CC BY
18
О. Б. МАЛКОВ, С. И. УСЕНКО
Омский государственный технический университет, КБ "Полет", г. Омск
УДК 531.66:519.711.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ В РАЗЛИЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЕВОЙ УДАРНОЙ СИСТЕМЫ_
РАССМАТРИВАЕТСЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ В СЕЧЕНИЯХ УДАРНОЙ СИСТЕМЫ, ВКЛЮЧАЮЩЕЙ СТЕРЖЕНЬ-УДАРНИК И СТЕРЖЕНЬ-ВОЛНОВОД С ВНУТРЕННИМИ ГРАНИЧНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ. МЕТОДИКА БАЗИРУЕТСЯ НА УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ СТУПЕНЧАТЫХ СТЕРЖНЕЙ И ПОЗВОЛЯЕТ ДЛЯ ЛЮБОГО СЕЧЕНИЯ ПЕРЕСЧИТАТЬ ИМЕЮЩУЮСЯ ЗАВИСИМОСТЬ СИЛЫ ОТ ВРЕМЕНИ В ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ОТ ВРЕМЕНИ.
Задача создания расчетной методики, позволяющей определять скорости и ускорения в различных сечениях стержневой ударной системы, является весьма актуальной. Это связано с вопросами отработки удароустойчиво-сти изделий самых различных отраслей машиностроения и приборостроения. В частности, механический удар является одним из основных видов внешнего воздействия на бортовое оборудование летательных аппаратов. Это явление возникает при включении и выключении двигательной установки, а также при срабатывании пиротехнических средств системы разделения. Ударный процесс может характеризоваться зависимостью силы от времени или зависимостью ускорения от времени. В основе большинства формирователей ударного импульса лежит, как правило, стержневая система "ударник - волновод". При этом чаще всего ударник и волновод имеют сложную многоступенчатую форму, что обусловлено различными конструктивными причинами. Элементы таких систем можно рассматривать как стержни с внутренними граничными поверхностями. Конструктивно внутренняя граничная поверхность представляет собой резкое изменение площади поперечного сечения или границу различных материалов. При этом каждая ступень характеризуется определенным значением волнового сопротивления [1]:
С = Бар,
где в - площадь поперечного сечения ступени, а - скорость распространения продольной волны, г - плотность материала. В работе [2] выведены уравнения динамики ступенчатого ударника и ступенчатого волновода, однако их практическое применение было ограничено получением зависимостей силы от времени в различных сечениях ударной системы. Между тем, эти же уравнения позволяют определять не только силы, но и скорости частиц в этих сечениях, а уже от скоростей перейти к ускорениям, как к конечной цели расчета.
Сформулируем основные требования, которым должна соответствовать ударная система. Каждый из стержней должен быть разбит на ступени равной длины, причем время распространения волны по ступени ударника /0) /а, должно быть равно времени распространения волны по ступени волновода 102/ г}. Некоторые из внутренних граничных поверхностей могут быть фиктивными. Пример
Го
системы, удовлетворяющей указанным условиям, показан на рис. 1. Ударник, движущийся со скоростью \/0, взаимодействует с неподвижным волноводом, свободным или опертым на жесткую преграду. Конфигурацию такой системы можно определить, задавая геометрию и материалы контактирующих ступеней (на рисунке заштрихованы), а также систему коэффициентов, косвенно определяющих геометрические и физико-механические параметры прочих ступеней ударника и волновода. Эти же коэффициенты должны содержать информацию о граничных условиях на неударных торцах стержней [2].
При идеально плоском ударе зависимости скоростей и сил в сечениях от времени имеют ступенчатый характер. В этом случае скорость контактной поверхности п-ступенчатого ударника в течение /'-го временного интервала, соответствующего времени двукратного прохождения волны по одной ступени, определяется уравнением, выведенным в работе [2]:
у = у0 - А (н; ь?) + ^ ь<!> +...+IV, ь<!>)- -5-, 0 >
Цп Цп
где Рг сила, действующая на поверхность контакта со стороны ударника в течение /-го временного интервала; Я,, Р,, ..., - силы, действовавшие в течение предыдущих временных интервалов; С1П- волновое сопротивление п-й ступени ударника, прилегающей к поверхности контакта. Соответственно, скорость контактной поверхности /(-ступенчатого волновода в течение /-го временного интервала определяется уравнением из работы [2]:
V, = ^ (г, Ьр_| + р2 ь£! + ... + Рм Ьр>)+ , (2)
2к ^Лк
где Я - сила, действующая на поверхность контакта со стороны волновода в течение /-го временного интервала; Р1, .....Р., - силы, действовавшие в течение предыдущих временных интервалов; С!к - волновое сопротивление контактирующей ступени волновода. Эти уравнения являются общими для стержней с любым количеством ступеней. Коэффициенты конфигурации В111 =(Ь/", Ь2''',..., Ьи11>) и В21 =(Ь1'2> , Ь.''" , ... , Ь./2^ содержат совокупную информацию о каждом стержне: количество ступеней, свойства внутренних граничных поверхностей, граничные ус-
1 2
Сп С,2
^ 1/1/
Сл
С«
С21
7
Рис.1
105
ловия на неударном торце. Методику расчета коэффициентов можно найти в [2].
Совместное решение уравнений (1) и (2), записываемых для каждого временного интервала, дает значения сил Я, , Р , и т. д. Располагая последовательностью значений силы в плоскости контакта и коэффициентами конфигурации стержней, можно с помощью уравнений (1) и (2) рассчитать значения скорости контактного сечения. Скорость в течение /'-го временного интервала сечения, разделяющего ступени ударника с волновыми сопротивлениями С,п1 иС,л, определяется уравнением, имеющим ту же структуру, что и (1):
Ьй + ^ ' +■ ■■ ■■ ■+ «"и ь|"'
ЧпН V )
где /- сила, действующая в сечении в течение /-го временного интервала; ..., , - силы, действовавшие в этом же сечении в течение предыдущих временных интервалов; С, волновое сопротивление (п-1)-й\ ступени ударника. Массив В11'' , Ь/"', ... , Ьи"г) содержит
коэффициенты конфигурации ударника без л-й ступени. Процесс можно продолжить и далее. Соответственно скорость в течение /'-го временного интервала сечения, разделяющего ступени волновода с волновыми сопротивлениями С2к1 и С2Л, определяется уравнением, по структуре аналогичным уравнению (2):
*~2к-! V / 2 к-1
где f- сила, действующая в сечении в течение /'-го временного интервала; fvfг, ..., ( (- силы, действовавшие в этом же сечении в течение предыдущих временных интервалов; С2Й волновое сопротивление (к-1)-Л ступени волновода. Массив В<2>' =(,Ь/2,'| £>/>', ..., Ь _<гу) содержит коэффициенты конфигурации волновода без к-й ступени. Аналогично могут быть построены уравнения и для других сечений волновода.
Уравнения вида (1) - (2) дают возможность получить значения скорости частиц в любом внутреннем сечении ударника и волновода. При расчете скоростей в сечениях, совпадающих с неударным торцом стержня, необходимо учесть следующее. В сечении, опертом на жесткую преграду, перемещения и скорости равны нулю. Зависимости для скоростей на свободном торце можно получить, используя базовое уравнение, связывающее параметры волновых состояний в рассматриваемом сечении [1, 2]:
рц _ = ± с (ус - Ум), (3)
где \/н и Ус - новые и старые значения сил и скоростей.
Рассмотрим волновую диаграмму свободного двухступенчатого стержня-ударника, двигавшегося до удара со скоростью У„(рис. 2).
Запишем уравнения вида (3), связывающие параметры показанных на рисунке волновых состояний, последовательно возникающих в сечении С, совпадающем со свободным торцом ударника:
Г, -0 = С„ (У0- \У,), 0-Г, =-Си (V/, -и,),
г2 -о = с„ (и, -\У2), о-г2 =-с„ (\у2 -и2), г,-о = сп (и2 - чу , ), о — Г-, = -Сп (ЧУ3-из).
Совместное решение этих уравнений приводит к последовательности выражений, связывающих скорости частиц на свободной поверхности Ц со скоростями частиц в смежном сечении ударника И/.;
и,=2\У,-У0, и2=2(\У2-\У,) + У0, I и2 =2 (ЧУ,-\У2 + \У,)-У0 ,
у
Выполняя аналогичные действия с расчетной схемой неподвижного до удара волновода, находим, что зависимости, связывающие скорости частиц на свободной поверхности волновода со скоростями частиц в смежном сечении, также имеют вид (4), но с учетом = 0.
Таким образом, модель идеально плоского удара дает возможность определить все необходимые соотношения, связывающие силы и скорости в различных сечениях ударной системы, однако получить значения ударных ускорений с ее помощью невозможно. Ступенчатый характер зависимости скоростей от времени предполагает скачкообразное изменение скорости за время, равное нулю, поэтому ускорение оказывается бесконечно большим. Между тем, известно, что в реальных условиях ударный импульс практически всегда имеет сглаженную форму с выраженными фронтами нарастания и спада нагрузки, что объясняется закруглением контактирующих торцов стержней. Моделировать удар в системе с закругленными торцами позволяет комбинированный метод Сирса [1], объединяющий волновую теорию плоского удара для стержней и статические решения контактной задачи теории упругости. В ударной системе можно выделить участки с неравномер-
ным распределением напряжении и участки, где напряжения распределены практически равномерно. Длина при-контактного участка с неравномерным распределением напряжений составляет
d: = Г;
£
(1 + Ц,)(3-2ц,)
= 2,5
где г,, д. - соответственно радиус круга поперечного сечения и коэффициент Пуассона первого (/=7) или второго (/=2) тела. Таким образом, в зоне контакта сила изменяется по некоторому определенному закону, а вне этой зоны на расстоянии большем, чем di , распространяются уже сформированные упругие волны с равномерно распределенными по поперечному сечению напряжениями. Следовательно, для контактно-волновой модели будут справедливы полученные выше выражения, поскольку они относятся к тем участкам стержней, в которых фронт волны можно считать плоским. Модель, использующая подход Сирса, описана в работах [2,3]. Она включает дифференциальные уравнения 1 -й и 2-й фаз удара, в ходе численного решения которых определяется зависимость силы от времени в контактной зоне. По методике [2] определяются аналогичные зависимости для других сечений.
При разработке программного обеспечения, обеспечивающего расчет скоростей и ускорений в различных сечениях ступенчатой стержневой системы, за основу было взято приложение, реализующее контактно-волновую модель в среде визуального программирования Delphi [4]. Был добавлен блок, осуществляющий расчет значений скорости по полученному массиву значений силы с помощью выражений вида (1) - (2), если сечение является внутренним. Если задана свободная поверхность, то выполняется последовательный расчет зависимостей силы и скорости от времени для всех внутренних сечений стержня, после чего значения скорости на свободном торце определяются с помощью выражений (4). Расчет ускорения в сечении в каждый момент времени сводится к решению задачи численного дифференцирования таблично заданной функции с помощью известной формулы
w, = Ь- V.)
2 АХ
где Д t - шаг по времени при численном решении дифференциальных уравнений контактно-волновой модели.
Методика была практически использована при расчете ударных перегрузок, возникающих на элементах конструкции космического аппарата "Чемп" при срабатывании пиротехнических средств системы отделения. Система отделения содержит четыре пиротолкателя, обеспечиваю-
щих в исходном состоянии механическую связь космического аппарата и ракеты-носителя. На рис. 3 показана схема работы пиротолкателя. Его основными узлами являются: корпус 1, поршень 2, шток 3, гильза 4, вкладыши 5. При срабатывании пиропатронов газы через коллектор системы отделения 7 попадают в подпоршневую полость. Поршень, перемещаясь, приводит в движение шток. Шток срезает чеку, фиксирующую его положение относительно гильзы. В результате относительного перемещения штока и гильзы вкладыши сходят в зону меньшего диаметра. Нарушается механическая связь между гильзой и корпусом, и космический аппарат 8 отделяется от рамы ракеты-носителя 6.
Ранее специалистами Центра прочности ЦНИИМАШ Российского космического агентства совместно с отделом прочности КБ "Полет" были проведены испытания по уточнению характеристик ударных процессов при срабатывании пиросредств. Измерялись и анализировались уровни ударных ускорений на космическом аппарате при его отделении. Эксперименты зафиксировали достаточно сложный виброударный процесс с амплитудными значениями ускорения поря/: а 40000 м с2. Пиротолкатель можно рассматривать как многоступенчатую стержневую ударную систему, состоящую из нескольких элементов, разновременно взаимодействующих друг с другом. Относительное перемещение деталей и узлов с высокими скоростями приводит к последовательному соударению поршня и штока, поршня и гильзы, штока и гильзы. Наибольшие перегрузки возникают при ударе поршня по гильзе, поскольку к моменту соприкосновения поршень развивает скоростьдо 12 мс"1. При расчете этого ударного процесса поршень (ударник) моделировался стержнем, состоящим из 19 ступеней с 5 реальными внутренними граничными поверхностями. Гильза (волновод) моделировалась стержнем, состоящим из 11 ступеней, с 3 реальными внутренними граничными поверхностями. Зависимость ударного ускорения от времени в зоне контакта показана на рис. 4, в расчетном сечении, соответствующем внутренней поверхности рамы космического аппарата, - на рис. 5. Обе зависимости приведены в безразмерном виде. За единицу времени принято время распространения волны по одной ступени. Размерное IV и безразмерное и/ ускорения связаны соотношением
V,..
\у =
ш-
МК '
где начальная скорость ударника, (0- время распространения волны по одной ступени ударной системы, Х-отношение волновых сопротивлений контактирующих ступеней волновода и ударника.
3 г
V мм --' У 1
1
\лг 0.896
0.448
0.000
-0.448
-0.896
65.36 I
V/ 0.00У
0.004
И.000
-0.004
-0.009
Полученные результаты вполне удовлетворительно согласуются с данными экспериментальных исследований Центра прочности ЦНИИМАШ. Расчетное значение амплитуды ударного ускорения составляет 55000 м с'2. Это выше экспериментально зафиксированного на 37 %, что объясняется упрощениями, принятыми при составлении расчетной схемы. Для прикладных расчетов параметров ударных процессов такое расхождение является допустимым. Полностью подтвердились также выводы о снижении уровня ударных ускорений по мере удаления в радиальном направлении от оси пиротолкателя. Это доказывает эффективность предлагаемой методики, которая может быть использована для расчетов ударных перегрузок как в динамических испытательных системах, так и в машинах иного назначения, в которых относительное перемещение деталей и узлов с высокой скоростью может сопровождаться механическим ударом.
72.08
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров Е. В., Соколинский В. Б. Прикладная теория и расчеты ударных систем.-М.: Наука, 1969.-201 с.
2. Малков О. Б. Расчет ударных импульсов в ступенчатых стержневых системах: Монография. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2000. -112 с.
3. Малков О.Б. Расчет ударного импульса, формируемого в стержневой системе наиболее общего вида // Омский научный вестник. -Вып. 8. - 1999. -С. 84-86.
4. Малков О.Б. Реализация математической модели продольного удара в стержневой системе общего вида// Омский научный вестник. - Вып. 9.-1999. - С. 67 - 70.
МАЛКОВ Олег Брониславович - к, т. н., доцент, докторант кафедры «Детали машин», ОмГТУ
УСЕНКО Сергей Иванович - КБ «Полет».
