слоя антенного обтекателя. Патент РФ № 2186444, 2002.
10. Ковалевский В.Б. Тепловая изоляция для объектов трубопроводного транспорта нефти // Технологии топливно-энергетического комплекса. 2006. № 1. Режим доступа: http://www.indpg.ru/techtek/2006/01/16083.html (дата обращения 25.07.2016).
11. Зарубин В.С. Моделирование. М.: Издательский центр Академия, 2013. 336 с.
12. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Особенности математического моделирования технических устройств //Математическое моделирование и численные методы. 2014. № 1(1). C. 5-17. DOI: 10.18698/2309-3684-2014-1-517
13. Зарубин B.C., Селиванов B.B. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 360 с.
14. Зарубин B.C., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 352 с.
15. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.
16. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов ядерной техники. М.: Атомиздат, 1968. 484 с.
17. Применко B.H Bлияние состава на теплопроводность стекла // Bопросы химии и химической технологии. Bbm. 62. Харьков: Bища школа. Изд-во при Харьк. ун-те, 1981. C. 72-74.
18. Теория тепломассообмена/Под ред. А.И. Леонтьева. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 683 с.
19. ^равочник по физико-техническим основам криогеники / Под ред. М.П. Малкова. М.: Энергоатомиздат, 1985. 432 с.
20. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением: пер. с англ. М.: Мир, 1975. 934 с.
21. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Cавельева И.Ю. Радиационно-кондуктивный теплообмен в шаровой полости // Теплофизика высоких температур. 2015. Т. 53. №2. C. 243-249. DOI: 10.7868/S0040364415020246
22. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Cавельева И.Ю. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями // Bестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Cер. Естественные науки. 2012. №3 C. 76-85.
23. Головин Н.Н., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Cмесевые модели механики композитов. Ч. 1. Термомеханика и термоупругость многокомпонентной смеси // Bестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Cер. Естественные науки. 2009. №3. C. 36-49.
24. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Cавельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита с шаровыми включениями // Тепловые процессы в технике. 2012. № 10. C. 470-474.
25. Maxwell C. Treatise on electricity and magnetism. In 2 vols. Oxford: Clarendon Press, 1873.
26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: B 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.
27. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Cавельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №9. C. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512
Mathematics & Mathematical Modelling
Electronic journal of the Bauman MSTU
Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2016, no. 4, pp. 42-58.
DOI: 10.7463/mathm.0416.0846276
Received: 26.07.2016
© Bauman Moscow State Technical University
http://mathmjournal.ru
A Mathematical Model of Heat Transfer in Spheroplastic
Zarubin V. S.1'*, Kuvyrkin G. N.1, Savel'eva I. Yu.1 * fn2@bmstu.ru
1 Bauman Moscow State Technical University, Russia
Keywords: effective thermal conductivity coefficient, micro-sphere, spheroplastic, four-phase mathematical model
Spheroplastics are composite materials composed of a polymer or organosilicate binder and hollow spherical inclusions (mostly, of glass, but there are also of carbon, phenol, and epoxy), which are called microspheres and have a diameter within a millimeter with the wall thickness of several micrometers. To reduce the material density in watercraft constructions sometimes are used so called macrospheres of up to 40 mm in diameter and shell thickness of 0,5-1,5 mm from spheroplastic with microspheres.
Microspheres may contain inert gases such as nitrogen. Many countries have commercialised quartz microspheres. The USA, in particular, produces Q-Gel microspheres with density of 300kg/m3, the bulk density —100 kg/m3 and the average diameter of 75 microns, characterized by a high mechanical strength and low cost. Carbon microspheres having low mechanical properties can absorb radio waves in certain frequency ranges. Spheroplastic with silicone microspheres combine relatively high mechanical and dielectric properties.
In virtue of low thermal conductivity spheroplastics are used in various heat-insulating structures. As the thermal insulation coatings, the spheroplastic covers the outer surface of the pipes, in particular oil and gas pipelines in the permafrost zones, regions of swampy ground, and underwater. The effective heat conductivity factor, primarily, determines the specific application of spheroplastic as a thermal insulation material. To quantify the value of this factor is necessary to have a mathematical model describing heat transfer in spheroplastic.
The paper presents a four-phase mathematical model of the heat transfer in a representative element of a spheroplastic structure placed in an unlimited array of homogeneous material, the thermal conductivity of which is to be determined as desired characteristics of spheroplastic. This model in combination with a dual variational formulation of stationary heat conduction problem in the inhomogeneous solid first is used to define the guaranteed two-sided boundaries of the parameter space in which there are the true values of effective thermal conductivity of spheroplastic, and then to calculate the dependences of this factor on the bulk concentration of microspheres. The paper
conducts a quantitative analysis of the calculated dependences and determines the values of their greatest possible accuracy, which allow us to measure a reliability degree of the predicted effective thermal conductivity of the spheroplastic.
References
1. Berlin A.A., ed. Polimernye kompozitsionnye materialy: struktura, svoistva, tekhnologiia [Polymeric composites: structure, properties, technology]. Sankt-Peterburg, Professiia Publ., 2011. 560 p. (in Russian).
2. Babayevsky P.G., ed. Napolniteli dlya polimernykh kompozitsionnykh materialov [Fillers for polymeric composite materials]. Moscow, KhimiiaPubl., 1981. 736 p. (in Russian).
3. Ushkov S.S., Nikolaev G.I., Mikhailov V.I., Matveev G.V., Khesin Yu.D. Structural materials for deep-water submersibles. Sudostroenie = Shipbuilding, 2004, no. 5, pp. 111-114. (in Russian).
4. Selivanov O.G., Mikhailov V.A. Insulation sintakt materials based on thermal stability of silicone polymers. Mezhdunarodnyi zhurnalprikladnykh i fundamental'nykh issledovanii, 2014, no. 7, pp. 12-13. (in Russian).
5. Mikhailov V.A. Syntactic materials with high dielectric properties based on silicone polymer. Uspekhi sovremennogo estestvoznaniia, 2015, no. 12, pp. 47-50. (in Russian).
6. Sokolov I.I., Dolmatovskii M.G., Deev I.S., Stetsenko V.Y. Influence of hollow glass microspheres physical and mechanical characteristics on spheroplastic properties. Plasticheskie massy, 2005, no. 7, pp. 16-18. (in Russian).
7. Filimonov A.S., Tarasov V.A., Komkov M.A., Moiseev V.A., Timofeev M.P., Gerasimov N.V. Effect of binders on the properties of the new thermal insulation coatings using glass microspheres. Inzhenernyi zhurnal: nauka I innovatsii = Engineering Journal: Science and Innovation, 2012, no. 9. DOI: 10.18698/2308-6033-2012-9-383 (in Russian)
8. Simonov-Emelyanov I.D., Apeksimov N.V., Zarubina A.Yu., Zubkov S.B. Generalized parameters of the structure, composition and properties of dispersion-filled polymer composites materials with glass beads. Plasticheskie massy, 2012, no. 5, pp. 52-57. (in Russian).
9. Poghosyan M.A., Barkovskii A.F., Rozhkov A.I., Polyakov Yu.G., Gospodarskii S.A. Anten-nyy obtekatel', sposob ego izgotovleniya i sposob izgotovleniya sloya antennogo obtekatelya [Antenna radome: its manufacturing method and a method for manufacturing antenna radome layer]. Patent RF no. 2186444, 2002.
10. Kovalevskii V.B. Thermal insulation for the pipeline transportation of oil. Tekhnologii toplivno-energeticheskogo kompleksa, 2006, no. 1. Available at: http://www.indpg.ru/techtek/ 2006/01/16083.html, accessed 25.07.2016. (in Russian).
11. Zarubin V.S. Modelirovanie [Modeling]. Moscow, Academia Publ. Center, 2013. 336 p. (in Russian).
12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Features of mathematical modeling of technical devices. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody, 2014, no. 1(1), pp. 5-17. DOI: 10.18698/2309-3684-2014-1-517 (in Russian).
13. Zarubin V.S., Selivanov V.V. Variatsionnye i chislennye metody mekhaniki sploshnoi sredy [Variational and numerical methods of continuum mechanics]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1993. 360 p. (in Russian).
14. Zarubin V.S., Stankevich I.V. Raschet teplonapryazhennykh konstruktsiy [Calculation of heat-stressed designs]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2005. 352 p. (in Russian).
15. Grigoryev I.S., Meilikhov E.Z., eds. Fizicheskie velichiny [Physical quantities]. Moscow, EnergoatomisdatPubl., 1991. 1232 p. (in Russian).
16. Chirkin V.S. Teplofizicheskie svoistva materialov yadernoi tekhniki [Thermal properties of nuclear engineering materials]. Moscow, Atomizdat Publ., 1968. 484 p. (in Russian).
17. Primenko V.I. Influence of structure on the thermal conductivity of glass. Voprosy khimii I khimicheskoi tekhnologii [Chemistry and chemical technology questions], 1981, vol.62, pp. 72-74. (in Russian).
18. Leontiev A.I., ed. Teopiya teplomassoobmeha [The theory of heat and mass transfer]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1997. 683 p. (in Russian).
19. Malkov M.P., ed. Spravochnik po fiziko-tekhnicheskim osnovam kriogeniki [Handbook on physical-technical fundamentals of cryogenics]. Moscow, EnergoatomisdatPubl., 1985. 432 p. (in Russian).
20. Siegel R., Howell J.R. Thermal Radiation Heat Transfer. New York, Taylor and Francis, 2002. 868 p. (Russ. ed.: Teploobmen izlucheniem. Moscow, Mir Publ., 1975. 936 p).
21. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu. The radiation-conductive heat transfer in a spherical cavity. Teplofizika vysokikh temperatur, 2015, vol. 53, no. 2, pp. 243-249. DOI: 10.7868/S0040364415020246 (English version of journal: High Temperature, 2015, vol. 53, no. 2, pp. 234-239. DOI: 10.1134/S0018151X15020248).
22. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Effective Coefficients of Thermal Conductivity of a Composite with Ellipsoidal Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural sciences, 2012, no. 3, pp. 76-85. (in Russian).
23. Golovin N.N., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Mixture Models of Composite Mechanics. P.1. Thermal Mechanics and Thermoelasticity of Multicomponent Mixture. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural sciences, 2009, no. 3, pp. 36-49. (in Russian).
24. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. The Effective Coefficients of Thermal Conductivity of Composites with Spherical Inclusions. Teplovye protsessy v tekhnike = Thermal Processes in Engineering, 2012, no. 10, pp. 470-474. (in Russian).
25. Maxwell C. Treatise on electricity and magnetism. In 2 vols. Oxford, Clarendon Press, 1873.
26. Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoreticheskaya fizika. T.8. Electrodynamika sploshnykh sred [Theoretical physics. Vol. 8. Electrodynamics of continuous media]. Moscow, Nauka Publ., 1992. 664 p. (in Russian).
27. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu. Evaluation of composite effective thermal conductivity with spherical inclusions by the self-consistency method. Nauka i obrazovanie. MGTUim. N.E. Baumana = Science and Education of the BaumanMSTU, 2013, no. 9, pp. 435444. DOI: 10.7463/0913.0601512 (in Russian).
