CC BY
11
УДК 539.3/.6
МАКСАК ВЛАДИСЛАВ ИВАНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, mksak@mail.ru
СОЛОДКОВА ДАРЬЯ ИГОРЕВНА, студентка, mksak@mail.ru
НЕФЕДОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ, студент, mksak@mail.ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ОСОБЕННОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОГО СТЕРЖНЯ ВНЕЦЕНТРЕННОМУ ДЕЙСТВИЮ НАГРУЗКИ
Рассмотрена статически неопределимая задача. Определены зависимости опорных реакций, внутренних силовых факторов от места приложения внецентренной силы. Определены условия смены знака внутренних изгибающих моментов. Выявлен факт изменения координат нейтральной линии и ядра сечения в зависимости от координаты приложения внецентренной силы вдоль оси стержня, и приведены аналитические зависимости. Даны расчетные формулы для определения нормальных напряжений в любом сечении.
Ключевые слова: статически неопределимый стержень; внецентренное действие нагрузки; внутренние силовые факторы; нейтральная линия; ядро сечения; нормальные напряжения.
VLADISLAV I. MAKSAK, Dsc, Professor, mksak@mail.ru
DAR'YaI. SOLODKOVA, Student, mksak@mail.ru
ANDREI A. NEFEDOV, Student, mksak@mail.ru
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
STATICALLY UNDETERMINABLE BAR RESISTANCE UNDER ECCENTRIC LOAD
The paper focuses on the problem of a statically undeterminable bar resistance. Dependencies between support reactions, internal forces and the point of eccentric load application are detected in this paper. Coordinate variation of the neutral axis and the core of section was detected depending on the eccentric load applied along the bar axis; analytic dependence are given. Theoretical formulas are calculated for normal stresses in any section.
Keywords: statically undeterminable bar; eccentric load; internal force; neutral axis; core of section; normal stress.
Впервые задачу совместного действия изгиба с растяжением в 1834 г. решил французский ученый-механик Сен-Венан (1797-1886), а задачу вне-
© В .И. Максак, Д.И. Солодкова, А.А. Нефедов, 2014
центренного сжатия бруса - в 1854 г. французский ученый и специалист в области строительной механики Ж.А. Бресс (1822-1883) [1].
Внецентренное действие нагрузки является одним из разделов сложного сопротивления в дисциплине «Сопротивление материалов», изучаемых студентами при обучении техническим специальностям [1, 2, 3]. При этом обычно рассматривается схема нагружения, показанная на рис. 1.
Такому нагружению подвергаются стержни, брусья колонны и другие элементы конструкций [4]. Внецентренное действие нагрузки рассматривалось и в работах [5, 6, 7].
В предлагаемой работе рассматривается статически неопределимая система (рис. 2) в виде внецентренно нагруженной железобетонной колонны.
У
7777777^777
О
р
Хр
Рис. 2. Внецентренное нагружение колонны
Х
Плоскость действия изгибающего момента лежит в плоскости ХОУ, т. е. совпадает с главной осью инерции поперечного сечения колонны. По-
перечное сечение колонны принято прямоугольным. Расчетная схема представлена на рис. 3.
х
Рис. 3. Расчетная схема
На основании принципа суперпозиций действие осевой силы Е и изгибающего момента М = Е • хР рассматривается раздельно. Первым рассматривается действие изгибающего момента М.
На рис. 4 представлены схемы заданной, основной и эквивалентной систем.
<-Нв
М
НА
МА
б
в
у_ м
М
А
X,
X,
Рис. 4. Заданная схема (а), основная система (б), эквивалентная система (в)
Задача является дважды статически неопределимой с лишними неизвестными X, и Х2.
При раскрытии статической неопределимости используется метод сил [8, 9]. При этом канонические уравнения запишутся в виде
а
в
51Р + 511Х1 + 512Х2 = 0; 52 р + 521X + 522X2 = 0.
(1)
Для определения значений 81р, 52р, 8ц, 5х2 = 821, 822 используется способ Верещагина. Эпюры моментов от внешней нагрузки Ми, единичных нагрузок для основной системы представлены на рис. 5.
а б в г
Ип
////////////
Мр
М
1
Рис. 5. Основная система (а), эпюра моментов от внешнего момента М (б), эпюра моментов от единичной силы по направлению X! (в), эпюра моментов от единичного момента Х2 (г)
Перемножения эпюр дают следующие значения:
мь ( ь Л 5 мь ^ I3
о,р =--1 а + — I; о7р =--; о,, =-
1р ЕЛ, I 2) 2Р Ы, 3Е/
012 = 021 =
2ЕЛ,
022 =
ЕЛ,
в
2
Подстановка полученных значений в систему уравнений (1) и ее решение приводят к определению неизвестных Х1 и Х2:
6МаЬ „ МЬ ,, „ ч Х1 Х2 = —(! -3а). (2)
Здесь Х1 = На иХ2 = МА.
Значения МВ и НВ определяются из условий равновесия
ив = х, = 6МаЬ
3
I
Ма ( 3а „ .
Мв = -(Т-2
(3)
На рис. 6 в относительных величинах представлено изменение реактивной силы НА = Х в зависимости от координаты а расположения сосредоточенного внешнего изгибающего момента М. Точно так же изменяется и реактивная сила НВ.
НА/М
Рис. 6. Зависимость реактивной силы НА от координаты а расположения внешнего изгибающего момента М
На рис. 7 в относительных величинах представлено изменение реактивных моментов МА = Х2 (сплошная линия) и МВ (пунктирная линия) в зависимости от координаты а расположения моментаМ, как и на рис. 6.
МА/М
1,0
0,8
0,4
-0,4
Мл Мв
\ / / /
\ / / /
\ \ / /
\ / / /
\ \ ч ч \ ч / \ / / /
X, ' _ _ \/
а/1
0
0,2 0,4 0,6 0,8
1,0
Рис. 7. Зависимость реактивных моментов МА и МВ от координаты а расположения внешнего изгибающего момента М
Расчеты на прочность требуют определения внутренних силовых факторов. Для рассматриваемой схемы (рис. 8, а) имеется два силовых участка. На первом участке 0 < у1 < а
При у 1 = 0
МЬ„ „ ч 6МаЬ
Му1 = МЛ + ^А • У =— ( - 3а )+-/Г- У1.
МУ1 = = Ь{1 - 3а) ММ I2
(4)
(5)
0
При у1 = а
МУ1 = М1С = Ь(1 - 3а) 6а2Ь
ММ На втором участке а < у2 < /
+ -
При у2 = а
При У2 = /
МЬ 6МаЬ
МУ2 =~2~ (( - 3а) + —У2 - М ■
МУ 2 = М2С = Ь(1 - 3а) 6а 2Ь
-=-=-2--1--3--1 •
ММ I2 I3
Му 2 Мв
1 у 2 = =а (2 - 3а |
М М I
I
(6)
(7)
(8)
(9)
Здесь следует отметить, что формула (9) отличается от формулы (3) только сменой знака на противоположный, т. к. знак формулы (3) связан с уравнением равновесия (статики), а знак формулы (9) определяется правилами знаков, принятыми в дисциплине «Сопротивление материалов» [8, с. 34].
Анализ внутренних силовых факторов показывает, что в зависимости от расположения внешнего момента имеют место пять видов эпюр внутренних моментов, которые схематически показаны на рис. 8, б, в, г, д, е. Эпюры построены на растянутых волокнах и позволяют представить изогнутую ось стержня (рис. 8, ж).
А А
-о
Ув в
А
в
М
С
б
д
Ул
Рис. 8. Схема нагружения (а) и виды эпюр внутренних моментов в зависимости от значения а расположения внешнего изгибающего момента М: б -0 < а < 0,3.../; в - а = 0,3.../; г - 0,3.../ < а < 0,6.../; д - а = 0,6.../; е - 0,6./ < а < 1/; ж - схема изогнутой оси стержня для эпюры моментов г
2
3
/
/
а
в
г
е
На рис. 9 представлены эпюры моментов М(а)/М для различных значений a/l. Линией 1 показаны максимальные значения М(а)/М с нижней стороны сечения С, где приложен момент М (рис. 8, а), а линией 2 - с верхней. По линии абсцисс М(а)/М с ординатой a/l = 0 отложены значения МА, по линии с ординатой a/l = 1 - значения МВ. Расстояние между линиями 1 и 2 по направлению оси абсцисс всегда равно моменту М в относительной величине.
a/l
Решение статически неопределимой системы при действии продольной силы ^ (см. рис. 3) известно [10, с. 43, 44]. На рис. 10 представлены схема нагружения и эпюры внутренних силовых факторов N.
б
k / к
с F
> г > t
l к
¡3
Г ' г
Vb
Va
a/l 1,0
0,8 С 0,6 0,4 0,2 0
0,8
0,6
0,2 \
N/F
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4
Рис. 10. Схема нагружения продольной силой F (а), эпюры внутренних продольных сил N для a/l: 0,2; 0,6; 0,8 (б)
а
Решение данной статически неопределимой системы приводит к определению опорных реакций
ь. р-а (10)
УА I , Ув 1 • (10)
Ниже сечения в, где приложена сила Р, внутренние усилия являются сжимающими, т. е. отрицательными, а выше сечения в - растягивающими, т. е. положительными.
В отличие от статически определимой системы с внецентренно действующей нагрузкой [8], в статически неопределимой системе в зависимости от места приложения силы Р в стержне имеются участки с противоположными знаками внутренних моментов (рис. 8), и это необходимо учитывать в расчетах на прочность.
На рис. 11 представлены схемы направлений действия внутренних усилий N изгибающего момента МУ и соответствующие им эпюры нормальных напряжений с для различных участков стержня, имеющих различные знаки внутренних моментов.
Му
\
м
г
Му
n Му
А
б
г
а
в
а
а
+
с
с
Рис. 11. Схемы направления внутренних усилий N и Му и соответствующие им схемы нормальных напряжений с для различных участков стержня (см. рис. 8)
В таблице представлено, какие участки стержня (рис. 8, б, в, г, д, е) соответствуют схемам усилий N и Му напряжений с (рис. 11).
Диапазоны участков внутренних изгибающих моментов Му, соответствующих схемам действия усилий N и Му для участков а и Ь стержня
Схемы Диапазоны участков для схем
б в г д е
а 0 < у1 < а 0 < у1 < а У01 < У1 < а У01 < У1 < а У 01 < У1 < а
б - - 0 < У1 < У01 0 < У1 < У01 0 < У1 < У01
в У02 < У2 < 1 У02 < У2 < 1 У02 < У2 < 1 - -
г а < У2 < У02 а < У2 < У02 а < У2 < У02 а < У2 < 1 а < У2 < 1
Координаты у01 и у02 сечений, в которых внутренний изгибающий момент равен нулю, можно определить из формул (4) и (7). Так, для участка а
~ МЬ /, „ ч 6МаЬ М„, = 0 = — (/ - 3а) + —— У01,
у1
/2
У01 =
(3а -/))
/3
6а
К примеру: при а = 0,3.../ = 3 у01 = 0, что соответствует схеме в (рис. 8).
Для участка Ь
МЬ ,, „ ч 6МаЬ
((- 3а) + У02 - М,
М 2 = 0 = 2
у2 /2
/3
2 4/2 - 3а/
при а = 0,66.../ = -1, У02 = б(/ - а)
у = / , что соответствует схеме в (рис. 8).
Возникающие при внецентренном действии силы Щ нормальные напряжения с в некоторой точке К поперечного сечения (рис. 12) определяются по формулам:
для участка а
N , Мухк
с к =--+ —-— .
К А З,
Знак (-) для схемы а; знак (+) для схемы б (рис. 11). Для участка б
N Мухк
с к =--+ —-— .
АЗ,
(11)
(12)
Знак (-) для схемы в; знак (+) для схемы г (рис. 11). Здесь А - площадь поперечного сечения стержня.
Опасными являются крайние точки сечения С (где приложена внецен-тренная сила Щ с координатами хк = ± Н/2.
и
х0
К
Хк
Хр
Щ
Рис. 12. Поперечное сечение стержня с координатами хк исследуемой точки К и хр точки приложения силы Щ
х
Н
Судя по рис. 9, наиболее опасным будет сечение С либо со стороны стержня а, либо со стороны стержня Ь. Так, для первого случая этому соответствуют схема а (рис. 11) и формула (11), которые с учетом (6) и (10) примут вид
' 1А
ЕхеЬ ,, „ ч Ехе •6а2Ь
Е (I -3а)+ Е
12
13
Л
Е ((- а)
А1
((2 - 3а1 + 6а2) х х
1 + Т2
В точках, лежащих на нейтральной оси, имеющей координату х0, напряжения с = 0.
При этом уравнение нейтральной оси имеет вид
(12 - 3а1 + 6а2) хрх0 1 + "
(13)
Это уравнение прямой линии, параллельной оси г (рис. 12).
По аналогии с ядром сечения [8] из (13) можно определить координату хе точки приложения силы Е, при которой напряжения с по всему сечению будут одного знака, а нейтральная ось будет касаться одной стороны сечения и иметь координату х0:
12/.2
Е ((2-3а/ + 6а2 )х0 Для сечения (рис. 12) при х0 = -И/2 это будет
12 И
((2 - 3а1 + 6а2) '
а/1 1,0
0,2 0
хр/Н
Рис. 13. Зависимость координаты хр контура ядра сечения от координаты а расположения внецентренной силы Е
хе
На рис. 13 в относительных величинах для участка а представлена зависимость координаты хе от координаты а расположения внецентренной силы Е.
С точки зрения большей опасности растягивающих напряжений более опасным будет сечение С со стороны участка Ь. Это формула (12) для схемы г (рис. 11). Формула (8) по отношению к (6) для построения эпюры моментов меняет знак. Однако для определения напряжений момент в (8) следует брать по абсолютной величине. С учетом этого, а также (10) формула (12) примет вид
¥а
с = —
IA
FxPb (( - 3a) + FxP 6a2b _ p 1 Pxp
Fa
1a
i2 i3
1 _f 9al + 6a2 - 4l2 ^ l2
J_
i2
О ядре сечения есть смысл говорить в том случае, когда растягивающие напряжения от изгиба частично компенсируются сжимающей силой. В случае же совместного действия изгиба и растяжения растягивающие напряжения суммируются и всегда будут больше сжимающих (рис. 11, в, г).
Выводы
В отличие от статически определимых систем (СОС) при внецентрен-ном действии нагрузки (ВДН), в статически неопределимых системах (СНС) происходит следующее:
1. Эпюры изгибающего момента вдоль оси переменны и меняют свой знак на противоположный.
2. При защемлении обоих концов стержня на некоторых его участках возникают растягивающие напряжения от продольной силы F. С ними суммируются растягивающие напряжения от изгиба. Этот случай для хрупких материалов является наиболее опасным.
3. Выполненные анализ и расчет являются пригодными для напряженного железобетона.
4. Выполненные анализ и расчет относятся не только к колонне, но и к неразрезным колоннам, балкам и плитам перекрытия.
5. Выполнен анализ изменения опорных реакций внутренних силовых факторов и распределения нормальных напряжений в зависимости от координаты сечения, где приложена внецентренная сила.
6. Положение нейтральной оси меняется не только при изменении момента, за счет изменения плеча силы F, но и от положения сечения, в котором приложена внецентренная нагрузка.
7. В отличие от СОС, в CHC координаты ядра сечения являются переменными вдоль оси стержня.
Библиографический список
1. Максак, В.И. Методика преподавания курса сопротивления материалов / В.И. Максак. -
Красноярск : КГТУ, 1999. - 140 с.
2. Kuprijanov, N.A. Strength of Materials / N.A. Kuprijanov, N.V. Demjanenko. - Tomsk : TPU,
2010. - 127 p.
3. Справочник металлиста / под ред. Н.С. Ачеркана. - М. : Машгиз, 1962. - Т. 2. -
С. 131. - 974 с.
4. Tetmajer, L.V. Elastizitats- und Festigkeitslehre / L.V. Tetmajer // Leipzig und Wien. Franz Deuticke, 1904. S. 162-173; 349-380; 565 S.
5. Максак, В.И. Сближение тел с плоским кольцевым нелинейно-деформируемым упругим контактом при внецентренном действии сжимающей нагрузки / В.И. Максак, Т.В. Максак // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2013. - № 3. - С. 150-155.
6. Максак, В.И. Раскрытие стыка в нелинейно-деформируемом упругом контакте при внецентренном действии сжимающей нагрузки / В.И. Максак, Т.В. Максак // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2013. - № 4. -С. 158-165.
7. Maksak, V.I. Calculation of Contact Durability in Rotary Mechanism on the Example of Timber-loader / V.I. Maksak, T.V. Maksak // Scientific Problems of Machines Operation and Maintaince. Polish Academy of Sciences. - 4(160). Vol. 44, 2009. - Р. 71-79.
8. Александров, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. - М. : Высшая школа, 2009. - 560 с.
9. Самсонова, Р.И. Расчет статически неопределимых систем методом сил / Р.И. Самсоно-ва, Б.А. Тухфатуллин. - Томск : ТГАСУ, 1912. - 34 с.
10. Михайлов, А.М. Сопротивление материалов / А.М. Михайлов. - М. : Академия, 2009. -448 с.
References
1. Maksak V.I. Metodika prepodavaniya kursa soprotivleniya materialov [Methodology of the course on strength of materials]. Krasnoyarsk : Krasnoyarsk State Agrarian University Publ., 1999. 140 p. (rus)
2. Kuprijanov N.A., Demjanenko N. V. Strength of materials. Tomsk : TPU Publishing House, 2010. 127 p. (rus)
3. Acherkan N.S. Spravochnik metallista [Metalworker handbook]. Moscow : Mashgiz Publ., 1962. V. 2. P. 131. 974 p. (rus)
4. Tetmajer L.V. Elastizitats- und Festigkeitslehre. Leipzig und Wien. Franz Deuticke, 1904. Pp. 162-173; 349-380; 565 p.
5. Maksak V.I., Maksak T.V. Sblizhenie tel s ploskim kol'tsevym nelineino-deformiruemym up-rugim kontaktom pri vnetsentrennom deistvii szhimayushchei nagruzki [Body convergence with flat ring nonlinear deformable elastic contact]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2013. No. 3. Pp. 150-155. (rus)
6. Maksak V.I. Raskrytie styka v nelineino-deformiruemom uprugom kontakte pri vnetsentrennom deistvii szhimayushchei nagruzki [Nonlinear elastic interfacial contact opening under eccentric compressive loading]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2013. No. 4. Pp. 158-165. (rus)
7. Maksak V.I., Maksak T.V. Calculation of contact durability in rotary mechanism on the example of timber-loader. Scientific Problems of Machines Operation and Maintenance. Polish Academy of Sciences. No. 4(160). V. 44. 2009. Pp. 71-79.
8. Aleksandrov, A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow : Vysshaya Shkola Publishers, 2009. 560 p. (rus)
9. Samsonova R.I., Tukhfatullin B.A. Raschet staticheski neopredelimykh sistem metodom sil. Metodicheskie ukazaniya [Statically undeterminable system design using the force method]. Tomsk : Tomsk State University of Architecture and Building Publ., 1912. 34 p. (rus)
10. Mikhailov A.M. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow : ITs Akademiya [Publishing Center Academia], 2009. 448 p. (rus)
