CC BY
15
О. Б. МАЛКОВ
Омский государственный технический университет
УДК 531.66:519.711.3
расчет ударного импульса, нормируемого в стержневой системе наиболее общего вида
S
РАССМАТРИВАЕТСЯ ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА В СИСТЕМЕ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ СТЕРЖНЯ-УДАРНИКА И СТЕРЖНЯ-ВОЛНОВОДА С ВНУТРЕННИМИ ГРАНИЧНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ И ЗАКРУГЛЕННЫМИ КОНТАКТИРУЮЩИМИ ТОРЦАМИ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭТОЙ КОНТАКТНО-ВОЛНОВОЙ МОДЕЛИ ПОЗВОЛЯЕТ ЭФФЕКТИВНО РАССЧИТЫВАТЬ УДАРНЫЕ СИСТЕМЫ СО СТЕРЖНЕВЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ САМОЙ РАЗЛИЧНОЙ КОНФИГУРАЦИИ.
! |
§ i
ас
i
б
5 §
05
I
■е. 5
I §
S-H
£ о
5
Во многих ударных и виброударных системах испытательного и технологического назначения импульс формируется продольным соударением двух элементов стержневой формы - ударника и волновода. Существуют различные подходы к расчету таких систем и, как следствие, различные математические модели продольного удара в этих системах. При этом большинство моделей строится исходя из положений плоского удара, т. е. контактирующие торцы стержней предполагаются идеально плоскими. Такой подход упрощает математическое описание процесса, но едва ли приемлем для расчета реальных систем, поскольку известно, что на практике плоский удар неосуществим. Другим способом упрощения является сведение задачи к рассмотрению взаимодействия гладких стержней, то есть стержней с постоянным по длине волновым сопротивлением С = Э ар, где Э - площадь поперечного сечения; а - скорость распространения продольной волны; р - плотность материала. Однако в реальных системах ударник и волновод имеют, как правило, сложную ступенчатую конфигурацию, а их контактирующие торцы закруглены. Поэтому можно сформулировать следующие требования к математической модели стержневой ударной системы наиболее общего вида. Модель должна учитывать закругление контактирующих торцов и наличие упругопластических деформаций в контактной зоне. Обязательным условием является учет волновых явлений в стержнях, вклю-
чающий анализ сложной волновой картины, возникающей при наложении волн, проходящих через внутренние граничные поверхности и отражающихся от них. При задании весьма больших значений радиусов закругления контактных поверхностей получаемые решения должны совпадать с решениями плоских задач, а при отсутствии внутренних граничных поверхностей - с решениями для гладких стержневых систем. Поставленным задачам в полной мере отвечают контактно-волновые модели, использующие подход Сирса, согласно которому в зоне контакта сила изменяется по некоторому определенному закону, а вне этой зоны распространяются уже сформированные упругие волны с равномерно распределенными по поперечному сечению напряжениями [1,2]. При этом параметры волн (значения сил и скоростей во фронте) зависят от вида силовой характеристики контактной зоны. Задача сводится к совместному решению волнового уравнения, полученного с использованием положений теории идеально плоского удара, и уравнения силовой характеристики контактной зоны. Для построения контактно-волновой модели необходимо располагать волновым уравнением системы, связывающим разность мгновенных скоростей приконтакгных сечений ударника и волновода (Vo- Vb) со скоростью деформации контактной зоны da/dt. Такое уравнение для ударной системы с элементами, имеющими внутренние граничные поверхности, выведено автором в работе [3]:
da dt
/
1
S, а, рх
.0)
F + 2 b^ F, , +2 F, , +
а1
i-2 — а I
\
Г
1
/
S2 а2 р2
F + lb^F, . +'
«-2Ц >(1)
а2 /
+ 2 b^F
/-4 — Ol
+ 2 b&F
1-6^-«2
+
2b&F
t-i — а2
+
В уравнении (1) приняты следующие обозначения: а - контактное сближение под действием ударной силы Р; У0 - относительная скорость соударения; /0) и -длина и площадь поперечного сечения примыкающей к контактной зоне ступени ударника; 102 и - длина и площадь поперечного сечения примыкающей к контактной зоне ступени волновода; а, и аг - скорости распространения ударной волны в контактирующих ступенях ударника и волновода. Конфигурация ударника (количество и расположение внутренних граничных поверхностей, а также их характеристики) учитывает-
ся вектором коэффициентов В'" =(Ь/4, Ь2<1>, ..., Ьтт). Конфигурация волновода учитывается вектором коэффициентов В<г> =(Ь™, Ь2<2>, ..., Ь®). Эти коэффициенты определяются по методике, изложенной в работе [3], причем методика предусматривает возможность выбора схемы со свободным волноводом или с волноводом, опертым на жесткую преграду. Для N -ступенчатого стержня со ступенями равной длины независимо оттого, является этот стержень ударником или волноводом, коэффициенты вычисляются с помощью одних и тех же выражений:
к. г;
Ь2= к2г + {\ + г){к,Ь[)-,
Ь3 = к, г + (\ + г)(к2 Ъ[ + к, Ъ'2)\
Ъ, = к, г+ {1 + г) (*,_, ь\ + + 3 +...),
где Ь/, Ь2',..., Ьи'- такие же коэффициенты для стержня с (N-1) ступенями; г - характеристика внутренней граничной поверхности, разделяющей Л/-ю и (N-1)-ю ступени; к1,к2, ..., к, - вспомогательные коэффициенты, которые, в свою очередь, определяются с помощью следующих выражений:
к] "— 1 у —" X ;
к, = к2х + к{ (1 + г)(й; -6;);
К = х + (1 + г)(Ь[ -Ь'1) + к,., (1 + г){Ь[ - Ц) +... J
(3)
Входящая в выражения (2) и (3) характеристика г внутренней граничной поверхности, разделяющей ступени с волновыми сопротивлениями См и С№,, а также параметр х определяются следующими формулами:
X = г-(\ + г ) Ы, г = С"
С +С
В рамках метода Сирса возможно совместное решение волнового уравнения (1) с любым уравнением вида определяющим силовую характеристику
контактной зоны. Таким уравнением может быть, например, известная зависимость, полученная Герцем для упругих деформаций [1,2]. Однако, лучшие результаты дает решение уравнения (1) совместно с силовой характеристикой, предложенной Б. Н. Стихановским в работе [4]. Эта характеристика имеет вид степенной функции с переменным показателем степени при а, зависящим от материалов тел и скорости соударения. При малых скоростях и упругих деформациях функция обеспечивает приближение величины показателя к 3/2, при больших скоростях и пластических деформациях - к 1. Математическая модель преобразуется к безразмерному виду с помощью известных соотношений связи размерных и безразмерных параметров удара. В результате для первой фазы удара, соответствующей изменению силы от нуля до максимума, получаем зависимость
(5)
с?/
1
ч
ъ |„£
_к
[р + ЪЬ)
+ 1 + =
(В).
Вторая фаза удара, соответствующая изменению силы от максимума до нуля, описывается уравнением
с1Г _ п /01 У0 ГЦ,
4
3 Ра /V
_п-Л
р »
(6)
(В).
(В) = 1-Е -
1 + л I Н
1 + А
6<2) +
с/
<п
В уравнениях математической модели приняты следующие обозначения: Р - безразмерная ударная сила; Г- безразмерное время; к- безразмерная приведенная жесткость; Ь - безразмерная постоянная физико-механических свойств; а0- приведенная абсолютная деформация; q -переменный показатель степени при деформации в силовой характеристике контактной зоны; л -постоянная второй фазы удара; Р0 - сила соударения стержней с идеально плоскими торцами; Е0 - приведенный модуль упругости; й0 - приведенный радиус ' (4) закругления торцов; Ь - отношение Ь02 к ¿0|; а-отноше-
В дифференциальные уравнения (5) и (6) входит волновая часть
Анализ полученной математической модели показывает, что уравнения (5) и (6) практически полностью совпадают с уравнениями системы, состоящей из гладких стержней. Поэтому расчетные выражения для параметров, входящих в эти уравнения, можно найти в работе [4]. Наличие внутренних граничных поверхностей в ударнике и волноводе учитывается только в волновой части векторами коэффициентов В"' и В'2. Если при этом принять Ь'1' - Ь2"> -...=Ьт°> = 1 и Ь<2) = Ь}(2> =... =Ь<2> = 1, получим известные уравнения свободного продольного удара гладких стержней. Однако при пользовании этими уравнениями необходимо учитывать следующее. В предлагаемой модели безразмерное время определяется как отношение размерного времени к времени распространения ударной волны по длине одной ступени ударника Ь01 . Должно соблюдаться условие Ь02 > ¿0), т. е. длина ступени ударника не должна превышать длину ступени волновода. Величина /, определявшаяся для гладких стержней как отношение их полных длин, в уравнениях (5) - (6) имеет смысл отношения длин ступеней волновода и ударника. Параметр I, трактовавшийся для гладких стержней как отношение волнового сопротивления волновода к волновому сопротивлению ударника, в данной модели имеет смысл отношения волновых сопротивлений ступеней волновода и ударника, примыкающих к зоне контакта.
Все основные параметры ударного импульса определяются в процессе численного интегрирования дифференциальных уравнений (5) - (6). В результате могут быть получены значения времени удара, времени смены фаз удара, максимальной ударной силы, модуля ударного импульса, максимальных ударных ускорений в телах. Однако решение уравнений (5) - (6) дает зависимость ударной силы от времени непосредственно в контактной зоне. С учетом принятых допущений эту зависимость можно распространить на контактирующие ступени ударника и волновода, но в других ступенях параметры импульса ударной силы будут, безусловно, иными. Между тем, в процессе проектирования ударных систем необходимо располагать значениями
з> £
5
s
EQ
i
1
£9
i
I §
§
05
I
5
I
i
tr о
Рис. 1
сил и напряжений, возникающих не только в контактной зоне, но и в других ступенях ударника и волновода. Такая задача требует преобразования полученного решения по определенной методике. Для построения методики могут быть использованы некоторые закономерности, установленные при выводе уравнения (1). На рис. 1 изображен фрагмент волновой диаграммы А/-сту-пенчатого стержня-ударника со ступенями равной длины. На этом фрагменте представлены волновые процессы в контактирующей ступени ударника и в ступени, смежной с контактирующей.
Как показано в работе [5], для стержня-ударника, независимо от количества ступеней, силовые параметры волновых состояний в контактирующей ступени АВ Р,, Р2, ..., Г. связаны с силовыми параметрами волновых состояний в смежной ступени СВ , , ..., I общими соотношениями:
(8)
/=(l-г) (/•*,); /2 = (1-/-)М2+^2А,)Г| /з= О{Flk}+F2k2+F)ki)-, f,= (\-r) {F,kl+F2k,_]+F1kl_l+..).
Конфигурация конкретного стержня-ударника учитывается вектором коэффициентов К=(к1, к2, ..., к:), компоненты которого в общем случае определяются выражениями (3). Нетрудно убедиться, что силовые параметры волновых состояний двух смежных ступеней стержня-ударника всегда связаны соотношениями (8), а конкретное местонахождение этих ступеней в стержне определяется вектором коэффициентов К [5]. Более того, в работе [6] доказано, что эти же соотношения связывают силовые параметры волновых состояний смежных ступеней и в стержне-волноводе. Таким образом, если необходимо, например, получить зависимость ударной силы от времени в первой ступени трехступенчатого стержня-ударника (нумерация ступеней осуществляется от свободного торца к контактной зоне), то действия выполняются в следующем порядке. Путем численного решения уравнений (5) и (6) определяется зависимость силы от времени в контактной зоне. До I решения находится основной вектор коэффициентов
конфигурации В<1>, при расчете которого параллельно вычисляется вспомогательный вектор коэффициентов К (см. выражения (2) - (3)). Знание этих коэффициентов позволяет с помощью формул (8) пересчитать силовые параметры волновых состояний и получить тем самым зависимость ударной силы от времени во второй ступени. После этого отбрасывается третья ступень, определяются вектора коэффициентов В<1> и К для двухступенчатого стержня и очередной пересчет по формулам (8) дает зависимость силы от времени в первой ступени. Аналогично этому осуществляется расчет параметров импульса силы в любой ступени стержня-волновода.
Математическая модель, базирующаяся на дифференциальных уравнениях (5) - (6), была реализована в среде визуального программирования Delphi. Практическая сторона реализации этой модели будет подробнее рассмотрена в следующей статье. Расчетные значения, полученные с помощью модели, хорошо согласуются с экспериментальными данными. Предлагаемая модель отличается от существующих большей общностью охвата ударных явлений. Возможная область применения модели чрезвычайно широка - прикладные расчеты ударных систем самого различного назначения: от машин ударного действия для горного дела и строительства до ударных испытательных стендов и устройств.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров Е. В., Соколинский В. Б. Прикладная теория и расчеты ударных систем.-М.: Наука, 1969.
2. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. - М.: Стройиздат, 1965.
3. Мал ков О. Б. Формирование ударных импульсов в системах со ступенчатыми элементами // Омский научный вестник. - Вып. 5. -1998. - С. 60 - 63.
4. Стихановский Б.Н. Передача энергии ударом // Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1995. - Ч. 2 и 3. -146 с. - Библиогр.: 42 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 1729. - В 95.
5.Малков О. Б. Динамика ударников стержневой формы с внутренними граничными поверхностями // Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1998. -12 с. - Библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 3480. - В 98.
6. Малков О. Б. Динамика волноводов стержневой формы с внутренними граничными поверхностями // Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1998. -14 с. - Библиогр.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 3479. - В 98.
