CC BY
38
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №9-10_
ФИЗИКА
УДК 537.9+537.6
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ю.Я.Юсефи
ОБОБЩЁННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГРУППЫ SU(5) В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ И ГЕКСИДЕЦИМАЛЬПОЛЬНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
Проведено вычисление в явном виде обобщённого когерентного состояния группы SU(5). Показано, что сокращение вектора классического спина в системах со спином S=2 может происходить за счёт гексидецимальпольных возбуждений. Методом фейнмановского интеграла по траекториям получены лагранжиан и классические уравнения движения.
Ключевые слова: когерентное состояние - мультипольные возбуждения - гексидецимальпольные возбуждения - фейнмановский интеграл.
Обобщённые когерентные состояния являются мощным инструментом исследования полуклассического поведения квантово-механических систем и находят широкое применение в физике конденсированного состояния, оптике, ядерной физике. В связи с бурным развитием исследований мезоскопических систем, то есть систем, уникальность которых заключается в одновременном проявлении свойств как классических, так и квантовых, обобщенные когерентные состояния оказываются идеальным методом исследования наносистем, поскольку учитывают симметрийные особенности исходных квантовых гамильтонианов.
В данной статье мы ставим задачу построения адекватного когерентного состояния для полуклассического описания спиновых систем со значением спина, равным 2. Общий метод построения подобных состояний для произвольного спина в действительной параметризации был дан в [1].
Когерентные состояния в группе SU(5) определим как [1]:
= D2(0,ç,y)exp^igQ^jexp^-iftS jexpikO^ jexpimS jexpinX** j|0)
(1)
= C0|0> + Q|1> + C2|2) + C3\3) + C4|4), где является референтным состоянием, а функция Вигнера, как обычно, имеет вид [2]
D2 (в, р, у) = exp {-ipS j exp ieS j exp {-iyS j. (2)
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович, Юсефи Юсеф. 734063, Республика Таджикистан, Душанбе, пр. Айни, 299/1,Физико-технический институт АН РТ. E-mail: muminov@phti.tj
Функция Вигнера обеспечивает диагонализацию обменной части спинового гамильтониана и позволяет перейти в каждом узле спинового квантового гамильтониана в собственную подвижную систему координат.
Квадрупольный момент в формуле (1) имеет вид:
С
0х==1
2г
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
-1 0 0 0 1
0 -1 0 0 0
0 0 -1 0 0
октупольный момент
хух 1 / \ 1
12Л } I
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
-1 0 0 0 0
0 -1 0 0 0
гексадецимальный момент [2] -
хУ21 1 / . . . . \ 1
X =-(5+5+5+5+ - 5" 5 " 5 " 5" ) = -
24Л } /
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
-1 0 0 0 0
Вычисление явного вида функции Вигнера (2) оказывается довольно сложной задачей. При вычислении нами использована система аналитических вычислений МаШешайса 6.0. Из разложения экспоненциального члена в (2) получим следующую форму:
В2 (е,д>,у) =
г £еЪ(г+ч>) / * (2У+Ф) /е2'г / е'(27—<р) / е2 '(7—Ф)
г е о+ад л 6 / е'(о+ф) /е7 /9е1(7—(р) / е'(7—21Р)
/е2 —/е /10 /е~1(р /е — 2
—/ * (-/+2^) / е(—у+Ф) —/е-7 / е—' (7+¥) — / е—'(7+2^) 6
/ е~2'(г—9) —/е(—2У+Ч>) /3е "27 _/е~ '(27+Ф) /е~2'(7+1Р)
(3)
где
, , в2 5в4 17 в6 13в8 257в10
/ = 1--+---+---+...
2 48 1440 16128 7257600
„ 5в3 17в5 13в7 257в9
А =-в +---+---+...
12 240 2016 725760
= 1 + в8 | в10 3 2\2 2у[в 15>/6 21^>/б 4725>/6 ^
в3 в5 в7 17в9
f4 =--+---+--...
4 16 160 48384
г в4 в6 в8 17в10
f5 =---+---+...
16 96 1280 483840
, „ 5в 17в 13в7 257в
/6 = в--+---+- ...
12 240 2016 725760
, , 5в2 17в4 13вб 257в8 41в10
/ = 1--+---+---+...
4 48 288 80640 290304
л = -1JV+-L IV ' V+...
8 \2 V3 5V3 105V3 945 \3
, 3в2 5в4 7вб 17в8 341в10
/9 =---+---+--...
4 16 160 5376 2419200
г , 3в2 в4 в6 в8 в10
/10 = 1--+---+---+...
2 2 15 210 4725
К сожалению, ряды в (4) в явном виде собрать не удаётся. Тем не менее, это не вносит затруднения в ход дальнейших вычислений в системе Mathematica 6.0 и использования когерентного состояния (1). Произведя подстановки (3) и (4) в когерентное состояние (1), получим:
с = -e2i(P+m) sinn (Ae21(p-r)/ + Be21(p+r)/ + Ce2,<p/ )
+ cos ne-2,m (ép ( cos ge'(2p-r) / + sin ^ (2p+r) / ) sin к + cos кг21? (Be2,(p-r) / +Ae21(p+r)/ - Ce2,p/ ))
C = -e2,(?+m) sin n (Ae'(<p-2f) / + Be1 (<p+2f) / + Ce,p/ )
+ cos ne-2,m (e1 ? (cos ge1 (p-/)/ + sin ge1 (p+r)/ ) sin к + cos ke~2tp (Be1 (p-2/)/ +Ae1 (p+2^/ - Ceip/ )) C2 = -e21(?+m) sin n (Ae-21T; + Be2'"/, + C/w )
+ cos ne-21m (ep (cos ge-r/ - sin geiy/ ) sin к + cos ke~2tp (Be 2iy/
+Ae2/ - C/w ))
C = e2i(P+m) sinn (Ae-(9+2y) f6 + Bei(-9+2y) f + Ce~ivfs)
+ cos ne-2,m (elр (cos ge- (9+y)f + sin gel(-9+y)f ) sin к - cos ke 2,р (Be1 (9+2y) f +Лё(-9+2у)/ - Ce-»ft))
C = -e2(P+m) sin n (Ae-2i(v+f) f + Be2i(-9+y) f + Ce'21^/ )
+ cos ne-2,m (¿ р (-cos ge-(2<p+f)f - sin ge1 (-2<p+f)f ) sin к + cos ke~21 p (Be-2i(9+y) f +Ae2i(-<p+r)f - Ce 29f )), где
)
Л = 1 (l + cos(^g)), B = i (l - cos^sflg)), C = ^
Для вычисления Лагранжиана, аналогично работе [3], используем метод функционального интегрирования по фейнмановским траектория, в результате получим
L = 2hcos2ncos2 к cos2 g (3 cos2 к cos2 gj3t + 3 cos2 km t + cos верt + y^ — H. (5)
Варьруя (5), получим классические уравнения движения в следующем виде
0 __l_ая__cos^_дН_
г cos2n cos2 g cos2 к sine дф cos2n cos2 g cos2 к sine dy
cose dH l dH l dH
yt ________2____2 n n _____2____2 /_ +
P =
cos2n cos2 g cos2 к sine de sin2n cos2 g cos2 к dn 2cos2n cos2 g sin к cos к дк 1 дН 1 дН
m =
6 cos4 g cos4 к sin2n dn 6 cos3 g cos4 к cos2n sin g dg 1 дН 1 дН
1 cos g cos4 к cos2n sin g dg cos2 g cos3 к cos2n sin к дк
___i_dH (6)и -_\_^__\_dH
' cos2k cos2 g cos2 к sine de ' cos2n cos2 g cos2 к dy 6sin2n cos4 g cos4 к dp
l
g-=6
С l dH l dH^
cos2n cos к cos g sin g dfi cos2n cos к sin g cos g dm
1 дН 1 dH
к =
' 6 cos2 g cos3 к cos2n sin к dm 2 cos2 g cos к cos2n sin к dy Если в уравнениях (6) положить параметры квадрупольной динамики g = 0, m = 0, и переопределить параметры гексидецимальпольной и октупольной динамики, соответственно, n ^ к, к ^ g , система сведётся к уравнениям в группе SU(4) [4].
Вычислим теперь средние значения от операторов спина S=2 в SU(5) когерентных состояниях
S+ = 2el9 cos>/2g(l -4cos2к)cos2nsine
S = 2e щ cos>/2g(l -4cos2к}cos2nsin# (7)
S+ = 2cos\/2g (l-4cos2 к} cos2n cos#.
Из соотношений (7) следует, что сокращение вектора классического спина обусловлено также и гексидецимальпольными возбуждениями (параметр n).
Таким образом, в данной работе нами построены когерентные состояния и лагранжев формализм, которые позволят провести полное полуклассическое описание систем со спинами S=2.
Поступило 24.07.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Муминов Х.Х. Вопросы теории нелинейных явлений в анизотропных магнетиках с учетом муль-типольных моментов. Автореф. Дисс.... Д. физ.-мат н. - Душанбе, 1996.
2. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. -М.:Наука, 1975.
3. Kuratsuji H., Suzuki T. - J. of Math. Phys., 1980, v.21(3), pp. 472-476.
4. Абдуллоев Х.О., Муминов Х.Х., Рахимов Ф.К. - ДАН РТ, 1993, т. 36, 6, с. 431-435
^.Муминов, Ю.Ё.Юсуфй
^ОЛАТ^ОИ КОГЕРЕНТИИ УМУМИКАРДАШУДАИ ГУРУ^И SU(5) ДАР ПАРАМЕТРИЗАТСИЯИ ^АЦИЦЙ ВА АНГЕЗИШ^ОИ ДУВОЗДАЭДУТБЙ
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Х,олатхои когерентии гурухи 8и(5)дар намуди аён хисоб карда шудаанд. Нишон дода шудааст, ки кутохшавии дарозии спини классикй дар системахои дорои кимати спини S=2 ин-чунин аз хисоби ангезишхои дувоздахкутбй сурат мегирад. Тавассути усули интегралхои масирхои Фейнман лагранжиан ва муодилоти классикии харакат ба даст оварда шудаанд. Калима^ои калиди: уолати когеренти - ангезишхои мултиполи - ангезишхои дувоздауцутбй -интеграли Фейнман
Kh.Kh.Muminov, Y.Y.Yousefi GENERALIZED COHERENT STATES OF SU(5) GROUP IN REAL PARAMETERIZATION AND HEXIDECIMALPOLE EXCITATIONS
S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Generalized coherent states on the group SU(5) is calculated in transparent form. It has been shown, that reduction of the classical spin length in the S=2 spin systems could happen also due to the hexidecimalpole excitations. By Feynman path integral approach the Lagrangian and classical equations of motion are obtained.
Key words: coherent state - multipole excitations - hexidecimalpole excitations - Feynman integral
