CC BY
7
УДК 539.621:620.178.316.6:62-752.2
МАКСАК ВЛАДИСЛАВ ИВАНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, maksak@mail. ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, Томск, пл. Соляная, 2
МАКСАК ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА, докт. техн. наук, профессор, tat@mail. ru
Сибирский федеральный университет, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
СБЛИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЛОСКИМ КОЛЬЦЕВЫМ НЕЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫМ УПРУГИМ КОНТАКТОМ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ ДЕЙСТВИИ СЖИМАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ
Рассмотрена статически неопределимая задача по определению распределения контактных давлений в зависимости от расположения внецентренной сжимающей силы нелинейно-деформируемого упругого контакта. Определены значения максимальных и минимальных сближений и угол взаимного поворота контактирующих тел.
Ключевые слова: кольцевой контакт; шероховатые поверхности; внецен-тренное сжатие.
VLADISLAV I. MAKSAK, DSc, Professor, maksak@mail. ru
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia TATYANA V. MAKSAK, DSc, Professor, tat@mail. ru
Siberian Federal University,
79, Svobodnyy Ave., 66004, Krasnoyarsk, Russia
BODY CONVERGENCE WITH FLAT RING NONLINEAR DEFORMABLE ELASTIC CONTACT UNDER ECCENTRIC COMPRESSIVE LOAD
The paper considers a statically indeterminable problem of distribution of the contact pressures depending on location of the eccentric compressive force of a nonlinear deformable elastic contact. The values of maximum and minimum convergences and the relative angular displacement of contacting bodies have been detected in this paper.
Keywords: ring contact; rough surfaces; eccentric compression.
В работе рассматривается условие, когда деформацией контактирующих тел, по сравнению с контактными деформациями, можно пренебречь, например, при контактировании шероховатых поверхностей [1].
Нелинейность деформации упругого контакта определяется, во-первых, негладкостью его контактирующих поверхностей за счет неровностей, рас-
© В.И. Максак, Т.В. Максак, 2013
пределенных по высоте согласно определенному закону, к примеру, закону распределения микронеровностей шероховатой поверхности согласно опорной кривой [2], во-вторых, за счет деформации неровностей поверхности, моделируемых сферическими или эллипсоидальными упругими сегментами (задача Герца) [3]. Сохранен и общий подход к описанию контактных деформаций [1, 4, 5].
При повторном нагружении контакт, как упрочненный, принимается упругим.
В рассматриваемом случае сближение А^ (рис. 1) по контакту происходит неравномерно, оказываясь больше (А 2Х ^^ у края со стороны приложения силы Ы, которая уравновешивается распределением соответствующих контактных давлений qx. Размеры контактной площадки взяты в относительных величинах.
Рис. 1. Расчетная схема упругого сближения в контакте кольцевого штампа с полупространством при внецентренном действии сжимающей силы
Сближение контактирующих тел Azxmax и Azxmin может быть определено из условия равновесия сил:
Е FZ = 0 = \qJA - N , (1)
A
Е My = 0 = \ qx ■ xdA - N. xN (2)
A
с учетом совместности перемещений [6]
• Azxmax ^ Azxmin Azxmax Azxmin
Azx =-2-+-2-x- (3)
Связь между давлением qx и контактным перемещением, согласно [2], определяется по формуле
Чх /3) 2
где V - параметр кривой опорной поверхности. Согласно [2, 7]:
(4)
3 =
(1 "Ц 2 )( Гр + Гпоп )2 Н т ах Ао
0,9 1ЬКЕА„
2
2у+1
(5)
Здесь пб - коэффициент, зависящий от главных кривизн соприкасающихся тел в месте контакта и угла между плоскостями главных кривизн [3]; ц - коэффициент Пуассона; гпр и ппоп - радиусы кривизн неровностей контактирующих поверхностей в продольном и поперечном направлениях; Нтах - максимальная высота неровностей; А0 - номинальная площадь контакта; Ь и V - параметры, определяемые аппроксимаций начального участка кривой опорной поверхности; К - коэффициент интегрирования; Е - модуль упругости; Ас - контурная площадь.
В уравнениях (1) и (2) для кольцевого контакта (рис. 1) dA имеют значения:
на участках "1 < х < -а и а< х < 1
1
dA = 2bdx = 2 (1 - х2)2 dx , на участке -а < х < а
Г (6)
' = 2Ъ dx = 2
1 1 (1 -х2)2 -(а2 -х2)2
dx.
Уравнения (1) и (2) с учетом (3), (4) и (5) после интегрирования принимают вид
32
( Д™™ + А,
гх тах гх тт
) (1 -а2)
(А_ -А
'Г
2 \ I гх тах гх тт
-а ) + | -
- (1 -а4)
(1 -а4 )я
д2
832
А - А-
2
2
= N,
гх тах гх тт
2
= N • хм.
Решение этой системы уравнений относительно А гх тах и А гх т1п с учетом физического смысла корней дает
А
^32 ^
V % /
^Ка1 + Ка2 -(4Ка3 + Ка4 )
А
А2 + 832N • хм
гх тах
я(1 -а4)
где коэффициенты Ка1, Ка2, Ка3, Ка4 имеют значения
(7)
(8)
3
71
2
4
2
2
К1 =
ка2 =
Ка3 -
Ка4 -
1 -а4
- + -
1 -а4 2(1 -а2)' 8 16 (1 -а2)
(1 -а4)2 (1 -а4) 2 1
(1 -а4 )(1 -а2)
1 -а4 2(1 -а2) и могут быть определены по графикам (рис. 2).
Ка]
16 14
12 10
8 6 4 2 0
Ка
4
Ка1 Ка4
---
1
-8 -10
-12
-14
-16
-18
-20 -22
-24
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 2. Зависимости коэффициентов Ка1, Ка2, Ка3, Ка4 от соотношения внутреннего и наружного радиусов кольца а
Максимальное давление в контакте может быть определено по формуле (4) с учетом (7), т. е.
^шах
N
*ЫКа1 + Ка2 -(4Ка3 + Ка4 )
В сумме хР - 0, т. е. при центральном сжатии
Д™;.. - Д.
^2 (
1х шт 2х тах
V * / V
1
1 ^ 2
Ка2 - Ка4
З2 N
л(1 -а2)
4
2
1
2
а
К
а для сплошного круга при а = 0
А
= А
=(32 "А)3.
Полученные формулы являются справедливыми при условии нераскрытия стыка. При этом максимальная координата хЫтх приложения силы N
определяется из равенства Агхт1п = 0, которое с использованием формул (7) и (8) приводит к алгебраическому уравнению второй степени
Ка1 -
8
1 -а4
- К
+ хд
2Ка2|Ка1 -
8
1 -а4
] +(Ка2 - Ка4 ) = 0
Решение этого уравнения для сплошного кругового контакта, когда а = 0, даст значение х" тах = 0,4 . При этом, согласно (7), максимальное сближение будет равно
А
1
=1-773( %)5-
Значения х" тах для различных а приведены на рис. 3.
хN
0,6
0,5
0,4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 3. График предельных значений координаты xN приложения внецентренной сжимающей силы N при которых не происходит раскрытия стыка для различных соотношений а внутреннего и наружного диаметров кольца
Угол Р взаимного поворота контактирующих тел для нераскрытого стыка может быть определен по формуле
« р=
(А.
-А,
2
2
х
а
)
Так как расчет произведен для безразмерного кольцевого стыка с радиусом R = 1, то для определения сближения реальных тел, полученного по формулам (7) и (8), Azxmax и Аzxmin необходимо умножить на действительный
размер R. Для определения удельного давления по формуле (4), если сближение Аzx было безразмерной величиной, qx нужно умножить на R . Размерность величины и определяется по формуле (4).
Методика выполненного расчета не накладывает ограничения на выбор конфигурации стыка и параметра & .
Библиографический список
1. Максак, В.И. Предварительное смещение и жесткость механического контакта / В.И. Максак. - М. : Наука, 1975. - 60 с.
2. Демкин, Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей / Н.Б. Демкин. - М. : Наука, 1970. - 227 с.
3. Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман, К.К. Лихарев, В.М. Макушин, Н.Н. Маринин, В.И. Федосов. - 1958. - Т. 2. - С. 411-426.
4. Maksak, V.I. The contact interaction of conventionally immobile junctions in dynamic operation conditions / V.I. Maksak, A. Maksimenco, T.V. Maksak, N. Perfilyva // Energy and Environmental Aspects of Tribology 5-th International Symposium "INSYCONT 98". - Crakow, Poland. - 1998. - P. 99-105.
5. Damping properties of contact of elements from materials with thermoelastic transformations / V.I. Maksak, V.A. Khohlov, T.V. Maksak, A.I. Zitov // Energy and environmental aspects of tribology 5-th international symposium "INSYCONT 98". - Crakow, Poland. - 1998. - P. 93-97.
6. Maksak, V.I. Calculation of contact durability in rotary mechanism on the example of timber-loader / V.I. Maksak, T.V. Maksak // Scientific problems of machines operation and maintenance. Polish Academy of Sciences. - 2009. - № 4 (160). - Vol. 44. - P. 71-79.
7. Рыжов, Э.В. Контактная жесткость деталей машин / Э.В. Рыжов. - М. : Машиностроение, 1966. - 192 с.
References
1. Maksak, V.I. Predvaritelnoye smeshcheniye i zhestkost mekhanicheskogo kontakta [Predis-placement and mechanical contact stiffness]. Moscow : Nauka, 1975. 60 p. (rus)
2. Demkin, N.B. Kontaktirovaniye sherokhovatykh poverkhnostey [Rough surface contacting]. Moscow : Nauka, 1970. 227 p. (rus)
3. Ponomarev, S.D., Biderman, V.L., Likharev, K.K., Makushin, V.M., Marinin, N.N., Fedo-sov, V.I. Raschety na prochnost v mashinostroyenii [Stress calculation in mechanical engineering]. 1958. V. 2. P. 411-426. (rus)
4. Maksak, V.I. The contact interaction of conventionally immobile junctions in dynamic operation conditions / V.I. Maksak, A. Maksimenco, T.V. Maksak, N. Perfilyva. Energy and Environmental Aspects of Tribology 5-th International Symposium "INSYCONT 98". Crakow, Poland. 1998. P. 99-105.
5. Damping properties of contact of elements from materials with thermoelastic transformations / V.I. Maksak, V.A. Khohlov, T.V. Maksak, A.I. Zitov. Energy and environmental aspects of tribology 5-th international symposium "INSYCONT 98". Crakow, Poland. 1998. P. 93-97.
6. Maksak, V.I. Calculation of contact durability in rotary mechanism on the example of timber-loader. Scientific problems of machines operation and maintenance. Polish Academy of Sciences. 2009. No. 4 (160). V. 44. P. 71-79.
7. Ryzhov, E.V. Kontaktnaya zhestkost detaley mashin [Contact rigidity of machine elements]. Moscow : Mashinostroyeniye, 1966. 192 p. (rus)
