CC BY
20
УДК 624.072.014.2-415.046.2
МАКСАК ВЛАДИСЛАВ ИВАНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, mksak@mail.ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2,
МАКСАК ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА, докт. техн. наук, профессор, mksak@mail.ru
Сибирский федеральный университет,
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННОЙ БАЛКИ-КРОНШТЕЙНА ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Приводится расчет основного обрешеточного тонкостенного составного неравнобокого двутаврового кронштейна открытого профиля на вертикальную нагрузку. Расчет подтвержден экспериментом.
Ключевые слова: балка-кронштейн; открытый тонкостенный профиль.
MAKSAK,VLADISLAV IVANOVICH, Dr. of tech.sc., prof., mksak@mail.ru
Tomsk state university of architecture and building,
2, Solyanaya sq., 634003, Tomsk, Russia,
MAKSAK, TATIANA VASILJEVNA, Dr.,of tech. sc., prof.,
mksak@mail.ru
Siberian Federal University,
79, Svobodniy avenue, Krasnoyarsk, 660041, Russia
CALCULATION OF A THIN-WALLED BEAM AS AN OPEN PROFILE BRACKET
Calculation of the main latticed thin-walled complex with uneven sides double -T open profile bracket on vertical load is performed. The calculation is confirmed by experiment.
Keywords: beam as a bracket; thin-walled double-T open profile.
Двутавровый кронштейн представляет собой швеллер, полочки которого укреплены накладками. Максимальный вылет консоли кронштейна составляет 0,3 м. Конструкция такого кронштейна представлена на рис. 1. Все элементы выполнены из листовой оцинкованной стали толщиной 5 = 0,55 мм. Ширина полочек швеллера составляет 20 мм, стойки - 60 мм. Ширина накладок равна 40 мм. Соединение накладок и полок швеллера осуществлено расклепкой отверстий. В результате сечение кронштейна представляет собой неравнобокий двутавр с разными по толщине левыми и правыми крыльями полочек.
Расчетная схема кронштейна показана на рис. 2 и представляет собой случай нагружения тонкостенного стержня открытого профиля. При этом имеет место стесненное кручение с центром изгиба и кручение, не совпадающее с центром тяжести сечения.
© В. И. Максак, Т. В. Максак, 2012
ьо
10 50 50 | 50 50 | 50
.
)— -~0— ■ (£)-■ —ф- ^-О— 5
Рис. 1
Рис. 2
В общем случае нормальные нагружения и касательные напряжения определяются по принципу суперпозиции как алгебраическая сумма напряжений, вызываемых отдельными составляющими деформаций. Нормальные напряжения будут определяться по двухчленной формуле
Мху Бг-ю сг = —+ -^-, (1)
X ю
а касательные напряжения в срединной поверхности стержня - по трехчленной формуле
_ QvSXr> + Q1'S7 + М ю ^
-»отс
Ix« Iy5 Im5
(2)
Обычно эти напряжения весьма малы по сравнению с нормальными напряжениями а , а потому не учитываются [1].
Нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости (1) определяются по формуле
а =с = Мxmaxу . (3)
изг Zj У /
x
Здесь Mx max = F • 0,3 Нм, где F - вертикальная нагрузка на кронштейн (рис. 2). Осевой момент инерции 1х может быть определен по формуле
Ix = Jу2dA = ^5, J 6 у • yds .
A i 0
Интервал J у • yds определяется перемножением эпюры у (рис. 3) самой на себя способом Верещагина.
5h2 (186 + h)
I = 2
,„,hh <,,hh „1 hh 2 h
25-b---+ 5b--+ 5-------
22 22 22232
12
Расчетная схема поперечного сечения представлена на рис. 4.
(4)
0,55• 602 (18• 20 + 60) 4 4 4 4 8 4
I = ----------і-----------’- = 69300 мм4 = 6,93-104 мм4 = 6,93 см4 = 6,93-10-8 м4.
х 12
Эпюра нормальных напряжений аизг, вычисленная по формуле (3), показана на рис. 5.
Максимальные нормальные напряжения находятся в сечении при
У = Утах.
Момент сопротивления
I..
W =-
ymax
б 93 •Ю4 3 3 3 б 3
W = —-= 2,3•Ю3мм3 = 2,3см3 = 2,3•Ш-6м3. (5)
x 30
Подставляя (5) в (3), получим:
0 3F
а_ = а =—^----------- = 0,13 •Ю6 F Па = 0,13F МПа. (б)
z 2,3 •Ю-6
У
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Добавочные нормальные напряжения стю от стесненного кручения определяются по второму слагаемому формулы (1), т. е.
В
= —ю.
ю 1ю
(7)
Здесь Вю - бимомент; ю - секториальная площадь; 1ю - секториальный момент инерции.
Эти напряжения могут быть значительными по модулю и существенно видоизменять распределение нормальных напряжений.
Для определения секториальной площади необходимо определить координату ах центра изгиба А (рис. 6).
Точка А является и центром кручения
£
ах =-хюВ-. (8)
В свою очередь,
£хюв = |УювйА = Е5.\уюв^ .
Для определения интеграла произведения функций У и В используем правило Верещагина, а для этого кроме эпюры у (рис. 3) необходимо построить эпюру ю в , которая представлена на рис. 7.
1 *Ь * 1 *Ь * 3
(9)
Х, = 28^1“ь* + 8^1“ь* = ъ-ь'-ь'-ъ.
хю в 2 2 2 2 2 2 4
С учетом (9) и (4) формула (8) принимает вид: 9Ь 9•20
18 + * 18 + 60 Ь 20
= 8,57мм = 0,857см = 8,57 -10-м .
(10)
х
А
0
ах =
С использованием координаты центра изгиба ах построенная эпюра секториальных площадей представлена на рис. 8.
У
ах 1 2 (®В
—•— А
Рис —' ^ . 6 Рис. 7
20
20
/|
857
ах = 8,57
со мм
2
Рис. 8
Сечение изображено при взгляде на него в положительном направлении оси г, как этого требует правило знаков для со .
По эпюре со вычислим секториальный момент инерции I о, умножая эпюру со саму на себя.
1о =|со2сСЛ = ^5,.|со • со сСБ = 2бГ-220 • 8572857 + -220 • 257-2571 +
+25 • 2( ^20 • 2572257 + ^20 • 343-343 | + 25 [ ^30 • 2572257 | =
^ 2 3 2 3 1 ^ 2 3 1
= 16,893 -1065 = 9,29 -106 мм6 = 9,29см6 = 9,29 -10-12м6. (11)
Значение бимомента Во в заделке В0 составляет
В нашем случае
М
В0 =-----гЬкі.
0 к
М = -Р•а .
(12)
(13)
Для определения коэффициента к =
1с =р! 3 ь -53.
І 3
Для двутавра Р = 1,2 .
Тогда
Е/
вычислим 1Л по формуле
1с =
1,2-3 + 60) 0,553 + 20 -1,13 ] = 15,968 мм4
= 15,968 •Ю-4 см4 = 15,968 -10-12 м4.
(14)
0
С учетом (11) и (14), а также G = В • 104 МПа и E = 20 • 104 МПа
= 0,83 м-1.
k =
В • 10415,9бВ -10-12
20 -104 • 9,29 -10-12
В формуле (12)
k £ = 0,83 • 0,3 = 0,249, thk£ = th0,249 = 0,245 .
С учетом (10), (13), (15) и (1б) формула (12) примет вид:
-8,57^10 F 0,245 = 2,53 •ю-3f Нм2.
(15)
(1б)
B0 =-
0,ВЗ
Максимальные напряжения ^шт£К от стесненного кручения (7) будут в слоях с максимальным секториальным моментом.
= = 2,53-10-3 F
о max I max 9 29 10-12
8,57 • 10-4 = 0,2334 • F МПа .
(17)
Эпюра стш представлена на рис. 9. Суммарная эпюра стм +стш представлена на рис. 10.
'0,093F
Рис. 9
ао МПа
Рис. 10
Максимальные суммарные напряжения с учетом (6), (17) находятся на краю тонкой полочки:
атах = аи +аш. = 0,13F + 0,233F = 0,363F МПа.
Предельная расчетная нагрузка F определяется из условия прочности
а < R .
max у
Здесь Ry = 230 МПа - расчетное допускаемое напряжение.
Тогда a = 0,363F < 230.
230
Отсюда Fmax <--------= 634 Н или 63,4 кгс. (18)
0,363
Этот результат хорошо согласуется с экспериментом (рис. 13).
При поперечном изгибе максимальные касательные напряжения Tmax находятся в нейтральном слое и определяются по формуле
егготс Wx max
т =—-----------
max
4 5
Здесь Qy - поперечная сила, которую можно принять как максимальную допускаемую, определенную из условия прочности (18) по нормальным напряжениям Qy = F = 634 Н. Статический момент отсеченной площади SXm^ максимален для секущей плоскости, проходящей через нейтральную ось сечения, совпадающей с центром его тяжести, и определяется по формуле
S°тс = V1 Y A
x max ci i'
i
Здесь Yci - расстояние от оси xi (см. рис. 4) до центра тяжести площади фигуры Ai. Отсеченная площадь в данном случае - это площадь сечения выше оси Xc
S = A • 30 + A2 • 30 + A3 -15 = 0,55 • 20 • 30 + 1,1-20 • 30 + 0,55 • 30 -15 =
x max 1 2 3 7 7 7
= 1237,5 мм3 = 1,238 • 10"6 м3.
Осевой момент инерции Ix определим по формуле
Ix =V
bh
i i
12
• + Yc2 A,
= 2
+ 302 • 0,55 • 20
c
J V
3
12
0,55 • 60'
+ 2
20 •Ц3 12
+ 302 • U • 20
+
12
При этом
= 69,3 • 103 мм4 = 69,3 • 10"9 м4.
634 • 1,238 • 10"6 ______ 6
69,3 •Ю"9 • 0,55 •Ю-3
= 20,6•106 Па = 20,6МПа.
т = 20,6 МПа <[т] = 0,5R = 115МПа .
max 7 |_ j У
При максимальной вертикальной нагрузке касательные напряжения от поперечной силы составляют всего 18 % от разрешенного допускаемого напряжения т . Причем эти напряжения находятся в слоях, где нормальные напряжения равны нулю.
Касательные напряжения TMmax, возникающие от крутящего момента относительно центра вращения А, определяются по формуле
M S °т°
т = MAS ш max
romax j 5 *
Здесь момент МА = Е • а% ; Е - определенная из нормальных напряжений допускаемая сила, равная 634 Н; - статический момент отсеченной пло-
щади, определяемый по формуле
- ото
Б™ = | шаА = 25|ш^Б .
Эпюра Б™ строится как площадь эпюры ш (рис. 8), помноженная на 5 на отсеченном участке контура сечения.
Для рассматриваемого сечения эпюра Б”с представлена на рис. 11.
оотс 4
Бш мм
со
^ , 3676
2730
2156
Рис. 11
Из эпюры принимаем максимальное значение
БГах = 3676 мм4 = 3,68-10-9 м4.
Далее определяем Тштах :
634 • 8,57 -10-3 • 3,68 -10-9
= 3,9 •Ю6 Па = 3,9 МПа.
штах 9,29•Ю-12 • 0,55 -10-3
По условию прочности ттах < [т] = 0,5Лу. Здесь Яу = 230 МПа, т. е. т = 3,9 МПа кк 115 МПа.
штах ’
Эти напряжения чрезвычайно малы.
При экспериментальном исследовании прочности и жесткости кронштейнов нагружение кронштейна силой Е (см. рис. 2) осуществлялось винтовым механизмом (болт-гайка). Нагрузка измерялась динамометром растяжения. Перемещения свободного конца кронштейна измерялись индикатором часового типа с ценой деления 0,01 мм и штангенциркулем. Результаты эксперимента представлены на рис. 12.
Линия 1 - нагружение осуществлялось в плоскости, совпадающей с центром тяжести сечения. При этом наблюдался поворот сечения с отклонением от оси у (см. рис. 2).
Рис. 12
Низкая жесткость кронштейна объясняется ярко выраженной потерей устойчивости сжатой полочки в зоне заделки.
Линия 2 - дополнительная расклепка в зоне, близкой к заделке (рис. 13), была предложена с целью снижения потери устойчивости. В результате жесткость значительно увеличивалась по сравнению с линией 1.
Рис. 13
Линия 3 - плоскость действия нагрузки проходила через центр вращения А (см. рис. 6). В зоне заделки также была осуществлена дополнительная расклепка. В этом случае поворот сечения не наблюдался и жесткость крон-
штейна была значительно выше. Однако увеличить нагрузку не удалось из-за дальнейшей потери устойчивости в той же зоне заделки.
Линия 4 - в зоне заделки была предложена развальцовка элементов, образующих полочку сжатия, как показано на рис. 13. Линия 4 подтвердила увеличение как жесткости, так и несущей способности до 700-750 Н.
В целом экспериментальные исследования подтвердили достоверность теоретических расчетов, при которых Етах = 634 Н = 63,4 кгс.
Библиографический список
1. Справочник металлиста / под. ред. С. А. Чернавского. - М. : Машгиз, 1960. - 95 с.
