Численное исследование влияния давления внешней среды на динамику жидкой сферической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.52:519.6

А. В. ЗАКУРДАЕВА Е. В. РЕЗАНОВА

Алтайский государственный университет, г. Барнаул Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, г. Новосибирск

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДАВЛЕНИЯ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ НА ДИНАМИКУ ЖИДКОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

В работе изложены результаты исследования нестационарной задачи о динамике слоя вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами в сферически симметричной постановке. Предполагается, что динамика сферического слоя определяется тепловыми и инерционными факторами. Построен численный алгоритм решения задачи. Представлены результаты численных экспериментов для жидкого стекла, содержащего пузырек углекислого газа. Изучено влияние давления внешней среды на процесс формирования микробаллонов и распределение температуры в них.

Ключевые слова: сферический слой, вязкая жидкость, свободная граница, численный алгоритм, математическое моделирование, теплоперенос. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №14-08-00163) и Минобр-науки России (идентификатор проекта RFMEFI61314X0011).

Введение. Интерес к исследованию динамики сферических слоев жидкостей связан с задачами формирования микробаллонов и с необходимостью исследования свойств новых материалов. Микросферы, или микробаллоны, применяются, например, как сенсибилизаторы эмульсионных взрывчатых веществ или в качестве элементов сферопласта — композитного материала, состоящего из определенного типа смолы с внедренными в нее полыми микросферами из стекла [1, 2]. Построению математической модели динамики сферического слоя жидкости, содержащего газовый пузырек, посвящены работы [3 — 5]. В [3] была доказана разрешимость задачи в полной постановке в малом по времени. В [4] построен численный алгоритм решения задачи при условии, что преобладающее влияние на динамику оболочки оказывает процесс диффузии (диффузионное приближение), а в работе [5] приведено подробное доказательство теорем существования и единственности гладкого решения для тепловой задачи.

Данная работа посвящена численному исследованию динамики сферического слоя вязкой несжимаемой жидкости, содержащего внутри себя газовый пузырек, и распределения температуры в нем в зависимости от различных значений давления внешней среды. Предполагается, что газ нерастворим в жидкости, учитывается зависимость от температуры коэффициентов вязкости и температуропроводности. В качестве математической модели, описывающей процессы внутри жидкости, используются уравнения Навье —Стокса и переноса тепла, внутри газового пузырька выполняется

уравнение Менделеева — Клапейрона, связывающее давление, плотность и абсолютную температуру [3-6].

Постановка задачи. Пусть вязкая несжимаемая жидкость заполняет сферический слой < г < Я2(Г) с внутренней свободной поверхностью г = Я1(Г) и внешней свободной поверхностью г = Я2(Г). Задача рассматривается в условиях кратковременной невесомости, что позволяет изучать динамику слоя в случае сферической симметрии. Таким образом, только радиальная компонента скорости жидкости отлична от нуля, и все физические величины зависят от расстояния от начала координат и изменяются со временем.

В ходе решения задачи определяются положения свободных границ Я1(Г) и Я2(Г), радиальная скорость жидкости и(Г, г), температура Т(/, г). Введем характерные величины: и* — характерная скорость, Г* — характерное время процесса, г, — характерный радиус (г* = ии,), Т, — характерная температура, Р* — характерное давление, V* — характерное значение кинематической вязкости (у,=у(Т*)), г* — характерное поверхностное натяжение (г* = г(Т*)), х* — характерное значение коэффициента температуропроводности (х* = х(Т*)), к* — характерное значение коэффициента теплопропрово-дности, р* = р — характерная плотность (плотность жидкости). Пусть при этом выполняется соотношение х* = к*( рс1), где с1 — теплоемкость жидкости.

Тогда систему уравнений Навье — Стокса и уравнение переноса тепла в области Я1(Г) < г < Я2(Г) в безразмерном виде можно записать следующим образом [4, 7]:

Т¥ = 1 у2 (р2 + Я^Щ + Я2) +

Тг 2

+ Яе -1

Р/ - Рш - 2Б*т(Т)

Я1Я2 я + Я2

Я1Я2

Я1Я

Я2 - Я1

- — у(Т )У Яе

Я1 + Я2Я22+Я2 , г > 0.

Я12Я22

(1)

V (0) = Уо,

Т +

У дТ

г дг Ре дг

1 "-2 д (г2Х(Т)^).

дг '

(2)

Здесь (1) — это следствие системы уравнений Навье — Стокса и динамических условий [6], а (2) — уравнение переноса тепла после перехода от радиальной скорости жидкости и(г, г) к скорости изменения объема оболочки V(г) = г2и(г, г). Введены обо-

г„и* г,и„

значения: Яе =--число Рейнольдса, Ре =- —

V / _

число Пекле, Р„ = Р„ ■ Б, Рп = Руп ■ Б, Бг = Бг ■ Б, где Р„

с,

Б =

г,Р, ру,и,

давление в газе и внешнее, а Бг =-.

г,Р,

4

т = -к- Я130 • 0 — масса газа в пузырьке, где р0 —

плотность газа в начальный момент времени.

Формулы (4) и (7) представляют собой кинематические условия. Соотношение (5) определяет условие непрерывности температуры при переходе через внутреннюю границу слоя г = Я1(г), а равенство (6) выражает баланс энергии на ней без учета энергии выхода. Тепаообмен с внешней средой задается с помощью условия первого рода (8) на границе г = Я2(г). Функция Туп(г) будет определена далее.

Начальные значения искомых функций определяются следующим образом:

Я1о = Я1(0) < г < Яб(0) = Ябо,

Т(00)=Т/0, V(0) = К, Т(0,г) = Т(г). (9)

Схема численного решения. Переход на новый временной слой гк+1 начинается решения задачи Коши для Як+1 , V к методом Рунге —Кутта четвертого порядка точности для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1), (4) (см. [8, 9]). Внешний радиус оболочки Р'к+1 вычисляется

безразмерные тарметры, а(П, у(Т), из закона сохранения объема оболочки

Х(Т) — коэффициенты поверхностного натяжения, кинематической вязкости и температуропроводности, зависящие от температуры по следующим законам, приведенным в безразмерном виде:

^(Т) = ст0 +ошТТ (аТ = сопяг,аТ < 0),

у(Т) = ^ ехр^ /Т) , х(Т) = + ХТТ . (3)

Внутри пузырька газа 0 < г < Я1(г) уравнение состояния примет следующий безразмерный вид [4]:

Яб,(г) - Я1(г) = Я^0 - Я130 (выполняется в силу кинематических условий (4), (7) на свободных границах жидкого слоя).

Плотность газа в пузырьке определяется по формуле рр+1 = т^4л(Я1+1)3 | , т — масса газа в пузыре (является константой и определяется при заданном значении р0 , т = — ж • Я10 • ре0).

На каждом временном слое осуществляется переход в фиксированную область [0, 1] с помощью новой пространственной переменной х = (г3 -р3(г))-(р20 -р30)- . В переменных (^ х) уравнение (2) приобретает вид:

Р = ЯРТ,

где Я = ЯрТ,/ Р, — безразмерный параметр, р, ,Т/ — плотность и температура газа в пузырьке, р — универсальная газовая постоянная.

На внутренней свободной границе г = Я1(г) выполняются условия:

тр _ У_ Тг ~ Я12

-Ц = ->,г > 0;Я1(0) = Р10,

Т = Т.

1 Тр ТТ 2 дТ

+ а2 — = к(Т )Я1 — +

Т

+ а, I —

Тг

Тг

Тг

ят 2± ^)

ТТ Т

+ а(Т)

дг ТЯб

Тг

На внешней свободно й границе г = Я2(г) имеем:

Тррк = }-,г > 0;Я2(0) = Яб0, Тг Я2

Т = (г).

Здесь а1 =

Р,г,и, кТ, '

дг дх

- дТ

х(г, х) ■

дх

(10)

(4)

(5)

4

где х(г, х) = ЯРе-1 (Я230 - Я^)-2 [(я230 - ЯЮ)х + я3 (г)]3Х(Т(г, х)).

Тогда начальные и граничные условия (5), (6), (8), (9) можно записать в виде:

Т(0,х) = Т0(х),Т(г,0) = Т ^(г^ = (г),

1 „ ТЯ3 ТТ —а.Ра —— + а2 — = 3 1 1 Тг Тг

3Я3

рз Яз 'К(Т) ТГ р,°) + Я20 _ Я10 Тх

Я^Т 2± (^П) ^ ТТ Т

+ а(Т)

Тр Тг

(6)

На каждом временном слое г + расчета функций Я^1 и Ук+1 будем находить распределение температуры Т"1 в оболочке, согласно неявной разностной схемы второго порядка аппроксимации по пространственной переменной [4, 9]:

(7)

(8)

715+1 грЗ 1

п - Тп _ 1

- Т5

Хп+1 —

грЗ+1 = грЗ+1 грЗ+1

~_ТП ¿п — Тп-1

А п 7

(11)

си/,

=- — безраз-

кЛ

мершю пар>аметры, сУ — теплоемкость газа при постоянном объеме, к(Т) — коэффициент тепло-проводноста, Туп — температура внешней среды,

Здесь Хп = 0,5[^(гк, хп_1) + %(гк, хп)], и введена неравномерная разностная сетка(хп),п = 1,...,N +1;кп = хп -хп1, Йп = 0,5(кп + кп+1), г5+ = г5 +т, т — шаг по времени.

Для реализации конечно-разностной схемы (11) применяется метод прогонки с параметром. В роли параметра выступает неизвестное значение

+а

к

п

ст и

температуры Т+1 при х = 0 , совпадающее с Т на каждом временном слое (в +1). Температура газа Т является неизвестной функцией времени и находится в процессе решения задачи.

Результаты исследования. В рамках данной модели проведены численные эксперименты по формированию жидкой стеклянной оболочки, содержащей углекислый газ [4]. Начальное состояние системы «газ—жидкость» характеризуется следующими размерами сферического слоя: Л10 = 0,02 см, Л20 = 0,05 см. Начальное распределение температуры полагается равным Г=1171.1К. Внешняя атмосфера разогревается по закону:

T = T +

vn vn\

T - T

vn 2_vn1

t -1

21

(t - t1),t1 < t < t2

T = T -, t > L.

vn vn 2> 2

Здесь t1 = 0 с, t2 = 0,3 с, T^ = 117Ц К, T^2 = 1673 К.

Характерные физические величины выбраны следующим образом [4, 10]: r, =0,05 см — характерное значение радиуса жидкого слоя, и* = 1 см/с — характерная скорость, T, = 1673 К — характерная температура, Р, =1013250 дин/см2 (1 атм) — характерное давление, р, = р = 2 г/см3 — характерная плотность жидкого стекла, и, = a(T,) = 280 дин/см — характерное значение поверхностного натяжения, v* =v(T,) = 36 см2/с — характерная вязкость, к, = 5,5 кал/(смсК) — характерное значение коэффициента теплопроводности, cl = 0,345 кал/(гК) — теплоемкость жидкости, cV = 0,27724 кал/(гК) — теплоемкость газа при постоянном объеме, х* = x(T) — характерное значение коэффициента температуропроводности (х* = к,( рсх) ), pg0 = 0,00092 г/см3 — значение плотности газа в начальный момент времени (см. [4]).

Коэффициенты кинематической вязкости, поверхностного натяжения и температуропроводности определяются, согласно (3) [4, 10] при следующих значениях параметров: v0 = 0,18 -10-5, vT = 13,23 и с0 = 1,299, ат =-0,299, z0 = 0,636, = 227-10-". Безразмерньге комплексы принимают следующие значения: Re и 0,0014, Pe и 0,00625, П1 и 0,0055, п = 703,65,

R п 6235, а1п 5,506, а2 и 4,8Л0-\аъ и 3,04-10~2.

Численно исследована динамика сферического слоя и процесс теплопереноса в нём при заданном внешнем тепловом режиме. Расчеты проводились для различных показателей давления внешней сре-ры (Pvn п о,03 атм и Pvn =0,1 атм).

Рис. 1 демонстрирует изменение внутреннего радиуса слоя r = R(t) при t е [0,0.5]. Увеличение внешнего давления в значительной степени сдерживает расширение слоя.

На рис. 2 изображен график распределения температуры T(t,r) в слое в момент времени t0 = 0,2 с для значений внешнего давления PvnpQ, 1 апм и Pvn =0,03 атм. При увеличении внешнего давления до 0,1 атм процесс переноса тепла в нём существенно замедляется. На рис. 3 представлено поле скорости жидкости u(t, r) в момент времени t0 = 0,2 с при значении давления внешней срpah Pvn =0,1 атм.

Заключение. В работе представлены математическая модель, алгоритм расчета и результаты численного исследования динамики жидкой сферической оболочки и процесса переноса тепла в ней.

Численные эксперименты проведены для жидкого стекла, содержащего пузырек углекислого газа. Исследовано влияние давления внешней

Рис. 1. Зависимость внутреннего радиуса оболочки от времени: для значений внешне го д авл енита Рнп =0,03атм и Рнп =0,1атм

1502 -

-----Pvn = 0,03 атм

-Pvn = 0,1 атм

0.05

-г~

0.06

I

0.07

0.08

0.09

Рис. 2. Распределение температуры в момент времени ^=0,2с:длязначений внешнего давлониз Рш =0,03атм и Pvn =0,1атм

Рис. 3. Поле скоростей (в сечении) в момент времени t0= 0,2 с: внешзге давлониз Pvn =0,1 атм

среды на динамику жидкой оболочки и распределение температуры в ней.

Авторы выражают благодарность научному руководителю О. Н. Гончаровой за постановку задачи и обсуждение результатов.

Библиографический список

1. Скорость детонации эмульсионных взрывчатых веществ с ценосферами / А. Г. Аншиц [и др.] // Физика горения и взрыва. — 2005. — Т. 41, № 5. — С. 119—127.

2. Карпов, Е. В. Деформирование и разрушение сферо-пласта в условиях малоциклового нагружения при различных температурах / Е. В. Карпов // Прикладная механика и техническая физика. — 2009. — Т. 50, № 1. — С. 197 — 204.

3. Гончарова, О. Н. Математическая модель формирования сферических оболочек в условиях кратковременной невесомости / О. Н. Гончарова // Гидродинамика быстропроте-кающих процессов. — 1987. — В. 82. — С. 66 — 79.

4. Гончарова, О. Н. Диффузионное приближение в задаче формирования сферических микробаллонов в условиях кратковременной невесомости / О. Н. Гончарова, В. В. Пухначев // Моделирование в механике. — 1990. — Т. 4 (21), № 5. — С. 83 — 95.

5. Гончарова, О. Н. Глобальная разрешимость задачи о формировании сферических микробаллонов / О. Н. Гончарова // Вычислительные методы прикладной гидродинамики. — 1993. — В. 106. — С. 36 — 48.

6. Современные математические модели конвекции / В. К. Андреев [и др.]. — М. : Физматлит, 2008. — 368 с.

7. Закурдаева, А. В. Влияние внешнего теплового режима на динамику жидкой сферической оболочки и процесс переноса тепла в ней / А. В. Закурдаева // Ломоносовские чтения на Алтае. — 2014. — Ч. 5. — С. 341—347.

8. Калиткин, Н. Н. Численный анализ / Н. Н. Калиткин, Е. А. Альшина. — М. : Леааеш1а, 2013. — 304 с.

9. Резанова, Е. В. Численное исследование динамики сферической газосодержащей оболочки / Е. В. Резанова // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2013. — № 1 (77). — С. 42 — 47.

10. Мазурин, О. В. Свойства стекол и стеклообразующих расплавов / О. В. Мазурин, М. В. Стрельцина, Т. П. Швайко-Швайковская. — Л. : Наука, 1973. — 443 с.

ЗАКУРДАЕВА Алла Витальевна, магистрант гр. 446М факультета математики и информационных технологий Алтайского государственного университета; инженер лаборатории интенсификации процессов теплообмена Института теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН. Адрес для переписки: alla2300@bk.ru РЕЗАНОВА Екатерина Валерьевна, ассистент кафедры информатики Алтайского государственного университета; инженер лаборатории интенсификации процессов теплообмена Института теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН. Адрес для переписки: katerezanova@mail.ru

Статья поступила в редакцию 15.06.2015 г. © А. В. Закурдаева, Е. В. Резанова

Книжная полка

539/Ш67

Шкутин, Л. И. Нелинейные деформации и катастрофы тонких тел : моногр. / Л. И. Шкутин ; отв. ред. В. М. Садовский ; СО РАН, Ин-т вычислит. моделирования. - Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2014. - 138 с.

Монография содержит инвариантные формулировки обобщенных математических моделей анализа нелинейных деформаций оболочко- и стержнеобразных тел с независимыми полями конечных перемещений и конечных поворотов материальных элементов. Они получены из новой инвариантной формулировки нелинейной модели Коши для трехмерного тела с явным выделением конечных локальных поворотов. Даны постановки и решения нелинейных краевых задач анализа катастрофических деформаций стержней, пластин и оболочек, которые демонстрируют прикладные возможности предложенных моделей. Монография предназначена для научных сотрудников, инженеров-конструкторов, преподавателей, аспирантов и студентов, специализирующихся в области механики деформируемого твердого тела.

532/М34

Математическое моделирование гидродинамики и теплообмена в движущихся жидкостях : моногр. / И. В. Кудинов [и др.] ; под ред. Э. М. Карташова. - СПб. : Лань, 2015. - 208 с.

Рассмотрены вопросы построения математических и компьютерных моделей трубопроводных систем различного назначения. Излагаются инженерные методы нахождения решений задач нестационарной теплопроводности, позволяющие получать эффективные точные и приближенные аналитические решения. С помощью интегрального метода теплового баланса на основе введения фронта температурного возмущения и при использовании дополнительных граничных условий получены аналитические решения задач теплообмена в жидкостях, включая динамический и тепловой пограничные слои. Представлены результаты получения и анализа точных аналитических решений гиперболических уравнений, описывающих распространение гидравлической волны с конечной скоростью.

Книга может быть полезной для научно-технических работников, специализирующихся в области математики, теплофизики, а также для преподавателей и студентов технических вузов.