CC BY
5
УДК 539.621:620.178.316.6:62-752.2
МАКСАК ВЛАДИСЛАВ ИВАНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, mksak@mail. ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
МАКСАК ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА, докт. техн. наук, профессор, tat@mail. ru
Ачинский сельскохозяйственный институт, Красноярский государственный аграрный университет, 662150, г. Ачинск, ул. Коммунистическая, 49
РАСКРЫТИЕ СТЫКА
В НЕЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМОМ УПРУГОМ КОНТАКТЕ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ ДЕЙСТВИИ СЖИМАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ
Рассмотрен контакт шероховатых поверхностей. Шероховатые поверхности моделированы коробом сферических сегментов, распределенных по высоте согласно кривой опорной поверхности. Рассмотрена статически неопределимая задача. Установлена связь границы раскрытия стыка с координатой приложения сжимающей нагрузки. Определены: распределения контактных давлений, значения максимальных и минимальных сближений и угол взаимного разворота контактирующих тел.
Ключевые слова: кольцевой контакт; шероховатые поверхности; внецен-тренное сжатие, раскрытие стыка.
VLADISLAV I. MAKSAK, DSc, Professor, mksak@mail. ru
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia TAT'YANA V. MAKSAK, DSc, Professor, mksak@mail. ru
Krasnoyarsk State Agrarian University,
49, Kommunisticheskaya Str., 662150, Achinsk, Russia
NONLINEAR ELASTIC INTERFACIAL CONTACT OPENING UNDER ECCENTRIC COMPRESSIVE LOADING
The paper presents a study of rough interfacial contact. Rough surfaces were modeled by spherical caps distributed along height according to a bearing area curve. A statically undeterminable problem was considered in this paper. A connection between the interfacial contact and a compressive loading coordinate was detected. Also, such parameters as contact pressure, maximum and minimum values of approach, and interfacial contact angle of bodies were determined.
Keywords: crown contact; rough surfaces; eccentric compression; interfacial contact opening.
© В.И. Максак, Т.В. Максак, 2013
Условие, когда раскрытие стыка не происходит, рассмотрено в работе [1]. В настоящей работе рассматривается случай, при котором нагрузка, сжимающая контактирующие тела, приводит к раскрытию стыка за счет деформации неровностей контактирующих поверхностей. При этом принимается, что деформацией контактирующих тел, по сравнению с контактными деформациями, можно пренебречь. Такое возможно при контактировании шероховатых поверхностей.
Нелинейность деформации упругого контакта определяется неравномерным распределением по высоте неровностей шероховатой поверхности, к примеру согласно опорной кривой [2], а также за счет деформации неровностей поверхности, моделируемых сферическими или эллипсоидальными упругими сегментами (задача Герца) [3]. При повторном нагружении материал контактирующих выступов упрочняется (наклепывается) и контактные деформации принимаются упругими. Сохранен и общий подход к описанию контактных деформаций [4-6].
Расчетная схема упругого сближения в контакте кольцевого штампа с полупространством показана на рис. 1.
Рис. 1. Схема расчета упругого сближения в контакте кольцевого штампа с полупространством при внецентренном действии сжимающей силы с раскрытием стыка
При достаточном значении координаты хы точки приложения сжимающей силы N происходит раскрытие стыка. На границе раскрытия стыка с координатой I контактные перемещения Дгх и контактные давления qzx равны нулю. В силу принятых условий контактные перемещения прямо пропорциональны координате х. Связь между qzx и Дгх определяется зависимостью [2]
2у+1
Согласно [7]
3 =
%П2 1 -
(1 -Ц 2 )( Гпр + Гпоп )2 Н: ах А
0,91ЬКЕА
2
2у+1
(2)
Здесь пб - коэффициент, зависящий от главных кривизн соприкасающихся тел в месте контакта и угла между плоскостями главных кривизн [3]; ц - коэффициент Пуассона; гпр и ппоп - радиусы кривизн неровностей контактирующих поверхностей в продольном и поперечном направлениях; Нтах - максимальная высота неровностей; А0 - номинальная площадь контакта; Ь и V - параметры, определяемые аппроксимацией начального участка кривой опорной поверхности; К - коэффициент интегрирования; Е - модуль упругости; Ас - контурная площадь.
Задача по определению распределения контактных давлений и перемещений является статически неопределимой [8]. При раскрытии стыка условием совместности перемещений согласно рис. 1 является:
Л... = Л_
( * -1)/
Х(1 -1).
(3)
При этом условия равновесия сил связаны с границей раскрытия стыка координатой I точек, для которых Лгхтш = 0 .
I FI = 0 = | - N ,
А
I Му = 0 = | q*xdA
- N • х,
Здесь А - площадь контактирующего участка.
Рассмотрим три случая расположения границы раскрытия стыка.
(4)
(5)
I. -1 < I < -а . Условия равновесия (4) и (5) имеют вид
N = -
2Л 2
32 (1 -1 )2
|(х -1 )2 (1 - х2) dx +
3
+ ^(х-1)2 (1 -х2-(а2 -х2с1х + |(х-12)(1 -х2) ёх
(6)
2Л
N • хы =-^^ I [(х -1)2 (1 - х2 )12хёх +
N з2 (1 -1 )21Г м '
+ а Г V V 1 V I
+ {(х-1)2 (1 -х2у2-(а2 -х2У2 хёх + {(х-1)2(1 -х2)/2 хёх^, (7)
2
Разделив (7) на (6), после интегрирования получим:
l2(1 -l2г +r1 _11(1 -12) (i-12г2+1 (
4 ( 2 J 3 5 4(
+ —I arcsinl - — + a4 - л 41 2
1 - 4l2 8
— - arcsin l -1 (1 -12 )72
5l (1 -12 Г2- — 12 8
. (8)
-—(a4 + 4l2 a2)
Эта формула определяет соотношение между координатой xN приложения нагрузки N и координатой l границы раскрытия стыка.
Величина A zx max может быть определена из (6):
Аг*max = KftN12 , (9)
где
K =■
1 -1
(0,25 -12) —-arcsinl -1(1 -12 J2 - 0,83l(1 -12)32 - 0,25—a4 -1
■4 -12a2
II. -a < l < a . Условия равновесия имеют вид:
N = -
2А 2
S2 (1 -1 )2
{(x-1)2 (1 -x2-(a2 -x2)/2 dx + {(x-1)2(1 -x2)12dx
(10)
x
X
N - x„ =-
2A2
S2 (1 -1 )2
J(x-1)2 (1 -x2)12 -(a2 -x2)12
xdx +
+|(x -1)2 (1 - x2x - dx I.
(11)
Аналогично (8) имеем
х\т
(1 -'')12-«2 («' -'')-£ ^
1 + 4/2
-- arcsin / - / (1 - /2)Х
-,«2 - /2 ^ - 12
2 I 3
5/ 12
(1 - /2 )/2 -(«2 - /2 у2
+
(' - /2 )52 ,(«2 - /2)'
5_5
«4 + 4/2«2 (л . / --, — arcsm— | +
8 I 2 «,
. , л 4 (л . /
arcsin /---+« ,— arcsm—
«
/ («2 + 4/2)
8
(«2 - /2)Х
При / = -« формула (12) переходит в (8).
Л гх тах оПРеДеЛЯется из (10):
А.
= к2т/2,
(12)
(13)
где
К2 =
1 - /
0,25 + /2) --arcsin/ -/(1 -/2)/2 - 0,83/ (1 -/2-(«2 -/2
( 0,25«4 + /2«2 arcsin - ^ + 0,25/(«2 + 4/2 )(«2 - /2)12
8
/
+
4
III. « < / < 1. Уравнения равновесия:
N = 2А"тах2 1 (х -/)2 (1 - х2)12 dx, (14)
з2 (1 - / )Т м '
N • хы = 2Лхтах2 1 (х - /)2 (1 - х2 )/2 хсХ . (15)
"" з2 (1 -/)2 г м '
Аналогично (8) имеем
Х\т —
12 (1 -12 )/2 (1 -12 )/2 (1 -12) 4 + 3 5
, 5/ 22
11 arcsin I --
(1 - 412)
arcsin I -1 (1 -12)12
51(1 -12)
2
8 12 При I = а, формула (16) переходит в (12). Максимальное сближение А гх тах определяется из (14):
(16)
где К3 — -
А — К3ЗД/2.
2Х тах 3 -
1 -1
(0,25 +12) агсзшI -1(1 -12)12 -0,831 (1 -12)
.3/1/2 12\/2
(17)
Формулы (8), (12) и (16) показывают, что для принятого закона (1) граница I раскрытия стыка не зависит от величины сжимающей нагрузки N. Значения хд по этим формулам для граничных значений I при различных а представлены на рис. 2 сплошными линиями. Линии I соответствует I — -1, линии II соответствует I — -а, а линии III - I — +а . Пунктирным линиям 1-9 соответствуют I — -0,8; - 0,6; - 0,4; - 0,2; 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 .
2
4
Рис. 2. Графики связи координаты I границы раскрытия стыка (линиям 1-9 соответствуют I от -0,8 до +0,8) с соотношением а и с координатой точки приложения силы хд
Таким образом, при хд находящемся в интервале от нуля до линии I, раскрытия стыка не происходит. При значениях хд, расположенных между
линиями I и II, для определения A zx max используется формула (9). Зоны между
линиями II и III и выше линии III соответствуют формулам (13) и (17).
На рис. 3 представлена номограмма для определения границы l раскрытия стыка и коэффициентов Kb K2, K3 в зависимости от соотношения а внутреннего радиуса кольца к внешнему и от координаты xN приложения сжимающей нагрузки.
Взаимный угол Р разворота друг относительно друга контактирующих деталей для частично раскрытого стыка определяется по формуле
_ Azxmax /
tgp- + l) .
Учитывая, что расчет произведен для кольцевого стыка с безразмерным радиусом R = 1, для определения сближения реальных тел по формулам (9), (13) и (17) Azxmax необходимо умножить на действительный размер R и для
определения давления qxmax по формуле (1), если сближение Azx было безразмерной величиной, qzx нужно умножить на R2. Размерность величины и определяется по формуле (2).
к,
4
3
2
1
0 1о
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9 1.0
Рис. 3. Номограмма для определения коэффициентов Кь К2, К3 в зависимости от а и хм. Линиям 1-6 соответствуют значения а, равные 0, и 0,2; 0,4; 0,8; 0,9
Следует отметить, что методика изложенного расчета не накладывает ограничения на выбор конфигурации стыка и параметра v.
Библиографический список
1. Максак, В.И. Сближение тел с плоским кольцевым нелинейно-деформируемым упругим контактом при внецентренном действии сжимающей нагрузки / В.И. Максак, Т.В. Максак // Вестник ТГАСУ. - 2013. - № 3. - С. 150-155.
2. Демкин, Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей / Н.Б. Демкин. - М. : Наука, 1970. - 227 с.
3. Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман, К.К. Лихарев, В.М. Макушин, Н.Н. Малинин, В.И. Федосов. - 1958. - Т. 2. - С. 411-426.
4. Максак, В.И. Предварительное смещение и жесткость механического контакта / В.И. Максак. - М. : Наука, 1975. - 60 с.
5. The contact interaction of conventionally immobile junctions in dynamic operation conditions / V.I. Maksak, A. Maksimenco, T.V. Maksak, N. Perfilyva // Energy and Environmental Aspects of Tribology 5-th International Symposium «INSYCONT 98». - Crakow, Poland. -1998. - P. 99-105.
6. Damping properties of contact of elements from materials with thermoelastic transformations / V.I. Maksak, V.A. Khohlov, T.V. Maksak, A.I. Zitov // Energy and environmental aspects of tribology 5-th international symposium «INSYCONT 98». - Crakow, Poland. - 1998. - P. 93-97.
7. Maksak, V.I. Calculation of contact durability in rotary mechanism on the example of timber-loader / V.I. Maksak, T.V. Maksak // Scientific problems of machines operation and maintenance. Polish Academy of Sciences. - 2009. - № 4 (160). - Vol. 44. - P. 71-79.
References
1. Maksak, V.I. Sblizhenie tel v ploskim kol'tsevym nelineino-deformiruemym uprugim kontaktom pri vnetsentrennom deistvii szhimayushchei nagruzki [Body convergence with flat ring nonlinear deformable elastic contact under eccentric compressive load]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2013. No. 3. Pp. 150-155. (rus)
2. Demkin, N.B. Kontaktirovanie sherokhovatykh poverkhnostei [Rough surface contacting]. Moscow : Nauka, 1970. 227 p. (rus)
3. Ponomarev, S.D., Biderman, V.L., Likharev, K.K., Makushin, V.M., Malinin, N.N., Fedosov, V.I. Raschety na prochnost' v mashinostroenii [Structural analysis in mechanical engineering]. 1958. V. 2. Pp. 411-426. (rus)
4. Maksak, V.I. Predvaritel'noe smeshchenie i zhestkost' mekhanicheskogo kontakta [Predis-placement and mechanical contact rigidity]. Moscow : Nauka, 1975. 60 p. (rus)
5. Maksak, V.I., Maksimenko, A., Maksak, T.V., Perfil'eva, N. The contact interaction of conventionally immobile junctions in dynamic operation conditions. Proc. 5th Int. Symp. «INSYCONT 98» 'Energy and Environmental Aspects of Tribology' Crakow, Poland. - 1998. - P. 99-105.
6. Maksak, V.I., Khohlov, V.A., Maksak, T.V., Zitov, A.I. Damping properties of contact of elements from materials with thermoelastic transformations. Proc. 5th Int. Symp. INSYCONT'98 'Energy and Environmental Aspects of Tribology' Crakow, Poland. 1998. Pp. 93-97.
7. Maksak, V.I., Maksak, T.V. Calculation of contact durability in rotary mechanism on the example of timber-loader. Scientific problems of machines operation and maintenance. Polish Academy of Sciences. 2009. No. 4 (160). V. 44. Pp. 71-79.
