CC BY
11
Механизм природы фазового перехода может быть объяснен [15]. Можно показать, что переход соответствует спонтанному намагничиванию.
Таким образом, для трехмерных систем из гибких сегментов при наличии локальных внутри- и межцепных взаимодействий выше температуры фазового перехода (T > Te) теплоемкость монотонно уменьшается, а ниже критической точки, т.е. при T < Te, для однокомпонентной сферической модели Берлина-Каца, удельная теплоемкость c — k£ /2, что находится в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии, в данном случае по вращательным (ориентационным) степеням свободы.
Список литературы:
1. Merenga A., Shilov S.V., Kremer F., Mao G., Ober Ch. K., Brehmer M. // J. Phys. II France. 1994. T. 4. № 5. P. 859.
2. Terentjev E.M., Warner M. // J. Phys. II France. 1994. T. 4. № 5. P. 849.
3. Shilov S.V., Skupin H., Kremer F., Gebhard E., Zentel R. // Liquid Crystals. 1997. V. 22. № 2. P. 203.
4. Тальрозе Р.В., Платэ НА. II Жидкокристаллические полимеры I Под ред. Платэ Н.А. М: Химия. 1988.
5. Shibaev V.P., Kostromin S.G., Plate N.A., Talroze R.V. // Polym. Commun 1983. V. 24. P. 363.
6. Шувалов Л.А. II Изв. АН СССР. Сер. физ. 1979. Т. 43. № 8. С. 1554.
7. Гриднев С.А., Шувалов Л.А., Кудряшов В.И. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1983. Т.47. № 3. С. 497.
8. Алексеев А.Н. Злоказов М.В., Осипов И.В. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1983. Т.47. № 3. С. 465.
9. Готлиб Ю.Я., Медведев Г.А., Карпов Е.А. // Высо-комолек. соед. А. 1989. Т. 31. № 6. С. 1136.
10. Gotlib Yu.Ya. // Progr. Colloid Polym. Sci. 1989. V.80. P. 245.
11. Медведев Г.А., Готлиб Ю.Я. // Высокомолек. соед. А. 1991. Т. 33. № 4. С. 715.
12. Готлиб Ю.Я., Медведев Г.А., Люлин С.В. // Высокомолек. соед. А. 1997. Т. 39. № 3. С. 493.
13. Дайсон Ф., Монтролл Э., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. М.: Мир, 1973. 374 с.
14. Максимова О.Г., Максимов А.В. // Высокомолек. соед. А. 2004. Т. 46. №12. С. 2042-2052.
15. Berlin T.H., Kac M. // Phys. Rev. 1952. Second Series. V. 86. № 6. P. 821-835.
16. Максимов А.В. // Высокомолек. соед. А. 2007. Т.49. № 4. С. 891-904.
17. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 488 с., ил.
18. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -592с., ил.
19. Watson G.N. // Quart. J. Math. 1939. V. 7. P. 266.
применение необходимых условии оптимальности для исследования вариационных постановок задач оптимального синтеза структурно-неоднородных конструкций при волновых воздействиях
Гусев Евгений Леонидович
Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ИПНГ СО РАН, г. Якутск, Россия, Профессор кафедры прикладной математики Института математики и информатики Северо-Восточного Федерального университета, г. Якутск, Россия,
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований - гранты № 13-08-00229.
В настоящее время в наиболее современных областях науки и техники, таких как космическая, авиационная, судостроительная и других широкое применение получают композиционные материалы, композиционные конструкции, композицционные покрытия. Общность математического описания таких задач приводит к необходимости создания единого подхода к задачам исследования предельных возможностей композиционных конструкций по достижению требуемого комплекса свойств [1-8].
Исследователя в первую очередь интересует, каких предельных возможностей по управлению параметрами волнового поля можно достичь, используя в качестве управляющего устройства структурно-неоднородную конструкцию, физико-механическую и геометрическую структуру которой можно направленным образом изменять. Чрезвычайно важное значение структурно неоднородных конструкций в физике, технике, приборостроении обусловливается тем обстоятельством, что они являются одним из существенных элементов различных устройств,
управляющих энергетическими характеристиками волновых процессов. Проблема наиболее эффективного функционирования таких устройств связана с проблемой всестороннего исследования предельных возможностей неоднородных структур как фактора управления параметрами волнового поля.
Будем рассматривать падение немонохроматической упругой волны на многослойную систему, состоящую из плоскопараллельных изотропных слоев. Наружная поверхность конструкции совпадает с плоскостью хОу декартовой системы координат. Ось z декартовой системы координат направлена внутрь конструкции, перпендикулярно плоскостям раздела слоев с различными физическими свойствами. Обозначим через $0 - угол, составляемый нормалью к фронту волны с осью z в полупространстве, откуда приходит волна, т.е. 0о - угол падения упругой волны. Общие уравнения распространения упругих волн в системе слоев с различными физическими свойствами вида могут быть конкретизированы в виде:
Ms(x, y, zt) + (äs + 2ßs ) grad div(us (x, y, zt)) = Ps
д 2us ( x, y, z, t ) dt2 '
s — 1,..., N.
(1)
В этих обозначениях: ш(х,у,7Д) - вектор смещения частиц в s-ой среде, р8 - плотность s-го слоя, ^ - параметры Ламэ 8 - го слоя.
Любой волновой процесс в конечном или бесконечном упругом теле можно описать как суперпозицию продольных и поперечных волн со скоростями с и d соответственно. В случае неограниченного упругого тела волны обоих типов распространяются независимо друг от друга. Наличие границы приводит к взаимодействию двух типов волн и появлению волн, распространяющихся со скоростями, отличными от с и d. Пусть плоскость падения упругой волны совпадает с плоскостью xz. Тогда смещения не будут зависеть от координаты у.
Важными характеристиками волнового процесса в слоисто-неоднородной среде являются энергетические коэффициенты пропускания и отражения Т(ю), R(ю) определяемые как доли энергии волны, прошедшие через конструкцию и отраженные от нее:
т(о) = щр / ип;д, я о) = п°тр / ип;д. (2)
пад
пад
и; |.\ ^
шт.
(3)
м
Н( ;р)1* = Е4. (¿0, с(р), а(р);р)Ат(г),
т=1
(4)
Ь_ _ <г< Ь, ^ = 1,..., N, ре Л.
с(р), d(p) - скорости распространения продольных и сдвиговых волн в материале допустимого набора с плотностью р, Л - множество плотностей материалов допустимого набора, Lm(9o, с(р), d(р), р) (т=1,...,М) -заданные аналитические функции своих аргументов, определяющие структуру функции Гамильтона. Функции Лш^) (0^<1) выражаются через решения исходной краевой задачи и сопряженной к ней, описывающих распространение упругих волн в слоистой среде [1, 13]; 1 - общая толщина структурно-неоднородной конструкции. Тогда необходимые условия оптимальности типа принципа максимума Л.С. Понтрягина для исследуемых задач оптимального синтеза в вариационной постановке могут быть сформулированы следующим образом. Пусть р*^), (0^<1) опти-
мальное распределение физических свойств по толщине неоднородной конструкции. Тогда выполнено условие
н (*; Р( г) )| г = шах Н (*; р)|
0 < г < I.
(5)
Ппр т~\°тр -р-т _ ______________________ г , Иг , Иг - проекции вектора Пойнтинга на ось z, в прошедшей, отраженной и падающей волнах соответственно. В соответствии с законом сохранения энергии, выражающего равенство суммы энергий прошедшей через конструкцию волны и волны, отраженной от конструкции, энергии падающей
волны, справедливо равенство: Т(о) + Я(о) = 1 . Граничные условия отражают взаимосвязь падающей, отраженной и прошедшей волн на внешней и внутренней поверхностях конструкции.
В качестве показателя эффективности решений в исследуемой вариационной постановке рассматривается среднеквадратическая мера близости зависимости энергетического коэффициента пропускания Т(ю) упругой
волны к требуемой зависимости Т (о) в заданном диапазоне частот [Юшт,Юшах]:
Одними из наиболее эффективных методов построения решений с требуемым комплексом свойств в вариационной постановке являются методы, основанные на принципе максимума Л.С. Понтрягина [1- 3, 12, 13]. Используя общую методологию принципа максимума Л.С. Понтрягина [1, 12, 13] можно обобщить классический вариант принципа максимума Л.С. Понтрягина на рассматриваемый случай управляемых систем вида (2.1). Тогда для общего случая наклонного падения негармонической упругой волны на композиционную конструкцию, состоящую из системы плоскопараллельные слоев, при введенных предположениях, функция Гамильтона может быть представлена в виде:
В этих обозначениях Ь8 ^=1,...,№)- координаты границ раздела слоев с различными физическими свойствами, 90 - угол падения упругой волны на конструкцию,
(Пропущенные аргументы у функции Гамильтона подсчитываются на оптимальном решении).
Несмотря на то, что методы оптимального синтеза, основанные на необходимых условиях оптимальности, связанными с нелокальными вариациями параметров, типа принципа максимума Л.С. Понтрягина, позволяют строить эффективные решения, тем не менее получаемые результирующие решения являются локально-оптимальными. Поэтому применение методологии принципа максимума Л.С. Понтрягина не позволяет исследовать предельные возможности композиционных конструкций по достижению требуемого комплекса свойств при волновых воздействиях.
Одним из наиболее эффективных подходов к решению проблемы исследования предельных возможностей является разрабатываемый подход, основанный на установленном свойстве внутренней симметрии в структуре оптимальных композиционных конструкций и теории многозначных отображений [1-8, 14]. Для определенного кру(г3а )волновых задач синтеза показано, что во взаимосвязи параметров в слоисто-неоднородных композициях, реализующих предельные возможности, существует внутренняя симметрия, что позволяет существенно уменьшить их размерность [1-8]. В таких задачах, которые мы в дальнейшем будем называть опорными, совокупность всех вариантов конструкций, реализующих предельные возможности по управлению параметрами волнового поля, оказывается принадлежащей узкому компактному множеству. Для опорных задач оптимального синтеза может быть эффективно выделена совокупность всех вариантов конструкций, параметры которых доставляют глобальный минимум функционалу качества, характеризующему близость функциональных характеристик к требуемым.
Тем не менее, существует широкий круг волновых задач синтеза в различных областях физики и техники, для которых не представляется возможным аналитически описать границы компактных множеств, содержащих всю совокупность оптимальных решений. Однако эти(4за)дачи могут быть некоторым образом связаны с опорными задачами синтеза. Например, при определенных способах введения параметра в модель они могут оказаться в одном параметрическом семействе, таком, что одному значению параметра соответствует исходная
задача синтеза, а другому - опорная задача. При этом возникает проблема как на основе знания оптимальных решений опорных задач синтеза разработать эффективные методы исследования предельных возможностей для широкого круга волновых задач синтеза, возникающих в различных областях физики и техники.
Погрузим исходную задачу оптимального синтеза в параметрическое семейство задач оптимального синтеза, зависящее от вещественного параметра б
(80 <8 <81). При этом значению параметра 8 = 80
соответствует опорная задача синтеза, для которой эффективно может быть выделена вся совокупность оптимальных решений, реализующих предельные возможности по
достижению заданного комплекса свойств и (80 ). Значению же параметра 8 = 81 соответствует исходная задача оптимального синтеза. Множество глобально-оптимальных решений в исходной задаче синтеза обозначим
через и . При этом и = и (81). На основе теории многозначных отображений [14] разработана методика продолжения решения по параметру, позволяющая осуществлять эффективное продолжение множества глобально-оптимальных решений опорной задачи синтеза по параметру. Разработанная методика исследования предельных возможностей, основанная на теории многозначных отображений и методах продолжения по параметру, позволяет осуществлять эффективное исследование предельных возможностей структурно-неоднородных конструкций при волновых воздействиях.
Проведем конструктивный анализ вариационных постановок задач оптимального проектирования структурно-неоднородных конструкций при наклонном падении упругих волн, когда вводимый критерий качества (3) связан с требованием максимального уменьшения интенсивности упругой волны на внутренней поверхности конструкции в заданном диапазоне частот. Для рассматриваемого случая требуемое значение энергетического коэффициента пропускания имеет вид: Т((о) = 0, Юшт<ю<Юшах. Такого рода задачи оптимального синтеза связаны с экранированием упругих, сейсмических волн при прохождении через структурно-неоднородную конструкцию. Структурно-неоднородная конструкция, находящаяся на пути распространения упругой волны при этом называется экранирующей конструкцией, или экраном (например, сейсмозащитный экран).
В работах [15-17] показано, что создание многослойного экрана определенной структуры, состоящего из слоев с определенным образом подобранными физико-механическими свойствами, в ряде случаев может привести к эффективному уменьшению интенсивности прошедших через экран сейсмических волн. Влияние экрана на интенсивность и характер распределения напряжений за ним определяется как структурными особенностями самого экрана (физико-механическими характеристиками составляющих его слоев, толщинами слоев, характером сочленения слоев с различными физическими свойствами в конструкции экрана и т.д.), так и закономерностями прохождения волн через экран, а также дифракцией волн относительно экрана. Однако указанные исследования в целом не дают возможности практически решать задачу о выборе оптимальной конструкции экрана для защиты сооружений от действия упругих, сейсмических нагрузок, поскольку применяемые подходы не позволяют варьировать изучаемые параметры в широком диапазоне. В част-
ности, в работе [17] проведено исследование задач проектирования слоистых сейсмозащитных экранов методами физического моделирования, и в частности, методом динамической фотоупругости. Приведены результаты исследования прохождения упругих волн через слоистые экраны. При этом для случая конструкции экрана только из двух материалов рекомендовано в качестве таких материалов использовать высокомодульный и низкомодульный материалы.
Теоретический анализ уравнений распространения упругих волн в структурно-неоднородной конструкции экрана, с учетом полученных результатов, а также проведенные в последующем вычислительные эксперименты по разработанной методике, позволили сделать вывод, что наиболее эффективными при проектировании физико-механической и геометрической структуры экрана оказываются не высокомодульный и низкомодульный материалы, а материалы с экстремально различающимися сейсмическими жесткостями т.е., материалы удовлетворя-
ющие условию
: Z = рС ^ extr . Данный
Л
результат в
большей степени соответствует физике процесса взаимодействия упругих, сейсмических волн со структурно-неоднородными преградами, поскольку, как установлено на основе сравнительного анализа значительного числа экспериментальных данных, определяющее значение среди различных физических характеристик материалов, грунтов, и их комбинаций при прохождении упругих, сейсмических волн имеет именно сейсмическая жесткость. Рекомендации же, полученные методами физического моделирования, и в частности методом динамической фотоупругости, являются неточными, поскольку рассматривалось ограниченное количество материалов, что не позволило выделить эффективные комбинации физических характеристик материалов, имеющие определяющее значение при проектировании эффективных сейсмозащит-ных экранов.
В случае наклонного падения упругих волн на основе полученных результатов установлено, что расширение допустимого набора материалов позволяет существенно расширить возможности экранирующей конструкции по гашению энергии упругих волн. При этом установлено, что кроме материалов с экстремально различающимися сейсмическими жесткостями, значительную роль в формировании оптимальной конструкции экрана при наклонном падении упругих волн играет материал допустимого набора Л, физические свойства которого удовлетворяют условию:
р * = а^ штр/ 2(р).
реЛ
На основе конструктивного качественного анализа уравнений распространения упругих, сейсмических волн в структурно-неоднородных средах, учитывающих эффекты преобразования мод на структурных неоднород-ностях в рамках вариационной постановки установлено, что в зависимости от физико-механических и геометрических характеристик структурно-неоднородных экранирующих конструкций можно в значительной степени влиять на уменьшение интенсивности упругих волн во всем диапазоне углов падения. Показано, что изменение уровня интенсивности упругой, сейсмической волны при ее прохождении через конструкции сооружения в существенной степени зависит от соотношения сейсмических жестко-стей граничащих сред. При этом важное значение при решении вопросов уменьшения уровня интенсивности упругой, сейсмической волны имеют экстремальные
соотношения между сейсмическими жесткостями граничащих сред:
Я (u (•) ) = F (Zl, Z 2,..., ZN), Я (и (•)* ) = ехГЯ (и (•)).
В этих обозначениях: Zi (г = 1,..., N) - сейсмические жесткости граничащих сред; и() - функциональное распределение физико-механических и геометрических характеристик в конструкциях сооружений; и (•) - соответствующее оптимальное функциональное распределение физико-механических и геометрических характеристик в конструкции.
Таким образом, разработка проблемы научных основ специального подбора физико-механической и геометрической структуры оснований, фундаментов конструкций сооружений различного назначения имеет важное значение для эффективного решения задач экранирования упругих, сейсмических волн с целью уменьшения уровня их интенсивности при их взаимодействии с конструкциями сооружений. Проведенные исследования закономерностей распространения упругих, сейсмических волн в структурно-неоднородных средах, позволили уточнить и обобщить результаты, полученные другими авторами на основе методов физического моделирования (метод динамической фотоупругости, метод электрических аналогий и т.п.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусев Е.Л. Математические методы синтеза слоистых структур. Новосибирск: Наука, 1993. 262 с.
2. Гусев Е.Л. Качественные закономерности взаимосвязи параметров в оптимальных структурах в задачах оптимального синтеза неоднородных структур из дискретного набора материалов при волновых воздействиях //Доклады РАН. 1996. Т. 346. № 3. С. 324-326.
3. Гусев Е.Л. Качественные закономерности структуры оптимальных решений в задачах оптимального синтеза многослойных конструкций при воздействии упругих волн//Доклады РАН. 1998. Т. 368. № 1. С.53-56.
4. Гусев Е.Л. Предельные возможности слоистых структур при воз-действии акустических волн// Известия РАН. Механика твердого тела.2003. № 2. С.173-179.
5. Гусев Е.Л. Оптимальный синтез композиционных структур, обеспечивающих предельное гашение температурных волн// Математическое моделирование. 2006, т. 18, № 8.С. 123-128.
6. Гусев Е.Л. Исследование предельных возможностей слоисто-не-однородных термостабилизирующих конструкций// Известия РАН. Механика деформируемого твердого тела. 2006. № 3. С. 96-102.
7. Гусев Е.Л. Математические методы оптимального синтеза слоисто-неоднородных структур при волновых воздействиях//Труды XI Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». Санк-Петербург: Наука, 2012. С. 461-464.
8. Гусев Е.Л. Конструктивные методы синтеза слоисто-неодно-родных структур при воздействии упругих волн// Акустический журнал. 2008. Т. 54. № 5. С.1-8.
9. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Нау-кова Думка, 1981. 284 с.
10. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн). М.: Наука, 1988. -366 с.
11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
12. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкре-лидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 393 с.
13. Гусев Е.Л., Бакулин В.Н., Марков В.Г. Методы оптимального проектирования и расчета композиционных конструкций. Т.1. М.: Наука-Физматлит, 2008. 256 с.
14. Лисковец О.А. Некорректные задачи с замкнутым необратимым оператором//Дифференциальные уравнения. 1967, № 4. С. 636-646.
15. Петрашень Г.И. Постановка задач на сейсмическое экранирование волн тонкими слоями и методы их решения// Задачи теории упругости, ЛГУ, 1954, в. 4.
16. Мелик-Елчян А. Г., Акопян К. А. Рекомендации по повышению сейсмостойкости зданий методом экранирования сейсмических волн. II. Тула: Приок-ское книжное издательство, 1980. 137 с.
17. Мелик- Елчян А.Г. Повышение сейсмостойкости зданий и сооружений. Ереван, Айастан, 1989. -317 с.
об устойчивости в одной задаче жуковского
А.П. Иванов
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Рассмотрим твердое тело, опирающееся на горизонтальную шероховатую плоскость двумя малыми площадками. Помимо силы тяжести, на тело действует некоторая система сил, линии действия которых лежат в опорной плоскости. Условия контакта допускают лишь плоскопараллельное движение тела (мгновенная ось вращения вертикальна). Условия равновесия такой «скамейки» были получены Жуковским [1] в рамках рассмотрения более общей задачи о равновесии твердого тела, опирающегося на горизонтальную шероховатую плоскость. Наша цель состоит в исследовании устойчивости равновесия по Ляпунову.
Будем пренебрегать размерами опорных площадок и считать, что скамейка обладает двумя взаимно перпендикулярными вертикальными плоскостями симметрии, проходящими через центр масс С. Одна из этих плоскостей содержит также точки контакта С^ и С2 , расстояние между которыми равно 21 . Вес тела равен 2 Р , а высота центра масс над опорой равна Н .. Активные горизонтальные силы разложим на три составляющие: X вдоль прямой СС2 , Yl и приложены к точкам С^
