CC BY
33
УДК 539.3
DOI: 10.17213/0321-2653-2014-6-73-76
РАСЧЕТ ТЕРМОУПРУГОГО КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕИСТВИЯ В ПОДШИПНИКЕ СКОЛЬЖЕНИЯ
© 2014 г. Е.М. Колосова, А.А. Ляпин, М.И. Чебаков
Колосова Елена Михайловна - канд. физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник, лаборатория механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича ЮФУ. Тел. (863) 2-975-255. E-mail: ekolosova@sfedu.ru
Ляпин Александр Александрович - канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотрудник, лаборатория механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича ЮФУ. Тел. (863)2-975-255. E-mail: Jeroma61@yandex.ru
Чебаков Михаил Иванович - д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. лабораторией механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича ЮФУ. Тел. (863)2-975-255. E-mail: chebakov@math. sfedu.ru
Kolosova Elena Mikhailovna - Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Leading Researcher, Laboratory of Mechanics of deformable solids and constructions, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of SfedU. Ph. (863)2-975-255. E-mail: ekolosova@sfedu.ru
Lyapin Alexander Alexandrovich - Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Junior Researcher, Laboratory of Mechanics of deformable solids and constructions, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of SfedU. Ph. (863)2-975-255. E-mail: Jeroma61@yandex.ru
Chebakov Mikhail Ivanovich - Doctor of Physico-Mathematical Sciences, professor, Head of Laboratory, of Mechanics of de-formable solids and constructions, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of SfedU. Ph. (863)2-975-255. E-mail: chebakov@math.sfedu.ru
Значительное внимание при исследовании динамического взаимодействия деталей машин и механизмов уделяется расчету температур в областях их контакта. Большие поля температур могут приводить к снижению работоспособности элементов конструкций и даже к их разрушению. Основной вклад в температурные поля в таких конструкциях вносит трение в области контакта. Из-за вида динамических нагрузок и сложности геометрии конструкции невозможно применение аналитических методов при решении подобных задач. Эффективным методом для анализа в таких случаях является метод конечных элементов. В представляемой статье на его основе рассматривается нестационарная динамическая контактная задача термоупругости для подшипника скольжения с учетом тепловыделения от трения.
Ключевые слова: подшипник скольжения; термоупругость; трение; конечно-элементный метод; динамика.
Considerable attention in the study of the dynamic interaction between machine parts and mechanisms is given to temperatures calculation in their contact areas. Large temperatures fields may lead to a decrease in efficiency of constructions elements and even to destruction. The main contribution to the thermal fields in such structures makes friction in contact area. There is the inability to use analytical methods for solving such problems because of the kind of dynamic loads and complexity of the structure geometry. Effective method for the analysis in these cases is the finite element method. In submitting articles based on it the non-stationary dynamic contact problem of thermoelasticity for a sliding bearing is considered taking into account the heat from friction. As a tool the finite element package ABAQUS is used to model complex dynamic thermome-chanical processes.
Keywords: sliding bearing; thermoelasticity; friction; finite element method; dynamics.
1. Постановка задачи
Рассматривается нестационарная динамическая связанная контактная задача термоупругости о взаимодействии упругого однородного цилиндра (далее - вала) с внутренней поверхностью цилиндрического слоя конечной длины в пространственной постановке.
В качестве инструмента используется конечно-элементный пакет ABAQUS [1], позволяющий моделировать сложные динамические термомеханические процессы. Статическая задача для подобных подшипников скольжения была рассмотрена в работе [2].
В цилиндрической системе координат O1rфz рассматривается однородный цилиндрический слой конечной длины (R1 < г < R2, -I / 2 < г < l / 2) (далее - подшипник). Внешняя поверхность подшипника
Sв
(r = R2, 0 < ф < 2%, -l / 2 < z < l / 2) жёстко
закреплена. Пусть во внутреннюю поверхность подшипника г = R1 вдавливается вал в форме цилиндра радиуса R0 = R1 - Д (Д >0 - малая величина) и длины I + 2d, занимающий область (-I/2-d < г < I/2 + d ). Ось вала параллельна оси подшипника и проходит через точку О2, при этом
линия первоначального касания вала и подшипника -(г = R1, ф = 0, -//2 < 2 < //2).
В локальной цилиндрической системе координат 02гф2 на поверхностях (г = R0, 0 < ф < 2п,
-//2 - d < 2 <-//2) и 52 (г = R0 , 0 <ф< 2 п, / / 2 < 2 < / / 2 + d) вала заданы распределённые нагрузки, каждая из которых суммарно равна Р /2 и направлена вертикально вниз. Вал вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ш1 (об/с). Между валом и подшипником в зоне контакта действуют силы кулоновского трения с коэффициентом трения ц ^ . Обозначим через поверхности торцов вала, лежащие соответственно в плоскостях 2 = +(/ /2 + d).
а( 1) = (2ц, в А,)е(? в А,(е22 ве3з)-У,е<°> а(2 = 2ц,е^, а« = (2ц, в А,)е22 в А,(е( ? ве3?)-у,9( а2) = 2ц,е23, а« = (2ц, в А,)е32 в А,(е( 1) ве2))-у,0(, аЗ? = 2ц,е31; (, = 1,2)
где у, = (3А, в 2ц, )а, , а- коэффициент теплового расширения; 0(г) - температура; а(к ; е(к - компоненты тензора напряжений и деформаций.
Граничные и начальные условия имеют вид
и(2) = 0, х е 5внеш,
1
I S || + || S2
J а £ dS = P , x е S1 и S2,
_cont _ ., _cont x е SK0HT
Рис. 1. Постановка задачи
Предполагается, что на поверхностях вала и подшипника, которые граничат с окружающей средой, определены условия конвективного теплообмена с коэффициентом конвективной теплоотдачи а ив начальном состоянии температуры вала, подшипника и окружающей среды совпадают и равны 0 °С .
В результате приходим к решению нестационарной связанной контактной задачи термоупругости с классическими уравнениями движения термоупругой среды [3] (индекс , = 1 относится к валу, индекс , = 2 относится к подшипнику)
(А, + 2ц, )УУи) - (А, + ц, ^ х V х и) -
-у,V0(,) -р,и(,) = 0;
Л, V • V0(*) - Се, 0(*) - Т, у, ¿V-и(*) = 0,
дг
где Л, - коэффициент теплопроводности; Се, - теплоемкость; Т0, - абсолютная температура начального состояния тела; р, - плотность; А,; ц, - коэффициенты Ляме; и(г) - вектор смещений среды.
Определяющие соотношения для связанной термоупругости имеют вид
II 51 и52 ^ Гф = ц ^ а гг
Ясп = кС0Ш (0(1)-0(2)), х е 5конт,
Я(1) = а(0среды - 0(1)), х е 51 и 52 и и 5+вал , Я(2) = а(0среды -0(2)) , х е 5пвондеш и5внеш , иф1^) = ©1, г е [0,1],
0( 1 )(0) = 0, , = 1,2,3, где тСфпг, аС0пг - контактные напряжения; 5конт - это контактная поверхность между валом и подшипником; яС0пг - поток тепла в области контакта; кС0пг -коэффициент контактной теплопроводности; ^ш ={0 < ф < 2п; R1 < г < R2 ; 2 = +//2 } - боковые поверхности подшипника; 0среды - температура окружающей среды; я(1) - потоки тепла (, = 1, 2 ).
2. Решение задачи
Для решения поставленной задачи применим метод конечного элемента с использованием специально разработанного программного модуля для конечно-элементного пакета Abaqus 6.12-3. С целью улучшения сходимости задачи и уменьшения времени, требуемого для расчета, решение задачи осуществляется в два этапа. Сначала решается статическая контактная задача теории упругости, когда вал вдавливается во внутреннюю поверхность подшипника, после этого задаётся вращение вала и решается связанная нестационарная контактная задача термоупругости.
Построение трёхмерной геометрии вала и подшипника осуществляется непосредственно в пакете Abaqus. Конечно-элементное разбиение строится с помощью 8-узлового связанного термоупругого элемента С3Б8Т. Для моделирования контактного взаимодействия внутренняя поверхность подшипника и внешняя поверхность вала покрываются контактными парами элементов. Для решения нестационарной задачи задаются минимальный и максимальный шаги по времени и даётся возможность пакету Abaqus са-
мому выбирать оптимальный шаг по времени при проведении расчетов.
3. Результаты расчетов
При проведении численных экспериментов были заданы следующие значения геометрических и материальных параметров. Внутренний радиус подшипни-
ка R, = 0,023
внешний радиус подшипника
R2 = 0,03 м.
Зазор между валом и подшипником
Д = 9 -10"5 м, длина подшипника I = 0,03 м, выступ вала d = 0,005 м.
При проведении расчетов для вала и подшипника использовались материальные константы бронзы, для которой плотность р1 = р2 = 8800 кг/м3, коэффициенты
Ляме Xj = X 2 = 2,79-10
10-,
Па, ц = ц2 = 4,1 •Ш10 Па , теплопроводность Л1 =Л2 = 76Вт/(м• К), коэффициент теплового расширения а1 =а2 = 18•Ю-6 К-1, удельная теплоёмкость С1 = С2 = 435 Дж/(кг • К). Начальная температура вала, подшипника и окружающей среды равна 0 °С, коэффициент конвективной теплоотдачи а = 20 Вт/м2.
Изучено влияние различных значений коэффициента трения ц ^ , угловой скорости ю 1 вращения вала и нагрузки Р на максимальные значения контактных
| стг | и эффективных сте напряжений, температуры Т в подшипнике (отмечены индексом подш) и валу (отмечены индексом вал ) после вращения вала в течение 1 с. Результаты этих расчетов приведены в табл. 1 - 3.
На рис. 2 приведены графики изменения температуры Т от времени t в точках подшипника и вала, в которых устанавливаются максимальные значения температуры после вращения вала с угловой скоростью Ю] = 5 об/с в течение 1 с при Р = 30кН и
Ци = 0,2 .
Т, °С
500
400
300
200
100
0
У У
1 / ^У У У
/ ✓ у'' У У
У У /у
у' / У S / 2
/ / / /
о.ю 0.20 о. = о 0.40 о.5о 0.60 о.ч> о.^о о.оо Ъ с Рис. 2. Графики изменения максимальных значений температуры от времени в подшипнике и валу: 1 - подшипник; 2 - вал
Таблица 1
Значения максимальных напряжений и температуры при варьировании коэффициента трения
и постоянных = 1 об / с , Р = 30 кН
м
стпоДШ, мпа ст^, МПа | стп°дш |, МПа | ст^3" |, МПа T подш О С T вал °с
0,06 223 109 202 77,4 27,0 6,60
0,1 214 112 200 81,1 45,0 11,5
0,2 207 125 199 89,6 90,0 23,0
Таблица 2
Значения максимальных напряжений и температуры при варьировании скорости вращения вала ю1
и постоянных ц^ = 0,2 , Р = 30 кН
Ю J , об/с стподш, МПа ст^, МПа | стп°дш |, МПа | ст^, МПа T подш О С T вал °с
1 207 125 199 90,0 90,0 23,0
2 290 136 225 109 183 33,6
5 628 181 366 214 567 72,6
Таблица 3
Значения максимальных напряжений и температуры при варьировании нагрузки Р и постоянных = 1 об/с, = 0,2
P , kH стподш, МПа ст^, МПа | стподш |, МПа | ст^ |, МПа T подш О С T вал °с
10 101 57,1 89,3 42,0 40,7 7,80
20 157 91,1 130 86,1 67,5 15,9
30 207 125 199 89,6 90,0 23,0
Т °с
ае, МПа
(290 266 242 218
_ 194
169 145 121
--971
730 489
--24.8
0,63
а б
Рис. 3. Распределение эффективных напряжений ие (а) после вращения вала с угловой скоростью = 2 об/с и температуры Т (б) - с = 1 об/с в течение 1 с в подшипнике
На рис. 3 а приведено распределение эффективных напряжений сте в подшипнике после вращения
вала с угловой скоростью ю1 = 2 об/с, а на рис. 3 б -распределение температуры после вращения вала с угловой скоростью ю1 = 1 об/с в течение 1 с. При проведении расчётов использовались следующие значения: нагрузка Р = 30 кН и коэффициент трения
ц^ = 0,2 . Из рисунка видно, что максимальные значения эффективных напряжений локализуются на внешней поверхности, а температуры - на внутренней поверхности подшипника при г = +/ / 2 .
Вывод
Проведенные исследования показали, что изложенный подход с использованием конечно-элементного пакета ABAQUS позволяет достаточно эффективно получать решения нестационарных динамических контактных задач с учетом тепловыделения от трения для подшипников скольжения, производить расчет напряженно-деформированного состояния и тепловых потоков в зависимости от их геометрических и механических параметров, что является осно-
вой для их оптимального проектирования. Изложенный подход может быть с успехом использован для расчета различных трибомеханических узлов, в том числе и тормозных систем в автомобильном и железнодорожном транспорте.
Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ (проект № 213.01-11/2014-28) и при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-0831663).
Литература
1. Abaqus: применение комплекса в инженерных задачах. М., 2010. 261 с.
2. Колосова Е.М. Конечно-элементное моделирование контактного взаимодействия в комбинированном подшипнике скольжения с учетом тепловыделения от трения // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2010. № 5. С. 35 - 39
3. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М., 1970. 253 с.
References
1. Abaqus: primenenie kompleksa v inzhenernyh zadachah [Abaqus: applying complex engineering tasks]. Moscow, 2010, 261 p.
2. Kolosova E.M. Konechno-'elementnoe modelirovanie kontaktnogo vzaimodejstviya v kombinirovannom podshipnike skol'z-heniya s uchetom teplovydeleniya ot treniya [Finite element modeling con-stroke interaction in the combined terminal connection or lead-nick slip with regard to heat dissipation from frictiony. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskij region. Tehnicheskie nauki, 2010, no. 5, pp. 35 - 39
3. Novackij V. Dinamicheskie zadachi termouprugosti [Dynamic problem of thermoelasticity]. Moscow, 1970, 253 p.
Поступила в редакцию 31 октября 2014 г.
