Расчет температуры оболочек при их внешнем динамическом нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.983.044; 620.178.73

Расчет температуры оболочек при их внешнем динамическом нагружении

© Н.А. Гладков МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Разработана методика определения температуры произвольных частиц интенсивно деформируемых цилиндрических и сферических оболочек, подверженных имплозивному нагружению. Физико-механические свойства материала оболочек соответствуют модели жесткопластического тела. Введено понятие абсолютной деформационной температуры, которая входит в качестве основного сомножителя в формулы, определяющие температуру частиц оболочек. Остальные сомножители в этих формулах являются функциями безразмерных параметров, зависящих от геометрических размеров оболочек. Установлено, что при схлопы-вании оболочек происходит значительное увеличение температуры частиц материала, расположенных на внутренних поверхностях оболочек.

Ключевые слова: интенсивная деформация, идеальная пластичность, температура, симметричная оболочка, имплозия (implosion).

Методические особенности решения задач по определению температуры интенсивно пластически деформированных тел приведены в работе [1]. В настоящей статье разработанная методика [1] применена для расчета температуры цилиндрических и сферических оболочек, подверженных интенсивному имплозивному нагружению.

С одной стороны, термин «имплозия» дословно означает удар внутрь. С другой стороны, implosion - имплозия - направленный внутрь взрыв. Поэтому под словосочетанием «имплозивное нагруже-ние оболочки» будем подразумевать направленное внутрь с ее внешней стороны интенсивное нагружение.

В работе [1] показано, что для произвольной частицы с элементарным объемом dV адиабатически деформируемого тела можно составить в соответствии с первым законом термодинамики временное дифференциальное уравнение, отнесенное к единице объема:

pcf(1)

где p, C - плотность и удельная темплоемкость материала тела; T -абсолютная температура частицы тела; t - время; oiJ-, ^ - компоненты тензоров напряжений и скорости деформаций частицы тела

соответственно. Правая часть уравнения (1) определяет мощность деформации частицы тела, а его левая часть характеризует увеличение количества теплоты этой частицы в единицу времени. Причем интегрирование исходного уравнения (1) следует проводить вдоль траектории движения частицы деформируемого тела.

Полагая, что материал оболочки несжимаем (р = const), а его физико-механические свойства соответствуют модели жесткопластиче-ского тела, можно упростить правую часть уравнения (1). В результате получаем

Ъу Sij =Ъ Л/ = ^даЛ/, (2)

где xi - интенсивность касательных напряжений; л - интенсивность

скоростей деформации сдвига; xSD - динамический предел текучести

материала оболочки при сдвиге. Следовательно, уравнение (1) с учетом (2) принимает более простой вид:

С^т = - ТЖЛ/. (3)

dt р

Уравнение (3) позволяет рассчитать температуру частиц оболочки в любой момент времени, т. е. в результате решения (3) найти временную зависимость T = T(t). При этом предварительно необходимо определить кинематические характеристики деформируемой оболочки. С этой целью первоначально рассмотрим эти характеристики для цилиндрической оболочки, начальные радиусы внутренней и внешней поверхностей которой обозначим через и R20 соответственно.

Рассмотрим имплозивное нагружение цилиндрической оболочки большого удлинения (l >> d, где l - длина оболочки; d - ее диаметр). Такой подход, с одной стороны, позволяет пренебречь краевыми эффектами, а с другой стороны, если нагружение оболочки будет происходить только в радиальном направлении, задача становится осесимметричной. В этом случае ось вращения оболочки будет совпадать с осью цилиндрической системы координат (ЦСК) (R, ф, z - координаты этой системы), а компоненты скорости, скорости деформации и напряжения не зависят от полярного угла ф .

Поскольку нагрузка действует только в радиальном направлении, то окружная и осевая составляющие скорости, а также осевые и касательные компоненты напряжений будут равны нулю:

Чр = ч =0;

= = = = (4)

° z = xRz = TRp = Tzp =

Отличными от нуля будут радиальные oR и окружные аф компоненты напряжения, а также радиальная составляющая скорости Ur .

При этом компоненты скорости деформации, согласно формулам (4), будут иметь следующий вид:

^ r =^RR; *ф=% ^ = о; л^ ^ф=лгф = о. (5)

OR R

При таких исходных данных интенсивность скоростей деформаций, согласно формулам (5), рассчитывается по упрощенной зависимости:

л,fe R -О2. (6)

Материал оболочки несжимаем (р = const), поэтому уравнение неразрывности в ЦСК с учетом изложенного выше примет вид

duR , UR

- + dR R

= 0. (7)

Интегрируя уравнение (7), находим аналитическое соотношение между радиальными скоростями частиц:

=»0 X, (8)

где »я = »я (/), »0 = »0(?) - радиальные скорости частиц, расположенных соответственно на цилиндрической поверхности внутри оболочки радиусом Я = Я(^) и на внешней поверхности оболочки радиусом Я20 = Я20(^)• Таким образом, радиальная скорость частиц и0(/)

на внешней поверхности оболочки обеспечивает ее имплозивное нагружение.

Далее по формулам (5) в соответствии с соотношением (8) находим компоненты скорости деформации:

* я = »0(9) *р = »0 Я^. (10)

Подставляя формулы (9) и (10) в зависимость (6), выражаем интенсивность скоростей деформаций:

п

Лг = 2«0 П0. (11)

Для расчета изменения температуры удобно использовать динамический предел текучести аж, который связан с т ж простым соотношением

аж -А/ЗтSD . (12)

Тогда уравнение (3) с учетом соотношения (12) примет следующий вид:

& л/3 рС

Лг . (13)

Сомножитель аж в уравнении (13) имеет размерность темпера-

рС

туры. Кроме того, как будет показано ниже, он является определяющим при расчете температуры оболочки. Поэтому целесообразно обозначить этот сомножитель как абсолютную деформационную температуру:

Тдеф . (14)

деф рС

Уравнение (13) с учетом формулы (14) имеет вид

Т ^«еф^ <15)

После подстановки соотношения (11) в формулу (15) приходим к уравнению, содержащему две независимые переменные величины t и п , которые определяют изменение температуры во времени и по координате:

-_2_Т и ^20 (16) & ",/3 Тдефи° п2. (16)

Уравнение (16) необходимо интегрировать вдоль траектории движения частиц оболочки. Поскольку этими траекториями в данной задаче являются радиальные линии в ЦСК, то правую часть уравнения (16) выразим, согласно соотношению (8), через радиальную скорость

ЩТ -_2_Т л л/3 деф

^п). (17)

Я J

В свою очередь, радиальная скорость равна производной, т. е.

Ип - • (18)

ш

Подставляя соотношение (18) в уравнение (17) и сокращая правую и левую части уравнения на дифференциал &, получаем

шт -^ТдефЩП. (19)

После интегрирования уравнения (19) определяем изменение температуры произвольной частицы деформируемой оболочки:

Т - Тн Тдеф Ь П, (20)

где Ян - Ян (tн), Я - Я^) - радиусы цилиндрических поверхностей

(вследствие осевой симметрии задачи), на которых расположены исследуемые частицы соответственно в начальный t - tн и в произвольный t моменты времени; ДГ - Т - Гн - изменение температуры этих частиц оболочки за интервал времени Дt -1 - tн; Тн (tн), Г(() - соответственно температуры частиц, в момент когда они последовательно находились на цилиндрических поверхностях радиусов Ян и Я.

Учитывая, что при имплозивном нагружении оболочки радиусы ее внешней и внутренней поверхностей уменьшаются (оболочка

Я

схлопывается), 1п— в формуле (2°) является отрицательной вели-Ян

чиной, поэтому запишем формулу (2°) в виде

2 п

Г - Тн ТДеф 1п Я. (21)

Если исследование температуры частиц оболочки проводить с момента времени, соответствующего началу процесса деформирования оболочки, то при t - 0, Ян - Я°, а Гн - Т°. В этом случае

начальная температура Т° частиц оболочки будет равна температуре

всей оболочки до начала процесса ее деформирования. Формула (21) при этих условиях примет вид

Т - Т0 =-23 Тдеф 1п я°. (22)

В свою очередь, формулу (22) для частиц оболочки, первоначально расположенных на ее внутренней поверхности, можно записать в виде

Т - Т° =~2ъ Тдеф 1п Я0, (23)

где Яю, Я1 - начальный и текущий радиусы внутренней поверхности

оболочки. В частности, при полном схлопывании оболочки, т. е. когда Я1 ^ 0, происходит значительное увеличение температуры частиц, расположенных на внутренней поверхности оболочки.

Однако такая оценка получена при условии, что процесс деформирования будет происходить в соответствии с формулами (4) - (8). При схлопывании оболочки возможно возникновение неустойчивого движения ее частиц, что приведет к движению частиц, несколько отличающемуся от движения, рассмотренного в данной задаче. Тем не менее возможность получения высоких температур при имплозивном схлопывании оболочки является фактором, который может быть в какой-то степени реализован на практике.

Формула (22) для частиц, расположенных на внешней поверхности оболочки, примет вид

Т - Т =;2з Тдеф 1п Я0, (24)

где Я20 , Я2 - начальный и текущий радиусы внешней поверхности оболочки.

В частности, при полном схлопывании оболочки конечный радиус Я2к ее внешней поверхности находим из условия, что оболочка в конечном состоянии принимает форму сплошного цилиндра. Объем такого цилиндра должен быть равен начальному объему оболочки:

Я220 -Я2)/ = яЯ|к/, (25)

где / - длина цилиндрической оболочки. Из формулы (25) следует

Я20 = 1 . (26)

Я2к I г Я Л2

1

1 -

40

V Я20 )

Формула (24) с учетом формулы (26) позволяет определить конечную температуру Г внешней поверхности цилиндрической обо-

лочки:

Тк -Т°Тдеф■' -,2 . (27)

Я1°

1 -

V Я20 )

Рассмотрим имплозивное нагружение сферической оболочки, у которой гш, т2° - начальные радиусы ее внутренней и внешней поверхностей соответственно. Если нагружение оболочки происходит только в радиальном направлении, то задача будет характеризоваться центральной (точечной) симметрией. Поэтому в сферической системе координат (ССК) (г, 0, ф - сферические координаты) касательные напряжения, касательные компоненты скорости и сдвиговые компоненты скорости деформации равны нулю:

«0-«Ф-°; ^г0-тгф-т0ф- °; Лг0-Лпр-Л0ф-°. (28)

Поскольку алгоритмы решения задач для цилиндрической и для сферической оболочек полностью совпадают, решение второй задачи будем проводить без повторных рассуждений, так как все особенности решения первой задачи полностью соответствуют особенностям второй задачи.

В результате интегрирования уравнения неразрывности, записанного в ССК, определена радиальная скорость произвольных частиц оболочки:

ог - -и°

'М] . (29)

V г )

Здесь и° - и° (() - радиальная скорость частиц, расположенных на

внешней поверхности сферической оболочки радиусом т2° - т2°((),

обеспечивающая ее имплозивное нагружение.

В соответствии с формулами (28) и (29) интенсивность скоростей деформаций

г2

Лг- - 2л/з»°^. (3°)

г3

Тогда уравнение (15) с учетом соотношения (30) примет вид

ЖТ = 2Т п ¿0 (31)

Л - дефг3- (31)

Уравнение (31) необходимо интегрировать вдоль траектории движения частиц оболочки. В этой задаче траекториями являются линии, соответствующие направлению радиуса ССК. Согласно уравнению (29), правую часть уравнения (31) выражаем через радиальную скорость

§ (32)

а поскольку ^ = —, то уравнение (32) принимает вид, подобный

г Ж

уравнению (19) для цилиндрической оболочки:

ЖТ = -2ТДеф ^ . (33)

После интегрирования (см. вывод формулы (21)), получаем уравнение, аналогичное уравнению (21):

г

Т - Тн = 2Тдеф 1п г, (34)

где гн = гн (н), г = г(() - радиусы сферических поверхностей, на которых расположены исследуемые частицы соответственно в начальный t = tн и в произвольный t моменты времени; ДТ = Т - Тн - изменение температуры этих частиц оболочки за интервал времени Дt = t - tн; Тн (н), Т(() - соответственно температуры частиц в момент, когда они последовательно находились на сферических поверхностях радиусов гн и г.

Далее (см. вывод формулы (22)), для сферической оболочки получаем уравнение, аналогичное уравнению (22):

г

Т - То = 2Тдеф 1п -г-. (35)

Для частиц, находящихся на внутренней поверхности сферической оболочки, уравнение (35) примет вид

Т - То = 2Тдеф 1п -Ж г\

(36)

где г1о, г - начальный и текущии радиусы внутренней поверхности.

При полном схлопывании оболочки, т. е. при п ^ 0, происходит

(также как и в случае с цилиндрической оболочкой) значительное увеличение температуры частиц, расположенных на внутренней поверхности оболочки.

Для внешней поверхности оболочки уравнение (35) примет вид, подобный уравнению (36):

Т - То = 2Тдеф 1п-20,

(37)

п

2

где п2о, п - начальный и текущий радиусы внешней поверхности оболочки.

При полном схлопывании оболочки конечный радиус ее внешней поверхности п2к находим из условия, что оболочка примет форму

сплошного шара, объем которого равен начальному объему оболочки:

3\ 4 3

3Чп20 - = 3,

откуда получаем

'20

2к

31 -

(38)

10

V п20 )

Уравнение (37) при конечном схлопывании оболочки, т. е. с учетом уравнения (38), примет вид

Тк - Т0 - 2Тдеф 1п"

1

(39)

31 -

3

По

V Г20 )

Таким образом, расчетные формулы как для цилиндрической ((21)-(24), (27)), так и для сферической ((34)-(37), (39)) оболочек имеют одинаковую структуру. В этих формулах определяющим сомножителем является абсолютная деформационная температура Тдеф,

1

3

остальные сомножители безразмерны и зависят от геометрических параметров оболочек. В качестве примера определим 7Деф по формуле

(14) для стальной оболочки при следующих значениях [2] величин, вхо-

9 3 3

дящих в эту формулу: aSD = 10 Па, р = 7,8• 10 кг/м , С = 460 Дж/(кгК). После подстановки получено Гдеф = 279 K.

Заключение. В результате решения поставленной задачи получены формулы для расчета изменения температуры любых частиц при имплозивном нагружении цилиндрической и сферической оболочек.

Изменение температуры цилиндрической оболочки в V3 раз меньше, чем сферической оболочки. Отсюда следует, что процесс деформирования в сферической оболочке протекает более интенсивно, чем в цилиндрической оболочке.

Имплозивное нагружение может иметь практическое применение как один из способов нагревания веществ до высоких температур в замкнутом изолированном объеме, так как в соответствии с расчетом происходит значительное увеличение температуры частиц материала оболочек, расположенных на внутренних поверхностях.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Гладков Н.А. Расчет температурных полей в телах, подверженных интенсивным пластическим деформациям. Тр. Междунар. конф. «XIII Ха-ритоновские тематические научные чтения», Саров, РФЯЦ - ВНИИЭФ, 2011, с. 201-205.

[2] Физические величины: Справочник. Москва, Энергоатомиздат, 1991, 1232 с.

Статья поступила в редакцию 05.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Гладков Н.А. Расчет температуры оболочек при их внешнем динамическом нагружении. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http://engjournal.ru/catalog/appmath/hidden/875.html

Гладков Николай Алексеевич родился в 1942 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 140 научных работ в области общей физики, физики быстропротекающих процессов и механики деформируемого твердого тела. е-mail: n.a.gladkov@yandex.ru