Самоусреднение, конечно-размерный скейлинг и критические свойства трехмерной сильно разбавленной модели Изинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 548.31

САМОУСРЕДНЕНИЕ, КОНЕЧНО-РАЗМЕРНЫЙ СКЕЙЛИНГ И КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТРЕХМЕРНОЙ СИЛЬНО РАЗБАВЛЕННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА

© 2009 Бабаев А.Б., Муртазаев А.К.*, Магомедов Г.М.

Дагестанский государственный педагогический университет *Институт физики Дагестанского научного центра РАН

Методом Монте-Карло исследуются статические критические свойства трехмерной сильно разбавленной модели Изинга на простой кубической решетке, в которой вмороженный беспорядок распределен в виде немагнитных примесей каноническим способом. Расчеты проводились для систем с периодическими граничными условиями (ПГУ) и с концентрацией спинов p=1.0, 0.95, 0.9, 0.8, 0.7, 0.65, 0.6. Исследовались системы с линейными размерами LxLxL=N, L=20-60. На основе теории конечно-размерного скейлинга (КРС) рассчитаны статические критические индексы (КИ) теплоемкости а, восприимчивости у, намагниченности в и индекса радиуса корреляции v в рассмотренном интервале концентраций p. Показано, что трехмерная модель Изинга с вмороженным немагнитным беспорядком проявляет два режима универсальности критического поведения в зависимости от концентрации немагнитных примесей.

The static critical properties of the three-dimensional Ising model with quenched disorder are studied by the Monte-Carlo (MC) method on a simple cubic lattice, where the quenched disorder is distributed as nonmagnetic impurities by the canonical manner. The calculations are carried out for systems with periodic boundary conditions and spin concentrations p = 1.0;

0.95; 0.9; 0.8; 0.7 0.6. The systems of non-linear sizes LxLxL, L=20-60 are researched. On the basic of finite-size scaling theory are calculated the static critical exponents of specific heat a susceptibility y, magnetization в and an exponent of the correlation radius in a considered interval of concentrations p. It has been shown that the three-dimensional Ising model with quenched disorder has two regimes of the critical behavior universality in a dependence on nonmagnetic impurities.

Ключевые слова: Монте-Карло, модель Изинга, вмороженный беспорядок,

критические явления.

Keywords: Monte-Carlo, Ising’s model, quenched disorder, critical phenomena.

Современная теория фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в основном базируется на идеях, заложенных в гипотезе скейлинга, универсальности и теории

ренормализационной группы [5]. До недавнего времени казалось, что теория статических фазовых переходов и критических явлений в основном построена и практически прекратила свое развитие. Однако результаты, полученные при исследовании спиновых систем с вмороженным немагнитным беспорядком, а также в

фрустрированных системах,

показывают, что ряд из них выходит далеко за рамки современной теории ФП и КЯ [2, 3, 4].

Большинство традиционных

теоретических и экспериментальных методов исследования таких систем сталкивается с серьезными трудностями при попытке вычислить критические параметры, определить особенности, характер и механизмы их критического поведения. При изучении влияния вмороженного беспорядка на ФП второго рода возникают два вопроса: изменяются ли критические показатели однородного магнетика при разбавлении немагнитными примесями и, если да, универсальны ли новые критические показатели. В работе

[16] показано, что присутствие вмороженных немагнитных примесей изменяет критические свойства системы, если критический показатель

теплоемкости а однородной системы положителен, то есть теплоемкость в критической точке расходится. Это утверждение известно как критерий Харриса. Данному критерию

удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга.

Хотя в соответствии с вышеупомянутым критерием Харриса о существовании нового класса

универсальности критического

поведения трехмерных разбавленных изингоподобных магнетиков в

теоретических, численных и

экспериментальных работах уже

получен положительный ответ, но до сих пор точно неизвестно являются ли новые критические показатели

универсальными, то есть не зависящими от концентрации примесей и от меры влияния кроссоверных эффектов на эти значения вплоть до порога перколяции. Напомним, что порог спиновой перколяции ррегс для трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями ррегс~0.3116081 [8].

Кроме того, при численных исследованиях разбавленных

изингоподобных систем следует иметь в виду, что есть серьезные основания предполагать наличие зависимости

критических параметров от способа

реализации беспорядка в исследуемой модели. Например, в работе [21] было обнаружено, что беспорядок,

реализованный каноническим способом (фиксацией доли магнитных узлов), ведет к результатам, отличным от случая, когда беспорядок реализовался способом большого канонического типа (доля магнитных узлов в каждой примесной конфигурации флуктуирует), хотя исследования [9], проведенные ренормгрупповыми методами, такое поведение объяснили различием

конечно-размерных эффектов в этих двух типах разбавления. По-видимому, строгое исследование таких

закономерностей в ближайшее время возможно лишь на основе данных численного эксперимента и практически невозможно другими методами. Отметим также, что анализ результатов недавней работы [11], полученных на трехмерной разбавленной модели Изинга, в которой вмороженный беспорядок внесен в виде случайных ферромагнитных связей, привел авторов к выводу, что в большей части критической области доминирует

кроссовер от показателей чистой модели к показателям неупорядоченной модели.

В последнее время предметом изучения методом Монте-Карло стали и другие реализации беспорядка. В качестве

обобщения трехмерной разбавленной

модели Изинга в работе [18] исследовалась термически разбавленная

модель Изинга. В этом случае реализация распределения вакансий определялась из локального распределения спинов чистой модели Изинга в критической точке. Оказалось, что критические свойства этой модели сильно отличаются от трехмерной разбавленной модели Изинга, в которой беспорядок содержится в виде вмороженных немагнитных примесей или в виде случайных ферромагнитных связей и соответствует теоретическим предсказаниям для скоррелированного на больших расстояниях беспорядка [20].

В данной работе нами исследуются статические критические свойства

трехмерной модели Изинга с

вмороженным беспорядком на кубической решетке, в которой он распределен в виде немагнитных примесей каноническим

способом. Отметим, что критическое поведение этой модели при каноническом распределении вмороженных

немагнитных примесей в широком

интервале изменений концентрации

примесей стр, стр=1-р, с соблюдением единой методики, до настоящего времени исследовано недостаточно полно. Не выяснены особенности распределения

термодинамических параметров по соответствующему ансамблю.

Модель Изинга с вмороженным

беспорядком представлена на рис. 1.

Рис. 1. Разбавленная модель Изинга с вмороженными немагнитными примесями

В рассматриваемой нами модели беспорядок распределен в виде немагнитных примесей каноническим способом. При этом:

1) в узлах кубической решетки расположены спины Б, принимающие значения Б=± 1, и немагнитные примеси (вакансии), которые распределены случайно и фиксированы;

2) энергия связи между двумя узлами равна нулю, если хотя бы в одном узле находится немагнитный атом, и равна 1Д если оба узла заняты магнитными атомами.

Микроскопический гамильтониан такой системы может быть представлен в виде:

(1)

обменного

где ] - параметр

ферромагнитного взаимодействия между спинами, Б и - изинговские спины, р=1, если узел I занят магнитным атомом, и Р=0, если в узле I расположена немагнитная примесь.

Концентрация магнитных спинов р определяется суммированием

абсолютного значения спина во всех узлах решетки:

1 ^

р = т? Е Р'1Б; |. (2)

^ 1=1

Тогда значение р=1 соответствует чистой модели Изинга, а р=0 - пустой, чисто примесной решетке. Модель Изинга с вмороженным беспорядком имеет довольно длинную историю. Огромный интерес к этой модели обусловлен следующими основными причинами.

Во-первых, изинговская

слаборазбавленная система с вмороженным беспорядком имеет

большой практический интерес, так как позволяет на уровне простейшей модели включать в рассмотрение

макроскопические эффекты беспорядка, всегда присутствующие в реальных материалах.

Во-вторых, исследование влияния замороженного беспорядка на универсальные характеристики

критического поведения, помимо

практического, имеет и большой академический интерес [1].

В-третьих, первые попытки

исследования этой модели с каноническим распределением методами

вычислительной физики предпринимались в то время, когда мощности вычислительных машин и используемые алгоритмы метода МК не позволяли рассчитывать критические параметры с необходимой степенью точности.

Из всех вариантов кластерных алгоритмов метода Монте-Карло наиболее эффективным на сегодняшний день является алгоритм Вольфа [22]. В данной работе этот алгоритм был использован нами в следующем виде:

1. Случайным образом выбирается узел на решетке. Если в этом узле окажется немагнитная примесь, то опять случайным образом выбирается узел и так до тех пор, пока не будет выбран узел с магнитным спином Б1

2. Рассматриваются все ближайшие соседи Б/ данного спина Б, если соседний узел занят магнитным спином, то с вероятностью р=1-ехр(-2К), где К=]/квТ, кв — постоянная Больцмана, Т -температура, устанавливается связь между Б/ и Б , если Б/ и Б имеют одинаковые значения при />0. Затем осуществляется просмотр ближайших соседей последнего спина, с которым была установлена связь. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут достигнуты границы системы.

3. Все спины, между которыми установлена связь, образуют «кластер».

4. Полученный кластер

переворачивается с вероятностью, равной единице.

Расчеты проводились для систем с периодическими граничными условиями при концентрациях спинов р=1.0, 0.95, 0.9, 0.8, 0.7, 0.65, 0.60. Исследовались системы с линейными размерами

ЬхТхЬ=И, Ь=20-60. Начальные

конфигурации задавались таким образом, чтобы все спины были

упорядочены вдоль оси X. Для вывода системы в равновесное состояние

вычислялось время автокорреляции Т0 для всех систем с линейными размерами

Ь. Затем усреднение проводилось по участку марковской цепи длиной т=150т0. Кроме того, проводилось усреднение по различным начальным конфигурациям. Для систем с концентрацией 0.60<р<0.95

осуществлялось конфигурационное усреднение по 80-300 различным конфигурациям, причем для каждой примесной конфигурации выполнялось усреднение по длине цепи Т=150Т0.

Хг

15-

г і-=20

'> р=0.65

И

% • • •

50 100 150 200 250 300

Рис. 2. Распределение восприимчивости по каноническому ансамблю с различным распределением немагнитных примесей для системы с р=0.65, Т=Тс(р) и линейным размером Ь=20

На рис. 2 представлены как значения восприимчивости х для различных примесных конфигураций / трехмерной модели Изинга в сильноразбавленном режиме при р=0.65, Т=Тс(р), 0</<^!, N -общее число примесных конфигураций.

Представлены здесь же и усредненные значения X/ по

соответствующему каноническому

ансамблю с различным распределением немагнитных примесей для систем с линейным размером Ь=20. Как видно из рисунка, использованное нами для усреднения количество примесных конфигураций N. позволяют достичь асимптотический критический режим даже в сильно разбавленной области. Такое поведение обусловлено тем, что в отличие от других работ [11], в которых вмороженный беспорядок реализуется большим каноническим ансамблем, нами

немагнитные примеси распределялись по системе каноническим способом, при котором флуктуаций в распределении примесей намного меньше, чем при большом каноническом типе.

На рисунках 3 и 4 представлены

т (Ь) - т(Ь)

зависимости

т(Ь)

Кх =

Х1(Ь) -Х(Ь)

х(Ь) от размеров Ь систем.

Эти данные позволяют судить об ошибках, связанных с размерами изучаемых систем. Следует отметить, что для р=0.7 отношения ^/^=0.502, 0.555, 0.559 при Ь=44, 40, 36 соответственно находятся в достаточно хорошем согласии с предполагаемой теорией

ренормализационной группы Ят/Ях=И4

Рис. 3. Зависимость относительной дисперсии намагниченности Rm от обратных размеров 1/Ь для концентрацийр=0.6, 0.65, 0.7при Т(р)=Тс(р)

Рис. 4. Зависимость относительной дисперсии восприимчивости Rхот обратных размеров 1/Ь для концентрацийр=0.6, 0.65, 0.7при Т(р)=Тс(р)

Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости нами использовались флуктуационные соотношения

С = (NK2)((и2) - (и)2)

х = (МК)((т2) -(т)2)

(3)

(4)

где К=1/кБТ, И=рЬ3 — число

магнитных узлов, и — внутренняя энергия, т — намагниченность системы, угловые скобки означают усреднение по каноническому ансамблю.

Для определения критической температуры использовался метод кумулянтов Биндера иЬ четвертого порядка [12]

иь (Т, Р ) = 1

т 4(Т, р; Ь)

3 т 2(Т, р; Ь))

, (5)

здесь т - намагниченность системы с линейным размером Ь. В этом методе критическая температура Тс

определяется как значение температуры, при котором усредненное значение кумулянта не зависит от линейных размеров решетки

и Ь, (Тс, р) = иь2 (Тс, р) = ••• = иь, (Тс, р) . Определенные таким образом критические температуры приведены в таблице 1.

и

Таблица 1

Критические индексы трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями, определенные на основе теории конечно-размерного

скейлинга

р ю квТЛ V а У уЫ в вы 2в+Г V V

1.0 - 4.5106(6) 0.624(2) 1.602 0.108(2) 1.236(2) 1.980 0.322(3) 0.511 3.002

0.95 - 4.2591(4) 0.646(2) 1.548 - 1.262(2) 1.954 0.306(3) 0.474 2.901

0.010(2)

0.25 0.681(2) 1.468 - 1.344 1.975 0.339(2) 0.497 2.969

0.9 - 4.0079(8) 0.664(3) 1.506 - 1.285(3) 1.935 0.308(3) 0.464 2.863

0.014(3)

0.25 0.687(2) 1.682 - 1.347(2) 1.961 0.344(2) 0.504 2.968

0.8 - 3.4956(6) 0.683(4) 1.464 - 1.299(3) 1.902 0.310(3) 0.454 2.809

0.016(3)

0.25 0.683(3) 1.463 - 1.349(2) 1.975 0.308(2) 0.515 3.005

0.7 - 2.9682(8) 0.716(4) 1.396 - 1.431(4) 1.993 0.341(4) 0.4762 2.945

0.087(4)

0.37 0.713(3) 1.403 - 1.425(3) 1.998 0.356(3) 0.499 2.996

0.65 - 2.7028(9) 0.713(9) 1.403 - 1.428(4) 2.003 0.343(4) 0.4811 2.965

0.091(5)

0.37 0.711(7) 1406 - 1.424(3) 2.004 0.354(3) 0.498 2.999

0.6 - 2.4173(9) 0.725(9) 1.379 - 1.446(9) 1.994 0.349(9) 0.481 2.957

0.093(9)

0.37 0.712(8) 1.404 - 1.426(5) 2.004 0.353(8) 0.497 2.998

2.6746 2.7057 2.7368

к.ТЛ11

—I------

2.1

—і— 2.4

—і— 2.7

"з!о"

—і— 3.3 кТи

Рис. 5. Температурная зависимость усредненных кумулянтов Биндера иь для системы ср=0.65

Рисунок 5 демонстрирует

характерную зависимость усредненных кумулянтов Биндера иь (Т, р) от температуры для систем с разными линейными размерами при

концентрации спинов р=0.65. Точка пересечения кривых соответствует критической температуре Тс(р). Вставка на этом рисунке демонстрирует, насколько точно можно определить критическую температуру. Здесь и далее погрешность данных не превышает размеров символов на рисунках.

X

30

25

20

15

10

5

0

і.=і

Р=<

Р=<

Р=<

Р=>

Р=<

60,р 0.95 0.9 0.8 •0.65 0.6

I

*1.0

і 8 і :.о

V

□ааавВоао

квтпл

Рис. 6. Температурная зависимость восприимчивости хдля разбавленной 3Л модели Изинга

На рисунке 6 представлены характерные зависимости

восприимчивости х от температуры для систем с различными концентрациями спинов. Отметим, что максимумы и восприимчивости, и теплоемкости (в аналогичных зависимостях) смещаются в сторону более низких температур с ростом концентрации немагнитных примесей с=1-р. При этом максимум теплоемкости уменьшается, а

восприимчивости увеличивается. Из рисунка 6 также видно, что пики восприимчивости для систем с разными значениями концентраций р в пределах

погрешности совпадают с критическими температурами Тс(р), определенными методом кумулянтов Биндера, что говорит о высокой надежности определения критической температуры.

Для определения критических индексов теплоемкости а

восприимчивости у, намагниченности в и радиуса корреляции V использовалась теория конечно-размерного скейлинга. Согласно этой теории, для достаточно больших систем с периодическими граничными условиями основные термодинамические функции -свободная энергия Г, теплоемкость С, восприимчивости х и намагниченности т вблизи Тс масштабируются

следующим образом [14]:

^(Т,Ь) ~ Ь■dF0(íЬ1/V)

С(Т,Ь)~ЬаіСо(ґ Ьш),

Х(Т,Ь)~ Ь^х0(Ьш),

т(Т, Ь)~ ГріітМі}Іі)

(6)

(7)

(8) (9)

где г=Т-Тс1/Тс, Тс= Тс (Ь=ж), а, в, Г, V -статистические критические индексы, связанные соотношением

гиперскейлинга 2-а=й V=2в+ у[7].

Кроме того, на основе теории конечно-размерного скейлинга можно определить критический индекс радиуса корреляции V. Для этого используются соотношения

У п = 8у„Ьі

(10)

где %уп — некоторая постоянная, а в качестве Уп могут выступать

тпи

т

и

, (и=1,2,3,4) (11)

Из соотношений (8), (9) следует, что при Т=Тс восприимчивость и намагниченность удовлетворяют

следующим выражениям:

X ~ Ь" , (12)

т ~ Ь~в'У , (13)

Эти соотношения были использованы нами для определения величин уи в. Для аппроксимации температурной

зависимости теплоемкости от Ь на практике, как правило, используются другие выражения, например [4]:

Стс (Ь) = а — Ы

а/і

(14)

где а и Ь — некоторые коэффициенты.

Нами также проводилась обработка данных с учетом ведущего члена поправки к КРС, который особенно важен в сильно разбавленной области. В данной работе для расчета характеристик критического поведения мы ограничились учетом первой

поправки к асимптотическому поведению выражений (10) — (13):

Уп ~ Ьі (1 + Ь1 Ь~ю)

Х ~ Ь ^(1+Ь2 Ь~а),

т ~ Ь~в/і (і+ь3 Ь~ю)

(15)

(16) (17)

где Ь1, Ь2, Ь3 - амплитуды коррекции к скейлингу, ю - показатель поправки к скейлингу. В качестве поправки к скейлингу мы брали значения для слаборазбавленной области ю=0.25(10) и

0.37(6) в сильно разбавленной области.

Для расчета критических индексов у, а, в, и V строились в двойном логарифмическом масштабе зависимости X, т , С , и У, от линейных размеров системы Ь при Т(р)=Тс(р). Отметим, что в отличие от многих других работ анализ этих параметров в широком диапазоне варьирования концентрации р проводился нами при критической температуре Тс(р) определенной по методу кумулянтов Биндера четвертого порядка, а не по зависимостям Xшах (Ь),

Сшах(Ь), тТшх (Ь) и Упт„х (Ь). В случае

компьютерного моделирования

критического поведения разбавленных систем метод кумулянтов Биндера наилучшим образом зарекомендовал себя при определении критической температуры Т(р)=Тс(Ь=ж). Обработка данных для трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными

примесями, распределенными

каноническим способом в широком интервале изменения концентрации р

при Тс(р), определенной по методу кумулянтов Биндера, насколько нам известно, вообще не проводилась. Анализ этих данных, выполненный с использованием нелинейного метода наименьших квадратов, позволил

определить значения a/v, в/v, /V, 1/v. Затем с использованием значений V, полученных в рамках данного

исследования, определялись индексы а,

д Г

Очень важным моментом является и то, что в наших исследованиях индекс V вычислялся непосредственно из

результатов численного эксперимента в рамках данного исследования в отличие от многих других работ, где этот индекс определялся из различных скейлинговых соотношений.

Таким образом, значения критических индексов для различных значений р, полученных как с учетом ведущего члена поправки к КРС, так и без учета при соответствующем У(р),

представлены в таблице 1. Из этих данных видно, что в рассмотренном интервале концентраций р критические индексы отличаются от

соответствующих значений,

характерных для чистой системы. Незначительную концентрационную зависимость критических индексов для слаборазбавленной системы (р>0.8), по-видимому, можно интерпретировать наличием кроссовера при переходе от чистой системы к разбавленной. Полученные значения КИ для слаборазбавленных систем при

ю=0.25(10) достаточно хорошо согласуются со значениями >=0.678(10),

2=1.330(17), полученными в работе [19] ренормгрупповыми методами в

шестипетлевом приближении.

При сильном разбавлении (р<0.7) наблюдается значительное увеличение абсолютных значений соответствующих индексов. Такое поведение критических индексов может быть обусловлено наличием иной случайной неподвижной точки. Очевидно, что, если такая точка существует, она будет характеризоваться новым набором критических индексов. В

качестве экспериментального

подтверждения такого характера критического поведения можно рассматривать результаты работы [13]. Критические индексы, полученные в этой работе для разбавленных магнетиков Рер7п1.рР2 с р=0.6 и 0.5, практически совпадают с критическими индексами, определенными нами при р=0.6.

Расхождение наших результатов исследований даже при учете показателя поправки ю к скейлингу в сильно разбавленной области с результатами работы [10] видимо, связано с тем, что при каноническом разбавлении перколяционные структурные эффекты, связанные с образованием в системе перколяционного примесного кластера и ее сосуществование со спиновым кластером, более существенны для критического поведения, чем при большом каноническом разбавлении. Фрактальные эффекты этих

пронизывающих друг друга

перколяционного спинового и примесного кластеров могут явиться причиной изменения характера критического поведения для

сильноразбавленных систем. Кроме того, следует отметить, что учет ведущего члена поправки к скейлингу приводит к справедливости выполнения

скейлингового соотношения во всем диапазоне изменений концентраций спинов р (табл. 1).

Согласно теории КРС соотношения (6)-(9) снимают все эффекты, связанные с малостью системы. При правильно вычисленных значениях критических параметров зависимости для

намагниченности т, восприимчивости х и теплоемкости С от скейлинговой

^ *т1/V

переменной у = 1Ь после

масштабирования выражениями (2)-(4) должны укладываться на одну кривую.

На рисунке 7 представлена скейлинговая функция для

восприимчивости сильно

неупорядоченной трехмерной модели Изинга при р=0.65. Как видно из рисунка, все данные в пределах

погрешности укладываются на одну кривую, что говорит о правильности определения критических параметров.

Рис. 7. Конечно-размерное масштабирование восприимчивости

Xразбавленной трехмерной модели Изинга при р=0.65

Наблюдаемый характер критического поведения при сильном разбавлении (р<0.7) в рамках данного исследования находится в хорошем соответствии с предположениями о влиянии иной «перколяционной» неподвижной точки

[17]. Отметим также, что значения критических индексов, найденных нами при р=1.0, прекрасно согласуются с значениями принятыми на сегодняшний день в качестве эталонных [15].

В данной работе с соблюдением единой методики исследованы

критические свойства трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями (примеси распределены каноническим способом) в широком интервале разбавлений с, с=1-Р.

Наши данные четко и ясно свидетельствуют о том, что модель Изинга с немагнитными примесями при малых концентрациях примесей (р>0.8) образует новый класс универсальности, отличный от соответствующего для чистой модели Изинга (р=1.0).

Сильноразбавленные системы (р<0.7) характеризуются другим набором критических индексов и образуют свой класс универсальности.

В таком случае существуют и две кроссоверные области:

1) область между чистой (р=1.0) и слаборазбавленными системами (р>0.8);

2) область между

слаборазбавленными (р^0.8) и

сильноразбавленными системами

(р<0.7).

Возможно, противоречивый характер и несогласованность большинства результатов исследований, посвященных изучению этой модели, объясняются наличием кроссовера и растянутостью кроссоверных областей.

Примечания

1. Доценко В.С., УФН 165, 481 (1995) [Phys. Usp. 38, 457 (1995)] 2. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М. : Мир, 1980. 198 с. 3. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.А., УФН 169, 773, 1999. 4. Муртазаев А.К., Камилов, И.К., Бабаев А.Б. ЖЭТФ 126, 1377, 2004. 5. Паташинский А.З., Покровский В.А., Флуктуационная теория фазовых переходов. М. : Наука, 1982. 6. Прудников В.В., Вакилов А.Н. ЖЭТФ 103, 962, 1993. 7. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М. : Мир, 1973. 8. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т., УФН 173, 175, 2003. 9. Aharony A., Harris A.B. and Wiseman S., Phys. Rev. Lett. 81, 252, 1998. 10. Ballesteros H.G., et. al, Phys. Rev. B 58, 2740, 1998. 11. Berche P., et. al, European Physical Journal B, 38, 463, 2004. 12. Binder K., Z. Phys. B 43, 119. 1981. 13. Birgeneau R.J., et. al, Phys. Rev. B 27, 6747, 1983. 14. Fisher M. and Barber M.N., Phys. Rev. Lett. 28, 1516, 1972. 15. Guida R. and Zinn-Justin J., J. Phys. A 31, 8103, 1998. 16. Harris A.B., Phys. C 7, 1671, 1974. 17. Heuer H.-O., J. Phys. A 26, L333, 1993. 18. Marqués M.I., Gonzalo J.A., iniguez J., Phys. Rev. E 62, 191, 2000. 19. Pelissetto A., and Vicari E., Phys. Rev. B. 62, 6393. 2000. 20. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A., Phys. Rev. B 62, 8777, 2000. 21. Wiseman S. and Domany E., Phys. Rev. E 58, 2938, 1998. 22. Wolff U., Phys. Rev. Lett. 62, 361, 1989.

Работа поддержана грантом РФФИ (№09-02-96506) ведущей научной школы (НШ-5547.2006.2).

Статья поступила в редакцию 23.02.2009 г.