К исследованию процесса нестационарного расширения толстостенных сферических и цилиндрических вязкопластических оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 539.31

К ИССЛЕДОВАНИЮ ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОГО РАСШИРЕНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

В работе представлены точные решения одномерных нестационарных задач адиабатического расширения толстостенных сферических и цилиндрических оболочек из вязко-пластического материала в предположении, что в начальный момент времени распределения радиальных скоростей удовлетворяют условиям несжимаемости материала оболочек. Полученные решения легко трансформируются и для случаев сжатия таких оболочек.

Ключевые слова: вязкопластический материал, сферические и цилиндрические оболочки, несжимаемость.

Analytical solutions for one-dimensional dynamical problems of adiabatic extension of thick-walled spherical and cylindrical shells made of a viscoplastic material are presented under the assumption that, at the initial instant of time, the distributions of radial velocities satisfy the condition of incompressibility of the shell materials. The obtained solutions can easily be transformed for the cases of compression of such shells.

Key words: viscoplastic material, spherical and cylindrical shells, incompressibility.

Для тестирования новых программ и методов численного расчета задач механики сплошной среды необходимо знание точных решений. Особенно это касается численных методов и программ, ориентированных на решение задач динамической термоупруговязкопластичности, ввиду их исключительной сложности. Известно не так много точных решений таких задач (см. [1-5] и приведенную там библиографию). Кроме того, найденные решения задач о сжатии и расширении пор в вязкопластическом материале [2-5] используются для написания кинетических уравнений для параметра объемной поврежденности материала, описывающего так называемое вязкое разрушение [6-12].

В данной работе представлены точные решения одномерных задач расширения сферических и цилиндрических оболочек, которые, в частности, могут быть использованы для тестирования программ численного расчета и оценки эффективности новых численных методов.

1. Расширение сферической оболочки. Рассмотрим сферическую оболочку, имеющую в начальный момент времени ь = 0 внутренний радиус Ко и внешний радиус Кь В момент времени ь > 0 внутренний радиус Го = т(Ко,Ь), внешний радиус т\ = т(К 1 . Сделаем следующие упрощающие предположения.

1) Поведение материала описывается уравнениями упруговязкопластической модели типа Пэжи-

Здесь ёц, Бц — девиаторы скоростей деформаций и напряжений; Уо — предел текучести при простом растяжении; Н(х) — единичная функция Хевисайда; п — модуль сдвига и динамическая вязкость материала.

2) Упругие деформации не учитываются: ¿Ц = 0, ¿ц = ¿Р (¿Ц, ¿р, ¿V = ¿ц + ¿р — скорости упругих, пластических и полных деформаций соответственно). Пластическое течение несжимаемо: ¿Ркк = ¿кк = 0.

3) Задача решается в одномерном приближении: все параметры зависят от радиальной лагранжевой координаты К и времени Ь.

4) Процесс сжатия оболочки считается адиабатическим.

В силу сделанных предположений уравнения (1) сводятся к одному уравнению

А. Б. Киселев1

ны [13]

(1)

or - ов = -Yo + 2 n(è R - £в ),

(2)

Киселев Алексей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: akis@mech.math.msu.su.

1

дv V

где V — радиальная скорость; = ев = — — радиальная и кольцевая скорости деформации соответственно; од, 00 — радиальное и кольцевое напряжения соответственно.

Условие несжимаемости материала ёд + 2ё$ = 0 дает уравнение для отыскания распределения скоростей в оболочке:

дь V

решение которого имеет следующий вид:

С(*) ,л\

V = (4)

где С(£) ^ 0, поскольку происходит расширение оболочки и скорость V ^ 0. В начальный момент времени £ = 0 имеем С(0) = УоЕ2, где Уо — начальная скорость внутренней поверхности оболочки. Введем давление р = — (од + 2а$)/3. Тогда, используя соотношения (2)—(4), получим

2 С (£) 1 С (£)

о-я = -3^0- 4?7-р, ав = 3*0+ -р. (5)

Уравнение движения сферической оболочки имеет вид

^ = Ж + (6)

где ро — начальная плотность материала оболочки; точка над символом здесь и далее означает материальную производную по времени

Уравнение для плотности внутренней энергии (на единицу массы) иБр^

с учетом соотношений (3) и (5) запишется следующим образом:

V _ / V

роС/8р11 = 2Го| + 12г?(|У

К '

Заметим, что в рамках рассматриваемого приближения (несжимаемая вязкопластическая среда и адиабатический процесс) скорость изменения плотности внутренней энергии равна и8рЬ = йм/ро, где йм = ёР — так называемая механическая диссипация. В более общем случае повреждаемой термоупру-говязкопластической среды диссипация состоит из трех слагаемых: й = йм + + йт (й^ — диссипация континуального разрушения, йт —термическая диссипация [6, 8, 9]).

Скорость изменения полной внутренней энергии сферической оболочки в момент времени £

Д1

= ! 4пЕ2рой8рЬ йЕ .

До

Учитывая (4), будем иметь

= 8тгУ0С® 1п|1 + 16щС2(1) {-Щ-^} (7)

Подставив выражения (2), (4), (5) в уравнение движения (6), получим Кинетическая энергия сферической оболочки определяется следующим образом:

Я1 Я1

До До

Начальная кинетическая энергия сферической оболочки = 2тгроУоКо>

Ео Е1

В процессе расширения сферической оболочки и в момент остановки расширения Ь = ¿|рЬ вся кинетическая энергия оболочки переходит во внутреннюю энергию. В момент времени Ь (0 ^ Ь ^ ЙрЬ) выполняется закон сохранения полной энергии К8рЬ(Ь) + ЦрЬ(Ь) = К)РЬ, или

К 8рЬ(Ь) + (Ь) = 0.

(10)

Используя соотношения (7) и (9), из (10) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции С = С (Ь):

С (Ь)+ аС (Ь)+ в = 0, (11)

где

а

4г? Д2 + ДоД! + Д2 ро

КоК1

2Ко КоК1 , К1 р =----— т ■

Ро К1 — Ко Ко

Решением уравнения (11) с начальным условием С (0) = Уо Кд является

С(Ь) = (УоК02 + 7) е-а — 7,

в

где 7 = - = — а

Е?Э оЭ КоК1

1 ^ „ „ 1п-.

2г] Д? - ДЗ До

Момент остановки расширения оболочки Ь = ¿|рЬ определяется из условия С (ЙрЬ) =0 и является

решением уравнения (УоК° + 7)е

—

врЬ

7:

1, Л у>К2

7

¿8рЬ = — 1п( 1 +

5 а

Градиент давления можно найти из формулы (8):

В начальный Ь = 0 и конечный Ь = ¿|рЬ моменты времени градиенты давления следующие:

др дЯ

4=4

фЬ

2 Го | 2 Го ДрД! ь Д! К К2 К1 — Ко Ко' дК

4=о

др дЯ

г=г\

рЬ

, 4п КО + КоК1 + КО т_

+ — -^о- П)-

К2

КО

По внутренней энергии в момент остановки расширения оболочки ЦрЬ(ЙрЬ) определим среднее значение приращения температуры в оболочке:

ДТ 8рЬ(Ь8рЬ) =

УОКЭ

2 К1(К2 + КоК1 + К2)е'

Здесь с — удельная теплоемкость материала оболочки.

Максимальной величины начальная кинетическая энергия сферической оболочки при фиксированном внешнем радиусе К1 и начальной скорости Уо достигает при соотношении радиусов оболочки Ко =

0,75К1: (КорЬ)тах = 0,5проУо2КЭ.

Отсчитывая деформации от начального состояния Ь = 0, найдем деформации оболочки в момент остановки движения Ь = ¿|рЬ:

¿

ярЬ в

аКЭ

7

¿

ярЬ Я

= -2^

ярЬ в.

Радиусы внутренней и внешней поверхностей оболочки в момент остановки движения равны следующим величинам:

1 -,2 _ , Уок2

т(Ко,ЬрЬ) = Ко т(КьСЬ) = К1

1 +

1 +

аКЭ

аКЭ

УоК2 — 71п 1 +

УоК2 — 71п 1 +

7

УоЩ

7

в

8

3

1

1

2. Расширение цилиндрической оболочки. Рассмотрим теперь цилиндрическую оболочку, имеющую в начальный момент времени £ = 0 внутренний радиус Ео и внешний радиус Е\. В момент времени £ > 0 внутренний радиус го = г(Ео,£), внешний радиус т\ = г(Е1,£).

Для решения задачи расширения цилиндрической оболочки примем те же упрощающие предположения 1-4, что и в случае сферической оболочки.

В силу сделанных предположений и условия, что перемещения точек оболочки вдоль оси симметрии г отсутствуют, т.е. скорость деформации ёг = 0, уравнения (1) сводятся к уравнениям

о я = Уо + 2т]ёк -р, (тв = Уо + 2г]ёв - р. (12)

Здесь р = — (о я + 00 + )/3 — давление.

Условие несжимаемости среды ёг + ёа = 0 дает уравнение для отыскания распределения скоростей в оболочке

дv V

М + к = °>

решение которого имеет вид

» = (13)

где В (£) ^ 0, поскольку происходит расширение оболочки и скорость V ^ 0.

Используя (13), выражения для напряжений (12) представим следующим образом:

0п = -^=Уо~2г,^-р, 0в = ±Уо + 2г,^>-р. (14)

Уравнение движения цилиндрической оболочки таково:

доЯ . °я — о0

= (15)

Уравнение для плотности внутренней энергии ису1 (на единицу массы)

/тгУ1 дv У

с учетом соотношений (13), (14) примет следующий вид:

(16)

Скорость изменения полной внутренней энергии цилиндрической оболочки на единицу ее длины й^У1 в момент времени £ такова:

Д1

й^ = 12пЕройсу1 йЕ.

£

До

Учитывая (16), находим

О-с/ = % УоВ(1) 1п|1+ 4тг" -щ ) • (17)

Подставив выражения (13), (14) в уравнение движения (15), получим следующее уравнение:

др р0 ит 2 ¥°

дк = -кт~ (18)

Кинетическая энергия на единицу длины цилиндрической оболочки определяется таким образом:

я1 я1

Ксу1 = 1/ 2ттКр0У2 (Ж = про I К (Ж = ттр0В2^) 1п (19)

2 J ] Е Ео

до до

Начальная кинетическая энергия цилиндрической оболочки Кду1 = ттроУоЯо 1п -тт-

о о о Ео

В процессе расширения цилиндрической оболочки и в момент остановки расширения Ь = вся кинетическая энергия оболочки переходит во внутреннюю энергию. В момент времени Ь (0 ^ Ь ^ ) выполняется закон сохранения полной энергии Ксу1 (Ь) + и^ = Коу1, или

К су1(Ь) + Ц^1 (Ь) = 0. (20)

Используя соотношения (17) и (19), из (20) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции В = В(Ь):

В (Ь) + аВ (Ь) + /5 = 0, (21)

2пК1 — К2Д КЛ —1 5 2Го

где

" = — ( 1п 1Г ) > р= г ■

ро К1П\ \ По) лДро

Решением уравнения (21) с начальным условием В (0) = Уо Ко является

В(Ь) = (УоКо + 7)ё—— 7,

в 1о К2К1 , К1 где 7 = — = —=--~-~ 1п —.

' а л/3 г}П\-П2о Ко

Момент остановки расширения цилиндрической оболочки Ь = ¿су1 определяется из условия В(ЬСу1) = 0

_ -,еу1 _

и является решением уравнения (УоКо + 7)е—' = 7:

Градиент давления можно найти из формулы (18):

дР 2*о , ^ Ро пг п , —а

Узд Я

В начальный Ь = 0 и конечный Ь = ¿5у1 моменты времени градиенты давления следующие:

др дЯ

2у ял-1 др

По внутренней энергии в момент остановки расширения цилиндрической оболочки Ц^1 (Ь«у1) найдем среднее значение приращения температуры в оболочке:

т/2 К2 К

Здесь с — удельная теплоемкость материала оболочки.

Максимальной величины начальная кинетическая энергия цилиндрической оболочки при фиксированном внешнем радиусе К\ достигает при Ко = Я\/л/ё ~ 0,6065^1: (-?^оУ1)тах = ^ ^Ро^о-^-о-

Отсчитывая деформации от начального состояния Ь = 0, найдем деформации цилиндрической оболочки в момент остановки движения Ь = Йу1:

Радиусы внутренней и внешней поверхностей оболочки в момент остановки движения равны следующим величинам:

r(Ro,tSyl) = Ro r(Ri,t^yl) = Ri

1 +

1 +

aR2

aR2

Замечания. Легко заметить, что полученные решения могут быть использованы и для случая сжатия оболочек, когда Уо < 0. Для этого достаточно во всех формулах начиная с (2) заменить Уо на (—Уо).

Отметим, что, поскольку из условия несжимаемости материала оболочек определяются распределения скоростей в них, в том числе и на граничных поверхностях Е = Ео, Е = Е1 (формулы (4) и (13) для сферической и цилиндрической оболочек соответственно), т.е. имеют место кинематические граничные условия, другие граничные условия, например свободной поверхности, в данной постановке для рассмотренных выше задач не могут быть реализованы.

3. Заключение. Получены точные решения одномерных задач расширения (и сжатия) сферических и цилиндрических оболочек из несжимаемого вязкопластического материала. Данные решения могут использоваться для расчета параметров напряженно-деформированного состояния конструкций, их разогрева, для оценки вклада вязкости в диссипацию энергии и момента начала разрушения (естественно, следует выбрать критерий разрушения, например по растягивающим деформациям или по предельной удельной диссипации [6]). Также решения могут применяться для тестирования программ численного расчета и оценки эффективности новых численных методов аналогично тому, как это было сделано в работе [14], в которой использовалось точное решение, полученное в [1].

Автор приносит благодарность профессору И.А. Кийко за полезные замечания по данной статье.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 09-01-00144а, 12-01-00425а).

1

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Verney D. Evaluation de la limite elastique du cuivre et de l'uranium par des experiences d'implosion "lente" ^ Behavior of Dense Media under High Dynamic Pressures. Simposium H.D.P. N.Y.: Gordon and Breach, 1968. 293.

2. Григорьев В.Г., Дунин С.З., Сурков В.В. Захлопывание сферической поры в вязкопластическом материале ^ Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1981. № 1. 199-201.

3. Голубев В.К. О расширении пор в пластических металлах при отколах У У Прикл. механ. и техн. физ. 1983. № 6. 159-165.

4. Галиев Ш.У. Нелинейные волны в ограниченных сплошных средах. Киев: Наукова думка, 1988.

5. Кобылкин И.Ф., Селиванов В.В., Соловьев В.С., Сысоев Н.Н. Ударные и детонационные волны. Методы исследования. 2-е изд. М.: Физматлит, 2004.

6. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругопластической среды ^ Прикл. механ. и техн. физ. 1990. № 5. 116-123.

T. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Численное исследование ударного сжатия микропоры в термоупруговязкопласти-ческом материале ^ Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1992. № 1. 78-83.

8. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Математическая модель деформирования и разрушения твердого топлива при ударном нагружении У У Прикл. механ. и техн. физ. 1992. № 2. 126-134.

9. Киселев А.Б. Математическое моделирование динамического деформирования и комбинированного микроразрушения термоупруговязкопластической среды У У Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 6. 32-40.

10. Киселев А.Б., Лукьянов А.А., Тьерселен М. Численное моделирование распространения криволинейных трещин гидроразрыва ^ Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 1. 36-43.

11. Киселев А.Б., Захаров П.П. Математическое моделирование процессов необратимого динамического деформирования и разрушения повреждаемых материалов и конструкций УУ Супервычисления и математическое моделирование: Тр. XII Междунар. семинара У Под ред. Р.М. Шугалиева. Саров: ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ", 2011. 202-207.

12. Киселев А.Б., Захаров П.П., Нехаева О.В. Математическое моделирование динамических процессов необратимого деформирования и разрушения повреждаемых сред. Приложения к проблемам геодинамики УУ Вестн. Нижегород. ун-та. Вып. 2. 2011. № 4. 459-461.

13. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир, 1968.

14. Howell B.P., Bally G.J. A free-Lagrange augmented Godunov method for the simulation of elastic-plastic solids ^ J. Comput. Phys. 2002. 175. 128-167.

Поступила в редакцию 27.10.2011