CC BY
7
Список литературы:
1. Блохин М.А. Физика рентгеновских лучей. Издание 2-е переработанное. - М.: ГИТТЛ, 1957. - 518 с.
2. Залесский В.Ю. К расчету избирательного возбуждения при использовании вторичных рентгеновских спектров // Оптика и спектроскопия, 1964. Т.17, вып. 4. С. 576-582.
3. Лосев Н.Ф. Количественный рентгеноспектраль-ный флуоресцентный анализ. М., Наука, 1969. 336 с.
4. Павлинский Г.В. Основы физики рентгеновского излучения. М., ФИЗМАТЛИТ, 2007. 240 с.
5. Павлинский Г.В. Рентгеновская флуоресценция: монография. Иркутск: изд-во ИГУ, 2013.- 85 с.
6. Павлинский Г.В., Лосев Н.Ф. К оценке избирательного возбуждения рентгеновской флуоресценции в случае смешанного первичного излучения // Журнал технической физики. 1969. Т. 39, № 9. С. 1664 -1675.
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ МНОЖЕСТВ И СТЕПЕНИ ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ
Солон Борис Яковлевич
Д.ф.-м.н., проф., Ивановский государственный университет, г. Иваново
Ерёмина Елена Викторовна
Канд.экон.наук., доцент кафедры алгебры и матем. логики, г.Иваново
Пусть ( — {0,1,___} - множество натуральных
чисел. Будем использовать обозначения и терминологию, введенные в монографии [3]. Приведем те из них, которые будут использованы в нашей статье. Пусть
{Wn : П Е (} - гёделева нумерация всех вычислимо перечислимых (в.п.) множеств, Du - конечное множество с каноническим индексом и, ( k, l) - канторовский номер упорядоченной пары (k, l). Для функции
a : ( —> ( через doma будем обозначать область определения, ran a - область значений и
graph a — {<х, a(x)): x е doma} - график
функции a. Через |A| будем обозначать мощность множества A и писать |A| — да, если A - бесконечное и
A| < да, если A - конечное множество.
Отождествим произвольное перечисление множества A Ф ф с некоторой тотальной функцией p : ( —> A, область значений которой rana — A. Пусть P (A) - множество перечислений непустого множества A.
Напомним определение Фридберга и Роджерса из [3.с.191], которое мы принимаем за основное. С интуитивной точки зрения, множество A сводится по перечислимости или е-сводится к множеству B (обозначение:
A < e B), если существует равномерный алгоритм для
получения некоторого перечисления элементов А из любого перечисления элементов В. Формально, A <eB & ElnVx[х е A & 3u[<х, u)eWn & Du с B]]
В [2] дано обоснование данного формального определения. Обозначим через
{х ^ ' 4 — - - --
то-
Фn (х) — {х: 3u[(х, u) EWn & Du с X]}
гда A <eB&3n[A — Фn(B)]. Отображение
Ф :2( — 2(
deg е (A) — {X : X = e А} - е-степень множества А
(для обозначения е-степеней будем также использовать малые жирные латинские буквы: например,
а — degе(A)). Отношение _e на 2Ю индуцирует ча-
- п .2 , 2 называется оператором перечисления или е-оператором с индексом п. Пусть, как
обычно,
A =eB & A <e B & B <e A,
(для обозначения е-степеней будем также использовать малые жирные латинские буквы: например,
о Ю
/). отношение _ e ВН 2
стичный порядок _ на множестве е-степеней: deg e (A) _ deg e (B) A _eB . Обозначим через De множество е-степеней, упорядоченное отношением _ .
Непосредственно из определения е-сводимости, как интуитивного, так и формального, следует, что все вычислимо перечислимые множество е-эквивалентны и образуют наименьшую в е-степень. Обозначим ее через
0e. Хорошо известно также (см., например, [3]), что для любых а, Ь £ De существует наименьшая верхняя граница, причем а V Ь — deg e (A © B), где A © Б — {2x: x £ А}и{2х +1: x £ Б}. Это означает, что De является верхней полурешеткой. В [1]
строятся с помощью неочевидной конструкции две е-сте-пени, не имеющие наибольшей нижней границы. Следовательно,
не является решеткой. Таким образом,
- верхняя полурешетка, не решетка с наименьшим элементом.
е-степени, содержащие графики тотальных функций, называются тотальными. Обозначим через Тмноже-ство тотальных е-степеней, частично упорядоченное отношением _. Обозначения
Т (< а)
и Т(_ а)
используются в обычном смысле.
Предложение 1. е-степень а — deg e (А) тотальна тогда и только тогда, когда А = р для некоторого перечисления р £ Р(А) .
Доказательство. Пусть е-степень
а — deg e (А) тотальна, тогда А = e f для некоторой тотальной функции f. В частности,
А — Ф( graphf)
для некоторого е-оператора
Ф . Заметим, что по любому перечислению множества graphf можно эффективно
получить перечисление множества §гарк/ в стандарт-порядке {( 0, / (0)),(1, / (1)),...}. Пусть
ном
В 0 = {{0, /(0))}, В1 = {{0, Д0)),(1, /(1))}, ...
- конечная аппроксимация множества ^КОрН/ и р £ Р(А) - перечисление, связанное с этой аппроксимацией и е-оператором Ф . Из определенияр следует, что А — еР — е/ — е А, то есть А = е р.
Обратно, пусть А = р для некоторого
р £ Р(А) , тогда е-степень а — deg е (А) тотальна.
Предложение 2. Т - верхняя подполурешетка
»е.
Термин нетотальная е-степень применим, таким образом, к степеням перечислимости, которые не содержат графиков ни одной тотальной функции, то есть к элементам множества »е \ Т. Первый серьезный результат
о е-сводимости был получен Ю.Т. Медведевым [2], а именно, было доказано, что существуют нетотальные е-
степени, то есть, что Ое \ Т Ф ф.
Обозначим через частично упорядоченное множество Т-степеней (о Т-степенях см. подробнее в [3]). В частности, »т, как и Ое, - верхняя полурешетка, не
решетка, с наименьшим элементом 0т - Т-степенью, состоящей из всех вычислимых множеств.
Отметим связь между Т-сводимостью и е-сводимо-
стью множеств: А В ^^ Са — е Св . Отсюда непосредственно следует, что отображение
е\ От ^ Ие : (А)) — degе (^арк(сА ))
является изоморфным вложением
»Г в В .
Легко проверить, что отображение е сохраняет наименьшую верхнюю границу. Весьма важные вопросы, связанные с соотношениями между е-степенями и Т-степенями, рассмотрены в статье [4].
Предложение 3. Верхние полурешетки Т и »т
изоморфны.
Доказательство. Изоморфизм осуществляет отображение
2: Т ^ »т : *>(/) — degт (^тарк/)
где
/ — deg е (§тарк/) . Заметим, что е — 2
Обозначим через »е ( А) частично упорядоченное (отношением — на ) множество е-степеней, содержащих некоторое перечисление множества А: ве (А) — {degе (^гаркр) : р £ Р(А)}. Легко
проверить, что »е (А) - верхняя подполурешетка »е и »е (А) С Т для любого множества А. Нас интересуют свойства »е ( А) для различных множеств А.
Заметим, что если | А| — 1, то (А) — {0е }.
Теорема 1. Если А - вычислимо перечислимое множество и |А| > 2, то »е (А) — Т и верхние полурешетки »е (А) и Т изоморфны.
Доказательство. Пусть deg е (^Гарк/) £ Т
и О0,01, ♦ ♦ ♦, где О0 Ф О1, - эффективное перечисление А (возможно, с повторениями). Определим перечисление р £ Р (А) следующим образом: р( х) — а у+2 ,
если X — 2у; р(х) — а0, если
X — 2У + 1& У £ ^тарк/ ; р(х) — а1, если X — 2У + 1& У £ ^уарк/ . Ясно, что
р — еА © ^тарк/ — е/. Обратно, так как у £ ^тарк/ ^ (2у +1, а0) £ ^уаркр, поэтому / — ер и / = ер . Итак, произвольная тотальная е-степень содержит некоторое перечисление р £ Р(А) и Т С Ое (А) . С другой стороны, Ое (А) С Т, следовательно, Т — Ое (А) . Определим отображение г: Т ^ Ве (А): <dege (^арк/) — degе (^аркр)
, где р - перечисление множества А, определенное выше. Так как / = е р, то »е (А) и Т изоморфны.
Другая ситуация в случае, когда А не является вычислимо перечислимым множеством.
Теорема 2. Если множество А не является вычислимо перечислимым, то »е (А) С Т 1 {0е }, т.е. не любая ненулевая тотальная е-степень содержит перечисление множества А .
Доказательство. Так как А не вычислимо перечислимо, то deg е (А) Ф 0е, докажем, что в этом случае существует тотальная невычислимая функция g, такая, что
А — е g .
Тотальную функцию g построим с помощью пошаговой конструкции, обозначая через gs ее начальный
сегмент, построенный к концу шага 5. Символ ст будем использовать как переменную для произвольных конечных функций, определенных на начальных сегментах ю. Пусть
х5 — 1 + тах йот( gs).
Шаг 0. Полагаем gГapк(g0) — ф. Шаг 2&'+1. Проверим выполнимость условия
25 С ст & Ф5 (gгaРкст) С А] С1)
Если (1)
выполнено,
то полагаем
g25+1 (5 + 1) — СТ *, где СТ * имеет наименьший канонический индекс среди ст, удовлетворяющих условию (1). В противном случае полагаем g2— g2s .
Шаг 2s+2. Пусть - 5-ая вычислимая функция в
некотором фиксированной нумерации всех вычислимых функции. Полагаем
graph (g 2S+2 ) = graph (g 2s+1) u {{ x2s+1, fs (x2s+1) +1)}
Описание конструкции закончено. Полагаем g = UsECgs , докажем, что A £ e g . Предположим, что это неверно, тогда для некоторого s имеем A = Ф s (graphg). Рассмотрим шаг 2s+1. Условие (1) не могло быть выполнено, поэтому Va[g2s са^Ф s (graph а) с a] . Отсюда следует, что для вычислимого множества R = graph(g2s ) U {x : X > x2s } выполнено graphg с R & A = Ф s (graphg) с Ф s (R) с A
. Следовательно, A = Ф s (R) и А - вычислимо перечислимое множество, что противоречит предположению.
Шаги 2s + 2, s ЕС обеспечивают невычислимость функции g.
Докажем, что никакое перечисление p Е P(A)
не может содержаться в deg e (graphg) . В самом деле,
если существует p Е P(A) П deg e (graphg) , то, в
частности, p £e g и тогда A £e g , что невозможно.
Теорема доказана.
В то же время, имеет место следующая
Теорема 3. Если |A| > 2 и a = deg e (A) ,то T(> a)= De (A) и частично упорядоченные множества T(> a) и De (A) изоморфны.
Доказательство представляет собой усложненный вариант доказательства теоремы 1. В случае, когда А - вычислимо перечислимое множество,
a = deg e (A) = 0e и T(> a) = T.
Следующая теорема показывает, в частности, что существуют несравнимые перечисления любого множества A, такого, что | A| > 2.
Теорема 4. Для любых множеств A Ф ф и B, если |B > 2, то
(Vp е P(A))[p £eB ^ (3q е P(B))[q £ A & p £е q]
Доказательство. Пусть p Е P(A), а - переменную для начальных сегментов перечислений множества B, xs = 1 + max qs, cs = {x: x > xs}, где qs -начальный сегмент перечисления q, построенный к концу шага s. Конструкция обеспечивает qs С qs+1 для всех
s. Полагаем q = Use® qs . Пусть bq Ф ¿1 - фиксированные элементы множества B. Определим последовательность шагов:
Шаг 0. Полагаем до = ф и xq = 0 . Шаг 2s+1. Проверим выполнимость условия
(З a)[q2s с а & Фs (graph а) с graphp] (1)
Если (1) выполнено, то полагаем q2s+1 = а *, где а имеет наименьший канонический индекс среди
а, удовлетворяющих (1). Если (1) не выполнено, то
(Va)[q2s с а ^ Ф s (graph а) с graphp] (2)
Полагаем q2s+1 = q2 s. Шаг 2s+2. Проверим выполнимость условия
(x2s+1, b0 > еФs (A) (3)
Если (3) выполнено, то полагаем q2 s+2 = q2s+1 u{{ x2s+1, bl)}, в противном случае полагаем q2s+2 = q2s+1 u{{ x2s+1, bo) }.
Шаги 2s + 2,s ЕС обеспечивают graphq Ф Ф s (A) для всех s, то есть q £ e A . Докажем, что p £ e q. Предположим, что это неверно, тогда
graphp = Ф s (graphq) для некоторого s. Рассмотрим шаг 2s+1. Условие (1) на этом шаге не могло быть выполнено, так как, в противном случае, имели бы
Фs (graph(q2s+1)) с graphp и, в силу монотонности е-операторов, Ф s (graphq) с graphp . Следовательно, должно выполняться условие (2). В этом случае мы имеем graphp = Ф^ (graphq) с Ф^ (graph(q2S ) u С х B) с graphp . В силу однозначности и тотальности множества graphp это возможно только при Фs (graph(q2s) u c2s х B) = graphp, то есть p £e graph(q2s ) U c2s X B >e B , что противоречит условию теоремы. Итак, p £ e q и теорема доказана.
Если B = A, то, в частности, получили Следствие 1. Для любого множества A, такого,
что A > 2
(Vp е P(A))[A <e p ^ (3q е P(A))[A <e q & p £e q]] Следующую важную теорему, показывающую значение понятия перечисления множества в контексте понятия сводимости по перечислимости, приведем без доказательства.
Теорема 5. Для любого множества A, такого, что
> 2 и любого В
IA
А _еБ » De (Б) С De (А)
Из теоремы 5 следует, в частности, что А =e Б ^^ De (Б) — De (А) для любых множеств А и Б.
Следствие 2. А =e Б тогда и только тогда, когда верхние полурешетки De (А) и De (Б) изоморфны.
В заключение сформулируем два вопроса, представляющие определенный интерес для продолжения изучения перечислений множеств.
Вопрос 1. Будет ли De (А) (главным) дуальным идеалом De ?
Вопрос 2. Существуют ли такие множества
A e B, для
которых Ue
De (A) и De (B) изоморфнъ
Список литературы:
1. Кейс (J. Case). Enumeration reducibility and partial degrees: J. Annals Math. Logic. 1971, vol.2, issue 4, pp. 419 - 439.
2. Медведев Ю.Т. Степени трудности массовых проблем: журнал. Доклады АН СССР, 1955, т. 104, №4, сс. 501 - 504.
3. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость: монография. М.:Мир. 1972. - 624 с.
4. Солон Б. Я. Соотношения между е-степенями и Т-степенями: журнал. Известия вузов «Математика», 1995, т.394, №3, сс.51 - 61.
ON THE GENERALIZED BERRY PHASE FOR QUTRIT, QUDIT WITH SPIN 1, 3/2, 2 PARTICLE IN SU(3)
Farahmand Yadollah
PhD Candidate Muminov Khikmat
PhD, DSc, Professor, S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
Abstract
In this paper, we develop the formulation of the spin coherent state in real parameterization SU(3), SU(4), SU(5). We obtain Berry phase from Schrodinger equation. For vector states, basic kets are coherent states in real parameterization. We calculate Berry phase for qutrit, qudit with spin S=1, 3/2 and 2 in SU(3) group and Berry phase.
Key words: quantum mechanics, Schrodinger equation,coherent state,SU(n)group, Quadrupole moment,Octupole moment, Hexadecimalpole moment, Berry phase qutrit, qudit.
Introduction
In 1984 Berry published a paper [1] which has until now deeply influenced the physical community. In mechanics (including classical mechanics as well as quantum mechanics), the Geometric phase, or the Pancharatnam-Berry phase (named after S. Pancharatnam and Sir Michael Berry), also known as the Pancharatnam phase or, more commonly, Berry phase [1,2], Therein he considers cyclic evolutions of systems under special conditions, namely adiabatic ones. He finds that an additional phase factor occurs in contrast to the well-known dynamical phase factor. is a phase acquired over the course of a cycle, when the system is subjected to cyclic adiabatic processes, resulting from the geometrical properties of the parameter space of the Hamiltonian. Apart from quantum mechanics, it arises in a variety of other wave systems, such as classical optics [3].As a rule of thumb, it occurs whenever there are at least two parameters affecting a wave, in the vicinity of some sort of singularity or some sort of hole in the topology. In nonrelativistic quantum mechanics, the state of a system is described by the vector of the Hilbert space (the wave function) £ H which depends on time and some set of other variables depending on the considered problem. The evolution of a quantum system in time t is described by the Schrodinger equation
but it is not forbidden by the adiabatic theorem and the Schrodinger equation to add another term ©„which is called the Berry phase [4]
<Pn = -l$lEndt' +©B (1)
where we introduced the notation
Ak = mdk<p) (2)
Then the total change in the phase of the wave function is equal to the integral
©B = $ dAkAk (3)
The respective local form of the curvature has only two nonzero components:
The expression for the Berry phase (14) can be rewritten as a surface integral of the components of the local curvature form. Using Stokes formulae, we obtain the following expression
®B=1tfs dAkxdAlFkl
(4)
where S is a surface in fl3and Fkl = dkAt — dtAk are components of the local curvature form.
Berry phase for coherent state in SU(3) group for a spin 1 particle (qutrit)
We consider reference state as (1,0,0)T for a spin-1 particle (qutrit) in SU(3) in nonrelativistic quantum mechanics. Coherent state in real parameter in this group is in the following form [7]:
\ip ) = D2(d,v)e-irsZe2i3Qxy\0 ) = C0|0 ) +
C1\l )+C2\2 )
(5)
Coherent state for spin-1 in real parameter is in the following form [5]:
/ 6 6 \ I ei<p(e-iy(Sin2 —)Cosg + eiy(Cos2 -)Sing) \
Sind . .
-(e iyCosg — eiySing)
J2
в
в
(6)
\e-i<p (e-iy (Cos2 —)Cosg + eiy (Sin2 -) Sing) J
If we consider solution of the Schrdinger equation similar to equation (5), then component of the local connection formFfc; = dkAi — dtAk for the eigen- state (p are easily calculated
Ae = i{(p\de<p) = 0,Ar = Cos2g Ag = 0,A^
= Cos8Cos2g (7)
And components of the local form of the curvature are
Fe„ = двАф - дфАв = -Fve = -SinGCos2g,Ft
"ву
= двАу - dYAg = -FYg = 0
Fyg = dgAy dyAg = Fgy = 2SVR2g, Fyy = ЗуАу ÖyAy
Lyg "g^Y L9Y
= -F = 0
1 y<p w
Feg = двЛд - dgAg = -Fgg =0
