Расчет теплоемкости сферической модели Берлина-Каца Текст научной статьи по специальности «Физика»

5. M. O. Katanaev, arXiv:0909.0370v2 [math-ph] 18 Nov (2009).

6. V.S. Ostrovskii, Sov. Phys. JETP 64(5), 999, (1986).

7. Kh.O. Abdulloev, Kh. Kh. Muminov. Coherent states of SU(4) group in real parameterization and Hamiltonian equations of motion. Reports of Tajikistan Academy of Sciences V.36, N6, I993.

8. Kh. O. Abdulloev, Kh. Kh. Muminov. Accounting of quadrupole dynamics of magnets with spin.Proceedings of Tajikistan Academy of Sciences, N.1, 1994, P.P. 28-30 (in Russian).

9. Khikmat Kh. Muminov, Yousef Yousefi. Berry phase for coherent states in spin systems. arXiv: 1103.6079 [math-ph] 31 Mar (2011)

10. Khikmat Kh. Muminov, Yousef Yousefi. Coherent states in real parameterization up to SU(5) and classical dynamics of spin systems. arXiv:1103.6080 [math-ph] 31 Mar (2011)

11. T. Bitter and D. Dubbers. Manifestation of berry,s topology phase in neutron spin rotation. Phys. Rev. Lett, 59:251-254, (1987).

12. D. Suter, Gerard. C, Chingas, Robert. A, Harris and A. Pines, Molecular Phys, 1987, V. 61, NO. 6, 1327-13

РАСЧЕТ ТЕПЛОЕМКОСТИ СФЕРИЧЕСКОМ МОДЕЛИ БЕРЛИНА-КАЦА

Герасимов Роман Александрович

Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры физики ЧГУ, г. Череповец

В последнее время существует значительный интерес к сегнетоэлектрическим и сегнетоэластическим полимерам, обладающим уникальными электрическими и механическими свойствами [1-3]. Эти свойства обусловлены возникновением, соответственно, спонтанной поляризации или деформации при фазовых переходах из изотропного в упорядоченное состояние. Изучение двухмерных полимерных систем с ориентационными взаимодействиями имеет не только теоретическое, но еще особое практическое значение, связанное с уникальными свойствами поверхностных и слоевых мезофазных структур: тонких пленок, мембран и др. Ориентация дипольных групп макромолекул в электромагнитных полях используется, например, для записи информации на пленки с помощью лазера [4-5]. Сходные черты ферромагнитных, сегнето-электрических и сегнетоэластических фазовых переходов, установленные экспериментальными методами [6-8], позволяют разрабатывать и общие подходы для их анализа.

Для исследования статистики, динамики и особенностей фазовых переходов в полимерных системах с не-матическим типом порядка можно использовать континуальные и решеточные модели из гибких или жестких сегментов [9-12]. Основные свойства и критическое поведение низкомолекулярных и полимерных систем (например, ферромагнетиков или сегнетоэлектриков) существенно зависят от их размерности. Теоретически проще всего изучить влияние внутри- и межцепных взаимодействий дипольного типа на равновесные свойства и критическое поведение полимерных систем на примере двухмерных многоцепных моделей. К сожалению, для решеточных моделей с анизотропными взаимодействиями до сих пор остались неизученными температурные зависимости теплоемкости [13-16], которая может проявлять аномальное поведение при фазовых переходах из изотропного в ориентационно-упорядоченное состояние.

В 1952 г. Берлин (Berlin) и Кац (Kac) получили решение еще одной модели ферромагнетика - так называемой сферической модели [15]. Она сходна с моделью Изинга. Рассматривается пространственная решетка (например, простая кубическая решетка), содержащая N

узлов. Каждому узлу i ставится в соответствие спин J^2 ),

который взаимодействует со своими соседями и с внешним полем. Но вместо того чтобы иметь значения только

±1, каждый спин ji2 ) может теперь принимать любые действительные значения с одним ограничением:

Z

J(2 )2 = J(2 )2 ^ j{z)2

+ J{

+... + JN)2 - N.

(1)

В случае однородной системы это ограничение обеспечивает равенство единице среднего квадрата любого спина

N NJ2 '2 =( J2 '2

i= 1

-1.

(2)

которое является точным для обычной модели Изинга [17].

Сферическая модель является континуальной моделью. Под континуальностью модели понимается то, что

величина ) пробегает весь спектр действительных чисел, направление вектора магнитного момента атома (молекулы) остается фиксированным - вдоль оси г - в случае предельно-анизотропных взаимодействий (однокомпо-нентная модель), и не фиксируется в общем случае - для анизотропных взаимодействий и изотропных в частности (трехкомпонентная модель). В такой модели есть очевидные недостатки. Энтропия при абсолютном нуле расходится, а удельная теплоемкость является конечной и не стремится к нулю. Однако эти недостатки не влияют на механизм фазового перехода [15].

Можно также поставить вопрос о том, что условие (1) допускает конфигурации, в которых небольшое число спинов могут иметь большие значения, поскольку

J

(2 )

< Ы1/2 , так, что эти состояния могут внести большой магнитный момент в систему. Но можно показать, что для распределения Гиббса (экспоненциальное распределение) вклад от таких состояний не проявляется в поведении модели. Фактически, условие (1) подразумевает,

что флуктуации величин ^2) являются малыми [15].

Берлин и Кац рассматривали [15] такую формулировку своей модели как аппроксимацию обычной модели Изинга. Они утверждали, что в модели Изинга суммиро-

Т(2 )

вание по величинам ^ можно рассматривать как суммирование по всем углам Ы-мерного гиперкуба в J ^2) -пространстве. В сферической модели это суммирование заменяется интегрированием по поверхности гиперсферы, проходящей через все эти узлы.

Это соображение вполне разумно с математической точки зрения, но все же условие (1) противоречит физическому смыслу, так как устанавливает одинаковую связь (или взаимодействие) между всеми спинами независимо от того, как далеко один от другого они расположены в

решетке, т.е. нет зависимости от радиус-вектора Ян относительного расстояния между ¿-м и ]-м узлами решетки.

Впоследствии было показано, что сферическая модель является, частным предельным случаем другой модели (п-векторной модели) с взаимодействием только между ближайшими соседями. Эта эквивалентность была строго доказана. Тем самым высказанные выше возражения снимаются, и репутация сферической модели как физически приемлемой модели, имеющей критическую точку, восстанавливается.

Различные аспекты сферической модели рассматривались во множестве работ [17, 18]. Это одна из немногих (если не единственная) моделей ферромагнетика, для которой можно получить точное решение в присутствии поля и которая характеризуется неклассическим критическим поведением [14].

Статистическая сумма обобщенной модели Изинга при отсутствии внешнего магнитного поля, найденная из условия нормировки, может быть записана в виде

ZN (I) = 2 N У exp

к„ у' j(z Jz z

>j

(3)

модели необходимо получить выражение для свободной энергии в расчете на одну частицу (удельная свободная энергия), т.е.

F = F F N'

(5)

где ¥ = —кБТ 1п (I) - свободная энергия Гельм-

гольца (для системы в целом); N - количество частиц. В случае бесконечной решетки приведенная удельная свободная энергия ¥0 / кБТ дается выражением:

- F0 / кБТ = lim N 1 ln ZN (S) .

N ^a

(6)

Есть различные способы для расчета многократного интеграла (4). Можно использовать метод Неймана (Neumann), можно использовать множитель Дирихле (Dirichlet), чтобы учесть условие (1), налагаемое на переменные. Можно произвести оценку интеграла с помощью дельта-функции.

Обозначим за n размерность решетки. Свободная энергия из расчета на одну частицу как результат оценки интеграла в случае N ^ ж равна [15]

1_1 2 2

1

2

-Fo(n)/кБТ = — — ln2 — ln2K// + 2K//Zs ~ fn(zs)

1

2'

где {/2обозначает данную конфигурацию спинов, У/ обозначает сумму по ближайшим соседям и рассчитывается при данных ] дважды, т.е. матрица квадратичной формы является симметричной, К// = К// / 2кБТ -приведенная эффективная энергия обменного взаимодействия спинов вдоль оси 2 [17].

Для сферической модели [15] статистическая сумма также определяется выражением (3), но суммиро-

Ь(2 )\

вание по величинам ? заменяется интегрированием по этим переменным с учетом условия (1):

(7)

Параметр 2$ - седловая точка в методе наискорейшего спуска (метод перевала), используемого для вычисления статистического интеграла. Она является решением уравнения

4К// =[#„ (2) / 1 , (8)

где

fn (z) =

U ln

z -

У

j=i

cos®

dmv.mn, (9)

т.е.

4K// =

(2,)

.2, . U

ZS -У C0S®j

j=1

dax..mn. (10)

Zn (S) = An1J n ... J exp

¿J(Z N

K// У/ J(z )

dj1Z \..dJN) =

T(z) -

+ж +ж

--AN J... J exp

— ж — a

K// У/ J(z Jz

(4)

где

AN = IN ... I/2) = /2)

у#2 N

¿=1

- нормировочный множитель, представляющий собой площадь гиперсферы в N измерениях.

Первое суммирование в (4) выполняется по всем связям (¿, ]) между соседними узлами решетки, второе суммирование берется по всем узлам.

Для дальнейшего расчета удельной теплоемкости

Решение 2$ (К//) существует для всех температур

для одномерной (п = 1) и двухмерной решеток (п = 2). Причиной этого является то, что правая часть выражения (8)

стремится к бесконечности при приближении 2$ к точке ветвления соответствующих функций /1(2) и /2(2) N — У) ^^^..^м) (при 23 ^ 23с ). Поэтому ¥0(1) и ¥0(2) - регулярные

функции Т, и никакие переходы в системе не возможны. В трехмерной решетке правая часть выражения (8) имеет конечное значение, равное 4К// , при 2^ = 3 в точке ветвления функции /3 (2) . Для Т < Тс или К// > К/ , новый путь в методе наискорейшего спуска имеет острый пик при 2$ = 3 . Тогда при Т < Тс свободная энергия ¥0(3) дается выражением (7), если положить в нем 2$ = 3 . Эта

особенность типа седловой точки как раз и соответствует фазовому переходу.

1

1

n

г=1

Если обозначить соответственно за ип и Сп удельную внутреннюю энергию и удельную теплоемкость частицы в п-мерной простой решетке (п = 1, 2, 3), то

и. =1K

d

2 " dK,

Теперь,

d

(Fn) / kET); ся =-кБK /

(F n) / kET (Fn) / kET)+d*- i- (F ") / kET (F n) / kET )

d2

dK,

2 (Fo(n) / kБT). (11)

d

dK,,

dK,

dK// d2S

dK

(12)

Последнее равенство справедливо, поскольку сла-

d (n)

исчезает, когда существует сед-

гаемое -п) / кБТ )

дг5

ловая точка. В случае трехмерной кубической решетки (п = 3) при температурах ниже критической (Т < Тс) г, — 3

вне зависимости от К// (либо температуры Т), поэтому

dK,

= 0 . Тогда получаем

d

dK,

(Fo( n) / kET ) = -L- - 2

d2

dK

т (Fo( n) / kET )=

2K//

1 .-2 d2s

2K„

dK

v/ -"v/ ^v/

Следовательно, получаются выражения:

Ип = K//

4K„

--

C = 2 ^

1 + 4K2

//

dK

(13)

(14)

(15)

1 ,

ее теплоемкость постоянна и равна с3 — — к£ при любой

й2

Т < Тс. Вторая производная -- терпит разрыв в кри-

йК//2

тической точке Т = Тс.

Учитывая, что К// — К// / 2кБТ, а критическая

температура Тс — К// / 2кБК/ , выражения для удельной внутренней энергии (14) теплоемкости (15) примут вид:

Ип = K//

1

4K„ T

--

с=2k

1 +

4K,,

(T / TC )2 dK//

(16)

(17)

■-С/

Критическое значение параметра К // , а следовательно, и температуры Тс, находится из интегрального уравнения (10):

Чтобы внутренняя энергия ип п-мерной решетки была непрерывной функцией температуры Т, необходимо, чтобы также являлась непрерывной функцией Т.

Можно показать, что - - непрерывная функция Т,

йК//

равная нулю в критической точке Тс для кубической решетки (п = 3). Следовательно, величина сп - непрерывная

1 ,

функция Т, стремящаяся к ~^кБ при приближении Тк абсолютному нулю. Однако, для кубической решетки (п = 3)

4k//c =

1

■и

zs -

I

j=1

cos a

da1...an, (18)

где значение критической седловой точки 2S определяется из условия

2Sc = n , (19)

n - размерность решетки. В случае трехмерной (n = 3) регулярной кубической решетки 4K// = C, где C =

0.505462 - значение трехкратного интеграла Ватсона (Watson) [19].

На рис. 1 показано поведение приведенной удельной теплоемкости сп = сп / кБ однокомпонентной 3 d-сферической модели.

Т/Тс

Рисунок 1. Зависимость приведенной удельной теплоемкости с3 — с3 / кБ сферической модели с предельной анизотропией взаимодействий (однокомпонентная модель) от отношения ^Тс.

С

2

C

1

и

Механизм природы фазового перехода может быть объяснен [15]. Можно показать, что переход соответствует спонтанному намагничиванию.

Таким образом, для трехмерных систем из гибких сегментов при наличии локальных внутри- и межцепных взаимодействий выше температуры фазового перехода (T > Te) теплоемкость монотонно уменьшается, а ниже критической точки, т.е. при T < Te, для однокомпонентной сферической модели Берлина-Каца, удельная теплоемкость c = k / 2 , что находится в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии, в данном случае по вращательным (ориентационным) степеням свободы.

Список литературы:

1. Merenga A., Shilov S.V., Kremer F., Mao G., Ober Ch. K., Brehmer M. // J. Phys. II France. 1994. T. 4. № 5. P. 859.

2. Terentjev E.M., Warner M. // J. Phys. II France. 1994. T. 4. № 5. P. 849.

3. Shilov S.V., Skupin H., Kremer F., Gebhard E., Zentel R. // Liquid Crystals. 1997. V. 22. № 2. P. 203.

4. Тальрозе Р.В., Платэ НА. II Жидкокристаллические полимеры I Под ред. Платэ Н.А. М: Химия. 1988.

5. Shibaev V.P., Kostromin S.G., Plate N.A., Talroze R.V. // Polym. Commun 1983. V. 24. P. 363.

6. Шувалов Л.А. II Изв. АН СССР. Сер. физ. 1979. Т. 43. № 8. С. 1554.

7. Гриднев С.А., Шувалов Л.А., Кудряшов В.И. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1983. Т.47. № 3. С. 497.

8. Алексеев А.Н. Злоказов М.В., Осипов И.В. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1983. Т.47. № 3. С. 465.

9. Готлиб Ю.Я., Медведев Г.А., Карпов Е.А. // Высо-комолек. соед. А. 1989. Т. 31. № 6. С. 1136.

10. Gotlib Yu.Ya. // Progr. Colloid Polym. Sci. 1989. V.80. P. 245.

11. Медведев Г.А., Готлиб Ю.Я. // Высокомолек. соед. А. 1991. Т. 33. № 4. С. 715.

12. Готлиб Ю.Я., Медведев Г.А., Люлин С.В. // Высокомолек. соед. А. 1997. Т. 39. № 3. С. 493.

13. Дайсон Ф., Монтролл Э., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. М.: Мир, 1973. 374 с.

14. Максимова О.Г., Максимов А.В. // Высокомолек. соед. А. 2004. Т. 46. №12. С. 2042-2052.

15. Berlin T.H., Kac M. // Phys. Rev. 1952. Second Series. V. 86. № 6. P. 821-835.

16. Максимов А.В. // Высокомолек. соед. А. 2007. Т.49. № 4. С. 891-904.

17. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 488 с., ил.

18. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -592с., ил.

19. Watson G.N. // Quart. J. Math. 1939. V. 7. P. 266.

ПРИМЕНЕНИЕ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ПОСТАНОВОК ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ВОЛНОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Гусев Евгений Леонидович

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ИПНГ СО РАН, г. Якутск, Россия, Профессор кафедры прикладной математики Института математики и информатики Северо-Восточного Федерального университета, г. Якутск, Россия,

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований - гранты № 13-08-00229.

В настоящее время в наиболее современных областях науки и техники, таких как космическая, авиационная, судостроительная и других широкое применение получают композиционные материалы, композиционные конструкции, композицционные покрытия. Общность математического описания таких задач приводит к необходимости создания единого подхода к задачам исследования предельных возможностей композиционных конструкций по достижению требуемого комплекса свойств [1-8].

Исследователя в первую очередь интересует, каких предельных возможностей по управлению параметрами волнового поля можно достичь, используя в качестве управляющего устройства структурно-неоднородную конструкцию, физико-механическую и геометрическую структуру которой можно направленным образом изменять. Чрезвычайно важное значение структурно неоднородных конструкций в физике, технике, приборостроении обусловливается тем обстоятельством, что они являются одним из существенных элементов различных устройств,

управляющих энергетическими характеристиками волновых процессов. Проблема наиболее эффективного функционирования таких устройств связана с проблемой всестороннего исследования предельных возможностей неоднородных структур как фактора управления параметрами волнового поля.

Будем рассматривать падение немонохроматической упругой волны на многослойную систему, состоящую из плоскопараллельных изотропных слоев. Наружная поверхность конструкции совпадает с плоскостью хОу декартовой системы координат. Ось z декартовой системы координат направлена внутрь конструкции, перпендикулярно плоскостям раздела слоев с различными физическими свойствами. Обозначим через 90 - угол, составляемый нормалью к фронту волны с осью z в полупространстве, откуда приходит волна, т.е. - угол падения упругой волны. Общие уравнения распространения упругих волн в системе слоев с различными физическими свойствами вида могут быть конкретизированы в виде:

u Aus (x, y, zt ) + ( Д + 2Us ) grad div(us (X У, zt)) = Ps

д 2us ( X, y, z, t ) dt3 ■

s = 1,..., N.

(1)