On the generalized Berry phase for qutrit, qudit with spin 1, 3/2, 2 particle in su(3) Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вопрос 2. Существуют ли такие множества

A ф e B, для

которых Ue

De (A) и De (B) изоморфнъ

Список литературы:

1. Кейс (J. Case). Enumeration reducibility and partial degrees: J. Annals Math. Logic. 1971, vol.2, issue 4, pp. 419 - 439.

2. Медведев Ю.Т. Степени трудности массовых проблем: журнал. Доклады АН СССР, 1955, т. 104, №4, сс. 501 - 504.

3. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость: монография. М.:Мир. 1972. - 624 с.

4. Солон Б. Я. Соотношения между е-степенями и Т-степенями: журнал. Известия вузов «Математика», 1995, т.394, №3, сс.51 - 61.

ON THE GENERALIZED BERRY PHASE FOR QUTRIT, QUDIT WITH SPIN 1, 3/2, 2 PARTICLE IN SU(3)

Farahmand Yadollah

PhD Candidate Muminov Khikmat

PhD, DSc, Professor, S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

Abstract

In this paper, we develop the formulation of the spin coherent state in real parameterization SU(3), SU(4), SU(5). We obtain Berry phase from Schrodinger equation. For vector states, basic kets are coherent states in real parameterization. We calculate Berry phase for qutrit, qudit with spin S=1, 3/2 and 2 in SU(3) group and Berry phase.

Key words: quantum mechanics, Schrodinger equation,coherent state,SU(n)group, Quadrupole moment,Octupole moment, Hexadecimalpole moment, Berry phase qutrit, qudit.

Introduction

In 1984 Berry published a paper [1] which has until now deeply influenced the physical community. In mechanics (including classical mechanics as well as quantum mechanics), the Geometric phase, or the Pancharatnam-Berry phase (named after S. Pancharatnam and Sir Michael Berry), also known as the Pancharatnam phase or, more commonly, Berry phase [1,2], Therein he considers cyclic evolutions of systems under special conditions, namely adiabatic ones. He finds that an additional phase factor occurs in contrast to the well-known dynamical phase factor. is a phase acquired over the course of a cycle, when the system is subjected to cyclic adiabatic processes, resulting from the geometrical properties of the parameter space of the Hamiltonian. Apart from quantum mechanics, it arises in a variety of other wave systems, such as classical optics [3].As a rule of thumb, it occurs whenever there are at least two parameters affecting a wave, in the vicinity of some sort of singularity or some sort of hole in the topology. In nonrelativistic quantum mechanics, the state of a system is described by the vector of the Hilbert space (the wave function) £ H which depends on time and some set of other variables depending on the considered problem. The evolution of a quantum system in time t is described by the Schrodinger equation

but it is not forbidden by the adiabatic theorem and the Schrodinger equation to add another term ©„which is called the Berry phase [4]

<Pn = -l$lEndt' +©B (1)

where we introduced the notation

Ak = mdk<p) (2)

Then the total change in the phase of the wave function is equal to the integral

©B = $ dAkAk (3)

The respective local form of the curvature has only two nonzero components:

The expression for the Berry phase (14) can be rewritten as a surface integral of the components of the local curvature form. Using Stokes formulae, we obtain the following expression

®B=1tfs dAkxdAlFkl

(4)

where S is a surface in fl3and Fkl = dkAt — dtAk are components of the local curvature form.

Berry phase for coherent state in SU(3) group for a spin 1 particle (qutrit)

We consider reference state as (1,0,0)T for a spin-1 particle (qutrit) in SU(3) in nonrelativistic quantum mechanics. Coherent state in real parameter in this group is in the following form [7]:

\ip ) = D2(d,v)e-irsZe2i3Qxy\0 ) = C0|0 ) +

C1\l )+C2\2 )

(5)

Coherent state for spin-1 in real parameter is in the following form [5]:

/ 6 6 \ I ei<p(e-iy(Sin2 —)Cosg + eiy(Cos2 -)Sing) \

Sind . .

-(e iyCosg — eiySing)

J2

в

в

(6)

\e-i<p (e-iy (Cos2 —)Cosg + eiy (Sin2 -) Sing) J

If we consider solution of the Schrdinger equation similar to equation (5), then component of the local connection formFfc; = dkAi — dtAk for the eigen- state (p are easily calculated

Ae = i{(p\de<p) = 0,Ar = Cos2g Ag = 0,A^

= Cos8Cos2g (7)

And components of the local form of the curvature are

Fe„ = двАф - дфАв = -Fve = -SinGCos2g,Ft

"ву

= двАу - dYAg = -FYg = 0

Fyg = dgAy dyAg = Fgy = 2SVR2g, Fyy = ЗуАу ÖyAy

Lyg "g^Y L9Y

= -F = 0

1 y<p w

Feg = двЛд - dgAg = -Fgg =0

F = г) А 1<рд и<рпд

dgAy = —Fg<p = -2Sin2gCos8 (8) Now we calculate the Berry phase for a closed curve in the parameter space A = A(t),

0в = ф dAkAt =

Ш

= jj d8d(pFgip

+ jj d9dyFBr + jj dddgFBg + jj dYdgFgr

+ jj drdvFTv + jj d9d(PFs<P =

= — jj ddd<pSindCos2g

— 2 jj dddgCosdSin2g — 2 jj dgdySinlg

= j(Cos2g — Cosd)dcp — J(1 — Cos2g)dy (9)

Where S is a surface in fl3with the boundary A(t) and H(A) is the solid angle of a surface S as it looks from the origin of the coordinate system.This result does not depend on how parameters depend on time [6].

3

Berry phase for coherent state in SU(3) group for a spin -particle (qudit)

We consider reference state as (1,0,0,0)rfor a spin-3/2 particle (qudit) in SU(4) in nonrelativistic quantum mechanics. Coherent state in real parameter in this group is in the following form [8, 9]

lip ) = Di{9,(p,y)e2ia{ixye-iPsZe-ikpxyzI0 )

= Co|0 )

+ Cil1 )+C2l2 )+C3|3 ) (10)

If we go from SU(4) group to SU(3), we must g = 0, ft = 0and in equations

k— g in this condition we obtain equations of SU(3) group.

/3 ft 3 ft \

e2i(r+^Cos[k]Cos[-]3 + e2i(-y+^)Sin[k]Sin[-]3 \

-j3e2i(3y+^Cos[k]Cos

ft 2 ft

— Sin —

.2. 2

+

3 6 6

+J3e2i(3r+^ Cos [~]Sin [k]Sin [-]2

1 1 ft ft j3(e2i(-v+M + e-2i(^+«)Cos[ft]2Sin[fc]Sin[ft]

13

e ~2i(-y+3^)Cos[ft]3Sin[k] - e^2i(-y+^)Cos[k]Sin[-]3)

(11)

Now we calculate the Berry phase for a closed curve in the parameter space A = A(t),

Berry phase for coherent state in SU(3) group for a spin 2 particle (qudit)

We consider reference state as (1,0,0,0,0)rfor a spin-2 particle (qutrit) in SU(5) in nonrelativistic quantum mechanics. Coherent state in real parameter in this group is in the following form: № )

= D^(9,ty,Y)e2igQxye-iPsze-ik°xyze-imSZe-in*xyzll0 ) = Co|0 ) + C1l1 )+C2l2 )+C3|3 )+C4l4 ) (12)

If we go from SU(5) group to SU(3), we must ft = 0,g = 0,k = 0,m = 0,n ^ g in this condition we obtain equations of SU(3) group.

(1(1 - 3Sin[n])(e-2i(^-y>(f5) + 2e-2i(*+r)((fi))\ 1(1 - 3Sin[n])(e-i($-2Y)((f4) + 2e-i(*+2v)((f6))

1(1- 3Sin[n])e2iy + 2e-2iy(f3) 1(3Sin[n] - 1)(е1(Ф+2у)((/6) + e-i(-*+2y)((f4))

(13)

\1(1 — 3Sin[n])(e2i(*+r)((f1) + 2e-2i(-*+y>((f5))J Now we calculate the Berry phase for a closed curve in the parameter space A = A(t),

dXk x dX F

kl

A

QB = ф dAkAk = 1JJ dAkx dAlFk,

nki

JI 2 JJs

1

= ii-^^^^7^7^e-4LYW4(331845689548800 - 110615229849600ft2 353968/35518/200

+ 17974974850560ft4 - 1799692231680ft6 + 122067626016ft8 - 1523034768ft10 - 818065653ft12 + 89237930ft14 + e8^(331845689548800 - 258102202982400ft2 + 82500525596160ft4 - 15319331435520ft6 + 1626809606688ft8 - 97884904368ft10 + 2678984487ft12 + 67218170ft14))(-1 + 3Sin[n]) 1

--e-4lyi2ft4(ft8(39033045408 - 7837858056ft2 + 748240926ft4 - 44618965ft6)

442460919398400

+ e8lY(221230459699200 - 147486973132800ft2 +44246091939840ft4 - 7959614423040ft6 + 846760422816ft8 - 51808910664ft10 + 1452561610ft12 + 33609085ft14))(p(-1 + 3Sin[n])}}(14)

Discussion

Geometric phases are important in quantum physics and are now central to fault tolerant quantum computation. We have presented a detailed analysis of geometrical phase that can arise within general representations of coherent states in real parameterization in SU(3). As coherent state in SU(4) group with ft = 0,g = 0,k = 0 convert to coherent state in SU(3), As coherent state in SU(5) group with ft = 0,g = 0,k = 0,m = 0,n = 0 convert to coherent state in SU(3), Berry phase also change in similar method. We can continues this method to obtain Berry phase in SU(N) group, where N > 4. we can also obtain Berry phase from complex variable base ket, we conclusion that result in two different base ket is

similar. Berry phase application in optic, magnetic resonance, molecular and atomic physics [10, 11].

References

1. M. V. Berry, "Quantal phase factors accompanying adiabatic changes,"Proc.R. Soc. Lond. A 392 (1984) 45-57.

2. S. Pancharatnam, Proc. Ind. Acad. Sci. A44, 247-262 (1956).

3. M.V. Berry, J. Mod. Optics 34, 1401-1407 (1987)[4] M. V. Berry. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes. Proc.Roy. Soc. London, A329(1802):45-57, (1984).

4. J. J. Sakurai. Modern quantum mechanics, (1999).

5. M. O. Katanaev, arXiv:0909.0370v2 [math-ph] 18 Nov (2009).

6. V.S. Ostrovskii, Sov. Phys. JETP 64(5), 999, (1986).

7. Kh.O. Abdulloev, Kh. Kh. Muminov. Coherent states of SU(4) group in real parameterization and Hamiltonian equations of motion. Reports of Tajikistan Academy of Sciences V.36, N6, I993.

8. Kh. O. Abdulloev, Kh. Kh. Muminov. Accounting of quadrupole dynamics of magnets with spin.Proceedings of Tajikistan Academy of Sciences, N.1, 1994, P.P. 28-30 (in Russian).

9. Khikmat Kh. Muminov, Yousef Yousefi. Berry phase for coherent states in spin systems. arXiv: 1103.6079 [math-ph] 31 Mar (2011)

10. Khikmat Kh. Muminov, Yousef Yousefi. Coherent states in real parameterization up to SU(5) and classical dynamics of spin systems. arXiv:1103.6080 [math-ph] 31 Mar (2011)

11. T. Bitter and D. Dubbers. Manifestation of berry,s topology phase in neutron spin rotation. Phys. Rev. Lett, 59:251-254, (1987).

12. D. Suter, Gerard. C, Chingas, Robert. A, Harris and A. Pines, Molecular Phys, 1987, V. 61, NO. 6, 1327-13

РАСЧЕТ ТЕПЛОЕМКОСТИ СФЕРИЧЕСКОМ МОДЕЛИ БЕРЛИНА-КАЦА

Герасимов Роман Александрович

Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры физики ЧГУ, г. Череповец

В последнее время существует значительный интерес к сегнетоэлектрическим и сегнетоэластическим полимерам, обладающим уникальными электрическими и механическими свойствами [1-3]. Эти свойства обусловлены возникновением, соответственно, спонтанной поляризации или деформации при фазовых переходах из изотропного в упорядоченное состояние. Изучение двухмерных полимерных систем с ориентационными взаимодействиями имеет не только теоретическое, но еще особое практическое значение, связанное с уникальными свойствами поверхностных и слоевых мезофазных структур: тонких пленок, мембран и др. Ориентация дипольных групп макромолекул в электромагнитных полях используется, например, для записи информации на пленки с помощью лазера [4-5]. Сходные черты ферромагнитных, сегнето-электрических и сегнетоэластических фазовых переходов, установленные экспериментальными методами [6-8], позволяют разрабатывать и общие подходы для их анализа.

Для исследования статистики, динамики и особенностей фазовых переходов в полимерных системах с не-матическим типом порядка можно использовать континуальные и решеточные модели из гибких или жестких сегментов [9-12]. Основные свойства и критическое поведение низкомолекулярных и полимерных систем (например, ферромагнетиков или сегнетоэлектриков) существенно зависят от их размерности. Теоретически проще всего изучить влияние внутри- и межцепных взаимодействий дипольного типа на равновесные свойства и критическое поведение полимерных систем на примере двухмерных многоцепных моделей. К сожалению, для решеточных моделей с анизотропными взаимодействиями до сих пор остались неизученными температурные зависимости теплоемкости [13-16], которая может проявлять аномальное поведение при фазовых переходах из изотропного в ориентационно-упорядоченное состояние.

В 1952 г. Берлин (Berlin) и Кац (Kac) получили решение еще одной модели ферромагнетика - так называемой сферической модели [15]. Она сходна с моделью Изинга. Рассматривается пространственная решетка (например, простая кубическая решетка), содержащая N

узлов. Каждому узлу i ставится в соответствие спин J^2 ),

который взаимодействует со своими соседями и с внешним полем. Но вместо того чтобы иметь значения только

±1, каждый спин ji2 ) может теперь принимать любые действительные значения с одним ограничением:

Z

J(2 )2 = J(2 )2 ^ j{z)2

+ J{

+... + JN)2 - N.

(1)

В случае однородной системы это ограничение обеспечивает равенство единице среднего квадрата любого спина

N NJ2 )2 =( J'')2

i-1

-1.

(2)

которое является точным для обычной модели Изинга

[17].

Сферическая модель является континуальной моделью. Под континуальностью модели понимается то, что

величина ) пробегает весь спектр действительных чисел, направление вектора магнитного момента атома (молекулы) остается фиксированным - вдоль оси г - в случае предельно-анизотропных взаимодействий (однокомпо-нентная модель), и не фиксируется в общем случае - для анизотропных взаимодействий и изотропных в частности (трехкомпонентная модель). В такой модели есть очевидные недостатки. Энтропия при абсолютном нуле расходится, а удельная теплоемкость является конечной и не стремится к нулю. Однако эти недостатки не влияют на механизм фазового перехода [15].

Можно также поставить вопрос о том, что условие (1) допускает конфигурации, в которых небольшое число спинов могут иметь большие значения, поскольку

J

(2 )

< Ы1/2 , так, что эти состояния могут внести большой магнитный момент в систему. Но можно показать, что для распределения Гиббса (экспоненциальное распределение) вклад от таких состояний не проявляется в поведении модели. Фактически, условие (1) подразумевает,

что флуктуации величин ^2) являются малыми [15].

Берлин и Кац рассматривали [15] такую формулировку своей модели как аппроксимацию обычной модели Изинга. Они утверждали, что в модели Изинга суммиро-

Л2 )

вание по величинам ^ можно рассматривать как суммирование по всем углам Ы-мерного гиперкуба в J ^2) -пространстве. В сферической модели это суммирование заменяется интегрированием по поверхности гиперсферы, проходящей через все эти узлы.