Контактная задача о движущемся штампе при учете тепловыделения от трения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ ПРИ УЧЕТЕ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ ОТ ТРЕНИЯ

© 2010 г. Д.А. Пожарский1, М.И. Чебаков2

'Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, pozharda@rambler.ru

2Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им Воровича И.И. Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090, ЛеЬакоу@таШ. sfedu.ru

Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, pozharda@rambler.ru

2Vorovich I.I. Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, chebakov@math.sfedu.ru

Рассмотрена плоская контактная задача о движущемся штампе при учете тепловыделения от трения между штампом и упругой полосой большой толщины. Использована несвязанная квазистационарная постановка задачи термоупругости в подвижной системе координат. Задача сведена к системе интегрального и интегро-дифференциального уравнений относительно контактного давления и контактной температуры. Интегральное уравнение для толстой полосы сводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши и решается аналитически. Интегро-дифференциальное уравнение сводится к интегральному уравнению 2-го рода относительно контактной температуры и решается численно по методу коллокаций или аналитически. Для трения использован закон Кулона; коэффициент трения не зависит от температуры. Сделаны расчеты контактных давлений и температур при разных значениях коэффициента трения, скорости движения штампа, вдавливающей штамп силы, относительной толщины слоя и для разных форм основания штампа (плоское основание, параболическое основание).

Ключевые слова: тепловыделение, трение, контактное взаимодействие, аналитические методы.

A plane contact problem of the moving stamp in the presence of heat from the friction between the stamp and the elastic plane of great thickness is considered. Unrelated quasistationary formulation of the thermoelasticity problem in a moving coordinate system is used. The problem is reduced to a system of integral and integro-differential equations for the contact pressure and contact temperature. Integral equation for the thick plane is reduced to a singular integral equation with Cauchy kernel and solved analytically. Integro-differential equation is reduced to an integral equation of second kind for the contact temperature and solved numerically by the collocation method or analytically. For the friction law used by the Coulomb friction. The calculations of contact pressure and temperature at different values ofthe coefficient of friction, stamp speed, presses force, the relative thickness of the plane and for different forms of the base punch (flat base, parabolic base) is done.

Keywords: heat, friction, contact interaction, analytic methods.

Ранее исследовались контактные задачи о движущемся штампе без учета сил трения [1, 2], а также с учетом трения и тепловыделения (случай упругой полуплоскости) [3, 4]. Возможность резкого изменения контактных температур изучалась в [5-11]. Неустановившиеся температурные напряжения исследовались в [12].

Постановка задачи

В рамках плоской теории упругости рассмотрим линейно-упругую полосу толщиной И с параметрами упругости О (модуль сдвига) и V (коэффициент Пуассона). Граница полосы у=0 находится в условиях скользящей заделки. По границе у=И в положительном направлении оси х движется с постоянной скоростью и абсолютно жесткий штамп (рисунок).

Используем подвижную систему координат ж' =х—и/, У = у, связанную со штампом (штрихи далее опускаем). Форма основания штампа описывается функцией Л(х), область контакта - неравенством —а< х < а. К штампу приложена вдавливающая сила Р, эксцентриситет которой относительно оси у равен е. Для трения в области контакта используем закон Кулона тху=кд, где к - коэффициент трения; q = д(х) = -су(х,И) - контактное давление в области контакта. Трение между штампом и упругой полосой приводит к выделению в единицу времени на единицу площади количества тепла Q = итху, приводящего к нагреву контактной поверхности и штампа до температуры Т (ж) = Т(ж, И) (| ж |< а), которая превышает температуру То=0 на границе полосы у=0. В качестве начала отсчета температур берем темпе-

ратуру окружающей среды, сохраняющуюся вне области контакта при у=И, а также при у=0. Ясно, что через полосу возникает поток тепла, который при у=И равен Q = Я0дТ / ду (Л - коэффициент теплопроводности материала полосы).

Решение задачи

Пусть процесс теплопроводности является квазистационарным относительно подвижной системы координат. Тогда уравнение теплопроводности можно записать в виде

ДТ + 2/сдТ / дж = 0, со = и /(2а0) , (1)

где ао - коэффициент температуропроводности материала полосы.

P 1 i e y

г

x=-a y=h x=a x ..' .■■.■■.■■.■■.■■.■■.■■.■■ .■ .■ .■ .■ .■ ►

К постановке задачи о движущемся штампе

Граничные условия для уравнения (1) имеют вид у = 0: T = 0; у = h: T = 0 (| х |> а), сГ / ду = Q / Яо (|х|< a) . (2)

Решение задачи (2) для уравнения (1) ищем в форме интеграла Фурье

ехр(-ах) ж б^л/а2 + а2 у)

T (х, у) = -

2ж

J S («)-

sh(-/ж2 + ю2 h)

-exp(-iax)da,

Б (а) = | &'(х) exp(iах)dх, 5(х) = ехр(а х)Т (х).

-а

Относительно приведенной контактной температуры ¿-(х) приходим к следующему интегро-диффе-ренциальному уравнению:

J S (%)к0 (g - x)d% = -ж exp(® х)

Ш

h

(|х|< a), (3)

К(t) = i 0 a sinatda, l0(a) = 4a2 + a2 cth(Va2 +a2 h). „(x) Ja2 - x2

0 a q( ) —

ры и решается численно по методу коллокаций или аналитически (после аппроксимации контактного давления функцией, соответствующей случаю ао=0). Как показывают расчеты, с ростом коэффициента трения растет контактная температура по всей области контакта и повышается давление на краях области контакта. При уменьшении коэффициента температуропроводности материала полосы (что ведет к росту а), также растет контактная температура по всей области контакта и возрастает давление на краях области контакта. Обнаружен эффект нарушения контакта в середине области контакта.

Рассмотрим штамп с параболическим основанием, когда /(х)=х2/(2Я). Для простоты допустим, что коэффициент линейного расширения материала полосы а0=0. Тогда при Л-—ж (для очень толстой полосы) ограниченное решение уравнения (4) имеет вид

a2 =

2PR

Для определения напряженно-деформированного состояния упругой полосы в условиях плоской деформации используем уравнения линейной несвязанной термоупругости Ламе-Неймана [13] в подвижной системе координат без учета инерционных членов. Пусть скорость и движения штампа меньше скоростей продольных волн с, поперечных волн с2 и волн Релея ср в упругой полосе, т.е. и<ср. Используя преобразование Фурье и условие контакта и (х, к) = —(д — /(х))

(| х |< а), где д - осадка штампа, придем к интегральному уравнению вида

1 а а

— | х^-ао 15(#)ехр(-а^к2(#- х^ё =

& -а -а

= RS- f (х)) (|х|< a),

(4)

1 ™ l (a) u 2 km (t) = - J ^ exp(iat)da (m = 1, 2); ef = 1 —T

2 -да a С,

e2 = - --r, l-(a) =

s2 th(eah) th(e2ah) th(eah) - s th(e2ah)

Д1 + e2)s2 th(eah)

»2(a) =-5-

e (a(1 - e ) + i2a)a

l2 (a) =

e0 rR %

в = ^^ .(6)

Здесь в0 - контактная жесткость для движущегося штампа (скорость и^0). При и=0 (неподвижный штамп) имеем известную контактную жесткость в=0(1-у). Для неподвижного параболического штампа также выполняются формулы (11) с заменой в0 на в [6]. При и—0 имеем в0—в. Поскольку в0 <в, то,

как следует из (6), для движущегося параболического штампа контактные давления меньше, а область контакта больше, чем для неподвижного штампа. Уравнение (3) запишем в виде

151 (£)к0 (ё - х^ё = -ж ехр(ах) ки^(х) (| х |< а).

-а Л0

Введем безразмерные обозначения:

х ё к Р Я

х = -, ё = £, Л = к, Р' = —, Я = Я, а' = ак, (7) а а а вЯ а

*,(*■) = ^ ^:(х') = #ехр(ах), ,0(х) = ^^

в

в

кив0 a

р[сШ(рк) - cosech(рк) Бес^^ок)] - е^а ^(ехак) - ^ Ш(е2ак)

^ = (1 + е-2 )7(4е!е2 ), ^ = (1 - е22 У^ ),

р = д/аСа+зТа) , р = а0 (1 + у)/(1 - у), (5)

где а0 - коэффициент линейного расширения. Уравнение (4) в случае р=0 совпадает с известным уравнением [6, с. 289]. Из закона Кулона следует, что Q = киц(х) (| х |< а). Для нахождения функций д(х) и 5(х) имеем систему уравнений (3), (4). Заметим, что ядра кт (/) в уравнении (4) действительнозначны.

В случае штампа с плоским основанием уравнение (4) для толстой полосы сводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши и решается аналитически, уравнение (3) - к интегральному уравнению 2-го рода относительно контактной температу-

и т.д. Штрихи далее опускаем. Тогда

1 | ^Шк!^-^ ds = —щx(х) (|х|< 1). (8) Л -1 dё V Л )

При больших Л, представляя решение уравнения (8) в виде ряда по отрицательным степеням Л, можно показать, что главный член такого асимптотического разложения может быть найден из уравнения

- ^ -ё = -Щ(х) (|х|< 1); -i dg g - х

(9)

решение которого известно [6]. Учитывая (7), получим

So(х) =~Ъ -F(ё,х)exp^j^/j-g7 dg (| х |< -),

F (ё, х) = ln

1 -ёх + V (1 -ё2)(1 - х2) i-дх -yj (1 -g2)(1 - х2)'

Безразмерная контактная температура

To (х) = So (х) exp^- ~хх j =

J F (д, ^[^у-ё dg (|х|< 1).

(10)

a

s

2

2

С

2

X

В обозначениях (7) давление и полудлина области контакта имеют вид

1

Таблица 2

Механические характеристики контакта

в0 4Í-7

q0( x) = —--,

0 в tR

в0 _(i -y)(1 - si)

в S„ :

a = — = 2P R

в

в

(11)

где значения s1, s2 определяются формулами (5). Результаты расчетов

В табл. 1 даны значения контактных температур Т0 (ж) при некоторых ж и со, рассчитанные по формуле (10) при Л=10.

Таблица 1 Контактные температуры

x а>=1 щ=3

-1,0 0,0 0,0

-0,8 0,4866 0,5381

-0,6 0,6880 0,7405

-0,4 0,8074 0,8486

-0,2 0,8663 0,8903

0,0 0,8807 0,8855

0,2 0,8477 0,8341

0,4 0,7730 0,7444

0,6 0,6437 0,6063

0,8 0,4437 0,4077

1,0 0,0 0,0

u/c2 P=0,1 P=0,2

в/в a q<>(0) в/в a 90(0)

0,1 0,9926 0,4489 0,1418 0,9926 0,6348 0,2006

0,2 0,9702 0,4540 0,1402 0,9702 0,6421 0,1983

0,3 0,9320 0,4632 0,1374 0,9320 0,6551 0,1944

0,4 0,8764 0,4777 0,1333 0,8764 0,6756 0,1885

0,5 0,8008 0,4998 0,1274 0,8008 0,7068 0,1802

0,6 0,7008 0,5342 0,1192 0,7008 0,7555 0,1685

Как видно из табл. 1, с увеличением параметра с (что может происходить за счет увеличения скорости штампа) контактные температуры возрастают. На левой стороне области контакта температуры выше, чем на правой.

В табл. 2 для движущегося параболического штампа при V = 0,3 и разных значениях вдавливающей силы Р приведены значения относительной контактной жесткости, полудлины области контакта и давления в средней точке области контакта, рассчитанные по формулам (11) при разных значениях скорости движения штампа, отнесенной к скорости поперечных упругих волн.

Как показывают расчеты, с возрастанием скорости штампа контактная жесткость и контактное давление в средней точке падают, а размер области контакта увеличивается.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 08-08-00873) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

Литература

1. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М., 1980. 303 с.

2. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М., 1986. 336 с.

3. Лифанов И.К., Саакян А.В. Метод численного решения задачи о вдавливании движущегося штампа в упругую полуплоскость с учетом тепловыделения // ПММ. 1982. Т. 46, вып. 3. С. 494-501.

4. Barber J.R. Thermoelastic displacements and stresses due to a heat source moving over the surface of a half plane // Trans. ASME. Ser. E.J. Appl. Mech. 1984. Vol. 51, № 3. P. 636-640.

5. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М., 1989. 509 с.

6. Александров В.М., Коваленко Е.В. Методы решения контактных задач термоупругости с учетом износа взаимодействующих поверхностей // ПМТФ. 1985. № 3. С. 129-131.

7. Александров В.М., Аннакулова Г.К. Контактная задача термоупругости с учетом износа и тепловыделения от трения // Трение и износ. 1990. Т. 11, № 1. С. 24-28.

8. Александров ВМ, Аннакулова Г.К. Взаимодействие покрытий тел с учетом деформируемости, износа и тепловыделения от трения // Трение и износ. 1992. Т. 13, № 1. С. 154-160.

9. Александров В.М. Осесимметричная контактная задача термоупругости с учетом износа // Изв. РАН. МТТ. 1992. № 5. С. 73-80.

10. Евтушенко А.А., Коваленко Е.В. Контактная задача об износе оплавлением вкладыша подшипника скольжения // ПММ. 1993. Т. 57, вып. 1. С. 148-156.

11. Коваленко Е.В., Евтушенко А.А. Износ подшипника скольжения с учетом тепловыделения от трения // Трение и износ. 1993. Т. 14, № 2. С. 259-269.

12. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М., 1963. 251 с.

13. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев, 1970. 239 с.

Поступила в редакцию

1 июня 2010 г.