CC BY
6
УДК 624.041.5
МАКСАК ВЛАДИСЛАВ ИВАНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, mksak@mail.ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ОСОБЕННОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ ДЕЙСТВИИ НАГРУЗКИ
Рассмотрена статически неопределимая задача. Определены зависимости опорных реакций и внутренних силовых факторов от координаты сечения, в котором приложена внецентренная сила. В зависимости от координаты этого сечения определены координаты сечений, в которых происходит смена знаков внутренних изгибающих моментов, а также координаты наиболее опасных сечений. Показан характер перемещения положения нейтральной линии со сменой знака ее координат. С точки зрения прочности показано преимущество стержня с одной степенью статической неопределимости по сравнению со стержнем, имеющим две степени неопределимости.
Ключевые слова: статически неопределимый стержень; внецентренное действие нагрузки; внутренние силовые факторы; нейтральная линия; ядро сечения; нормальные напряжения.
VLADISLAV I. MAKSAK, DSc, Professor, maksak@mail.ru
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
DISTRIBUTION OF INTERNAL FORCE AND STRESS IN BAR SYSTEM WITH ONE REDUNDANCY DEGREE UNDER ECCENTRIC LOAD
The paper focuses on the problem of a statically undeterminable bar resistance. Dependencies between support reactions, internal forces and sectional point of eccentric load application are detected in this paper. Sectional coordinates are determined in which signs of internal moments of flection are changed as well as coordinates of more hazardous sections. The behavior of neutral axis shows the coordinate sign change. It is shown the bar system with one redundancy degree provides more strength as compared to that one with two-redundancy degrees.
Keywords: statically undeterminable bar; eccentric load; internal force; neutral axis; core of section; normal stress
На важность учета в строительной механике совместного действия изгиба с растяжением обратил внимание еще в 1834 г. французский ученый механик Сен Венан (1797-1886), а в 1854 г. французский ученый и специалист в области строительной механики Ж.А. Бресс (1822-1883) сформулировал и решил задачу о внецентренном сжатии бруса [1]. В инженерной практике внецентренному нагружению стержней уделялось внимание с давних пор [2]. Внецентренное
© В.И. Максак, 2014
действие нагрузки рассматривалось в работах [3, 4, 5]. В настоящее время эта задача включена практически во все программы подготовки специалистов технического профиля [1, 6, 7].
В исследовании [8] рассматривался дважды статически неопределимый стержень при действии продольной внецентренной силы. В этой работе было показано наличие наиболее опасного участка, в котором растягивающие напряжения с возникают не только от изгибающего момента, но и от центральной продольной силы.
В настоящей работе рассматривается стержень с одной степенью статической неопределимости, в которой исключен участок с центральным растяжением (рис. 1, а).
а б
Согласно принципу суперпозиций, действие изгибающего момента М и сосредоточенной силы ^ можно рассмотреть отдельно.
Заданная система (з. с.) с изгибающим моментом представлена на рис. 2, а. На рис. 2, б, в показаны основная (о. с.) и эквивалентная (э. с.) системы.
а б в г д е
Рис. 2. Схемы заданной (а), основной (б) и эквивалентной систем (в); эпюра моментов от внешних нагрузок (грузовая эпюра) (г); схема нагружения единичной силой (д); эпюра моментов от единичной нагрузки (е)
Каноническое уравнение для эквивалентной системы имеет вид
+ 811X1 = 0. (1)
Значения 5^ и 8ц определяются по способу Верещагина (рис. 2, г, д, е):
- а^; 5ц =1—.
С учетом этого уравнение (1) принимает вид - Ма( I - а 1 +X1 = 0.
Отсюда следует
3МаЧ - 21
X, =-^^ = Ив . (2)
Из условия равновесия
3Ма\! - а
НА = Нв =-^^ • (3)
Из условия ^ МА = -МА -М = Нв ■I с учетом (3) получим
МА = М
3а\ 1 - а
^ -1
(4)
Найденные неизвестные реактивные нагрузки позволяют определить и внутренние силовые факторы. На 1-м участке 0 < у1 <а
Му1 = МА - Н А • У1.
С учетом (3) и (4) значение момента Му1 по отношению к внешнему моменту М можно определить по формуле
^1 = 0 ^Х-Ж-ЛЪ. (5)
М 12 ^ I )
При у1 = 0
2
I
м
Ъа\ I - а
у1 _
м
-1 =
мя
_ А
м
(6)
При у1 = а
м
3а\ I -
у1
а 2
м
12
1 - а1-
(7)
На втором участке а < у2 < I
му 2 = МА - На ■ У2 + м .
По аналогии с (5)
м
За[ I - а
У 2
При у2 = а
м 12 1
3а| 1 - а
му 2 = - \
2 )
1 - У2
(8)
м
1-
(9)
При у2 = I
м
У2
м
= 0
Последнее подтверждается тем, что стержень (см. рис. 2, а) в точке В имеет шарнирное закрепление.
На рис. 3 в относительных величинах представлены зависимости опорного момента МА, моментов М1С и М2С в сечении С со стороны участков а и Ь соответственно, внутренних изгибающих моментов Му (эпюры) и формы изогнутой оси стержня от координаты а сечения С (рис. 2), в котором приложен внешний момент М. Эпюры моментов построены на растянутых волокнах стержня.
Линия М1С показывает максимальные внутренние моменты Му в сечении С со стороны участка а, а линии М2С - со стороны участка Ь.
Линия МА показывает связь внутреннего момента в сечении с координатой у = 0 в зависимости от координаты а приложения момента М.
Анализ графиков показывает три вида эпюр внутренних моментов а, б и в (рис. 3).
Первый вид (рис. 3, а) имеет место при МА < 0.
2
2
I
2
2
I
Второй вид (рис. 3, б), при котором МА = 0, является промежуточным между первым и третьим (рис. 3, в), когда МА > 0. В этом случае внутренний момент Му с изменением координаты сечения С дважды меняет свой знак на противоположный.
Координату у01 (рис. 3, в) смены знака момента Му1 на участке а можно определить из формулы (5)
Отсюда
M
за i - a
y1
M
= 0 = ■
^ [i - f
-1.
2k = 1 - 212 I 3a(2l - a)
(10)
К примеру, при a/l = 0,8 значение y01/l = 0,306. Это подтверждается данными рис. 3, в.
a/l 1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-1,0 -0,6 ma 0
a/l 1,0
0,8 0,6 0,4 0,2 0
б
\ ч ч ч ч \ MA
M\c \ \ V К**
\ \ 1 / N
Л 7 / / / ii т
/ / 2 f 0, ч
// // 1 1 -1- \ у Л M2C
-0,423 M
-1,0 -0,6
0
0,6
-1,0 -0,6
MA М
0 A 0,6 -Ll
М
Рис. 3. Зависимости реактивного момента МА, моментов М1С и М2С в сечении С со стороны участков а и Ь соответственно, внутренних изгибающих моментов Му (эпюры) и формы изогнутой оси стержня от координаты а приложения внешнего момента М: а - а/1 = 0,3; б - а/1 = 0,423; в - а/1 = 0,8
а
в
Зависимость у01 от координаты а представлена на рис. 4.
a/l
'0 0,1 0,2 0,3 y01/l Рис. 4. Зависимостьy01/l от координаты a/l Условие, при которомМА = 0 (рис. 3, б) можно определить из формулы (6)
a
3aI l -Мл \ 2
M
Из этого
l2
а = 0,423l.
-1 = 0.
(11)
Из формулы (9) можно определить координату а, при которой момент в сечении С со стороны участка Ь будет иметь экстремальное значение
= 0.
И в этом случае (рис. 3, б)
а = 0,423l.
(12)
(13)
Линия М\С (рис. 3) показывает, что минимальные внутренние изгибающие моменты Му1/М могут приближаться к единице, в то время как моменты Му2М - к нулю.
Согласно формуле (12) максимальное значение момента Му2/М имеет место при а = 0,423/. Используя выражение (9), получим Му2тах/М = 0,577.
При этом Му1 будет иметь минимальное значение Му1тт/М =
= Му2тах/М - 1, т. е.
Му1т1П/М = -0,423.
(14)
Не остается незамеченной удивительная схожесть результатов формул (11, 13, 14) (рис. 3, б).
С точки внецентренного действия нагрузки, которое для схемы (рис. 1) имеет место на участке а, опасными сечениями являются сечения с координатами у] = 0 и у] = а. И в этом случае нормальные напряжения сК в точке К (рис. 5) можно определить по формуле
Р Му
сК =---1---
К А
(15)
где хК - координата точки К; А - площадь поперечного сечения; - осевой момент инерции поперечного сечения стержня; Му = р • хр.
На рис. 5 представлены схемы нагружения, эпюр с, координата точки приложения внецентренной силы хр и координата точки хК, в которой определяется напряжение сК по выражению (15).
Схема на рис. 5, а соответствует координатам 0 < у! < а, (рис. 3, а, б); у01 <у1 < а, (рис. 3, в), а схема на рис. 5, б - координатам 0 < у! < у01 (рис. 3, в).
На участке б (рис. 1) центральная сила Р отсутствует, а напряжения в сечениях возникают только от изгибающего момента (рис. 3) и определяются они по известной формуле с = Му2хКи.. Здесь Му2 определяется по формуле (9).
1 р К
//// /. \ '// / / /
1 \ \
К
-И/2 <- хК хр
И -*■
/ / // /
////
К
Ж-
хК
хР
Рис. 5. Схемы нагружения и эпюр нормальных напряжений с, соответствующие рис. 3
К
б
а
с
х
В задачах о внецентренном действии нагрузок интерес представляет положение нейтральной линии, на которой в точках с координатой х0 нормальные напряжения с0 равны нулю.
Из формулы (15) с учетом выражения (5) получаем:
° о = " 7+
^ • хр • 3а1/ - -2
1 -
Я
- F • хЕ
= 0.
При этом уравнение нейтральной линии имеет вид
хрхо
1 3а(2/ - а)(/ - у, ) 1 2/3
+1 = 0.
Обозначение
1 3а(2/ - а)(/ - у1) 1 2/3
= К
приводит уравнение (16) к виду
хрх0 К
= -1 .
(16)
(17)
(18)
Здесь К - безразмерная величина, зависящая от двух относительных параметров а/1 и у\И.
Из формулы (18) можно определить либо координату х0 нейтральной линии, либо, по заданной координате х0, координату хР ядра сечения. Зависимость коэффициента К от координаты у! для различных значений а представлена на рис. 6.
Сплошные наклонные линии показывают изменение К для конкретных случаев координаты а при изменении координаты у1 рассматриваемого сечения стержня.
Для разных значений а/1 в диапазоне от нуля до 0,423 для всех сечений стержня в диапазоне 0 < у\/1 < 0,423 значение К положительно.
Для значений а/1 в диапазоне от 0,423 до единицы коэффициент К меняет свой знак от -0,5 до +1. При у! = уш (см. рис. 4), где внутренний изгибающий момент меняет свой знак на противоположный (см. рис. 3, в), коэффициент К = 0 (рис. 6). В этом сечении изгибающий момент отсутствует, действует только центральная продольная сжимающая сила. При этом и, согласно формуле (18), нейтральная ось находится в бесконечности. К примеру (рис. 6), для а/1 = 0,8 при 0 < у! < у01, где у01 = 0,306/, коэффициент К меняется от -0,44 до 0. При у = у01 = 0,306/ К = 0. В диапазоне у01 < у! < а/1 коэффициент К меняется от 0 до 0,712.
0
2
/
/
2
2
2
2
г
Рис. 6. Зависимость коэффициента К от координаты у1 для различных координат а сечения С, в котором приложена внецентренная нагрузка
Зависимость координаты хР ядра сечения от координаты а положения сечения С, в котором приложена внецентренная сила Р, может быть определена из выражения (18) на конкретном примере прямоугольного сечения
(рис. 5) при ¡1 —
хгг —
х0 К
(19)
На участке 0 < у1 < а при 0 < а < 0,423/ момент Му1 из формулы (5) отрицателен (см. рис. 3, а) и, согласно рис. 2, растянутые волокна при х < 0. Если
координата нейтральной оси х0 —"
, то хР —+У6 К .
На участке 0 < у1 <у01 при а > 0,423/ момент Му1 из выражения (5) положителен (см. рис. 3, в) и, согласно рис. 2, растянутые волокна при х > 0. При
координате нейтральной оси х0 — , хР — _И6к .
На участке у01 < у1 при а > 0,423/ момент Му1 вновь отрицателен
(см. рис. 3, в), и при этом вновь хР — + И6к .
Изменение положения нейтральной оси (координата х0) в различных сечениях (координата у1) стержня для различных значений а также рассмотрено
на прямоугольном поперечном сечении (см. рис. 5) при хР = И и — Иу12 .
2
Согласно формуле (18)
= 1/
Ч2К
. 0,083.../
'К-
(20)
Для различных а и у1 коэффициент К определяется по формуле (17). На рис. 7 в относительных величинах представлены зависимости х0/Н от координаты у\// продольной оси стержня для различных сечений С с координатами у// = а//.
У1//
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Рис. 7. Зависимость координаты нейтральной оси х0/к от координаты сечения у1// для различных значений а//. Линиям 1-9 соответствуют значения а//, равные -0,2; -0,3; -0,4; -0,423; -0,5; -0,6; -0,7; -0,8; -0,9
Линиям 1-4 соответствует состояние по рис. 3, а, б при а// < 0,423, когда растягиваются волокна слева и координата нейтральной оси отрицательна. Линии 4 соответствует предельное значение а// = 0,423.
При а// > 0,423 состояние соответствует рис. 3, в. При у1// < у01// растягиваются волокна справа и координата нейтральной оси положительна. При у\// = у0\// нейтральная ось уходит в бесконечность. Так, для линии 9 а// = 0,9 при у01// = 0,333 (рис. 4) коэффициент К = 0 (см. рис. 6), согласно формуле (20), х0 = да. Условие у1// <у01// при х0/к > 0 (рис. 7) и в соответствии с рис. 3, в, рис. 4, 6 сохраняется также и для других значений а// > 0,423 и, в частности, для линий 5-9 (рис. 7).
Для диапазонау01// < у1// < а//, согласно рис. 3, в, волокна растягиваются вновь слева и координата нейтральной оси вновь отрицательна. Это линии 5-9
0
(рис. 7). Так, для a/l > 0,423, 0 < у0\Н < 0,3... l при у1 = у01 нейтральная ось находится в бесконечности слева. К примеру, для линии 9 (рис. 7) при yjl = y01H = 0,3... l, х0 = -да.
С точки зрения прочности наиболее опасным является нагружение вне-центренной силой в сечениях, близких к опорам. Так, если а близко к нулю (см. рис. 3, а), внутренний момент Му1 приближается к внешнему М = F • xF.
Согласно формулам (5) и (6) при у1 = а = 0, Му1 = М = F • xF. При этом расчет по формуле (15) для прямоугольного поперечного сечения (см. рис. 5) и xF = h показывает, что в сечении максимальные растягивающие напряжения
ар = 5 Fa , а сжимающие сс = -7F7/д .
Приу1 = а = l эти напряжения становятся такими же. Однако в этом случае (см. рис. 3, в) у опоры А также возникает значительный опорный момент
Му1 = МА = 0,5М, а в сечении у1 = 0 возникают напряжения ср =2F/д
и a.=-4%.
В рассматриваемой системе (см. рис. 1) с одной степенью статической неопределимости, в отличие от работы [2], на участке b продольная растягивающая сила отсутствует и действует только изгибающий момент Му2 (9), имеющий максимальное значение (12) Му2 = 0,5777 в сечении с координатой
-л Л ¿Z^) 7—' /
у2 = а = 0,423l (11). В этом случае напряжения имеют значения ар = , /4;
а -3,462F/ ас ^ /А.
С точки зрения анализа представляет интерес вопрос, в каком сечении с координатой у = а максимальные растягивающие напряжения на участках а и b будут одинаковыми. Рассматривается прямоугольное сечение. На первом
My1
участке а изгибающий момент —— определяется по формуле (7), а на втором
My 2
M
M
- по формуле (9). Здесь М = F • xF.
На участке а напряжение ара определяется по формуле (15)
12F • x
F MV1Xf F ~ ~ "F
L у1Л F
СТ„„ = - 1
3a |1 - a2|(1 - a )-1
A A • it A A • h2
(21)
Здесь а принято в долях от I; = И; хк = •
На участке Ь напряжение срЬ определяется по формуле
12F • xF
My2xK F
a, = -
3a |1 - 021(1 - a)
рЬ Л ,-2
A • i2 A • h2
(22)
Равенство сра = срЬ с учетом выражений (21) и (22) после некоторых преобразований переходит в уравнение
18а(2 - а) (1 - а) - 5 = 0,
решение которого дает два действительных корня: а1 = 0,189/; а2 = 0,6935/.
F
При этом в первом случае с ра1 = срЫ = 2,498—, во втором -
A
Сра2 =срЬ2 = 2,499F .
Незначительное различие, возможно, связано с погрешностью вычислений.
Выводы
1. В отличие от статически неопределимой схемы в системе с двумя степенями статической неопределимости, представленной в работе [2], в системе с одной степенью неопределимости, рассмотренной в настоящей работе, отсутствует наиболее опасный участок, где кроме растягивающих напряжений от изгиба существуют еще и растягивающие напряжения от растягивающей внутренней силы.
2. Для рассмотренной схемы выполнен анализ изменения опорных реакций внутренних силовых факторов, распределения нормальных напряжений по сечению, координат нейтральной линии и ядра сечения в зависимости от координаты сечения, в котором приложена внецентренная сила.
3. Определены координаты сечения, где внутренний изгибающий момент меняет свой знак и где действует только внутренняя продольная сила, и нормальные напряжения распределяются по сечению равномерно.
4. Рассмотренная в работе схема статически неопределимого стержня с одной степенью неопределимости с точки зрения прочности и грузоподъемности является более рациональной, чем рассмотренная в работе [Там же] схема нагружения стержня с двумя степенями статической неопределимости.
5. Выполненные анализ и расчеты являются применимыми к напряженному железобетону, к неразрезным балкам и плитам перекрытия, а также к перспективам использования в строительстве неразрезных колонн.
6. Учет касательных напряжений от реактивных поперечных сил, осуществляемый по главным напряжениям, известен и в данной работе интереса не представляет.
Библиографический список
1. Максак, В.И. Методика преподавания курса «Сопротивление материалов» / В.И. Максак. - Красноярск : ГГТУ, 1999. - 140 с.
2. Tetmajer, L.V. Elastizitäts- und Festigkeitslehre / L.V. Tetmajer // Leipzig und Wien. Franz Deuticke, 1904. - S. 162-173; 349-380; 565.
3. Максак, В.И. Сближение тел с плоским кольцевым нелинейно-деформируемым упругим контактом при внецентренном действии сжимающей нагрузки / В.И. Максак, Т.В. Максак // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2013. - № 3. - С. 150-155.
4. Максак, В.И. Раскрытие стыка в нелинейно-деформируемом упругом контакте при внецентренном действии сжимающей нагрузки / В.И. Максак, Т.В. Максак // Вестник Том-
ского государственного архитектурно-строительного университета. - 2013. - № 4. -С. 158-165.
5. Maksak, V.I. Calculation of Contact Durability in Rotary Mechanism on the Example of Timber-loader / V.I. Maksak, T.V. Maksak // Scientific Problems of Machines Operation and Maintaince. Polish Academy of Sciences. - 2009. - № 4(160). - V. 44. - Р. 71-79.
6. Kuprijanov, N.A. Strength of Materials / N.A. Kuprijanov, N.V. Demjanenko. - Tomsk : TPU, 2010. - 127 p.
7. Справочник металлиста / под ред. Н.С. Ачеркана. - М. : Машгиз, 1962. - Т. 2. -С. 131.
8. Максак, В.И. Особенности сопротивления статически неопределимого стержня внецен-тренному действию нагрузки / В.И. Максак, Д.И. Солодкова, А.А. Нефедов // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2014. - № 4. -С. 81-93.
References
1. Maksak V.I. Metodika prepodavaniya kursa soprotivleniya materialov [Methodology of the course on strength of materials]. Krasnoyarsk : Krasnoyarsk State Agrarian University Publ., 1999. 140 p. (rus)
2. Tetmajer L.V. Elastizitats- und Festigkeitslehre. Leipzig und Wien. Franz Deuticke, 1904. Pp. 162-173; 349-380; 565.
3. Maksak V.I., Maksak T.V. Sblizhenie tel s ploskim kol'tsevym nelineino-deformiruemym up-rugim kontaktom pri vnetsentrennom deistvii szhimayushchei nagruzki [Body convergence with flat ring nonlinear deformable elastic contact]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2013. No. 3. Pp. 150-155. (rus)
4. Maksak V.I. Raskrytie styka v nelineino-deformiruemom uprugom kontakte pri vnetsentrennom deistvii szhimayushchei nagruzki [Nonlinear elastic interfacial contact opening under eccentric compressive loading]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2013. No. 4. Pp. 158-165. (rus)
5. Maksak V.I., Maksak T.V. Calculation of contact durability in rotary mechanism on the example of timber-loader. Scientific Problems of Machines Operation and Maintenance. Polish Academy of Sciences. 2009. No. 4(160). V. 44. Pp. 71-79.
6. Kuprijanov N.A., Demjanenko N.V. Strength of materials. Tomsk : TPU Publishing House, 2010. 127 p. (rus)
7. Acherkan N.S. Spravochnik metallista [Metalworker handbook]. Moscow : Mashgiz Publ., 1962. V. 2. P. 131. (rus)
8. Maksak V.I., Solodkova D.I., Nefedov A.A. Osobennosti soprotivleniya staticheski neoprede-limogo sterzhnya vnetsentrennomu deistviyu nagruzki [Statically undeterminable bar resistance under eccentric load]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2014. No. 4. Pp. 81-93. (rus)
