CC BY
99
А.П.Васильев, А.С.Павлов
УДАРНОЕ ПОВЫШЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ПРИ СХЛОПЫВАНИИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО КАВИТАЦИОННОГО ПУЗЫРЬКА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.
Рассматривается динамика кавитационного пузырька в вязкой изотермической жидкости под воздействием сил поверхностного натяжения, давления, инерции и вязкого трения . Получены расчетные соотношения для ударного повышения давления в жидкости, из которых следует, что в начальный момент времени на фронте ударной волны достигается давление более3000атм.
Уравнения динамики вязкой жидкости интегрировались численно методом Рунге-Кутта. Приводится сравнение результатов расчета с классической формулой Рэлея для времени схпопывания сферической полости в идеальной жидкости. Библ. 5, рис. 4.
Явление кавитации вот уже более ста лет привлекает неослабевающий интерес инженеров различных отраслей техники. С одной стороны, это связано со сложным характером физико-гидродинамических процессов, сопровождающих кавитацию, а с другой, - потребностью конструкторов в рациональном проектировании гидрооборудования [1]. В частности, особый интерес представляет защита элементов проточной части гидроагрегатов от кавитационной эрозии, а также различных кавитирующих поверхностей, например, гребных винтов.
Механизм кавитационной эрозии в настоящее время объясняют образованием в месте схлопнувшегося пузырька некоторого макрообъема, в котором в результате гидравлического удара кинетическая энергия жидкости перешла в упругую потенциальную энергию. Возникшая из-за этого неравновесная структура порождает ударную волну, взаимодействие которой с элементами конструкции гидроагрегата и приводит к выщербливанию металла, т.е. кавитационной эрозии [2].
Центральным вопросом в этой схеме кавитационной эрозии является определение ударного давления в жидкости в момент исчезновения парового пузырька.
Необходимо отметить, что гидродинамическая задача о схлопывании пузырька пара неоднократно рассматривалась различными авторами в рамках тех или иных допущений [3]. Классическим результатом в этой проблеме считается уравнение Рэлея и его решение для схлопывающейся в идеальной жидкости сферической полости:
Т =13 — а0В(5Д) , 3 у 2 Ар 0 6 2
(1)
лости, г^ - плотность жидкости, Вр- неравновесный перепад давлений, а0- начальныгй радиус сферыг, Б(х,у)-бета - функция.
Представляет интерес, с целью расчета ударного давления, исследование динамики кавитационного пузырька с учетом всех сил, обуславливающих его схлопывание.
Для решения указанной задачи считаем пузырек сферическим в процессе схлопывания, а поле скоростей в окружающей жидкости сфе-рически-симметричным [4].
Течение невесомой изотермической несжимаемой жидкости описывается обычными уравнениями неразрывности и импульсов:
V-(Р161) = 0, (2)
^ + (и1 ^ )и1 =- — ^1 +У^2 61 , (3)
81 Р1
Пар в пузырьке считается покоящимся, давление в котором однозначно определяется температурой по уравнению Клапейрона-Клаузиуса с учетом поправки на кривизну межфаз-ной границы [5], причем теплота конденсации пара не меняет температуру жидкости.
Разместив сферическую систему координат {г,^} в центре пузырька и принимая во внимание одномерность сферически-симмет-ричного поля скоростей жидкости иДг), уравнения (2) и (3) преобразуем к виду:
8и
8и
8г
1 8Р1
(г2 иг)
= 0
1 8
^ + 6^ =-^ + ^(~| Г2^ 1--иг) .
81
8г
Р1 8г
8иг
8г I 8г
где Т- время схлопывания сферической по-
Из уравнения неразрывности следует, что г2и=соп81=а2и1а, где а-радиус пузырька, и - скорость жидкости на межфазной границе, поэтому поле скоростей в жидкой фазе имеет вид:
, ч ^ ,а А(1)
6г (г, !) = 01а (! ^ = —^ (4)
г г
Подставляя (4) в уравнение Навье-Стокса и интегрируя его по радиусу, получим распределение давления по жидкой фазе вокруг пузырька:
Рі ^ 5 , 2 \ 1 1 4 2 1
= с + ^(а °1*)—та °1а т
Рі 51 г 2 Г4
(5)
Для нахождения постоянной интегрирования обратимся к граничным
условиям на поверхности пузырька и на бесконечности [4]:
г = а:
«а
*2а
-< =-2-
da
dt а
Рі(иа -«1а ) = Р2а (иа -«2а ) = І ; г = ю : иі = 0 , Рі = рж .
(6)
(7)
Здесь 81агг и 82агг- нормальные напряжения на межфазной границе в жидкой и паровой фазах соответственно, 8- коэффициент поверхностного натяжения, иа- скорость межфазной границы, и2а- скорость пара на межфазной границе г1=г1а и г2=г2а- плотности жидкой и паровой фаз на межфазной границе, 8- коэффициент поверхностного натяжения жидкой пленки.
Для нормальных компонент тензора поверхностных напряжений в соответствии с принятой моделью пара и жидкости можно записать:
^2га =-Р2а =-Р2(Т) = С»™! ,
СТГаГ = -Ріа + 2ті
50і,
= -Ріа - 4тг
5г Уг=а ' а
С учетом этих выражений и условий (6) и (7) из интеграла (5) получим
Ьа^-Ь=|(а2и„)! -16,2а + 2±+4„ ^ (8)
р1 81 а 2 р1а а
При равновесии пузырька пара в своей жидкости всегда существует равновесный радиус, определяемый условием равенства сил:
Р2 - Р0,^ = 2
рі р1а 0
Схлопывание пузырька начинается, когда во внешней среде появляется избыток статического давления ёрГ , который удобно выразить через скачок давления на межфазной границе
Р2а - Рю _ р2а - р0,.
Рі
Рі
§Рю
Рі
- = 2-
■^-2к-^
= 2(к - і)-
Ріа 0 Ріа 0 Ріа0
где к-параметр возмущения давления,
в дальнейшем к=сош1 Считаем, что массовый поток пара в жидкость обусловлен только его конденсацией на движущейся межфазной границе, тогда ]/г1=Ъиа, где Ъ=р2/(г1ЯтТ), Т-температура пара, Яш-удельная газовая постоянная,
Р 2а=Р 2(Т) = С0П^1.
Заменяя в уравнении (8) и1а=иа- ]/г1=иа(1-Ъ), приведем это уравнение к виду:
d2a
Р
Р2
dt2
-2
і-Р
_2________і_
Ріа2( і)і -р
а(і)
- 4пі
dі
а2 (і)
- 2(к - і)
і
Ріа(і)а0 і -р
(9)
Из этого уравнения при Ъ=п1=0 следует как частный случай уравнение Рэлея [3].
Если давление в паре р2<<рк - критического, то количеством движения за счет конденсации пара можно пренебречь в силу малости величины Ъ. Обычно эти условия имеют место во всасывающих патрубках насосов.
Уравнение (9) в силу его нелинейности может быть проинтегрировано численно, в частных случаях оно допускает аналитические решения, подобно решению Рэлея (1).
Задача Коши уравнения (9) может быть сформулирована так:
Ля
! = 0, а(0) = а0 , =- = 0а = 0, (10)
Л!
т.е. схлопывание пузырька начинается из состояния покоя.
Ниже представлены результаты численного исследования динамики кавитационного пузырька. Интегрирование уравнения (9) проводилось методом Рунге-Кутта пятого порядка точности.
На рис.1 показаны графики зависимости времени схлопывающегося пузырька от текущего радиуса для различных значений параметра возмущения давления к= {10,50,100}.
Рис. 1. Зависимость времени (мс) схлопы-вания парового пузырька от радиуса (мм) для раз-
личных значений параметра к внешнего возмущающего давления.
Пересечение графиков с осью абсцисс дает полное время схлопывания пузырька, чем больше возмущающее давление, тем меньше время схлопывания пузырька. Если при к= 10 (давление 1,5 Па) время схлопывания составляет 0,75 мс, то при к= 100 (давление 15 Па) оно снижаеся до 0,24 мс. Начальный радиус пузырька принимался равным 1 мм, а параметры воды и водяного пара соответствовали температуре 200С. Необходимо отметить, что формула Рэлея (1) дает очень близкие значение времени схлопывания лишь при к>>1, но уже при к11 расхождения начинает нарастать и при к=0.1 составляет более 20%.
На рис.2 приведены графики зависимости скорости межфазной границы от текущего значения радиуса схлопывающегося пузырька для различных значений параметра
Скорость схлопывания napoBoso пузырька
500
(С
■&
450
400
350
300
250
200
150
100
Г к := юо
1
\ к := 50
\ := ю
Y'
\\\
\Л
-
0.1 0.2
ляется термодинамически неустойчивой, поэтому наименьшим радиусом схлопывающегося пузырька следует считать не нулевой радиус, а критический.
При таком подходе были получены следующие значения скоростей схлопывания в момент исчезновения пузырька: иа={88;
2294;7622; 15911} м/с соответственно при к= {0,1; 10; 5 0; 10 0}.
При таких велинах течение жидкости становится сверхзвуковым и модель несжимаемой жидкости перестает перестает адекватно описывать реальный физический процесс.
На рис.3 приведены графики зависимости величины а2иа= А из уравнения неразрывности от текущего радиуса.
Рис.2. Зависимость скорости (м/с) схлопывания парового пузырька от текущего радиуса (мм) для различных значений параметра возмущения k.
Рисунок показывает, что весь процесс схлопывания пузырька условно можно разбить на две стадии: первая стадия 0,2aJ a(t) Ja0 характеризуется тем, что скорость межфазной границы при любом к почти линейно нарастает с уменьшением радиуса пузырька. На второй стадии 0Ja(t) J0,2a0 скорость начинает очень резко нарастать, достигая значений ~сотен и более метров в секунду.
При численном интегрировании именно этот участок приходилось проходить с очень мелким шагом по времени. Формально в точке а=0 нарушаются условия существования и единственности решения (в этой точке правая часть уравнения (9) становиться неограниченной), в связи с этим интегрирование заканчивалось не в нуле, а в точке а0/2*104.
Такой подход имеет и термодинамическое обоснование [5]. Известно, что обратный процесс- образование и рост пузырей в насыщенной жидкости - происходит не с нулевого радиуса, а с некоторого критического, равного размеру зародыша будущего пузырька. Для всех меньших радиусов двухфазная система яв-
Рис.3.
Зависимость величины А (м3/с) от радиуса пузырька (мм) для различных параметров к.
При а=0 и а=а0 это произведение обращается в ноль. Поскольку величина А определяет поле скоростей в окружающей жидкости, то вместе с А на границах интервала обратиться в ноль и скорость в жидкой фазе. Экстремальный характер зависимости А(а) показывает наличие максимума скорости в окружающей жидкости, в каждой её точке:
i2
Кинетическая энергия жидкости при этой скорости также достигает наибольшего значения:
Екин ) max = Jffc Р^ jdJdr = PPlULa*
0 0 0 2
После схлопывания пузырька кинетическая
энергия также становится равной нулю, однако, по закону сохранения энергии бесследно она не исчезает, а в результате гидравлического удара преобразуется в упругую энергию некоторого макрообъёма жидкости. Для оценки ударного повышения давления можно считать, что этим макрообъёмом является сфера У*=(4/3)ра*3. Закон Гука для изотермической сжимаемости позволяет рассчитать упругую потенциальную энергию:
ЛР (г) = Р = А(а) Р1_
’ _ Л . _ ЛІ
= _ Х^РЩх
где с- изотермический коэффициент сжимаемости, с=1пБ, Е- объёмный модуль упругости жидкости, Ртах - ударное повышение давления.
Приравнивая эти энергии, получаем нижнюю границу оценки ударного повышения давления:
(И)
Приняв допущение ,что
.. а2 _
пт — = 1 ,
г2
для верхней границы оценки ударного повышения давления получим:
ЛРУ
= (и )
шах л •
(12)
Например, для пузырька с начальным радиусом а0=1 мм, схлопывающегося при к=50 , величина А*=1,5*10-6 м3/с ( рис. 3 ), а*=0,6 мм, г1=1000 кг/м3, Е=2,25*109 1/Па, и расчет по формуле (11) дает следующее значение ударного давления: р =3,12*108 Па= 3120 атм.
г шах 7
Возникшая в результате гидравлического удара неравновесная структура порождает ударную волну, давление на фронте которой убывает по закону:
Р (г) = Р
Ауд1А/ Ашах 2 ‘
г
Уже на расстоянии 10а* от центра исчезнувшего пузырька давление на фронте резко снижается до 3 атм и становится безопасным с точки зрения кавитационной эрозии. Таким образом, наибольшим разрушающим воздействием обладают пузырьки, схлопывающиеся вблизи от кавитирующей поверхности.
Оценку ударного повышения давления при схлопывании кавитационного пузырька можно можно провести и на основе закона сохранения импульса. Действительно, в момент исчезновения пузырька выделим вокруг начала координат сферу с малым радиусом г. Внутри этой сферы жидкость покоится и давление в ней равно БР . Эту сферу окружает сферический слой толщиной Бг с движущейся жидкостью и количеством движения К1=-
4рг2г1Бги1(г). Через время - время прохождения волной расстояния Бг- это количество движения будет равно нулю К2=0. Импульс сил давления, действующих по внутренней поверхности сферического слоя за это время составит ОР=4рг2БР Приравнивая импульс
силы изменению количества движения и учитывая, что с=0г/01;, для ударного повышения давления получим известную формулу Жуковского: Бр (г)=г1си1(г). Заменяя здесь скорость по уравнению неразрывности, получим
Так для пузырька, схлопывающегося при к=50, максимальная скорость составляет иашах=7622 м/с, и эта формула приводит к такому значению ударного давления (БРу)=1,14*1010 Па=114000 атм.
УСтоль значительные расхождения в результатах по формулам (11) и (12) говорит о неполноте чисто гидродинамического описания процесса в дополнение к уже сказанному о сжимаемости жидкости. Кроме того, в формуле (12) отсутствует характерный размер области с начальным ударным давлением, поэтому ничего нельзя сказать о давлении на фронте волны, в отличие от формулы (11).
На рис.4 показаны графики зависимости всех сил, входящих в правую часть уравнения (9), от текущего радиуса пузырька.
Рис.4. Зависимость сил (Н/кг) правой части уравнения (9) от радиуса пузырька (мм).
Данные графики говорят о том, что на различных стадиях процесса вклад сил различной физической природы неодинаков.
Так, из всех сил доминирующей является силы инерции присоединенных масс (3/2)иУ а, Н/кг.
На первой стадии схлопывания пузырька все другие силы - вязкого трения, поверхностного
натяжения и давления- много меньше силы инер-циии и плавно нарастают, благодаря увеличению скорости и уменьшению радиуса пузырька На второй стадии начинает резко нарастать сила вязкого трения, пропорциональная скорости межфазной границы, а также в меньшей степени и сила поверхностного натяжения. Возможно, что из-за диссипации энергии происходит разогрев поверхностного слоя жидкости, что вызывает интенсивное испарение воды в пузырек и происходит смягчение гидравлического удара на последней стадии схлопывания пузырька.
Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что, не смотря на полученные оцен-
Список использованной литературы
1.Кнепп Р., Дейли Д., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974.
2.Емцев Б.Т. Техническая гидродинамика.М.: Машиностроение, 1987.-438 с.
3. Волновая динамика газо - и парожидкостных сред/ В.Е.Накоряков и др./ М.: Энергоатомиздат, 1990.-245 с.
4. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. т.1, т.2. М.: Наука, 1987.-464 и 359 с.
5. Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1976.-447 с.
Статья поступила в редакцию 24.11.99г.
ки ударного повышения давления в жидкости, чисто гидродинамический подход не описывает реально протекающих процессов при схлопывании кавитационного пузырька. Полную информацию о подобном процессе можно получить в рамках совокупного описания гидродинамических, тепловых и концентрационных (массовых) полей.
