CC BY
20
УДК 539.3
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КОМБИНИРОВАННОМ ПОДШИПНИКЕ СКОЛЬЖЕНИЯ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ ОТ ТРЕНИЯ
© 2010 г. Е.М. Колосова
НИИ механики и прикладной математики The Vorovich Research Institute of Mechanics
им. И.И. Воровича Южного федерального and Applied Mathematics of South Federal
университета University
С помощью метода конечных элементов исследуются плоская и пространственная задачи о взаимодействии упругого цилиндра с внутренней поверхностью цилиндрического слоя, при этом цилиндрический слой содержит выступающие вовнутрь слоя вставки из другого материала. Внешняя граница слоя жестко закреплена. В зоне контакта присутствует трение, вследствие которого происходит тепловыделение. Поставленные задачи могут рассматриваться как компьютерные модели работы комбинированного подшипника скольжения с учетом тепловыделения от трения. Изучено напряженно деформируемое состояние цилиндрического слоя. Исследованы закономерности влияния температуры и трения на величины контактных и эквивалентных напряжений.
Ключевые слова: метод конечных элементов; контактное взаимодействие; тепловыделение; трение; комбинированный подшипник скольжения.
Plane and spatial problem of the interaction of an elastic cylinder with the inner surface of the cylindrical layer are investigated using finite elements method. Cylindrical layer contains the speakers inside layer insertions of other material. The outer boundary layer is rigidly fixed. Friction is present in the contact zone, due to which there is heat release. The problems can be considered as the computer models of the combined sliding bearing in view of heat release from friction. Stress-deformed state of a cylindrical layer is studied. Regularities of the influence of temperature and friction on the magnitude of contact and equivalent stresses are investigated.
Keywords: finite elements method; contact interaction; heat release; friction; combined sliding bearing.
С помощью метода конечных элементов исследуются плоская и пространственная задачи о взаимодействии упругого цилиндра с внутренней поверхностью цилиндрического слоя, при этом цилиндрический слой содержит выступающие вовнутрь слоя вставки из другого материала. Внешняя граница слоя жестко закреплена. В зоне контакта присутствует трение, вследствие которого происходит тепловыделение. Поставленные задачи могут рассматриваться как компьютерные модели работы комбинированного подшипника скольжения [1] с учетом тепловыделения от трения. Изучено напряженно-деформируемое состояние цилиндрического слоя. Исследованы закономерности влияния температуры и трения на величины контактных и эквивалентных напряжений.
Постановка плоской контактной задачи. В полярной системе координат (r, ф) рассмотрим упругий кусочно-неоднородный цилиндрический слой бесконечной длины с периодической ступенчатой внутренней границей и c периодически изменяющимися механическими свойствами по координате ф с периодом а = 2к / N (рис. 1а). Внешняя граница слоя есть окружность радиуса R3, а внутренняя граница состоит из периодически чередующихся круговых дуг радиусов R1 и R 2 (R1 < R 2), края которых соединены попарно параллельными отрезками прямых. Границами раздела областей с различными механическими
своиствами являются продолжения этих отрезков до линии r = R 3. В дальнейшем будем называть вставками области, где прямолинейные границы параллельны, а криволинейные есть соответственно два семейства дуг
Г« = { r = R(m) , ф; -фО) < ф < ф; +фО) }, (1)
где ф(1) = arcsin(a/(2R1)); ф(2) = arcsin(R1 /R3 sinф1); m - номер семейства (m = 1,2, при m = 1 - нижний
индекс k = 1, при m = 2 - k = 3); n - номер вставки
*
(n = 1,2,...,N ); фn =a(n-1) - угол, соответствующий серединам вставок, a - так называемый диаметр вставки. Считаем, что ф = 0 определяет направление оси r вертикально вниз и отсчитывается против часовой стрелки. Таким образом, вставки выступают вовнутрь цилиндрического слоя на малую величину 5 = R 2 - R1. Множество промежуточных цилиндрических областей (R2 < r < R3) между вставками будем называть втулкой.
Вставки и втулка жестко соединены между собой, граница r = R 3 неподвижна, а в границы r = Rk (k = 1,2) вдавливается упругий круговой цилиндр бесконечной длины радиуса R 0 = R1 - h с центром в точке O1, который смещен относительно центра ку-
сочно-неоднородного цилиндрического слоя О вниз на величину h > 0 . Распределенная вдоль образующей цилиндра нагрузка интенсивности Р приложена на образующей цилиндра с координатами (R0 -h,л), которая смещает его вертикально вниз. Упругий круговой цилиндр будем называть валом, а систему «кусочно-неоднородный слой - вал» комбинированным подшипником скольжения. Предполагается, что в зоне контакта вала с втулкой имеются силы трения с коэффициентом трения ц 1, а в зоне контакта вала с вставками - с коэффициентом трения ц 2 . Вследствие трения в области контакта происходит выделение количества тепла Q1 на втулке и на валу и Q 2 на вставках и на валу согласно формуле [2]
Qk = иЦ кЧк (Ф^ к = ^
где и - эквивалент линейной скорости точек в зоне контакта, дк (ф) = -а г (Rl, ф) - контактное давление. Здесь при к=1 нижний индекс I=2, а при к=2 - I = 1. Вне зоны контакта на внутренней границе вставок (г = R1), втулки (г = R 2) и на внешней границе вала (г = R 0 ) заданы условия конвективного теплообмена,
а на внешней границе цилиндрического слоя задается постоянная температура. Схема задачи при количестве вставок N = 20 представлена на рис. 1а (вставки заштрихованы).
б
Рис. 1. Схема контактной задачи в двумерной постановке (а) и конечно-элементное разбиение модели (б)
Конечно-элементное моделирование для двумерной постановки. В качестве инструментария при моделировании контактного взаимодействия в комбинированном подшипнике скольжения используется конечно-элементный пакет ANSYS и его командный язык программирования APDL. Построение двумерной твердотельной модели осуществляется по технологии моделирования «снизу - вверх», с использованием следующей последовательности действий: задание опорных точек; построение дуг и прямых линий, соединяющих опорные точки; определение областей по опорным точкам; связывание с различными областями заданных физико-механических свойств материалов. Введены следующие обозначения материальных констант: для втулки - коэффициент Пуассона V1, модуль Юнга Е1, коэффициент теплопроводности X1, коэффициент теплового расширения а 1, коэффициент трения ц 1; для вставок - V 2, Е2, X 2, а 2, ц 2 ; для вала - V 3, Е3, X 3, а 3, соответственно. Температуру окружающей среды обозначим Т0, коэффициент теплоотдачи материалов втулки и вала с окружающей средой - р 1, а материала вставок - р 2 .
Моделирование контактного взаимодействия в комбинированном подшипнике скольжения в конечно-элементном программном комплексе ANSYS было реализовано в два этапа. На первом этапе осуществлялось моделирование контактного взаимодействия в рамках теории упругости, и по результатам расчета данной задачи в ANSYS формировались массивы контактных давлений. На втором этапе осуществлялось моделирование контактного взаимодействия в рамках теории термоупругости с добавлением к граничным условий первого этапа условий конвективного теплообмена на внутренней границе втулки, вставок и внешней границе вала, задания потока тепла в зоне контакта, пропорционально контактным давлениям, вычисленным на первом этапе, и постоянной температуры Т* на внешней границе цилиндрического слоя.
Используя полученную твердотельную модель, осуществляли автоматическое построение конечно-элементной модели. При этом плоские конечные элементы наследовали физико-механические свойства соответствующих геометрических областей. Для моделирования контактного взаимодействия в рамках теории упругости в областях, занимаемых упругими материалами втулки, вставок и вала, использовались плоские восьмиузловые структурные конечные элементы PLANE82 с опцией плоского деформирования. На границе предполагаемого контакта цилиндрического слоя и вставок автоматически формировались контактные конечные элементы CONTA175, а на границе предполагаемого контакта вала - ответные элементы TARGE169 [3]. Для моделирования контактного взаимодействия в рамках теории термоупругости использовались плоские восьмиузловые термоупругие элементы PLANE223 с опцией плоского деформирования. Для повышения точности результатов в соответствии с методологией решения контактных задач
а
по методу конечных элементов строилось каноническое разбиение со сгущением сетки в предполагаемой контактной области вала, а также каноническое разбиение областей вставок и промежутков между ними. Оставшиеся области кусочно-неоднородного цилиндрического слоя и упругого вала разбивались свободным образом четырехугольными конечными элементами. Получаемый в итоге один из вариантов конечно-элементного разбиения приведен на рис. 1 б.
Результаты расчетов для двумерной постановки. Для удобства проведения расчетов была разработана программа на макроязыке APDL ANSYS 11.0, позволяющая моделировать задачу с введением параметрических входных данных. Таким образом, в рамках одной программы проводились расчеты задач о контактном взаимодействии в комбинированном подшипнике скольжения в двумерной постановке при различных геометрических и механических входных параметрах. Проводилось тестирование програмы при задании упругих констант вставок равными упругим константам втулки. Результаты конечно-элементных расчетов контактных напряжений в случае однородности цилиндрического слоя при 5 = 0 и малой величины зоны контакта незначительно отличались от аналогичных результатов, полученных на основе формул теории Герца [4].
Было произведено исследование влияния трения и температуры на величины контактных ст г (Як, ф) (к = 1,2) и эквивалентных ст е (г, ф) напряжений в неоднородном цилиндрическом слое, где
сте (г, ф)=^2 х
х^(сту -стх )2 +(сту -стг )2 +(стх -стг )2 + 6(т^ +т2хг +т2уг) .
При проведении численных экспериментов задавались следующие значения параметров. Коэффициенты Пуассона и модули Юнга для втулки полагались равными соответственно V1 = 0,3 и
Е1 = 105 МПа, а для цилиндра - V 3 = 0,3 и Е 3 = 2,1-105 МПа, приложенное усилие P = 1,7 МН. Выступ вставок 5 = 10-6 м, радиусы Rk (к = 2,3) цилиндрического слоя полагались равными соответственно R 2 = 20-10 -3 м, R 3 = 26-10 -3 м. Зазор между цилиндром и цилиндрическим слоем h равнялся 10-8 м. Количество N и диаметр вставок а полагались равными N = 20 и а = 4 -10 -3 м.
Для дальнейшего обозначим материал вставок цифрой «1», когда коэффициент Пуассона V 2 = 0,4,
модуль Юнга Е2 = 0,05 -105 МПа, коэффициент теплопроводности X 2 =0,3 Вт/м С, коэффициент теплового расширения а 2 = 30 -10 -6 1/°С; цифрой «2» обозначим материал вставок, когда коэффициент Пуассона V 2 = 0,4, модуль Юнга Е2 = 0,1-105 МПа, коэффициент теплопроводности X 2 =0,5 Вт/м С,
коэффициент теплового расширения а 2 = 9 -10 -6 1/°С; цифрой «3» - материал вставок, когда v 2 = 0,4, E2 = 0,15-105МПа, X2 = 0,7Вт/мС, а2=6-10-61/°С. Материал вставок при совпадении с материалом втулки обозначим цифрой «0».
Коэффициент теплопроводности для втулки и вала полагался равным X 1 = X 3 =44 Вт/м С, коэффициент теплового расширения - а 1 = а 3 = = 11,5 -10 -6 1/°С. Коэффициент теплоотдачи материалов втулки и вала с окружающей средой р 1 равнялся 23 Вт/м2°С, материала вставок - р 2 = 15 Вт/м2°С. Температура окружающей среды и постоянная температура на внешней границе цилиндрического слоя T0 = T* = 20 С, эквивалент линейной скорости и = 2 м/с и коэффициент трения ц 1 = 0,3 .
В таблице приведены результаты расчетов максимальных по модулю контактных ст max = max ст r (Rk ,ф) (k = 1 или 2) и эквивалентных напряжений ст max в цилиндрическом слое при различных значениях коэффициента трения ц 2 и для различных материалов вставок в задачах с учетом тепловыделения (в рамках теории термоупругости) и без учета (в рамках теории упругости). В таблице в пятом столбце дано максимальное значение температуры T max , возникающее в зоне контакта вследствие влияния трения.
Максимальные по модулю контактные напряжения ст max в случае совпадения материала вставок с материалом втулки в задаче с учетом тепловыделения при всех значениях коэффициента трения ц 2 возникают на вставке в точках с координатами (r = R1, ф = 17а + ф(1)) и (r = R1,ф = 3а-ф(1)), а максимальные эквивалентные напряжения ст max в этом случае при ц 2 = 0, 05 возникают на вставках в точках с координатами (r = R1, ф = 3а+ ф(1)) и (r = R1, ф = 17а-ф(1)), а при ц2 = 0,1 и 0,15 - в точках с координатами (r = R1, ф = 3а-ф(1)) и (r = R1, ф = 17а + ф(1)), где а - период расположения вставок, а выражения ф(m) (m = 1,2) имеют вид согласно формуле (1). Отметим, что в задаче с учетом тепловыделения для однородного слоя при увеличение коэффициента трения ц 2 значения ст max тоже возрастают, а эквивалентные напряжения ст max изменяются незначительно.
В задаче без учета тепловыделения для однородного слоя максимальные по модулю контактные напряжения ст max возникают в точках с координатами (r = R1, ф = +ф(1)), а максимальные эквивалентные напряжения - в точках с координатами (r = R1, ф = 2а-ф(1)) и (r = R1, ф = 18а+ ф(1)).
Значения максимальных контактных и эквивалентных напряжений при различных значениях коэффициента трения ц2 в задачах с учетом тепловыделения и без учета
Н-2 Материал вставок С учетом тепловыделения Без учета тепловыделения
ст™х , МПа ст™х , МПа jmax OQ CTmax , МПа CTmax , МПа
0,05 0 358 191 15 251 183
1 401 504 155 235 217
2 299 424 113 176 168
3 231 315 86 177 171
0,1 0 395 186 28 251 183
1 418 537 166 235 217
2 318 472 127 176 168
3 252 367 102 177 171
0,15 0 429 192 41 251 183
1 436 571 177 235 217
2 341 521 141 176 168
3 279 420 118 177 171
Для материала вставок «1» в задаче с учетом тепловыделения максимальные по модулю контактные
напряжения ст max при любом значении коэффициента трения ц 2 возникают в материале втулки на границе со вставками № 5, 17 в точках с координатами (r = R 2, ф = 4а+ ф(3)) и (r = R 2, ф = 16а-ф(3)). Для материала вставок «2» при ц 2 = 0,05,0,1 и «3» при ц 2 = 0,05 напряжения ст max возникают в материале втулки на границе со вставками № 4,18 в точках с координатами (r = R 2, ф = 3а + ф(3)) и (r = R 2, ф = 17а-ф(3)), для материалов вставок «2, 3» при ц 2 = 0,15 - в материале втулки на границе со вставками № 2, 20 в точках с координатами (r = R 2, ф = а + ф(3)) и (r = R 2, ф = 19а- ф(3)), для материала
вставок «3» при ц 2 = 0,1 значения ст max возникают в материале втулки на границе со вставками № 3, 19 в точках с координатами (r = R2, ф = 2а + ф(3)) и (r = R 2, ф = 18а-ф(3)). Выше было обозначено ф(3) = arcsin(Rj /R2 sinф1). Для материалов вставок «1, 2, 3» в задаче с учетом тепловыделения максимальные эквивалентные напряжения ст ^ах возникают в материале втулки на границе со вставками № 2, 20 в точках с координатами (r = R3, ф = а- ф(2)) и (r = R 3, ф = 19а+ ф(2)).
Отметим, что в случаях материалов вставок «1, 2, 3» в задаче с учетом тепловыделения с увеличением коэффициента трения ц 2 значения контактных по
модулю ст max и эквивалентных ст max напряжений тоже возрастают. Кроме того, максимальное значение
температуры для однородного слоя возникает в точке с координатами (г = Я1, ф = 0), а для материалов вставок «1, 2, 3» - в середине промежутка между вставками № 1, 2 и № 1, 20 в точках с координатами (г = Я2, ф = +а/2).
Для материалов вставок «1, 2» в задаче без учета тепловыделения максимальные по модулю контактные а Г и эквивалентные а ^ах напряжения, а также эквивалентные а тах напряжения для материала вставок «3» возникают в материале втулки на границе со вставками №3, 19 в точках с координатами (г = Я 2,
Ф = 2а - ф(3)) и (г = Я 2, ф = 18а - ф(3)), а контактные а Г напряжения для материала вставок «3» - на вставках № 2, 20 в точках с координатами ( г = Я 2 , ф = а - ф(3)) и (г = Я 2, ф = 19а + ф(3)). Отметим, что
в случаях материалов вставок «1, 2, 3» в задаче без учета тепловыделения изменение коэффициента трения ц 2 не оказывает влияния на изменения величин максимальных по модулю контактных и эквивалентных напряжений.
Постановка трехмерной контактной задачи. В цилиндрической системе координат (г, ф, z) рассмотрим кусочно-неоднородный цилиндрический слой конечной длины (Я1 <г <Я3, -1/2 < z < 1/2) с MN цилиндрическими вставками из другого материала, оси которых проходят через ось цилиндрического слоя перпендикулярно ей. На рис. 2 а показана геометрическая модель цилиндрического слоя, на котором самым темным оттенком обозначены вставки.
Вставки диаметра а выступают вовнутрь цилиндрического слоя на величину 5 = Я 2 - Я1 и располагаются в слое в М рядов по N вставок в каждом, при этом их оси являются соответственно отрезками прямых
(Я1 < г < Я 3, 2 = ±1(т -1)/М , ф = ка/2 + (п - 1)а ), где п = 1,2,...,N - номер вставки в каждом ряду, т = 1,2,..., М - 2 - номер ряда в положительном направлении оси 2 , если т - четное, то к = 1, если т - нечетное, то к = 0.
JLx
а б
Рис. 2. Геометрическая модель цилиндрического слоя (а) и комбинированного подшипника скольжения (б) в трехмерной постановке
На рис. 2 б приведена геометрическая модель комбинированного подшипника скольжения в трехмерной постановке, а рис. 1а для этой задачи можно рассматривать как схему задачи в радиальных сечениях, содержащих оси вставок каждого ряда. Кусочно-неоднородный цилиндрический слой можно поворачивать относительно исходного положения на произвольный угол у . Далее постановка трехмерной задачи полностью идентична двумерной постановке.
Рис. 3. Конечно-элементная модель комбинированного подшипника скольжения в трехмерной постановке
Конечно-элементное моделирование для трёхмерной постановки. Конечно-элементное моделирование комбинированного подшипника скольжения в трёхмерной постановке осуществлялось аналогично двумерной. Один из вариантов разбиения на элементы приведен на рис. 3. Для моделирования контактного
взаимодействия в рамках теории упругости использовались упругие объемные двадцатиузловые квадратичные конечные элементы SOLID95. Для моделирования контактного взаимодействия упругого цилиндра и кусочно-неоднородного слоя границы контактирующих поверхностей покрывались на внутренней поверхности втулки и вставок контактными парами элементов CONTA 174 и на внешней поверхности цилиндра - элементами TARGE170 [3]. Для моделирования контактного взаимодействия в рамках теории термоупругости использовались термоупругие объемные двадцатиузловые элементы SOLID226. Аналогично двумерной модели строилась каноническая сетка в предполагаемой области контакта упругого цилиндра и кусочно-неоднородного цилиндрического слоя.
Здесь также были проведены расчеты контактных и эквивалентных напряжений по схеме, аналогичной двумерному случаю.
Проведенные расчеты показали, что при учете тепловыделения максимальные эквивалентные напряжения при наличии вставок находятся на внешней поверхности цилиндрического слоя, в то время как без учета тепловыделения они локализуются на внутренних поверхностях. Кроме того, для рассмотренных материалов вставок наименьшими максимальные по модулю контактные напряжения и максимальные эквивалентные напряжения будут в случае материала вставок «3», а наибольшими - в случае материала вставок «1».
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (государственный контракт № П1184).
Литература
1. Комбинированный подшипник скольжения / С.Н. Шевцов
[и др.] // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2010. № 2. C. 44 - 48.
2. Александров В.М., Аннакулова Г.К. Контактная задача термоупругости с учетом износа и тепловыделения от трения // Трение и износ. 1990. T. 11. С. 24 - 28.
3. Басов К.А. ANSYS: справочник пользователя. М., 2005. 640 с.
4. Прочность, устойчивость, колебания : справочник в 3 т. Т. 2. под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М., 1968. 464 с.
Поступила в редакцию 30 августа 2010 г.
Колосова Елена Михайловна - канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник, НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета Тел. (863)297-52-55. E-mail: ekolosova@sfedu.ru
Kolosova Elena Mikhailovna - Candidate of Science in Physics and Mathematics, Research Fellow, Vorovich Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of SFU. Ph. (863)297-52-55. E-mail: ekolosova@sfedu.ru
