CC BY
11
соотношения между сейсмическими жесткостями граничащих сред:
Я (и (•) ) = ^ (2» 2 2,..., ), Я (и (•)* ) = еХгЯ (и (•)).
В этих обозначениях: 21 (г — 1,...,М) - сейсмические жесткости граничащих сред; и(-) - функциональное распределение физико-механических и геометрических характеристик в конструкциях сооружений; и (•) - соответствующее оптимальное функциональное распределение физико-механических и геометрических характеристик в конструкции.
Таким образом, разработка проблемы научных основ специального подбора физико-механической и геометрической структуры оснований, фундаментов конструкций сооружений различного назначения имеет важное значение для эффективного решения задач экранирования упругих, сейсмических волн с целью уменьшения уровня их интенсивности при их взаимодействии с конструкциями сооружений. Проведенные исследования закономерностей распространения упругих, сейсмических волн в структурно-неоднородных средах, позволили уточнить и обобщить результаты, полученные другими авторами на основе методов физического моделирования (метод динамической фотоупругости, метод электрических аналогий и т.п.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусев Е.Л. Математические методы синтеза слоистых структур. Новосибирск: Наука, 1993. 262 с.
2. Гусев Е.Л. Качественные закономерности взаимосвязи параметров в оптимальных структурах в задачах оптимального синтеза неоднородных структур из дискретного набора материалов при волновых воздействиях //Доклады РАН. 1996. Т. 346. № 3. С. 324-326.
3. Гусев Е.Л. Качественные закономерности структуры оптимальных решений в задачах оптимального синтеза многослойных конструкций при воздействии упругих волн//Доклады РАН. 1998. Т. 368. № 1. С.53-56.
4. Гусев Е.Л. Предельные возможности слоистых структур при воз-действии акустических волн// Известия РАН. Механика твердого тела.2003. № 2. С.173-179.
5. Гусев Е.Л. Оптимальный синтез композиционных структур, обеспечивающих предельное гашение температурных волн// Математическое моделирование. 2006, т. 18, № 8.С. 123-128.
6. Гусев Е.Л. Исследование предельных возможностей слоисто-не-однородных термостабилизирующих конструкций// Известия РАН. Механика деформируемого твердого тела. 2006. № 3. С. 96-102.
7. Гусев Е.Л. Математические методы оптимального синтеза слоисто-неоднородных структур при волновых воздействиях//Труды XI Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». Санк-Петербург: Наука, 2012. С. 461-464.
8. Гусев Е.Л. Конструктивные методы синтеза слоисто-неодно-родных структур при воздействии упругих волн// Акустический журнал. 2008. Т. 54. № 5. С.1-8.
9. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Нау-кова Думка, 1981. 284 с.
10. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн). М.: Наука, 1988. -366 с.
11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
12. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкре-лидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 393 с.
13. Гусев Е.Л., Бакулин В.Н., Марков В.Г. Методы оптимального проектирования и расчета композиционных конструкций. Т.1. М.: Наука-Физматлит, 2008. 256 с.
14. Лисковец О.А. Некорректные задачи с замкнутым необратимым оператором//Дифференциальные уравнения. 1967, № 4. С. 636-646.
15. Петрашень Г.И. Постановка задач на сейсмическое экранирование волн тонкими слоями и методы их решения// Задачи теории упругости, ЛГУ, 1954, в. 4.
16. Мелик-Елчян А. Г., Акопян К. А. Рекомендации по повышению сейсмостойкости зданий методом экранирования сейсмических волн. II. Тула: Приок-ское книжное издательство, 1980. 137 с.
17. Мелик- Елчян А.Г. Повышение сейсмостойкости зданий и сооружений. Ереван, Айастан, 1989. -317 с.
об устойчивости в одной задаче жуковского
А.П. Иванов
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Рассмотрим твердое тело, опирающееся на горизонтальную шероховатую плоскость двумя малыми площадками. Помимо силы тяжести, на тело действует некоторая система сил, линии действия которых лежат в опорной плоскости. Условия контакта допускают лишь плоскопараллельное движение тела (мгновенная ось вращения вертикальна). Условия равновесия такой «скамейки» были получены Жуковским [1] в рамках рассмотрения более общей задачи о равновесии твердого тела, опирающегося на горизонтальную шероховатую плоскость. Наша цель состоит в исследовании устойчивости равновесия по Ляпунову.
Будем пренебрегать размерами опорных площадок и считать, что скамейка обладает двумя взаимно перпендикулярными вертикальными плоскостями симметрии, проходящими через центр масс С. Одна из этих плоскостей содержит также точки контакта С^ и С*2 , расстояние между которыми равно 21 . Вес тела равен 2 Р , а высота центра масс над опорой равна Н .. Активные горизонтальные силы разложим на три составляющие: X вдоль прямой С С2 , и приложены к точкам С^
и С2 перпендикулярно этой прямой. В положении равновесия сила разбивается на две части Х1 и Х2, приложенные к точкам С и С2 , которые определены неоднозначно. Силы трения Т = (Т ^, Т ^ ), (] = 1,2) удовлетворяют закону Кулона Т \< лNj'; ]= 1,2,
где
N.. -
нормальные реакции опоры в точках контакта,
Л - коэффициент трения. В положении равновесия выполнены условия
Х2 + У] N2; ] = 1,2, (1)
причем в силу симметрии N"1 = N2 = Р. Отметим, что если условия (1) выполнены для составляющих Х1 и Х 2 , имеющих разные знаки, то их можно также удовлетворить (с сохранением равенства Х1 + Х2 = X),
полагая меньшую по абсолютной величине из этих составляющих нулем. Следовательно, условия равновесия имеют вид
Х Р2 — У2 +у]л2Р2 - У2.
(2)
и (Х + Т Х + т2 Х ) = I (N1 - N2).
(3)
Х + Т1Х + Т2 Х =
2Р £
wX, N1 + N2 = 2Р. (4)
Из системы (3), (4) найдем выражения для нормальных реакций при скольжении в виде
N,,2 = Р±3, 3 = ^
Физический смысл имеют значения параметра 3 £ [— Р, Р] . Если при каком-то значении этого параметра неравенство (2) имеет противоположный смысл, то тело может начать движение даже при нулевых начальных скоростях, что свидетельствует о неустойчивости (подобные ситуации впервые описаны в [2]). Следовательно, необходимое условие устойчивости выражается неравенством
\ Х (Р+3)2 — (Р -3) — У2 = р(3)
(5)
которое должно выполняться для всех значений
3 £ [ Р, Р]. На этом отрезке функция р(3) имеет единственную критическую точку
3 =
|У1
У
р .
(6)
I1+1У21
Сравнивая значения р(3 ), Р(Р) и р(—Р),
убеждаемся, что значение (6) соответствует минимуму функции на отрезке, причем
Для проверки устойчивости по Ляпунову предположим, что в некоторый начальный момент времени координаты точек контакта изменились на малую величину, кроме того, эти точки скользят по опоре с малыми скоростями. Первый из этих факторов очевидно не может привести к неустойчивости, поскольку незначительное перераспределение значений проекций активных сил не приведет к нарушению неравенства (2). Поэтому мы будем рассматривать лишь возмущения скоростей. При скольжении силы трения достигают максимальных значений:
т% + ТУ =Л2Щ, ] = 1,2.
Применим теорему моментов для точки С в проекции на горизонтальное направление, перпендикулярное
С1С2 . При сделанных предположениях о характере контакта (скамейка не падает) суммарный момент активных сил, трения и нормальных реакций равен нулю, откуда
Обозначим Wx проекцию ускорения точки С на
С1С2 . Теорема о движении центра масс выражается формулами (§ - ускорение свободного падения)
р(3*} = у1 4л2р2 — (\ У \ + \ У2\)2
Замечая, что условие (2) является частным случаем неравенства (5) при 3 = 0, приходим к выводу: выполнение неравенств
\ Х 4Л Р2 — (\71\ + \72\)2,\У< Р; ] = 1,2
(7)
необходимо для устойчивости положения равновесия по Ляпунову.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14.01.00432) и Министерства образования и науки РФ (соглашение 14.А18.21.0374).
Список литературы:
1. Жуковский Н.Е. Условия равновесия твердого тела, опирающегося на неподвижную плоскость некоторой площадкой и могущего перемещаться вдоль этой плоскости с трением / Собр. соч. Т.1. М.-Л.: Гос-техтеориздат, 1948. С. 339-354.
2. Джеллетт Д.Х. Трактат по теории трения. М.; Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2009. 264 с.
3. Иванов А.П. Об устойчивости равновесия в системах с трением // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 3. С. 427-438.
4. Смышляев А. С., Черноусько Ф.Л. Условия равновесия тела на шероховатой плоскости // ПММ. 2002. Т.66. Вып. 2. С. 177-182.
