К исследованию фрагментации частиц космического мусора при высокоскоростном соударении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 539.3+539.4

К ИССЛЕДОВАНИЮ ФРАГМЕНТАЦИИ ЧАСТИЦ КОСМИЧЕСКОГО МУСОРА ПРИ ВЫСОКОСКОРОСТНОМ СОУДАРЕНИИ

А. Б. Киселев1, В. А. Яруничев2

Ранее первым автором была предложена математическая модель, позволяющая рассчитать число фрагментов и их распределение по массам при высокоскоростном соударении двух частиц космического мусора, а также скорость их дальнейшего полета. При этом входящие в модель константы считались не зависящими от температуры. В настоящей работе показано, что учет температурных явлений при высокоскоростном взаимодействии частиц приводит к образованию более мелких осколков и значительному росту их общего числа.

Ключевые слова: космический мусор, высокоскоростное соударение, фрагментация.

A mathematical model was previously proposed by the first author to evaluate the number of fragments and their mass distribution at high-speed collision of two space debris particles and to determine their velocities after collision. The constants used in this model are assumed to be temperature-independent. In this paper it is shown that the consideration of temperature effects due to high-speed collision of particles leads to the formation of smaller fragments and to a significant increase of their total number.

Key words: space debris, high-speed collision, fragmentation.

Проблема засорения околоземного космического пространства объектами искусственного происхождения приобрела в последние 15-20 лет особую актуальность. Количество неуправляемых техногенных тел на орбитах — так называемого космического мусора — достигло такой величины, что невозможно не считаться с реальной опасностью повреждения дорогостоящей космической техники в результате столкновений с их частицами, скорость которых может доходить до 15 км/с. Поэтому проблема исследования космического мусора стала одной из приоритетных в мировой космической науке и технике [1, 2].

Одним из направлений исследования является создание математических моделей эволюции этой составляющей окружающей среды. Для дальнейшего "наполнения" моделей необходимо, в частности, решить задачу фрагментации при столкновении двух частиц, в результате чего образуется множество более мелких, которые в свою очередь тоже могут сталкиваться друг с другом, дробясь на еще более мелкие. Это так называемая реакция саморазмножения космического мусора, приводящая к громадной концентрации частиц, при которой вывод на орбиту космических аппаратов и их дальнейшая эксплуатация становятся очень опасными. Это типичный пример экологической катастрофы, которая может произойти уже в ближайшее время даже при неизменных темпах освоения и использования космического пространства.

В работе [3] была предложена простейшая математическая модель, позволяющая рассчитать число фрагментов и их распределение по массам при высокоскоростном соударении двух частиц космического мусора, а также скорость их дальнейшего полета. При этом входящие в модель константы материалов считались не зависящими от температуры. Однако ввиду высокой скорости соударения частиц космического мусора их разогрев может быть очень значительным, что может оказать существенное влияние на характер фрагментации частиц. Изучению влияния температуры на процесс разрушения частиц и посвящена настоящая работа.

1. Постановка задачи соударения. Пусть произошло высокоскоростное соударение двух частиц с массой Ы\ и M2, векторы скоростей Vi, V2 которых в момент удара лежат в одной плоскости xy. Вектор скорости второй частицы V2 направлен по оси x. Вектор скорости первой частицы Vi в момент удара проходит через центр масс второй частицы (рис. 1). Физико-механические свойства частиц, вообще говоря,

1 Киселев Алексей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: akis@mech.math.msu.su.

2 Яруничев Валерий Андреевич — студ. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: akis2006@yandex.ru.

различны. Поскольку удар высокоскоростной, то естественно считать его неупругим. Время контакта частиц, даже в случае их отскока друг от друга после соударения, имеет порядок нескольких пробегов упругих волн по частицам. За это время произойдет их фрагментация, вызванная взаимодействием волн нагрузки и разгрузки, идущих от свободных поверхностей частиц (естественно, если скорости соударения достаточно велики для их разрушения). Поэтому будем считать удар абсолютно неупругим. Это означает, что в момент удара частицы мгновенно изменяют свои скорости Vi и V2 на общую скорость V, которая рассчитывается из закона сохранения импульса:

M1V1 + M2 V2 = M V, M = M1 + M2. В проекциях на оси координат xy (рис. 1) имеем

( Mi Vi cos ф + M2V2 = MVX, [Mi Vi sin ф = MVy,

откуда получаем

V = \ Mf\'f + 2M]M>\]\'> cos tp + Л/.7 Г/. (1)

Рис. 1

До соударения частицы обладали только кинетической энергией ШхУ^/2, У2 /2, а после взаимодействия они приобретают и внутреннюю энергию и, и2. Из закона сохранения энергии

MiV?

1 .

MV2

+ U, U = U i + U2

найдем величину U:

U=

M iM2

2(Mi + M2)

[V2 + V22 - 2 Vi V2 cos ф]

(2)

Примем, что внутренняя энергия распределена по частицам равномерно [3]. Тогда можно ввести плотность внутренней энергии и и записать: и = Ши, = Ш\и, и = Ш2и, и 1 = и, щ = и. В свою очередь внутренние энергии и, и2 слагаются из упругих энергий Е\ = Ш\в 1, Е2 = Ш2в2 и неупругих энергий (диссипаций) Б1 = Ш\1 1, Б2 = Ш2^2:

и = Ех + Б1, и2 = Е2 + Б2, и 1 = е 1 + I 1, и2 = в2 + (2.

Однако доля упругой энергии во внутренней энергии одной частицы, вообще говоря, не равна соответствующей доле для другой частицы ввиду различных физико-механических свойств материалов частиц.

После соударения в результате сложных термомеханических волновых процессов необратимого деформирования и микроразрушения, детальное описание которых мы оставляем без рассмотрения, частицы полностью разрушаются, т.е. распадаются на отдельные фрагменты. В качестве критерия макроразрушения примем энтропийный критерий предельной удельной диссипации: I ^ I*, где I* — предельная удельная диссипация, определяемая экспериментально (как правило, из задачи откольного разрушения при плоском соударении тонких пластин) [4, 5]. Тогда можно считать, что в момент разрушения частиц выполняются равенства 11 = I*, 12 = 12 и константы I* и 12 для материалов частиц известны.

Теперь найдем упругую энергию частиц:

M

El = 1±U -М^, Е2

М2

М

U - M2d*2.

Часть упругой энергии Е1, Е2, образовавшаяся в частицах после удара, пойдет на разрушение частиц (создание новых свободных поверхностей). Пусть доля упругой энергии, затрачиваемая на разрушение, для частиц одинакова и равна к. Тогда энергия Е\, Е£, идущая на разрушение частиц, рассчитывается по формулам

Е( = кЕ 1, = кЕ2 (0 <к < 1).

В случае к = 1 вся упругая энергия расходуется на разрушение.

Если оказывается, что внутренняя энергия частицы а (а = 1, 2) такова, что иа < Шато разрушения частицы не происходит.

2

2

Итак, в результате сделанных выше упрощающих предположений мы знаем энергии Е[ и Е^ , которые расходуются на фрагментацию частиц. Перейдем теперь к расчету числа фрагментов и распределения их по массам.

2. Расчет числа фрагментов. Число фрагментов, на которое распадается каждая частица, находится, как и в моделях фрагментации тонкостенных конструкций [6-8], из уравнения баланса упругой энергии, расходуемой на разрушение (Е^, ) и работу по отрыву или сдвигу материала. Для описания распределения фрагментов по массе воспользуемся распределением Вейбулла [9], которое является частным случаем общих вероятностных представлений:

N(< m) = N0

1 -expj -( —

m

(3)

Здесь N(< т) — число осколков с массой, меньшей т; N0 — полное число осколков; т* — характеристическая масса распределения; Л > 0 — показатель качества дробления (при увеличении Л спектр осколков становится более однородным). Число фрагментов с массами т' ^ т ^ т" составляет

N (m' ^ m ^ m") = N0

exp

m

m

exp

m'

m

//\ л

Предположим, что из всего спектра фрагментов частицы а (а = 1, 2) с массами ma, 0 < ma < Ma можно выделить Ka ансамблей фрагментов с массами mЦ, m%, ■ ■■, mK , такими, что

mmin <ml <m2 < ■ ■ ■< mKa < mr

где т^щ и т^ах — некоторые предельные минимальная и максимальная массы осколков. И пусть в ансамбль фрагментов с массой т" попали все фрагменты с массами л/^ та ^ ^т^т^, в ансамбль фрагментов с массой т2 — фрагменты с массами ^ та ^ у^

до ансамбля фрагментов с массой в который попали осколки с массами ^/ш'

л/ткат°

т^тп" и так далее

Ka-lmK,

< ma ^

Вместо распределения (3) будем в дальнейшем использовать распределение

N(< m) = N0

1 — exp —

Ш ÎTÎ-min

m*

mr

^ m ^ mr

Тогда число фрагментов ансамбля ml (j = 1, , Ka) составит

Nl = Nol( ва — j+i), ва = exp

— m

ml

а ^ Ла min

(4)

Здесь N0* — число фрагментов частицы а (а = 1, 2) и принято, что та = т^щ, т^а+1 = т^ах.

Систему Ка уравнений (4) для расчета числа ансамблей фрагментов частицы можно дополнить следующими двумя уравнениями:

Ka

Y^ mi'Nf = Ma j=i

(5)

Ka

£

j=i

sa

7« -j-Nf = El

л

л

л

где 7а — удельная энергия, необходимая для создания единицы поверхности разрушения; за — площадь возникающей

поверхности разрушения для фрагмента та (рис. 2); е" =

еама, еа — удельная (на единицу массы) энергия, затраченная на разрушение частицы.

Уравнение (5) означает, что суммарная масса осколков частицы равна ее начальной массе Ма, а уравнение (6) означает, что часть накопленной в частице упругой энергии Еа расходуется на создание поверхностей разрушения.

Используя (5), из (6) получим

Л

ка

Е

„а

7« у - ™

= 0.

(7)

Рис. 2

Для отыскания (2Ка + 1) неизвестных ва, N " , Ма имеются только (Ка + 2) уравнения (4)—(6). Очевидно, что уравнение (7) выполняется при следующих условиях (конечно, не единственно возможных):

ва

7«у = '<е£, э = 1,2,...,Ка. (8)

Будем считать, что выполнены условия (8), поскольку их физический смысл состоит в следующем. В правой части (8) стоит упругая энергия, которая заключена внутри фрагмента с массой та и которая может расходоваться на разрушение, а в левой части (8) — половина энергии, необходимой для образования фрагмента та (рис. 2). Другая половина необходимой энергии черпается из соседних фрагментов частицы Ма, граничащих с рассматриваемой, поскольку граница за является и частью границы соседних с та фрагментов.

Теперь из уравнений (4), (5) получаем окончательно следующее решение:

ма — _

0 ~~ к

ка

Ма

= ва - 1), з = 1,2,

,Ка

(9)

£т?{ ва - о

г= 1

т.е. сначала по первой из формул (9) определяется полное число фрагментов М", а затем по остальным находится распределение фрагментов по ансамблям. Полное число фрагментов, на которое распадаются частицы в результате соударения, равно N0 = N0 + N0.

3. О выборе минимально возможной массы осколка. Принятые в модели условия (8) связывают между собой массу образовавшегося фрагмента та и площадь поверхности разрушения ва, которая является, вообще говоря, частью полной поверхности фрагмента Б" (ва/Б" = 9а, 0 < 0а ^ 1). Так как та = раАа, где ра — плотность, а Аа — объем фрагмента, то формулы (8) связывают объем Аа с поверхностью разрушения за. А поскольку массы ансамблей фрагментов та выбираются "волевым" решением, то может оказаться, что условия (8) для каких-то та не могут быть выполнены в принципе при полученной в расчете упругой энергии Еа, расходуемой на разрушение, и удельной энергии 7а, необходимой для создания единицы поверхности разрушения. Рассмотрим, какие ограничения необходимо наложить на та.

А

Введем безразмерный коэффициент формы элемента, характеризующий его компактность: kf = ^3/2 •

Очевидно, что kf изменяется в следующих пределах: 0 < Л/- ^ —= . Максимальное значение kf = —=

6уп 6уп

имеет место для сферического элемента как наиболее компактного, обладающего наименьшей поверхностью при фиксированном объеме (или наибольшим объемом при фиксированной поверхности).

Из определения коэффициента формы к/ и формул (8) следует, что (Л/)" ~ —, т.е. фрагменты

т

большей массы менее компактны, что подтверждается экспериментально.

Зная диапазон изменения коэффициента формы фрагмента kf, из (8) получаем следующие ограничения на минимально допустимую массу фрагмента:

mmin ^

9тг

Ы

7а кеа

(10)

которые необходимо учитывать при выборе ансамблей масс фрагментов ш

Отметим, что, согласно (10), с увеличением накопленной упругой энергии еа к моменту разрушения качество дробления возрастает, образуются более мелкие осколки, чего и следовало ожидать.

4. Расчет скорости разлета фрагментов. Примем, что оставшаяся часть упругой энергии про-взаимодействовавших частиц (1 — к)Еа (а = 1, 2) полностью переходит в кинетическую энергию разлета фрагментов от точки соударения (центра масс столкнувшихся частиц). То есть скорость каждого фрагмента ша в момент удара (разрушения частиц) складывается из скорости V, определяемой из уравнения (1), и скорости разлета у" от точки соударения. Для расчета имеем следующее уравнение:

Ka

(i - т = Е j=i

ma (va^2

v j J

N a

Ka

которое с учетом соотношения Ea = ea Ma = ea ^^ m™N™ можно переписать в виде

Ka

Е

оvо2

- (1 - k)ec

maNa = 0.

Последнее уравнение для Ка неизвестных va имеет частное решение

v" = \/2(1 - к)еа

(11)

отвечающее случаю, когда все фрагменты частицы а (а = 1, 2) приобретают одинаковую скорость разлета. Для простоты примем для va значение (11).

Вектор скорости фрагмента va направлен от точки соударения, и будем считать, что направление вектора этой добавочной скорости является случайной величиной для каждой из Na частиц фрагмента частицы а. Дальнейшее движение фрагментов в околоземном пространстве будет описываться классическими уравнениями механики.

5. Примеры расчетов. Рассмотрим два случая. В первом случае Ya = const, во втором случае Ya = Ya(Ta), т.е. учитывается, что в процессе взаимодействия частицы нагреваются (а = 1,2). Будем считать, что параметр Ya (удельная энергия, необходимая для создания единицы поверхности разрушения) линейно зависит от температуры Ta (рис. 3):

Ya = Y0a + (Y0a - Y*a)

Tg — Tp To — T a

где То — начальная температура, Т*а — температура плавления (заданные константы); Yоa, 1*а — соответственно начальная (Т = То) и рис з предельная (Т = Т*а) удельные энергии (заданные константы). Темпе-

ратура Та находится из формулы для плотности внутренней энергии: иа = са(Та — То), где са — теплоемкость материала (заданная константа), а и (и = и/М) — плотность внутренней энергии, определяемая из уравнения (2). Такое упрощающее предположение при расчете температуры Та приводит, конечно, к некоторому ее завышению. Однако в случае высокоскоростного соударения частиц, когда большая часть прироста внутренней энергии состоит из работы сил внутренних напряжений на пластических деформациях, диссипации континуального (рассеянного) разрушения на образование и развитие микроповреждений материала, интенсивное объемное сжатие материала, это упрощающее предположение представляется допустимым. Будем считать, что теплоемкость материалов частиц не зависит от температуры, что близко к реальности [10].

3

2

С учетом (10) в представленных ниже расчетах принято, что

« - - 1 о

ттт — п.9 1.. ) ' СИ — 1, Z,

откуда видно, что с увеличением накопленной упругой энергии еа, которая пропорциональна квадрату скорости соударения, минимально возможная масса фрагментов уменьшается пропорционально третьей степени еа.

Всего было введено К\ = К2 = 25 ансамблей фрагментов, причем та = ша-1 ■ 100'2, ] =2, 3,..., Ка;

mi = mmin • 10°'2; m^ax = m^s • 100'2 (а = 1,2

min ' '"max m25

Расчеты проведены для частиц из стали и алюминия с массами Ы\ = 2 и M2 =20 г соответственно, материалы которых обладают следующими константами [10]: р\ = 7800 кг/м3, d\ = 60 кДж/кг, 701 = 200 кДж/м2, 7*1 = 10-37°1, T*1 = 1700 K, ci = 0,45 кДж/(кг^); р2 = 2700 кг/м3, d*2 = 30 кДж/кг, 702 = 100 кДж/м2, 7*2 = 10_37°2, T*2 = 1200 K, С2 = 1,08 кДж/(кг-К). В качестве начальной температуры взято значение T° = 293 K.

Ниже представлены результаты расчетов при следующих значениях скоростей частиц до соударения Vi и V2: Vi = 10, V2 = 5 км/с. Расчеты выполнены при Л1 = 1,2; Л2 = 0,5; k = 0,5.

1) ф = 0 (удар "в догон" меньшей металлической частицей по большей алюминиевой частице). В этом варианте расчета V = 5,455 км/с и скорости разлета осколков равны vj = 986 и v2 = 1002 м/с.

В случае 7а = const получаем mmin = 1,614 • 10-2, mj = 104 • mmin, mmin = 1,537 • 10-2, m"2 = 103 • mmin мг.

Распределения числа фрагментов частиц по массе представлены на рис. 4, а, б (Nq = 13, N° = 645,

N° = 658). В случае 7а = 7a(Ta) получаем T = 344, T2 = 319 K, 71 = 193,3, 72 = 97,19 кДж/м2,

mmin = 1,457 • 10-2, m1 = 104 • mmin, mmin = 1,411 • 10-2, m2 = 103 • mmin мг. Распределения числа

фрагментов по массе представлены на рис. 4, в, г (Nq = 14, Nq = 703, N° = 717). п

2) ip = —. В этом варианте расчета V = 5,352 км/с, скорости разлета осколков v] = 1236 и гЯ =

6jj

1248 м/с. При 7а = const получаем mmin = 4,1794 • 10-3, m1 = 104 • mmin, m2min = 4,1128 • 10-3, m2 = 103 • mHin мг. Распределения числа фрагментов частиц по массе представлены на рис. 5, а, б (Nq = 50, N° = 2412, N° = 2462). При 7а = 7a(Ta) получаем T1 = 371, T2 = 332 K, 71 = 189,72 , 72 = 95,68 кДж/м2, mmin = 3,5673 • 10-3, m1 = 104 • mmin, mmin = 3,6025 • 10-3, m2 = 103 • mmin мг. Распределения числа фрагментов по массе представлены на рис. 5, в, г (Nq = 59, Nq = 2753, N° = 2812).

п

3) <р = —. В этом случае V = 5,062 км/с, скорости разлета осколков v] = 1743 и г>2 = 1752 м/с. При

3jj

7а = const получаем mmin = 5,2977 • 10-4, m1 = 104 • mmin, mmin = 4,3662 • 10-4, m"2 = 103 • m;min мг. Число фрагментов следующее: Nq = 398, Nq = 18483, N° = 18881. При 7a = 7a(Ta) получаем T1 = 444, T2 = 369 K, 71 = 179,91, 72 = 91,56 кДж/м2, mlmin = 3,8564 • 10-4, m1 = 104 • mmin, m2min = 4,1192 • 10-4,

m2 = 103 • mmin мг. Число фрагментов следующее: Nq1 = 546, Nq = 24078, N° = 24624. п

4) ip = — ("боковой" удар). В этом случае V = 4,636 км/с, скорости разлета осколков v) = 2259 и

2j

v2 = 2266 м/с. При 7а = const получаем mmin = 1,175 • 10-4, m1 = 104 • mmin, mmin = 1,1455 • 10-4, m"2 = 103 • mmin мг. Распределения числа фрагментов частиц по массе представлены на рис. 6, а, б (Nq = 1793, N02 = 86583, N° = 88376). При = 7a(Ta) получаем T1 = 545, T2 = 421 K, 71 = 166,51, 72 = 85,94 кДж/м2, mmin = 6,45-10-5, m1 = 104• mmin, 1п = 7,2698^10-5, m2 = 103mmin мг. Распределения числа фрагментов

по массе представлены на рис. 6, в, г (N1 = 3267, N°2 = 136430, N° = 139697). 2п ° °

5) Lp = —. В этом случае У = 4,166 км/с, скорости разлета осколков = 2678 и гЯ = 2684 м/с.

3 3

При 7а = const имеем mmin = 4,0323 • 10-5, m1 = 104 • mmin, mmin = 4,1542 • 10-5, m2 = 103 • mmin мг. Распределения числа фрагментов частиц по массе представлены на рис. 7, а, б (NQ = 5226, N°2 = 238750, N° = 243976). При 7а = 7«(Ta) получаем T1 = 647, T2 = 472 K, 71 = 153,13, 72 = 80,31 кДж/м2, mmin = 1,8098 • 10-5, m1 = 104 • mmin, mmin = 2,1519 • 10-5, m"2 = 103 • mmin мг. Распределения числа фрагментов по массе представлены на рис. 7, в, г (Nq = 11644, Nq = 460900, N° = 472544).

6) <р = —. В шестом варианте расчета V = 3,7855 км/с, скорости разлета осколков vj = 2947 и 6j

v2 = 2952 м/с. В случае 7а = const получаем mmin = 2,2708 • 10-5, m1 = 104 • mmin, mmin = 2,3446 • 10-5,

m2 = 103 • mmin мг. Число фрагментов: N° = 9280, N°2 = 423020, N° = 432300. При 7a = 7a(Ta) получаем T1 = 721, T2 ^ 510 K, 71 = 143,22, 72 = 76,15 кДж/м2, mmin = 8,3383 • 10-6, m1 = 104 • mmin, m2min = 1,0352 • 10-5, m2 = 103 • mmin мг. Число фрагментов: N° = 25i272, N°2 = 958080, N° = 983352.

Рис. 4

Рис. 5

7) ф = 2п ("лобовой" удар). В седьмом варианте V = 3,6364 км/с, скорости разлета осколков у1 = 3039

и v2 = 3044 м/с. При Ya = const получаем m^n = 1,8866 • 10 5, m\ = 104 • m

l

min'

mmin = 1,949 • 10

5

. 3

ш1 = 103 • ш^п мг. Распределения числа фрагментов частиц по массе представлены на рис. 8, а, б (Щ =

т2

11170, Щ = 508880, N0 = 520050). В случае Ya = Ya(Та) получаем Т = 748, Т2 = 523 К, Yl = 139,73,

Y2 = 74,68 кДж/м2

m

L„ = 6,4341 • 10"6, mi

104 • ml

m

= 8,1193 • 10"6, m2 = 103

Распределения числа фрагментов по массе представлены на рис. 8, в, г (Щ = 32752, N = 1221500, Щ0 = 1254252).

Из расчетов следует, что температуры разогрева частиц даже в случае "лобового" соударения (ско-

mmin мг.

рости частиц при этом равны 10 и 5 км/с) очень далеки от температур плавления: ** —- = 3,25;

т* 2 — Т-2 То

Т

= 2,28, т.е. частицы и их осколки остаются твердыми. Это указывает на корректность использо-

вания представленной модели фрагментации частиц, существенно использующей "твердость" частиц, при космических скоростях соударения.

Рис. 6

Рис. 7

К сожалению, ввиду практической невозможности в настоящее время определить зависимость от тем-

пературы двух других констант модели (параметров Л, ш*, входящих в функцию распределения (3)) они в расчетах считались постоянными. Их числовые значения были определены в работе [7] из экспериментов по фрагментации тонкостенных контейнеров типа топливных баков ракет [11].

Рис. 8

6. Выводы. Представленные простые модели позволяют оценить число фрагментов и их начальную скорость разлета при высокоскоростном соударении частиц космического мусора. Из расчетов следует, в частности, что при прочих равных условиях число фрагментов существенным образом зависит от скорости соударения частиц (с увеличением скорости число фрагментов быстро растет), а также от размера самих взаимодействующих частиц (более крупные частицы дробятся на более мелкие фракции), чего и следовало ожидать. Также из расчетов видно, что с учетом зависимости энергии разрушения частиц от их нагрева при остальных равных условиях качество дробления возрастает, образуются более мелкие осколки. При этом число фрагментов при "лобовом" ударе превосходит их количество в случае, когда не учитывается температура, более чем в два раза.

Тем самым теоретически показана возможность саморазмножения космического мусора при столкновении его частиц. Предложенная математическая модель фрагментации ввиду своей простоты легко может быть включена в модели эволюции и прогноза динамики космического мусора.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 06-01-00185, 09-01-00144).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Space Debris. Hazard Evaluation and Mitigation / Ed. by N.N. Smirnov. London; N.Y.: Taylor & Francis, 2002.

2. Экологические проблемы и риски воздействий ракетно-космической техники на окружающую природную среду: Справочное пособие / Под общ. ред. В.В. Адушкина, С.И. Козлова и А.В. Петрова. М.: Анкил, 2000.

3. Киселев А.Б. Модель фрагментации при высокоскоростном соударении частиц космического мусора // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 3. 50-55.

4. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругопластической среды // Прикл. механ. и техн. физ. 1990. № 5. 116-123.

5. Киселев А.Б., Юмашев М.В. О критериях динамического разрушения термоупругопластической среды // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. № 4. 38-44.

6. Киселев А.Б. Простейшие математические модели разрушения космического аппарата при взрыве // Прикл. механ. и техн. физ. 1995. № 2. 159-165.

7. Киселев А.Б. Математическое моделирование фрагментации тонкостенных сферических оболочек под действием динамического внутреннего давления // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 3. 52-60.

8. Киселев А.Б. Математическое моделирование взрывного разрушения сферических оболочек с образованием двух фракций осколков // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 2. 41-48.

9. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. М.: Наука, 1964.

10. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.

11. Fucke W. Fragmentation experiments for the evalution of the small size debris population // Proc. First Europ. Conf. on Space Debris. Darmstadt, Germany, 1993. 275-280 (ESA SD-01).

Поступила в редакцию 05.09.2007

УДК 532

ДВИЖЕНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

А. В. Звягин1, М. Н. Смирнова2

Получено аналитическое решение задачи движения тонкого твердого тела в полубесконечной области сжимаемой жидкости параллельно свободной поверхности с постоянной скоростью. Рассмотренная задача аналогична задаче о движении судна на подводных крыльях, т.е. судна, использующего устройство в форме крыла для того, чтобы поднять корпус над водой и уменьшить силы трения и сопротивления, ограничивающие скорость передвижения обычных судов. При движении в воде подводное крыло создает подъемную силу. Полученное решение позволяет определить явные выражения для силы сопротивления и подъемной силы в предельных случаях относительно малых и больших глубин. При движении на малой глубине сила сопротивления оказывается больше, чем в безграничной среде, ввиду дополнительно возникающего волнового сопротивления. При увеличении скорости и приближении ее к скорости звука действующие на тело силы неограниченно возрастают, что типично для линейной постановки.

Ключевые слова: движение тела, каверна, свободная поверхность, сжимаемая жидкость, сопротивление, подъемная сила.

An analytic solution to the problem of motion of a slender rigid body in a semi-infinite domain of a compressible fluid is obtained for the case when the body moves in parallel to the free surface at a constant velocity. This problem is similar to the problem of motion of a hydrofoil ship whose wing-like device allows it to lift its hull above the water surface and to decrease the friction and drag forces limiting the speed of usual ships. During its motion in water, a hydrofoil produces a lift force. The obtained analytic solution allows one to derive explicit expressions for the drag force and for the lift force in the limiting cases of relatively small and large depths. When depth is small, the drag force is greater than that in an infinite medium, since the wave drag is additionally evolved. When the velocity increases and approaches the sound velocity, the forces exerted on the body increase without limit, which is typical for a linear formulation of the problem.

Key words: motion of a body, cavity, free surface, compressible fluid, drag, lift force.

Введение. Задача глиссирования тела по поверхности жидкости бесконечной и конечной глубины в линейной постановке рассматривалась в работах М.И. Гуревича, А.Р. Янпольского, М.Д. Хаскинда [1-3]. Позднее данная проблема для пластины была решена Ю.С. Чаплыгиным и А.Е. Грином [4-6] в нелинейной

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsasha@rambler.ru.

2 Смирнова Мария Николаевна — студ. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: wonrims@inbox.ru.