Формирование ударных импульсов в системах со ступенчатыми элементами Текст научной статьи по специальности «Физика»

60

ТЕННИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 531.66:519.711.3

О.Б.Малков

ФОРМИРОВАНИЕ УДАРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В СИСТЕМАХ СО СТУПЕНЧАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Статья посвящена математическому моделированию продольного удара в системе, состоящей из стержня-ударника и стержня-волновода с внутренними граничными поверхностями. Конфигурация ступенчатых стержней (количество внутренних граничных поверхностей и их расположение) учитывается в волновом уравнении системой коэффициентов.Использование уравнения при построении контактно-волновой модели продольного удара по методу Сирса позволяет эффективно рассчитывать ударные системы с элементами ступенчатой формы.

В настоящее время весьма актуальной является задача эффективного проектирования ударных систем - устройств, генерирующих и передающих на некоторую среду или объект импульсы силы определенной частоты и интенсивности. В большинстве таких систем ударный импульс формируется продольным соударением двух элементов стержневой формы - ударника и волновода. При этом ударником (телом 1) считается более короткий стержень, движущийся с определенной скоростью и ударяющий по более длинному стержню-волноводу. Оптимальными математическими моделями таких систем являются модели с распределенными параметрами, учитывающие волновой характер ударного процесса и, в частности, контактно-волновые модели, построенные по методу Сирса [1], позволяющие учитывать закругление поверхностей контакта. Предполагается, что в зоне контакта сила изменяется по некоторому определенному закону, а вне этой зоны распространяются уже сформированные упругие волны с равномерно распределенными по поперечному сечению напряжениями. При этом параметры волн (значения сил и скоростей во фронте) зависят от вида силовой характеристики контактной зоны. Длина участка с неравномерным распределением напряжений составляет d « 2,5 г , где г -радиус круга поперечного сечения стержня. Для любого периода времени разность мгновенных скоростей при-контактных сечений определяется выражением

N л л л V о

где ивииь - пути, пройденные приконтактными сечениями ударника и волновода с момента начала удара. С другой стороны, разность (u^uj есть не что иное, как сближение а этих сечений под действием ударной силы. Решения контактных задач теории упругости дают зависимость меноду сближением тел и силой, причем во всех случаях эти зависимости имеют вид функции F = f(a). Характер функции зависит от формы, размеров и физико-механических свойств материалов тел. Универсальные упругопластические силовые характеристики зависят еще и от скорости соударения. Общее уравнение, связывающее контактное сближение и ударную силу:

иа-иь=сс =<р^). (2)

Таким образом, задача сводится к совместному решению волнового уравнения (1), полученного с использованием положений теории идеально плоского удара, и уравнения (2), соответствующего выбранному виду силовой характеристики контактной зоны Р=Ца). Однако до сих пор модель Сирса удавалось применить только для описания свободного удара стержней без внутренних граничных поверхностей, то есть стержней с постоянным по длине волновым сопротивлением. Волновое сопротивление определяется формулой

С =5 ар, (3)

где 5- площадь поперечного сечения стержня; а-скорость распространения продольной волны в стержне; р - плотность материала стержня. Относительная простота описания волновых процессов в гладких стержнях обусловлена наличием у них всего двух граничных поверхностей. Параметры волны, распространяющейся от одной граничной поверхности к другой, не изменяются. Между тем, известно, что если в среде, по которой проходит волна, резко меняется акустическая жесткость (произведение ар), то на границе раздела материалов возникают две волны: одна, проходящая через границу раздела, другая - отраженная. Отражение и преломление волн может быть вызвано также резким изменением площади поперечного сечения стержня, по которому проходит волна. Следовательно, внутренняя граничная поверхность может представлять собой участок с резким изменением свойств материала или площади поперечного сечения. Учет скачкообразного изменения волнового сопротивления на таких поверхностях чрезвычайно усложняет расчеты, поскольку отраженные и преломленные волны интерферируют друг с другом, и в стержне создается сложная картина подвижных напряжений сжатия и растяжения. Коэффициенты в волновых уравнениях, описывающих эти процессы, на первый взгляд систематизации не поддаются, поэтому в литературе можно найти преимущественно решения частных задач расчета ступенчатых систем. В работе [2] предложена достаточно универсальная методика расче-

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

61

та многоступенчатых систем, базирующаяся на общих исходных уравнениях волновых состояний. Однако с помощью этой методики можно определять только параметры идеально плоского удара, поскольку уравнение (1) в явном виде там не используется.

Для получения результирующего волнового уравнения системы должны быть выведены уравнения, определяющие мгновенные скорости при-контактных сечений ударника и волновода. Разность этих скоростей даст нам необходимое волновое уравнение системы (1). Волновые процессы в стержнях-ударниках с внутренними граничными поверхностями подробно рассмотрены автором в работе [3], где выведено базовое волновое уравнение динамики такого стержня с произвольным конечным числом ступеней равной длины. Для вывода использован метод волновых диаграмм [1, 2, 4], основанный на замене аналитических решений волновых уравнений в частных производных уравнениями, использующими основные законы динамики и базовое положение волновой теории удара о конечности и определенности скорости распространения напряжений и деформаций в телах. В работе [3] показано, что независимо от числа ступеней волновые процессы в ступенчатом стержне-ударнике всегда описываются общим уравнением

V, = V, - А (р, ^ + К2 +... + /Г., (4)

<-0 со

где У, - скорость приконтактного сечения в течение /-го временного интервала; Р,- сила, действующая на поверхность контакта в течение /-го временного интервала; Р,, Р2, ..., Ри - силы, действовавшие в течение предыдущих временных интервалов; С0-волновое сопротивление ступени, прилегающей к поверхности контакта. Конфигурация ступенчатого ударника (количество внутренних граничных поверхностей и их расположение) учитывается значениями коэффициентов Ь/1>, Ьг(1), ... , Ьи(1>. Базовое волновое уравнение гладкого ударника является частным случаем уравнения (4), когда Ь/1> = ьм = ... = = 1. Обозначим длину одной ступени ударника как 101. Тогда в уравнении (4) Р, есть сила, действовавшая на поверхность контакта в период времени от нуля до Г, = 2101 /а,, Р2 - сила, действовавшая в период от дot2 = 4101 /а,, Р3 -сила, действовавшая в период от ^ до = 61а1 /а, и т. д. По аналогии с обозначениями, принятыми в [4, 5], запишем

"'

Волновые процессы в стержнях-волноводах с внутренними граничными поверхностями детально рассмотрены в предшествующей работе [6], где анализировались расчетные схемы со свободным волноводом и с волноводом, опертым на жесткую

недеформируемую преграду. В этой работе выведено соответствующее базовое волновое уравнение стержня-волновода с произвольным конечным числом ступеней равной длины, которое независимо от числа ступеней и граничных условий на неударном торце имеет вид

+ , (5)

где 1/7- скорость приконтактного сечения волновода в течение>го временного интервала; Ру - сила, действующая на поверхность контакта в течение/го временного интервала; Р(, Р2, ... , Р - силы, действовавшие в течение предыдущих временных интервалов; С2 - волновое сопротивление ступени волновода, прилегающей к поверхности контакта. Конфигурация стержня-волновода (количество внутренних граничных поверхностей и их расположение) определяется значениями коэффициентов Ь1 (2), Ь2<2), ..., Ь'2К Если обозначить длину одной ступени волновода как 1д2, то в уравнении (5) Рг есть сила, действовавшая на поверхность контакта в период времени от нуля до t1' = 2 102 /а2, Р2 -сила, действовавшая в период времени от Г/до Л,' = 4 1д2 /а2, Р3- сила, действовавшая в период времени от t2'дo Г/=6 102 /а2 и т.д. Поэтому силовые параметры, входящие в уравнение (5), можно обозначить

К)' Р%ШР№У "'"КГ

Методику определения коэффициентов Ь1, Ь2, ..., Ьм в уравнениях (4) и (5) также можно найти в работах [3,6]. Для Л/-ступенчатого стержня со ступенями равной длины независимо оттого, является этот стержень ударником или волноводом, коэффициенты вычисляются с помощью одних и тех же выражений

Ь{= а, г - Ьг = а, г + (1 + г)(в, Ь\)\

Ъ> = "з г + (1 + г)(а, Ь[ + <г, Ъ'г)-Ь, = а, г + (1 + г)(оы Ъ[ + о,_2 Ь[ + а,_, Ъ[ +...),

где Ь/, Ь2 , ..., Ьи'- такие же коэффициенты для стержня с (N-1) ступенями; г-характеристика внутренней граничной поверхности, разделяющей /V-ю и (Ы-1)-ю ступени; а(, а2, ..., а, - вспомогательные коэффициенты, которые, в свою очередь, определяются с помощью следующих выражений:

в, = 1; аг = а, л; |

0з= + (1 + г)(Ч-*;); ... М7)

а, = (1+г)(А,'-л;)+а,., (1 + г)(г.; ]

Входящая в выражения (6) и (7) характеристика г внутренней граничной поверхности, разделяющей ступени с волновыми сопротивлениями Сы и С а также параметр х определяются следующими формулами:

(6)

62

ТЕХНИЧЕСКИЕ НПУКИ

х=г-(\ + г)Ъ[, г =С" С»1

С +с

(8)

Таким образом, при составлении расчетной схемы каждый стержень разбивается по длине на конечное число равных ступеней, причем некоторые граничные поверхности могут быть фиктивными. У фиктивных поверхностей смежные ступени имеют одинаковые волновые сопротивления. Осуществляется нумерация ступеней в направлении от неударного торца к зоне контакта. Если конечной целью является построение контактно-волновой модели и ее численное решение, то длины ступеней ударника и волновода могут не совпадать и могут быть не кратны друг другу. Однако в любом случае длина ступени ударника не должна превышать длину ступени волновода, т. е. должно соблюдаться условие 101 ^ 102.

После этого для каждого стержня отдельно определяются коэффициенты конфигурации Ь1,Ьг, ... ,ЬГ Для расчета коэффициентов используется рекурсивная процедура, которая эффективно программируется при решении задачи на ЭВМ. Так, для определения коэффициентов Ь1, Ь2, ... , Ь1 стержня с N = 4 записываются выражения (6) - (8), в которые входят неизвестные коэффициенты Ь,, Ь2, ... ,Ь1 стержня с N = 3. Отбрасывается ступень 1, прилегающая к неударному торцу, и для получившегося трехступенчатого стержня вновь записываются выражения (6) - (8), в которые входят неизвестные коэффициенты Ь1,Ь2, ..., ^стержня с N = 2. Отбрасывается ступень 2, и для получившегося двухступенчатого стержня записываются выражения (6) - (8), в которые входят коэффициенты Ь7°, Ь°, ..., Ь® стержня с N = 1. Значениями коэффициентов Ь°, Ь°, ... , Ь° учитываются граничные условия на неударном торце стержня. Для свободного стержня Ь° = Ь2°=...= 1. Для стержня, опертого на жесткую недеформируемую преграду Ь°= -1, Ь2°= 1, Ь3° = -1 ит. д. После чего все отложенные вычисления выполняются в обратном порядке. Предложенная методика может применяться для расчета ступенчатых стержней практически любой конфигурации.

Волновые уравнения (4) и (5) базируются на положениях теории плоского удара. Поэтому их совместное решение позволяет, прежде всего, моделировать идеально плоский удар в системе "ударник - волновод" с элементами ступенчатой формы. Получаемые при этом результаты не противоречат данным других исследователей. Так, например, все решения, найденные для ступенчатых систем в работе [1], являются частными случаями уравнений (4) и (5). Процедура расчета параметров идеально плоского удара в системе со ступенчатыми элементами сводится к построению

расчетной схемы и записи волновых уравнений (4) и (5) для всех интересующих временных периодов. После чего по методике, изложенной выше, вычисляются коэффициенты, входящие в эти уравнения. Совместное решение уравнений позволяет рассчитывать параметры волновых состояний и строить графические зависимости, аналогичные приведенным в [1].

С другой стороны, при построении контактно-волновой модели необходимо располагать волновым уравнением системы (1), связывающим разность мгновенных скоростей приконтакгных сечений ударника и волновода со скоростью деформации контактной зоны. Подставляя (4) и (5) в (1), получаем искомое уравнение

da dt

А

F + 2 b'1' F,

К)

'2 ^Ü-i F¡

2ЬЦ13 F,

К)К)

Рг

F + 2b¡2' F,

(-Í)

•"в'КГ-

(9)

Волновое уравнение (9) обладает достаточной универсальностью, включая известные волновые уравнения систем с гладкими стержнями как частные случаи. В рамках метода Сирса возможно совместное решение уравнения (9) с любым уравнением, определяющим силовую характеристику зоны контакта F = f(a) . Таким уравнением может быть, например, известная зависимость, полученная Герцем для упругих деформаций [1, 4]. Однако, более универсальной является силовая характеристика, предложенная в работе [5]. Зависимость имеет вид степенной функции с переменным показателем степени при а, зависящим от материалов тел и скорости соударения. При малых скоростях и упругих деформациях функция обеспечивает приближение величины показателя к 3/2, при больших скоростях и пластических деформациях

- к 1. В результате получена общая математическая модель продольного удара в системе "ударник

- волновод". Эта модель позволяет учесть закругление контактных поверхностей, а также различную конфигурацию ударника и волновода (сфера, гладкий или ступенчатый стержень). Кроме того, могут быть приняты во внимание различные граничные условия на неударном торце волновода. Выбранная силовая характеристика F = f(а) позволяет учитывать как упругие, так и пластические деформации, возникающие в контактной зоне, а вид волнового уравнения (9) дает возможность адекватно описывать распространение упругих волн вне зоны контакта. Модель, использующая эти уравнения, была реализована в среде визуального программирования Delphi. Практическое применение полученной математической модели дало

результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными.

Математическая модель, базирующаяся на волновом уравнении (9), может быть применена при проектировании силовых импульсных систем самого различного назначения: электрических и пневматических молотков, перфораторов для горного дела и строительства, кузнечно-прессового оборудования. Кроме того, она может быть использована на предприятиях машиностроения, занимающихся проектированием и созданием ударных испытательных стендов и устройств.

Литература

1. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчеты ударных систем. - М.: Наука, 1969.

2. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. - М.: Наука, 1985.

3. Малков О.Б. Динамика ударников стержне-

вой формы с внутренними граничными поверхностями // Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1998. -12с. -Библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 3480. -В 98.

4. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел // Пер. с англ. - М.: Стройиздат, 1965.

5. Стихановский Б.Н. Передача энергии ударом // Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1995. - Ч. 2 и 3. -146 с.-Библиогр.: 42 назв. -Деп. в ВИНИТИ, № 1729.-В 95.

6. Малков О. Б. Динамика волноводов стержневой формы с внутренними граничными поверхностями И Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1998. -14 с. - Библиогр.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ, №3479. - В. 98.

28.12.98 г.

Малков Олег Брониславович - канд. технич. наук, доцент кафедры деталей машин Омского государственного технического университета.

Информационно-измерительные

приборы и системы

В.И.Телешевский, Е.В.Леун, Н.Н.Абдикаримов

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАЗЕРНОГО АКУСТООПТИЧЕСКОГО ДАТЧИКА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ СМЕЩЕНИЯ ГРАНИЦЫ ДЕТАЛИ

Представлены результаты исследований лазерного акустооптического датчика (ЛАД) для измерения смещений границы детали с фазовым и частотным выходами. Предложено фазочастотное преобразование датчика осуществлять в электронном канале. Такой датчик позволяет исключать нелинейные эффекты в виде гистерезиса и частотных перескоков, определять положение границы объекта в режиме "абсолютного отсчета".

Введение

При измерении размеров деталей осуществляются две операции: 1) определение положения границ, 2) определение расстояния в интервале между этими границами. Среди оптических средств измерений получило распространение сочетание, при котором первая операция чаще выполняется амплитудным датчиком (измерение амплитуды оптического сигнала), а вторая - интерферометром (измерение фазового набега световых волн). Погрешность определения границ детали при использовании амплитудного датчика составляет « 0,5-1 мкм. При измерении расстояния между этими границами лазерными интерферометрами, производимыми фф. "Hewlett-Packard" (США), "Zygo"(CllJA), "Renishaw" (Великобритания), погрешность не превышает 0,05 мкм/м. Значительный резерв повышения точности измерений размеров деталей заключается в снижении погрешности измерений первой измерительной операции, которую перспективно реализовать за счет схем, основанных также на измерении фазового набега

световых волн. Поэтому разработка интерферомет-рических способов определения положения границы детали является актуальной задачей.

В данной статье рассматривается лазерный акустооптический датчик (ЛАД), который позволяет определять смещение границы детали в режиме "относительного отсчета". В настоящее время ведутся дальнейшие исследования в этом направлении, которые связаны с поиском путей решения задачи определения положения границы детали в режиме "абсолютного отсчета".

Прототип ЛАД в виде гетеродинной схемы для исследования ультразвуковых полей был предложен в [1]. В нем нулевой Е(0) и первый Е(+1) дифракционные порядки, образующие между собой малый угол а=Х/А, где \ и А - длины световой и ультразвуковой волн, формируют пространственную интерференционную картину (ИК), которая регистрируется в ближней (френелевской) зоне. В работе [2] предложено и теоретически обосновано устройство нового типа - акустооптический гетеродинный сенсор, позволяющий измерять фазовый набег све-