CC BY
38
УДК 624.072.014.2-415.046.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЧНОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ БАЛКИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Максак Татьяна Васильевна д.т.н., профессор кафедры Агроинженерии Ачинский филиал Красноярского государственного
аграрного университета Россия, город Ачинск
Максак Владислав Иванович д. т. н., профессор кафедры Строительная механика Томский государственный архитектурно-строительный университет
Россия, город Томск
Аннотация: Рассматривается консольная балка составного неравнобокого тонкостенного профиля. Определены геометрические характеристики сечения, нормальные и касательные напряжения. Из условия прочности определены максимальные нагрузки. Даны рекомендации. Внесены конструкционные дополнения, повышающие прочность балки. Результаты расчетов и повышения прочности подтверждены экспериментально.
Ключевые слова: консольная неравнобокая балка, тонкостенный открытый профиль, напряжения нормальные и касательные, прочность.
Составной профиль балки двутаврового поперечного сечения представляет собой швеллер, полочки которого укреплены накладками. Максимальный вылет консоли кронштейна составляет 0,3 м. Конструкция такого кронштейна представлена на рис. 1. Все элементы выполнены из листовой оцинкованной стали толщиной 5 = 0,55 мм. Ширина полочек швеллера составляет 20, стойки 60 мм. Ширина накладок равна 40 мм. Соединение накладок и полок швеллера осуществлено расклепкой от-
верстий. В результате сечение кронштейна представляет собой нерав-нобокий двутавр с разными по толщине левыми и правыми крыльями полочек.
Расчетная схема кронштейна показана на рис. 2 и представляет собой случай нагружения тонкостенного стержня открытого профиля. При этом имеет место стесненное кручение с центром изгиба и кручение, не совпадающее с центром тяжести сечения.
40
0 50 50 , - 50 50
у- -< I- и У- -с
<51 С5 >3-
С
Рис. 1
Рис. 2
В общем случае нагружения нормальные и касательные напряжения определяются по принципу суперпозиции как алгебраическая сумма напряжений, вызываемых отдельными составляющими деформаций. Так нормальные напряжения будут определяться по двухчленной формуле
с2= + ^, (1)
а касательные напряжения в срединной поверхности стержня - по трехчленной формуле
т мхг (2)
1x5 1у5 /ю5 ( )
Обычно эти напряжения весьма малы по сравнению с нормальными напряжениями а, а потому и не учитываются.
Нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости (1) определяются по формуле
аизг. =aZ = j 1 x
М y
x max J
(3)
Здесь mxmax = f ■ 0.3 Нм, где F - вертикальная нагрузка на кронштейн (рис. 2).
Осевой момент инерции Ix может быть определен по формуле
Ix = j y'dA = £5, j V ■ yds
A i 0
Интервал jy ■yds определяется перемножением эпюры у (рис. 3) самой на себя способом Верещагина
5h2 (186 + h)
12 ( )
Расчетная схема поперечного сечения представлена на рис. 4.
F = 2
h h h h 1 h h 2 h
25 ■ b---+ 5b---+ 5---------
2. 2 2 2 2 2 2 3 2
0.55 ■ 602 (18 ■ 20 + 60)
Ix ' -——= 69300 мм4 = 6,93 ■ 104 мм4 = 6,93см4 = 6,93 ■ 10"8 м4
Х 12
Эпюра нормальных напряжений <изг вычисленная по формуле (3) показана на рис. 5
Максимальные нормальные напряжения находятся в сечении при
У = Утах •
Момент сопротивления
/
ш =
х
У т
ж = 6.93 -10 = 2 3 10змм3 = 2,3см3 = 2,3-10"6м3 (5)
х 30 4 7
Подставляя (5) в (3) получим
0.3^
2.3 -10"6
= 0.13 -106 ^ Па = 0,13^ МПа (6)
Добавочные нормальные напряжения <тю от стесненного кручения определяются по второму слагаемому формулы (1), т.е.
<о = т^-о. (7)
о
Здесь во - бимомент; о - секториальная площадь; 1о - секториаль-ный момент инерции.
Эти напряжения могут быть значительными по модулю и существенно видоизменять распределение нормальных напряжений.
<2 = изг =
< МПа
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Для определения секториальной площади необходимо определить координату ах центра изгиба А (рис. 6).
Точка А является и центром кручения.
с
ах = (8)
В свою очередь
ъ
3хшВ = | У ШВ^А = Е8 | У® В•
А ' 0
Для определения интеграла произведения функций у и шв используем правило Верещагина, а для этого кроме эпюры у (рис. 3) необходимо построить эпюру шв, которая представлена на рис. 7.
о о? о 1 ИЪ И 1 ИЪ И 3 . 2 т.2 ^ /пч = 28- 2-----Ъ • —+ 8-2-----Ъ • - = -И Ъ 8 (9)
в 222 2224
Принимая во внимание (9) и (4) получим (8)
9Ъ
9 • 20
18-
и
Ъ
18-
60 20
= 8.57 мм = 0,857см = 8,57-10"3м
(10)
ах =
С использованием координаты центра изгиба построенная эпюра секториальных площадей представлена на рис. 8.
Сечение изображено при взгляде на него в положительном направлении оси Ъ, как этого требует правило знаков для ш .
По эпюре ш вычислим секториальный момент инерции /ш умножая эпюру ш саму на себя.
ах \л к
1
А
-1
Рис. 6
ж
2
20 20
/
857
ах=8,57
Рис. 7
11,43
257 343 30
ю мм
Рис. 8
А
' 0
_ 1 /л 9 1 9
|ю2йА = ^5г|ю-ю ^^ =251 -• 20• 857-857 + -20• 257-257
+25 • 2( —20• 2572257 + -20• 3432343 | + 25( -30• 2572257 | = ^ 2 3 2 3 ) ^ 2 3 )
16,893 •Ю65 = 9.29•Ю6 мм6 = 9,29см6 = 9,29•10"12м6. Значение бимомента вю в заделке в0 составляет
м
5П =--
0 к
В нашем случае
М = • ах Для определения коэффициента к =
(11)
(12)
(13)
О/„
Е1,
вычислим /^ по формуле
и =РХ—ь -53.
Для двутавра р = 1,2 Тогда
1
/л = 1.2 •-
3
(20 + 60) • 0.553 + 20 •1.13
= 15.968 мм4 =
(14)
= 15,968 •Ю-4 см4 = 15,968 •Ю-12 м4
С учетом (11) и (14), а также о = 8 • 104МПа и е = 20 • 104 МПа .
к = 4 8 10 15 968 = 0.83 м-1 (15)
20-104 • 9.29•Ю-12
У
В формуле (12)
U = 0,83 -0,3 = 0,249 thkl = thO.249 = 0.245
С учетом (10), (13), (15), и (16) получим (12)
= _-8.57-10 3^ _0 245 = 2 53_ш_3р Нм2 0 0.83
Максимальные напряжения сютах от стесненного кручения (7) будут в слоях с максимальным секториальным моментом.
2.53 -10"3 F,
Сю max I ®max 9 29-10_12
8.57-10"4 = 0.2334 • f МПа (17)
Эпюра представлена на рис. 9. Суммарная эпюра р + сю представлена на рис. 10. Максимальные суммарные напряжения с учетом (6, 17) находятся на краю тонкой полочки:
Pmax = Р +om = 0.13F + 0.233F = 0.363F МПа.
max u w.
0,363F
к
0,037F
0,233F
0,093F
(Р + Р») МПа
стт МПа
Рис. 9
Рис. 10
Предельная расчетная нагрузка F определяется из условия прочности
р < R
max _ y
Здесь Ry = 230 МПа - расчетное допускаемое напряжение. Тогда cmax = 0.363F < 230 .
Отсюда Fmax <-= 634Н или 63,4 кгс. (18)
0.363
Этот результат хорошо согласуется с экспериментом (рис. 13). При поперечном изгибе максимальные касательные напряжения xmax находятся в нейтральном слое и определяются по формуле
0г^отс vSx max
Т = —--
max
4s
Здесь Q - поперечная сила, которую можно принять как максимальную допускаемую определенную из условия прочности (18) по нормальным напряжениям q = f = 634 Н. Статический момент отсеченной площади
S0max максимален для секущей плоскости, проходящей через нейтральную ось сечения, совпадающей с центром его тяжести и определяется по формуле
sотс = V Y A
x max / , ci i i
Здесь Yci - расстояние от оси xi (рис. 4) до центра тяжести площади фигуры Ai.
Отсеченная площадь в данном случае - это площадь сечения выше оси
^c .
Sxmax = a1 • 30 + A2 • 30 + A3-15 = 0,55• 20• 30 +1,1-20• 30 + 0,55• 30-15 = 1237,5 мм3 = 1,238•lO"6 м3
Осевой момент инерции Ix определим по формуле
(и i„3 \ i m n ««3 Л
h=z
^ + Y^Ai
12 ci '
v
= 2
20 • 0.55- о n „ „n
-+ 302 • 0,55 • 20
12
v
+ 2
^20-U3 + 302 •!,!• 20^ 12
v
+
+ 0.55 • 603 = 69,3 • ю3 мм4 = 69,3 • 10"9 м4 12
При этом
634• I.238• lO"6 = 20,6•Ш6 Па = 20,6 МПа
69.3 •Ю"9 • 0.55 •Ю"3
Т
max
ттах = 20,6 МПа < [т] = 0,5Яу = 115МПа
При максимальной вертикальной нагрузке касательные напряжения от поперечной силы составляют всего 18 % от разрешенного допускаемого напряжения т. Причем эти напряжения находятся в слоях, где нормальные напряжения равны нулю.
Касательные напряжения тютах, возникающие от крутящего момента относительно центра вращения А определяются по формуле
М ?отс _ мА°атах
Тю тах
•45
Здесь момент МА = г • ах, F- определенная из нормальных напряжений допускаемая сила равна 634 Н; £°тах- статический момент отсеченной площади определяется по формуле
Ь
отс
С = \юдА = Е5г]Ю£
Аотс ' о
Эпюра строится как площадь эпюры ю (рис. 8), помноженная на 5 на отсеченном участке контура сечения.
Для рассматриваемого сечения эпюра 8°тс представлена на рис.11.
Из эпюры принимаем максимальное значение
зсти = 3676мм4 = 3,68-10"9 м4
ютах "
Далее определяем Тютах
634• 8,57 •Ю"3 • 3,68-10"9 „ „ 1/л6^ „ ^ ^
тютах =-,-10-,-^ = 3,9 •Ю6 Па = 3,9МПа
стах 9,29 •Ю"12 • 0,55 •Ю"3
По условию прочности ттах <[т] = 0,5Яу, здесь, Яу = 230МПа т.е.
т.™, = 3,9МПа -<-< 115МПа.
10 ГПс1Х 7
Эти напряжения чрезвычайно малы.
Рис. 11
При экспериментальном исследовании прочности и жесткости кронштейнов нагружение кронштейна силой F (рис. 2) осуществлялась винтовым механизмом (болт-гайка). Нагрузка измерялась динамометром растяжения. Перемещения свободного конца кронштейна измерялось индикатором часового типа с ценой деления 0,01 мм и штангенциркулем. Результаты эксперимента представлены на рис. 12.
Линия 1 - нагружение осуществлялось в плоскости, совпадающей с центром тяжести сечения. При этом наблюдался поворот сечения с отклонением от оси У (рис. 2).
Низкая жесткость кронштейна объясняется ярко выраженной потерей устойчивости сжатой полочки в зоне заделки.
Линия 2 - дополнительная расклепка в зоне близкой к заделке (рис. 13) была предложена с целью снижения потери устойчивости. В результате жесткость значительно увеличивалась по сравнению с линией 1.
о ±о 20
Рис. 12
¿ИМ
Линия 3 - плоскость действия нагрузки прихидила через центр вращения А (рис. 6). В зоне заделки также была осуществлена дополнительная расклепка. В этом случае поворот сечения не наблюдался и жесткость кронштейна была значительно выше. Однако, увеличить нагрузку не удалось из-за дальнейшей потери устойчивости в той же зоне заделки.
Линия 4 -в зоне заделки была предложена развальцовка элементов образующих полочку сжатия, как показано на рис. 13. Линия 4 подтвердила увеличение как жесткости, так и несущей способности до 700^750 Н.
Рис. 13
В целом экспериментальные исследования подтвердили достоверность теоретических расчетов, при которых Fmax = 634 H = 63,4 кГс.
Список литературы:
1.Справочник металлиста/ под ред. С.А. Чернавского. - М.: Машгиз, 1960-95с.
