CC BY
11
Внутренний слой цилиндра, изготовленный из изотропного материала, подвержен действию равномерно-распределенного по внутреннему контуру давления Рд . Внешний слой цилиндра связан с внутренним условием «полного прилипания». Внешний контур конструкции свободен.
Рассмотрим сечение цилиндра, лежащее в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра. Для данной задачи из аналитического решения [5] для каждого слоя цилиндра могут быть получены выражения, связывающие величины давлений на внутреннем и внешнем контурах
р, Ре с соответствующими радиальными перемещениями и; и ие :
Р =( А1ие + А2иг ) > Ре =( Ви + В2Щ ), Д = -БГгГе2 (Л + 2[), Д = 0(Ге3М + Т?Те (Л + [)), В = -+ ГгГе2(Л + [)), В2 = Бг2те(Л + 2[),
в =_'2(Л + Л)Л(ге - гг2)_
(+ тгте2(Л + [))(теЪ[ + т2те(Л + [)) - т?те\2И + Л)2 '
(10)
где Л и [ - упругие константы Ламе.
Записав уравнения (10) для каждого слоя цилиндра и добавив к ним условия сопряжения, получим систему линейных алгебраических уравнений, разрешающую задачу:
РА = (А11)иВ1} + А21иА ),
р(1) =( В(%$ + В?иА ),
/В2) =( В1(2)иВ2) + В22)ис ) (11)
РС = ( А^ + А22)ис),
ри = р(2),
иВ)— иВ).
Рассмотрим решение задачи методом конечных элементов с построением матрицы граничной жесткости.
В силу осевой симметрии задачи конечно-элементные сетки для каждого из слоев были построены для секторов,
соответствующих центральному углу 90 . Для внутреннего слоя было использовано 1600 элементов, количество граничных узлов равно 120. Для внешнего слоя использовалась сетка с 2400 элементами со 140 граничными узлами.
Для каждой из областей были построены матрицы граничной жесткости размером 240 X 240 для внутреннего слоя и 280 X 280 для внешнего. Полученные матрицы были объединены в соответствии с нумерацией узлов и заданы граничные условия. Также были сформулированы ограничения, наложенные на перемещения, и не позволяющие совершать движения области как жесткого целого. Полученная система уравнений была решена методом Гаусса. Результаты численного решения, полученного с использованием матрицы граничной жесткости, отличаются от результатов, полученных из системы (11) менее чем на 1%.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (13-01-97501, 14-01-31138-мол_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
Список литературы:
1. Рязанцева М.Ю., Васин Р.А., Киликовская О.А., Тринчер В.К. О некоторых способах уточнения матриц жесткости Ильюшина в плоской задаче теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. - 1982. - № 3.
- С. 175.
2. Шапиро Г.С. XVII Польская конференция по механике деформируемого твердого тела, 3-9 сентября 1975 г. // Проблемы теории пластичности: сборник переводов / под ред. Г.С. Шапиро / Новое в зарубежной науке. Механика; вып. 7. - М.: Мир, 1976. -232 с. - С. 217-230.
3. Маркин А.А., Астапов Ю.В. Построение матрицы граничной жесткости для плоской задачи теории упругости //Известия ТулГУ. Естественные науки.
- 2014. - Вып.1. - Ч. 1. - С.190-195.
4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984. - 428 с.
5. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1: Учебник для университетов. - М.: Наука, 1976. - 536 с.
ОЦЕНКА ИЗБИРАТЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ПРИ РЕНТГЕНОСПЕКТРАЛЬНОМ ФЛУОРЕСЦЕНТНОМ АНАЛИЗЕ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ «МЕШАЮЩЕГО» ИЗЛУЧЕНИЯ В ВИДЕ ПОТОКА, ИСПУСКАЕМОГО ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ СЛОЕМ ОБРАЗЦА В ОПРЕДЕЛЕННОМ «ЭФФЕКТИВНОМ» НАПРАВЛЕНИИ
Дуймакаев Шамиль Исхакович*, Потькало Максим Валерьевич**
*кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики наносистем
и спектроскопии (КФН и С), **аспирант КФНи С; физический факультета ЮФУ, 344090 г. Ростов-на-Дону, ул. Р. Зорге, 5
Одной из основных проблем рентгеноспектраль-ного флуоресцентного анализа (РСФА) является избирательное возбуждение флуоресценции определяемого элемента А флуоресценцией т.н. «мешающих» элементов В образца [2-6].
Относительный «чистый» вклад эффекта избирательного возбуждения е одним из первых в мировой практике теоретически изучен В.Ю. Залесским [2]. В монохроматическом приближении возбуждения рентгеновской флуоресценции с интегрированием в цилиндрической системе координат им получены аналитические выражения
как для «насыщенного» (массивного) [2-6], так и для «не- случае сферической системы координат получена автонасыщенного» [2-6] образца. рами [3, 6]. Этот результат авторами [3, 6] обобщен и на Та же конечная формула расчета величины эф- случай полихроматического (смешанного) [3,6] возбужде-фекта для насыщенного образца в монохроматическом ния флуоресценции. приближении с использованием более наглядной в данном
Рис. 1 Схема к расчёту эффекта избирательного возбуждения.
Учёт избирательного возбуждения может быть выполнен по схеме, представленной на рис.1. Пусть образец представляет собой плоскопараллельный слой толщиной ё.
Параллельный пучок первичного излучения падает на поверхность образца под углом ф и имеет интенсивность //. Глубину «у» атомов А внутри образца будем отсчитывать от верхней поверхности по направлению оси у. Флуоресцентное излучение атомов элемента А элементарного (бесконечно тонкого) горизонтального слоя ёу исследуется в направлении, образующем угол ц с поверхностью.
Тот же первичный пучок проходит на глубину х и возбуждает в элементарном слое ёх атомы элемента В образца. Флуоресцентное излучение элемента В выходит из элементарного слоя ёх и под различными углами падает на слой ёу, возбуждая флуоресценцию элемента А.
Вместо пучка лучей, испускаемых слоем ёх во всех направлениях, будем рассматривать распространение
потока флуоресценции элемента В в определённом «эффективном» направлении к поверхности слоя ёу. На рис.1 этот поток изображён в виде условного направления /: реально действует некоторое эффективное значение угла
Юэфф.
Это позволяет записать выражение для вклада интенсивности флуоресценции элемента А элементарного горизонтального слоя ёу, возбужденной флуоресценцией мешающего элемента В слоя ёх и вышедшей из слоя ёу под углом ц. С целью удобства и наглядности рассмотрение будем проводить с использованием 2-х «текущих» элементарных слоев ёх (верхнего и нижнего). С целью
компактной записи выражений (Ид. . к/ и н: постоянные коэффициенты - совокупность фундаментальных параметров и величины содержания СА и Св элементов А и В - опущены: появятся они (за исключением СА) только в заключительных выражениях для вклада е.
Возбуждение флуоресценци слоя йу флуоресценцией «верхних» слоев (Ьс:
" _ -В _ -) ИА
^ В [сверху) = е . У =
_ _ и _ +
= & ¿х.& = = ' ¿V. (1)
Здесь и ниже р1, цв и цА - линейные коэффициенты ослабления первичного излучения, флуоресценции «мешающего» (В) и определяемого (А) элементов образца соответственно. Это позволяет записать интеграл:
. _ { м .-НА.V _ _ Цв V
|В(сЕерху) _ Г ^ ^япИзфф мф/^уГУе \5'П<Р 5>пщэфф/ А -'о *
С.Х (2)
или
Перейдём к массовым коэффициентам ослабления:
(4)
Это позволяет для £ i —
где m = pd - поверхностная плотность образца.
где - интенсивность флуоресценции, которая обязана непосредственному воз-
£1 — Hmi
буждению атомов определяемого элементам! первичным излучением, записать: . - ^зПГш^фф slñífj
!_е тт ^ Мф Sirujr _ .ч
' ^niE . ИЩА
"ЕШЖ"
51ПЧР ЯШШэфф
fjtmi. JimAL Vsimp siintr.1'
зшсйэфф sini\j
(5)
В формуле (5) и ниже - при записи вклада е - величина квадрата объёмной плотности р образца опущена: она сокращается с величиной р2 в полном выражении для интенсивности избирательного возбуждения [6, с. 1664-1665] -
формула (1); [3, с. 50] - формула (1.5.24). Для массивного образца (действие «верхних» слоев с/х) запишем:
-масс _
ti —
Mjm
-LmB
smtp яшшэфф
Цгп! + ^тА
г]пф simp -i ~ 1
~РтЦ
ДГЛ5 _ -'-А-=1Пй>эфф sinijí
(6)
Возбуждение флуоресценции слоя dy флуоресценцией «нижних» слоев dx:
H-i
^в
= р
^J В [снизу) = е sin . е ш Ыэфф
Сг-у)
V-A
dy - е =
sjrui-
» \sin.f\! зтшэфф^
-
Это позволяет записать интеграл: . i ^А ЦВ "] , / Ш l-LB )
-
Для «внутреннего» интеграла получим:
(7)
(8)
(9)
Для первого интеграла (К) получим:
(10)
Для второго интеграла (L) получим: i Vsin <р —
sin со
L =
эфф'
{ М-А - \sin li
^В
\h
+
^B
e ',sin 4r sin Ыэфф >■ _
Sin ф
\sin <p
Sin <jü
эфф
Ни
Л
^A
^B
•1«
эфф/ 1-е ^ sin
Hi
+
Б1Пф Silicon
На sin ф
Ия
Б1П 00
эфф
(12)
Окончательно для интеграла 1д''' — (К + L)
запишем:
(13)
Или, переходя к массовым коэффициентам ослабления, получим: I. з ] п. ер зтф/ е Узйгкр
limi
(14)
.масс
В случае массивного образца выражение для аналогично вьфажению (6). Оно приведено в качестве
слагаемого в составе формул (16) и (17) для результирующей величины емасс. Как и следует ожидать [2-6], в случае т
^ 0 величины е1 (5) и е2 (14) обращаются в нуль. Окончательно величина полного (подвозбуждение «сверху» + подвозбуждение «снизу») относительного «чистого» вклада избирательного возбуждения в случае ненасыщенного образца может быть оценена по формуле:
£ = 2МСБ(Е1 + Е2)
В случае массивного образца формула для е имеет весьма простой вид:
Перепишем её в более наглядном - с физической точки зрения - порядке:
Результаты сопоставлены с расчётом по формуле (7) работы [2] для массивного образца: £ масс = МС {п(1+ (1+ .
где
м =
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
сов и 5в- соответственно отдача флуоресценции и скачок поглощения ^-уровня элемента В: рв- вероятность испускания линии _/ элемента В; Тт ^ - массовый коэффициент истинного (фотоэлектрического)!!] поглощения первичных
лучей в элементе В: Тт ^ - то же, для!; - то же, для флуоресцентной линии / в .1.
Таблица 1
Сопоставление рассчитанных значений емасс для составов Са(№) = 0,1; Св(2и) = 0,4; Сн = 0,5. _Содержания даны в долях единицы_
Наполнитель (Н) ftmA MmB Расчет s по формуле (17) Расчет s по формуле (18) Относительное отклонение, %
6 C 5,6 3,6 2,5 0,416 0,400 4,0
12 Mg 48 32 13 0,326 0,315 3,4
14 Si 76 50 20,5 0,288 0,278 3,3
16 S 110 75 31 0,249 0,241 3,5
20 Са 200 140 59 0,186 0,179 3,9
22 Ti 222 155 69 0,175 0,168 3,9
24 Cr 300 210 90 0,146 0,140 4,2
26 Fe 400 270 110 0,123 0,118 4,4
27 Co 55 300 125 0,146 0,132 11,0
29 Cu 64 44 143 0,263 0,263 0,1
38 Sr 150 103 47 0,216 0,208 3,5
40 Zn 157 110 50 0,210 0,202 3,6
42 Mo 180 127 57 0,195 0,188 3,8
56 Ba 430 290 125 0,117 0,112 4,3
74 W 225 157 160 0,160 0,158 1,7
82 PB 310 218 104 0,141 0,136 4,0
Среднее квадратическое отклонение, о 5
Значение эффективного угла Юэфф получено приравниванием результатов расчета e"acc для состава Ca(Ní) = 0,1; CB(Zn) = 0,9 массивного образца по формулам (17) и (18). Синус угла составил sin тэфф = 0,5932 (Юэфф ~ 36°). Величина Юэфф, очевидно, в некоторых пределах будет изменяться в зависимости от состава градуиро-вочных образцов. Угол Юэфф в случае плёночных образцов планируется устанавливать путём оценки емасс для соответствующих массивных образцов и применять найденное значение Юэфф при РСФА с использованием формулы (15).
В более сложных случаях аналитической практики градуировку — с целью установления Юэфф - также планируется проводить в условиях, для которых построена формула (18), и применять найденное значение Юэфф в сложных случаях (напр. при РСФА ненасыщенных гетерогенных систем) [3-5].
«Лучи флуоресценции, испускаемые различными атомами, имеют тот же спектральный состав, что и характеристические линейчатые первичные спектры, возникающие под влиянием соударений электронного пучка с теми же атомами. И те, и другие спектры не поляризованы и распространяются по всем направлениям с одинаковой интенсивностью, так как вероятность выбрасывания фотона из атома не зависит от направления вылета» [1, с. 268]. Поэтому в принципе можно было бы не осуществлять «привязку» к результатам расчёта по формуле (18), построенной без каких-либо явных допущений. Действительно, лучи, испускаемые слоем dx, должны быть - в соответствии с физическими соображениями - направленны к слою dy под «эффективным» углом Юэфф= 450. Но расчет по формуле (17) при таком значении угла Юэфф приводит к значимому завышению величины е"асс. Важный для нас ожидаемый характер зависимости е"асс от элементного состава образца при этом сохраняется. Но один эмпирический параметр (sin тэфф) сегодня всё-таки необходим. Так что необходимость «привязки» пока сохраняется. Однако
вопрос, связанный с выбором «эффективного» угла Юэфф,
требует дальнейшего изучения.
Выводы
Применительно к оценке относительного «чистого» вклада е эффекта избирательного возбуждения в рентгеноспектральном флуоресцентном анализе (РСФА) предложен и обоснован приближенный подход, в основе которого возбуждающее флуоресцентное излучение «мешающего» элемента В представлено в виде потока, испускаемого «текущим» элементарным (бесконечно тонким) горизонтальным слоем образца не во всех (направлениях), а в определенном «эффективном» направлении к поверхности «текущего» элементарного горизонтального слоя, в котором рассматривается возбуждение флуоресценции определяемого элемента А.
Построенное приближение для оценки вклада е (как и точная формула В.Ю.Залесского, Г.В.Павлинского и Н.Ф.Лосева (18)) совершенно симметрично относительно массовых коэффициентов ослабления первичного Цт1 и флуоресцентного Цшл излучения. Поменяв цт1 и ЦтА в формуле для расчета е местами, мы ничего не изменим.
Достигнутую высокую степень адекватности е для массивных образцов результатам расчета по формуле названных авторов следует ожидать и в случае ненасыщенных образцов, т. к. интенсивность флуоресценции массивного образца формируется путем суммирования действий элементарных флуоресцирующих слоев. Предварительные расчеты для ненасыщенных образцов подтвердили устойчивость и работоспособность приближения для оценки вклада е.
Простота реализации создает возможность реального обобщения развиваемого приближения оценки величины е на случай РСФА пленок на подложке, ненасыщенных гетерогенных образцов и в других сложных аналитических ситуациях.
Список литературы:
1. Блохин М.А. Физика рентгеновских лучей. Издание 2-е переработанное. - М.: ГИТТЛ, 1957. - 518 с.
2. Залесский В.Ю. К расчету избирательного возбуждения при использовании вторичных рентгеновских спектров // Оптика и спектроскопия, 1964. Т.17, вып. 4. С. 576-582.
3. Лосев Н.Ф. Количественный рентгеноспектраль-ный флуоресцентный анализ. М., Наука, 1969. 336 с.
4. Павлинский Г.В. Основы физики рентгеновского излучения. М., ФИЗМАТЛИТ, 2007. 240 с.
5. Павлинский Г.В. Рентгеновская флуоресценция: монография. Иркутск: изд-во ИГУ, 2013.- 85 с.
6. Павлинский Г.В., Лосев Н.Ф. К оценке избирательного возбуждения рентгеновской флуоресценции в случае смешанного первичного излучения // Журнал технической физики. 1969. Т. 39, № 9. С. 1664 -1675.
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ МНОЖЕСТВ И СТЕПЕНИ ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ
Солон Борис Яковлевич
Д.ф.-м.н., проф., Ивановский государственный университет, г. Иваново
Ерёмина Елена Викторовна
Канд.экон.наук., доцент кафедры алгебры и матем. логики, г.Иваново
Пусть ( — {0,1,___} - множество натуральных
чисел. Будем использовать обозначения и терминологию, введенные в монографии [3]. Приведем те из них, которые будут использованы в нашей статье. Пусть
{Wn : n Е (} - гёделева нумерация всех вычислимо перечислимых (в.п.) множеств, Du - конечное множество с каноническим индексом и, (k, l) - канторовский номер упорядоченной пары (k, l). Для функции
a : ( —> ( через doma будем обозначать область определения, ran a - область значений и
graph a — {<х, a(x)): x е doma} - график
функции a. Через |A| будем обозначать мощность множества A и писать |A| — да, если A - бесконечное и
A| < да, если A - конечное множество.
Отождествим произвольное перечисление множества A Ф ф с некоторой тотальной функцией p : ( —> A, область значений которой rana — A. Пусть P (A) - множество перечислений непустого множества A.
Напомним определение Фридберга и Роджерса из [3.с.191], которое мы принимаем за основное. С интуитивной точки зрения, множество A сводится по перечислимости или е-сводится к множеству B (обозначение:
A < e B), если существует равномерный алгоритм для
получения некоторого перечисления элементов А из любого перечисления элементов В. Формально, A <eB & 3nVx[x е A & 3u[<x, u)eWn & Du с B]]
В [2] дано обоснование данного формального определения. Обозначим через f . - ' \ — - - --
то-
Фn (х) — {x: 3u[(x, u) EWn & Du с X]} гда A <eB&3n[A — Фn(B)]. Отображение
Ф :2( — 2(
e (Л) — {X . X = e Л} - е-степень множества А
(для обозначения е-степеней будем также использовать малые жирные латинские буквы: например,
а — degе(Л)). Отношение _е на 2Ю индуцирует ча-
- п .2 , 2 называется оператором перечисления или е-оператором с индексом п. Пусть, как
обычно,
A =eB & A <e B & B <e A,
(для обозначения е-степеней будем также использовать малые жирные латинские буквы: например,
о Ю
— /). отношение _ е на 2
стичный порядок _ на множестве е-степеней: deg е (Л) _ deg е (В) Л _е В . Обозначим через Ое множество е-степеней, упорядоченное отношением _ .
Непосредственно из определения е-сводимости, как интуитивного, так и формального, следует, что все вычислимо перечислимые множество е-эквивалентны и образуют наименьшую в е-степень. Обозначим ее через
0е. Хорошо известно также (см., например, [3]), что для любых а, Ь £ Бе существует наименьшая верхняя граница, причем а V Ь — deg е (Л © В), где
Л © В — {2х : х £ Л}и(2х + 1: х £ В}. Это
означает, что Ое является верхней полурешеткой. В [1]
строятся с помощью неочевидной конструкции две е-сте-пени, не имеющие наибольшей нижней границы. Следовательно,
не является решеткой. Таким образом,
- верхняя полурешетка, не решетка с наименьшим элементом.
е-степени, содержащие графики тотальных функций, называются тотальными. Обозначим через Тмножество тотальных е-степеней, частично упорядоченное отношением _. Обозначения
Т (< а)
и Т(_ а)
используются в обычном смысле.
Предложение 1. е-степень а — deg е (Л) тотальна тогда и только тогда, когда Л = р для некоторого перечисления р £ Р(Л) .
Доказательство. Пусть е-степень
а — deg е (Л) тотальна, тогда Л = е / для некоторой тотальной функции f В частности,
Л — Ф( graphf)
для некоторого е-оператора
Ф . Заметим, что по любому перечислению множества graphf можно эффективно
