Расчет цилиндрической оболочки кусочно-постоянной толщины, изготовленной из композиционного материала, с учетом поперечных сдвигов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Механика

УДК 532.4

РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ КУСОЧНО-ПОСТОЯННОЙ толщины, ИЗГОТОВЛЕННОЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ

А. Г. Погосян

1

Определяются оптимальные значения геометрических и физических параметров ступенчатой цилиндрической оболочки, обеспечивающие ее наибольшую несущую способность при заданных габаритных размерах и весе. Оболочка изготовлена из композиционного материала. В основу расчета положена уточненная теория анизотропных оболочек, в которой учитывается влияние поперечных сдвигов на напряженно-деформированное состояние.

Ключевые слова: оптимизация, оболочка, композиционный материал, ортотропия. прочность.

On the basis of the refined theory of anisotropic shells, which takes into account the impact of transverse shear on the stress-strain state of the shell, the optimum values of the geometric and physical parameters of the composite material-made cylindrical shell of stepped lengthwise section, ensuring the greatest bearing capacity of the shell at a given its assigned weight and overall dimensions, are determined.

Key words: optimization, shell, composite material, orthotropic. strength.

При расчетах тонкостенных элементов конструкций, изготовленных из композиционного материала (КМ), факторы, которыми пренебрегают в классической теории оболочек, могут существенным образом повлиять на определение напряженно-деформированного состояния. В связи с этим зачастую приходится использовать уточненные модели расчета оболочек и пластин, учитывающие влияние поперечных сдвигов. В настоящей работе на основе уточненной теории анизотропных оболочек С.А. Амбарцумяна [1], в которой учитывается влияние поперечных сдвигов на напряженно-деформированное состояние конструкции, рассматриваются вопросы оптимального проектирования цилиндрической оболочки ступенчато-переменной толщины, изготовленной из КМ.

Постановка задачи. Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка радиуса R, длины 2L, толщины ho с жестко закрепленными, свободно смещающимися вдоль оси цилиндра торцевыми краями х = ±L иод действием внутренних) равномерного давления q. Предполагается, что оболочка изготовлена из КМ путем поочередной укладки его монослоев иод углом ±9 к оси х оболочки (рисунок).

На основе уточненной теории анизотропных оболочек [1| решается задача оптимального перераспределения толщины оболочки путем ее усиления в зоне краевого эффекта и выбора угла 9, обеепечиваю-

Расчетная схема оболочки

1 Погосян Ареошат Гураеиооич капд. физ.-мат. паук. пауч. сотр. каф. алгоритмических языков и программирования ф-та компьютерных систем и информатики Нац. политехи, уп-та Армении. е-шаП: arevpogliosyanOmail.ru.

щих наибольшую несущую способность оболочки. При этом предполагается, что на участке —а ^ х ^ а она имеет толщину Л-2, а на участках — Ь ^ х ^ —а и а ^ х ^ Ь — толщину при условии сохранения ее общего веса:

Ь{к1-к0) = а{к1-к2). (1)

Таким образом, поставленная задача оптимального проектирования заключается в определении оптимальных значений геометрических а, Л-2 и физического в параметров оболочки, обеспечивающих наибольшее значение допустимой из условия прочности нагрузки д при неизменном весе и заданных габаритных размерах £ = Ь/И оболочки. Аналогичная задача на основе классической теории оболочек рассматривалась в работе [2].

С помощью уточненной теории определяется напряженно-деформированное состояние оболочки в каждой из ее областей (р = 1,2), соответствующих толщинам и Л-2, с удовлетворением условий сопряжения на линии их раздела. При этом ввиду симметрии рассматривается половина оболочки (х ^ 0).

Разрешающие дифференциальные уравнения уточненной теории осесимметрично нагруженной ортотропной цилиндрической оболочки для ее составляющих областей запишутся в виде [1]

Я (1х2 12 (1х ^ Пр (1х4 К с1х2 ' и

(р) (Ри}р Щ, (р) <12<рр Щ

где гУр(ж), Рр(х), ^рр{х){р = 1,2) — искомые функции; Г2Р = — (С^)2, С^ = В^кр,

(ту) 1

= - (г, к = 1,2); й55 = ——; Вц^ — упругие характеристики КМ в главных геометриче-

12 и 13

ских направлениях оболочки, определяемые через его характеристики в главных физических направлениях В®к по известным формулам поворота [1]; С\з — модуль сдвига КМ, характеризующий изменение углов между осями х, г.

Внутренние силы и изгибающие моменты определятся по формулам

Т(Р) = С(р) ^ С(р) ^ = 0 ф = = ^ + , (4)

11 (1х К у (1х2 22 К и <1х

п(р) - м- -£>(р) ^^ + ^ п(р)0„ ^Е м(р) - £Ё. м(р)т

Я* 12 4>р, мх Лх2 + ии а55 йх , Му Мх т,

где ир(х) — продольные перемещения точек срединной поверхности оболочки.

Из уравнений (4) следует

_ Cjíd^ dup _ cff d2Fp R Qp dx2 ' dx Qp dx2

(5)

Выражения искомых функций, удовлетворяющих уравнениям (2), (3) и первому из условий (5), представляются в виде [1]

Vp = h3R{a2+l32p)2 [ К) (4 -Ф- 2С2] Ор/Зр) COS РрХ+

+ (cf\a2p - (3¡) + 2 с[р)ар(3р) ea"xsm/3px + (cf\a2p - (3¡) + 2 C^apf3p) е~а?х cos (3px+ + (cf\a2p - fi2p) - 2 C^apfip) e~a"x sin fjpx] ,

(P) « г , n n

Cf (ap eos Ppx + f3p sin fipx) + Cvf (<%> sin (3px — ¡3P eos fipx)) eapX +

C^R

%{a2P + Pp)

+ (c^ (J3P sin /3px — ap eos ¡3px) — С^ (J3P eos ¡3px + ap sin ¡3px)) e ap!1

17 ВМУ, математика, механика, №4

г<(р)

i „ r¡2

+ 1Гдñ '

J Lp

1

d2Fv

dx2 {al + /З2)

+ (Сg (fjp sin fjpX — av eos (3px) — Cf (fjp eos fjpx + av sin (3px)) e

1

cg (ap eos Ppx + (3P sin fipx) + Сg (ap sin ¡3px — ¡3P eos fipx)) eapX +

где ap

+ qR,

rip + mp i юр — пор

-o-. Pp = '

Коэффициенты Сg (j = 1, 2, 3, 4; p = 1,2) определяются из условий

1) симметрии:

2) жесткой заделки:

Пп — Шп 3 055 Q„

ГПг ~

П,

5 С(р) hpВ?

i пр

1

R V C$D<¡¡>'

= 0,

dw 2 dx

= 0 при х = 0;

dw 1 а55 (h\ z2\ wi = 0, —— Н — ( —---— J(/?i = 0 при z = ±h2, х = Ц

3) сопряжения:

dwi а55 f hj z2\ dw2 a55 (h\ z2\

Wl=w2, -— + _ - _ j ^ = + __(___ j при z = ±h2, x = a,

при z = ±h2, x = a.

Компоненты деформации в произвольных точках оболочки в направлении оси жив окружном направлении у имеют вид

е(р) = dup_z d2w.

í h2

'p Я-55 / llp

dx

dx2 +Z 2

z \ difip

dx

h h

< z < ПР

2 '

e(p) _ 0-12

Деформации по главным физическим направлениям оболочки (в направлениях укладки монослоев КМ) определяются по формулам

eg = egcos20 + eg sin2 eg = eg sin2 0 + eg cos2 eg = (eg - eg) sin 20,

а напряжения в тех же направлениях — по формулам

Jp) _ до (Р) , Ro (Р) "11 — -°11е11 + -°12е22>

гг(р) - fí° Р{р) + R0 Р(р) "22 — 12^11 + -°22е22 '

гг(р) - В0 е(р) <71 о — JJfifiei

'12 - 66^12 •

Условия прочности для каждой из областей оболочки принимаются в виде [3]

а

(р)' 11

Ri

+

а.

(рУ 22

R2

+

а

(рУ 12

То

^ = 1,2,

(6)

где К\, К2, То — прочностные характеристики КМ.

В каждой из областей оболочки допустимые значения давления

и д2 определятся из условий прочности (6), записанных в виде равенств для наиболее опасных точек соответствующих областей:

max

x,z

а

(р)' 11

Ri

+

<7

(р)' 22

д2

+

а

(рУ 12

То

а(р)а(р)

"11 22 Д?

= 1,

р = 1,2.

К

Очевидно, что по толщине оболочки наиболее опасными будут точки г = ±—.

Допустимое значение внутреннего давления для всей оболочки определяется из условия

д = тт(<?1,<?2). (7)

Поставленная задача оптимального проектирования заключается в определении оптимальных значений параметров оболочки а, Н\, Н2 и в, обеспечивающих наибольшее значение допустимой из условия (7) нагрузки при неизменном весе оболочки, соответствующем условию (1), и заданных габаритных размерах £ = Ь/К. Решение этой задачи сводится к следующей задаче нелинейного программирования.

Определить

qo = mptq, х = (а,Н\,Н2,0) (8)

при ограничениях

а

-Ао-МЧ)], (9)

10"3Е < Н2 < hQ, ho < hi < R/5, 0 ^ 6> ^ тг/2. (10)

Здесь q — целевая функция, определяемая из условия (7); ж — вектор управления. Ограничение (9) следует из условия постоянства веса конструкции (1), первые два из ограничений (10) обусловлены пределами применимости уточненной теории тонких оболочек. Задача (8)—(10) решается методом деформируемого многогранника [4].

Результаты расчетов. Численные расчеты проведены для следующих значений толщины оболочки:

7г0 = /¿о/Л = 0,0025; 0,005; 0,01; 0,02; 0,05; 0,075; 0,1 при значениях £ = 0,5; 1,0; 2,0. В качестве материала принят КМ с характеристиками

Б°2 = В°22/В°п = 0,6164; = В°12/В°п = 0,12; = В°т/В°п = 0,1572;

E2 = 0,403Ei; To = 0,64RI; Gi3 = G^/B^ = 0,1572.

В таблице указаны оптимальные значения параметров оболочки а = a/L, h\ = H\/R, h2 = h2/R, 9 и соответствующие значения приведенной нагрузки q0 = qo/R-

С h0 а h1 h2 <9° qo ■ Ю2 Го ■ ю2 gd • Ю2

0,0025 0,77 0,00465 0,00186 90 0,1485 0,0753 0,1523

0,005 0,71 0,00880 0,00345 90 0,2741 0,1529 0,2771

0,01 0,63 0,01620 0,00636 90 0,5016 0,3147 0,5031

0,5 0,02 0,46 0,02690 0,01190 90 0.9607 0,6686 0,8910

0,05 0,31 0,05790 0,03242 90 2,3915 2,0391 2,0866

0,075 0,29 0,08155 0,05896 90 3,8975 3,6395 3,0001

0,10 0,29 0,10190 0,09547 90 5,9995 5,9131 3,8623

0,0025 0,87 0,00515 0,00210 90 0,1688 0,0753 0,1723

0,005 0,83 0,0098 0,00402 90 0,3238 0,1529 0,3275

0,01 0,80 0,0193 0,00767 90 0,6040 0,3147 0,6093

1,0 0,02 0,69 0,03185 0,01468 90 1,1942 0,6686 1,1151

0,05 0,60 0,0675 0,03833 90 3,0995 2,0391 2,4210

0,075 0,53 0,08995 0,06174 90 5,0526 3,6395 3,3812

0,10 0,58 0,10900 0,09348 90 7,2514 5,9131 4,2712

0,0025 0,93 0,00555 0,00227 90 0,1839 0,0753 0,1854

0.005 0,90 0,0105 0,00439 90 0,3591 0,1529 0,3631

0,01 0,87 0,01965 0,00856 90 0,6993 0,3147 0,6929

2,0 0,02 0,83 0,03555 0,01682 90 1,3764 0,6686 1,3101

0,05 0,73 0,0713 0,04212 90 3,5618 2,0391 2,9658

0,075 0,72 0,09480 0,06730 90 5,6967 3,6395 4,2218

0,10 0,63 0,10900 0,09471 90 8,4054 5,9131 5,4060

Для сравнения даны также соответствующие значения приведенных нагрузок qQ, полученные по уточненной теории для оболочки постоянной толщины Но, и значения полученные по классической теории для ступенчатой оболочки [2].

18 ВМУ, математика, механика, № 4

Результаты расчетов показывают, что, как и в случае применения классической теории [2], оптимальное перераспределение материала оболочки в сторону увеличения ее толщины в зоне краевого эффекта приводит к значительному увеличению ее несущей способности. При этом согласно таблице уточненная теория по сравнению с классической дает существенные поправки для оболочек большей толщины. Так, при ho = ho/R = 0,0025; 0,005; 0,01; 0,02 разница значений допустимой нагрузки, полученных на основе уточненной и классической теорий, составляет 6-9%, а при ho = 0,05; 0,075; 0,10 - от 14 до 50%.'

Выводы. Проведенные расчеты позволяют заключить, что применение классической теории изгиба ортотропных оболочек дает практически достоверные результаты для тонких цилиндрических композитных оболочек переменной толщины. В случае сравнительно толстых конструкций следует использовать более точные теории, в которых учитывается влияние поперечных сдвигов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.

2. Belubekyan E.V., Poghosyan A.G., Khanikyan V.M. Optimization of a cylindrical shell piecewise constant thickness, prepared from the composite material // Proc. 4th Int. conf. "Contemporary problems in architecture and construction sustainable building industry of the future". September 24-27, 2012. Vol. 2. Czestochowa, Poland, 612-617.

3. Гольденблат И.И., Коппов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Наука, 1988.

4. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

Поступила в редакцию 30.11.2015

УДК 550.311

ОХЛАЖДЕНИЕ ПОТОКА ЛАВЫ, РАСТЕКАЮЩЕЙСЯ ПО ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Е. А. Веденеева1, О. Э. Мельник2, И. С. Уткин3

В работе рассматривается задача об охлаждении потока лавы, моделируемой вязкой несжимаемой жидкостью, растекающейся по плоской поверхности. Для моделирования свободной поверхности используется известное аналитическое решение в приближении тонкого слоя. Получены значения для толщины температурного слоя у поверхности потока, исследована эволюция температурных полей в лаве.

Ключевые слова: вулканические извержения, лавовые потоки.

The problem of cooling of a lava flow modelled by a viscous incompressible fluid spreading over a flat surface is considered. In order to model the free surface, a known analytical solution is used in the thin-layer approximation. The thickness of a thermal boundary layer is determined and the evolution of thermal fields in the lava profile is studied.

Key words: volcanic eruptions, lava flows.

Для вулканических извержений с небольшими расходами магмы характерно формирование лавовых потоков, которые могут распространяться на десятки километров, причиняя существенный вред инфраструктуре. С целью прогнозирования распространения лавового потока в настоящее время активно применяется математическое моделирование, основанное на методах гидромеханики. Обзор современного состояния проблемы можно найти в работах [1, 2]. Выделяются три класса моделей: модели, основанные на методе клеточных автоматов [3-5], модели, основанные на приближении мелкой воды [1], и, наконец, полностью трехмерные модели [6].

1 Веденеева Елена Анатольевна — канд. фнз.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. гидромеханики НИИ механики МГУ, e-mail: el_vedeneevaQimec.msu.ru.

2 Мельник Олег Эдуардович — чл.-корр. РАН, доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. гидромеханики НИИ механики МГУ, e-mail: melnikQimec.msu.ru.

3 Уткин Иван Сергеевич — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivan.utkin94Qgmail.com.