CC BY
115
раздел ФИЗИКА
УДК 534.2.532
Обзор
ЭВОЛЮЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ КАВИТАЦИОННОГО ПУЗЫРЬКА ПРИ ЕГО СВЕРХСЖАТИИ
© А. А. Аганин1, М. А. Ильгамов2, Р. Т. Лэхи мл.3, Р. И. Нигматулин4, Р. П. Талейархан5, Д. Ю. Топорков1*
1 Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН Россия, Республика Татарстан, 420111 г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31.
2Институт механики Уфимского научного центра РАН Россия, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.
3Ренсселаирский политехнический институт США, Трой, Нью-Йорк, N712180.
4Институт океанологии им. П. П. Ширшова РАН Россия, 117997 г. Москва, Нахимовский пр., 36.
5Университет Пердью США, Вест Лафайет, Индиана, Ш 47907.
Рассматривается эволюция малых отклонений от сферической формы кавитационного пузырька в ходе его однократного расширения-сжатия в условиях экспериментов по ядерному излучению при акустической кавитации. В используемой математической модели поверхность пузырька представляется в виде суммы сферических гармоник (полиномов Лежандра степени п = 0, 2, 3, 4, ...), одна из которых (п = 0) соответствует сферической форме, а другие (п >2) -осесимметричным отклонениям от нее в виде соответствующей гармоники. Движение пара в пузырьке и окружающей жидкости определяется как суперпозиция сферической составляющей и ее несферического возмущения. При описании сферической составляющей движения учитываются нестационарная теплопроводность пара и жидкости, неравновесность испарения-конденсации на межфазной поверхности. Принимается во внимание, что в ходе медленного расширения и начала сжатия пузырька пар в его полости ведет себя как идеальный с давлением, близким к однородному. При этом учитывается, что вязкость жидкости весьма существенна, а ее сжимаемостью можно пренебречь. На стадии быстрого сжатия в пузырьке могут возникать ударные волны, становится существенной сжимаемость жидкости. При моделировании высокоскоростной стадии сжатия применяются реалистичные широкодиапазонные уравнения состояния. При описании несферической составляющей движения учитывается влияние вязкости жидкости, поверхностного натяжения, плотности пара в пузырьке, а также приближенно — неоднородность его давления. Получены оценки максимально возможных значений относительной амплитуды (отнесенной к начальной) малых гармонических (в виде полиномов Лежандра степени п = 2, 3, ... с длиной волны X = 2пЯ/п, где Я - радиус пузырька) искажений сферической формы пузырька в момент коллапса (момент экстремального сжатия содержимого пузырька). При этом рассматривается возможность возникновения начальных искажений сферичности пузырька в произвольный момент стадии расширения. Полученные оценки показывают, во сколько раз максимально может увеличиться амплитуда малых начальных искажений сферичности пузырька к моменту коллапса. Эти результаты представляют значительный интерес, поскольку несферичность пузырька препятствует сильному сжатию его содержимого. Приведен ряд простых аналитических формул, описывающих величину радиуса пузырька в момент максимального расширения, его изменение на стадии сжатия, эволюцию искажения сферичности пузырька при сжатии.
Ключевые слова: динамика пузырька, устойчивость сферической формы, акустическая кавитация, коллапс пузырька.
Экспериментальные свидетельства производства термоядерных нейтронов и ядер трития при ультразвуковой (с частотой f = 2104 Гц) акустической кавитации дейтерированного ацетона (С3Б60), опубликованные в работах [1-4], вызвали оживленную дискуссию. В соответствии с представления, изложенными в [5-9], в отмеченных экспериментах в фазе отрицательного акустического давления образуется сферический кластер (радиусом ЯС1« 1 см) мельчайших пузырьков размером порядка нескольких десятков нанометров, которые многократно увеличиваются до размеров Ятах « 700 мкм.
Введение
тах
Затем на последующей фазе акустической волны с увеличением давления пузырьки сжимаются, причем, особенно сильно в центральной зоне кластера (до Ятп « 25 мкм). В финальной высокоскоростной стадии сжатия внутри этих пузырьков возникает микросферические ударные волны, сходящиеся к центрам пузырьков. Амплитуда каждой такой волны по мере схождения многократно возрастает. Вследствие этого в небольшой окрестности центра пузырька радиуса 5 г ~ 102 нм в течение времени 5? ~ 10—12 с возникают состояния вещества с температурой ~ 108 К и плотностью ~ 10 г/см3. За это очень короткое время при указанных экстремаль-
* автор, ответственный за переписку
ных условиях успевают произойти ~ 10 эффективных столкновений ядер дейтерия с образованием ядер гелия и быстрых термоядерных нейтронов (2.45 МэВ) и стольких же столкновений ядер дейтерия с образованием ядер трития и протонов. В экспериментах [1-3] фиксировалось около 2-103 с-1 сфокусированных коллапсов пузырькового кластера. Если предположить, что в центральной зоне кластера находится 10-20 пузырьков, в которых в момент коллапса достигаются указанные выше термоядерные параметры, то производство термоядерных нейтронов и ядер трития будет равно около (2-4)-105 с-1, что и зафиксировано в указанных экспериментах.
В ходе обсуждений (например, в [10]) полученных в работе [1] экспериментальных данных и предложенной ее авторами их теоретической интерпретации был высказан ряд критических замечаний [1113]. Это привело к дополнительным экспериментам, уточнению теоретических представлений [2, 5-7, 9]. В частности, были проведены эксперименты [4] со смесью дейтерированного бензола (С6Б6), дейтери-рованного ацетона (С3Б60) и тетрахлорэтилена (С2С14), в которых для зарождения кавитации вместо нейтронного источника использовалась примесь урановой соли. В процессе спонтанного деления ядер урана (238и) образующиеся альфа-частицы и ядра урана (234и) разлетаются с большими скоростями. Ядра урана (234и) чрезвычайно быстро отдают свою кинетическую энергию окружающей жидкости (на интервале в несколько нанометров). Это обстоятельство и приводит к образованию в жидкости, находящейся в метастабильном состоянии под действием растягивающих напряжений, пузырьковых зародышей. Частота образования сферических пузырьковых кавитационных кластеров в экспериментах [4] была в 10-102 раз меньше (/ ~ 10-102 с-1), чем в более ранних экспериментах, в которых использовался нейтронный источник. Соответственно, и производство быстрых нейтронов и ядер трития было меньше (Р ~ 104 с-1). Полученные экспериментальные подтверждения опубликованы в работах [1416]. Было проведено сравнение амплитудных спектров импульсов (которые имеют место при нейтронной эмиссии), полученных во всех опубликованных успешных экспериментах, с результатами теоретических исследований, в которых использовались современные численные методы Монте-Карло для переноса ядерных частиц, и эти сравнения подтвердили экспериментальные результаты [17]. Во всех экспериментах коллапс именно сферического кластера, как было обнаружено, являлся ключом к достижению явления суперсжатия. Все эти результаты являются полезными и при получении теоретических оценок степени несферичности пузырька в условиях упомянутых выше экспериментов.
Настоящая работа посвящена исследованию степени искажения сферической формы пузырьков в условиях указанных экспериментов по инерци-
альному пузырьковому термояду при акустической кавитации дейтерированного ацетона [І]. Эти исследования обусловлены тем, что теоретические представления о реализации вышеописанного процесса сверхсжатия центральных объемов кавитационных пузырьков в центральной зоне пузырькового кластера основаны на гипотезе сохранения сферически симметричных (одномерных) движений, для чего необходимо сохранение сферической формы пузырьков при их сжатии. Эта гипотеза при обсуждениях также подвергалась сомнению, и не без оснований. Так, например, хорошо известно, что неустойчивость сферичности мишени при лазерном обжатии является одной из причин, препятствующих достижению высоких степеней сжатия вещества, необходимых для термоядерного синтеза [І8, І9]. Кроме того, исследования устойчивости сферической формы пузырька на режиме однопузырьковой периодической сонолюминесценции (single bubble sonoluminescence, SBSL) показывают [2G], что при амплитудах колебаний давления жидкости выше І.5-2 бар сферическая форма пузырьков, как правило, оказывается неустойчивой. В условиях же экспериментов [І] амплитуда возбуждения на фазе сжатия пузырька достигает І5 бар, а возможно, за счет кластерного эффекта, и значительно больших значений [9].
При выборе методики исследования использовался накопленный в литературе опыт изучения устойчивости сферичности пузырька на режиме SBSL [2І]. Краткий анализ устойчивости сферической формы пузырька на режиме SBSL приведен в обзоре [22]. Обзор влияния малых деформаций поверхности пузырька на проявление феномена SBSL можно найти в работе [2І]. На режиме SBSL обычно выделяют три типа неустойчивости: параметрическую, Рэлея-
Тейлора и Фарадея [2G, 23-27]. Следует отметить также неустойчивость Биркгоффа-Плессета, обусловленную уменьшением радиуса пузырька [27-33].
С учетом результатов исследований устойчивости колебаний пузырьков на режиме SBSL [2G] можно предполагать, что периодические колебания пузырьков в кластере в экспериментах [І] из-за большого акустического давления (І5 бар) невозможны. Поэтому описанный выше сценарий [І, 2, 59]) возникновения нейтронной эмиссии, скорее всего, реализуется так, что на одном акустическом цикле производство нейтронов осуществляется в результате однократного расширения-сжатия одних пузырьков, а на другом - других. Это означает, что динамика производящих нейтроны пузырьков в кластере на всех акустических циклах практически повторяется. Поэтому в настоящей работе изучается эволюция искажений сферической формы пузырька в ходе его однократного расширения-сжатия. Вследствие этого из четырех перечисленных типов неустойчивости сферической формы пузырька следует анализировать лишь влияние неустойчивостей Бирк-гоффа-Плессета и Рэлея-Тейлора.
В работе будет рассмотрено лишь линейное приближение для описания отклонения от сферической формы пузырька. При этом поверхность пузырька представляется в виде суммы поверхностных сферических гармоник [28-37]. Движение поверхности пузырька представляется в виде супер -позиции радиальной (сферической) составляющей и ее несферического возмущения.
Для описания радиальной составляющей движения на режиме 8Б8Ь используются как модель Рэлея-Плессета (жидкость слабо сжимаема, давление газа в пузырьке однородно) [38-41], так и полная гидродинамическая модель [9, 42-52]. Сравнение показывает [49], что модель Рэлея-Плессета становится неадекватной полной гидродинамической модели лишь в финальной стадии сжатия. Поэтому в настоящей работе используется подход [7, 9, 49], в котором процесс расширения-сжатия пузырька подразделяется на две стадии. В первой наиболее продолжительной низкоскоростной стадии, включающей всю фазу расширения и значительную часть фазы сжатия пузырька, жидкость возле него полагается вязкой несжимаемой, а пар в его полости - идеальным с однородным распределением давления. На завершающей фазе сжатия, когда скорости сжатия становятся сравнимыми со скоростью звука в жидкости и паре, где указанные приближения несправедливы, используется полная гидродинамическая модель как для газа, так и для жидкости. При расширении-сжатии пузырька учитываются нестационарная теплопроводность в паре и жидкости, неравновесные испарение-конденсация на межфазной поверхности. На завершающей высокоскоростной стадии сжатия применяются реалистичные уравнения состояния, построенные по экспериментальным данным [9]. Решение отыскивается численно методом Годунова [53] с применением подвижной сетки, равномерной в паре и неравномерной в жидкости (размер ячеек в жидкости увеличивается по геометрической прогрессии от поверхности пузырька). Полученный закон изменения радиуса пузырька служит в качестве входных данных для уравнений эволюции искажения его сферичности. Подобный прием для изучения устойчивости сферичности пузырька на режиме 8Б8Ь применялся в работе [25].
При описании несферической составляющей движения здесь, как и в ряде других работ [20, 22, 26, 31, 32, 54, 55], жидкость предполагается несжимаемой, а плотность содержимого пузырька однородной. Для учета влияния вязкости жидкости на эволюцию отклонения применяется способ [54]. Известны и другие методы [20, 35, 56], однако способ [54] точнее других в том смысле, что в нем учитывается нестационарный характер диффузии завихренности жидкости. Так, способ учета вязкости жидкости работы [20] получается из [54] при ряде дополнительных упрощающих предположений. В методе [54] для описания эволюции откло-
нения формы пузырька от сферической имеется обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, в свободном члене которого присутствуют интегралы от функции, характеризующей диффузию завихренности жидкости. Эта функция определяется из уравнения в частных производных с интегральным граничным условием. В отличие от других работ [55, 57] расчет диффузии завихренности производится конечно-разностным методом [58]. Решение системы уравнений находится численно методом Рунге-Кутта высокого порядка точности [59] с изменяющимся шагом по времени.
До недавнего времени влияние плотности газа на эволюцию поверхности пузырька учитывалось, как правило, только при определении радиальной (сферической) составляющей движения пузырька. В уравнениях, описывающих искажение, плотностью газа пренебрегали ввиду того, что она значительно повышается лишь в небольшом промежутке времени, включающем момент максимального сжатия пузырька. В последних работах [23-26, 6G]) представлены результаты расчета искажения на режиме SBSL, полученные с учетом влияния плотности газа непосредственно на эволюцию искажения. Наиболее предпочтительным представляется способ, описанный в [6G], где наряду с учетом плотности газа приближенно учитывается и градиент его давления при радиальном движении. Следует отметить, что при учете плотности газа влияние неустойчивости Рэлея-Тейлора, как правило, уменьшается. В настоящей работе влияние плотности пара учитывается согласно [6G].
Полученные в настоящей работе оценки степени нарастания величины максимальных искажений сферической формы пузырька к моменту экстремального сжатия пара дают возможность предполагать, что предложенное в [І, 2, 4-9] теоретическое обоснование термоядерной природы регистрируемого в экспериментах прироста нейтронов и ядер трития согласуется с анализом проявления несферичности пузырька. Для уточнения полученных оценок требуются дальнейшие исследования с использованием более точных моделей, например с применением прямого численного моделирования, как это описано в работах [6І, 62].
1. Математическая модель
1.1 Поверхность пузырька
Рассматриваются осесимметричные искажения сферичности пузырька. В этом случае уравнение поверхности пузырька в сферической системе координат г, 0, ф представляется следующим образом
r = R(t) + Ё an (t )Pn (cos 0)
n=2
Здесь t - время, R(t) - радиус сферической составляющей формы пузырька (радиус пузырька), Pn -полином Лежандра степени n, an(t) - соответствующая амплитуда. Полагается, что при всех n искажение сферичности мало
I an(t)/R(t)I = I enl << І.
С учетом этого движение жидкости и пара представляется в виде суперпозиции сферического (радиального) движения и его несферического возмущения. Ввиду малости искажений их изучение проводится отдельно для каждого en, так что уравнение поверхности пузырька принимается в виде r = Я(0[1 + еи (t) Pn(cos 0)].
1.2 Радиальная динамика Для описания радиальной составляющей движения пара и жидкости используется следующая система уравнений [9, 63]:
— (pr2) + — (pwr2) = 0, dt dr
д
.(pwr2) + (pw2r2 + pr2) = 2pr,
dt dr
A (per2) + d [wr2(pe + p)] = d (r-K dT dt dr dr ^ dr
Здесь p - плотность, w - радиальная компонента вектора скорости жидкости, p - давление, e -удельная полная энергия, T - температура, к - коэффициент теплопроводности.
Уравнения состояния жидкости и пара принимаются в виде суммы потенциальных p(p), U® и тепловых p(T), U(T) компонент давления и внутренней энергии [63]
p(p, Т) = p (p) (p)+ p(T) (Т, p), U (p, Т) =
= U (p) (p)+U (T) (Т). (2)
Процессы диссоциации и ионизации сред не учитываются, поскольку на изменение радиуса они практически не влияют в силу малости времени проявления.
Для описания p(p)(p), U (p)(p) используется обобщенный потенциал Борна-Майера [63] p(p)(p) =
Ap2/3 exp [b (1 - p-1/3)] + C pa - Kpe + A ’(p -1)^
U (p)(p) :
3А
pl 0b
exp
[b (і— p—1/3 )
(а — 1)p
С -а—1
pа 1
в—1
А" p'
p— 3p + 3ln p + - + -
2 p 2
(P — 1)pl 0
+ В,
где р^р/р^ р = р/р', р(р) = р2(ёи(р)/ёр^ Р/0 -
начальная плотность жидкости.
Тепловые компоненты р(Т), ^(Т) принимаются в
виде
р(Т) = р Г(р) и (Т), и (Т) = Су Т Теплоемкости су жидкости и пара полагаются постоянными.
Граничные условия в центре пузырька (г = 0), вдали от него (г = г^, г^ >> Я) и на межфазной границе (г = Я(0) имеют вид [9, 63]:
г = 0: ы = 0, дт = 0; г = г,х: р = рДО, Т = Т0; дг
r = R(t): R = w, + J_ = w + j ,
=pg - 4^iw; - 20,
(3)
R
dT
dr
— к ( dT g I dr
R
jl(pg), Tl
T
где р^(?) - давление жидкости вдали от пузырька,
- коэффициент вязкости жидкости, о - коэффициент поверхностного натяжения, I - теплота парообразования, ] - скорость испарения или конденсации, отнесенная к единице времени и единице поверхности. Нижние индексы I и g относятся соответственно к параметрам жидкости и газа (п^ра). Величина ] определяется выражением [9, 63]
j = а
2nR„
4
] = exp(— Q2) — Q Vn
ps (T) %pg
\
(4)
g У
Q
Здесь а' - коэффициент аккомодации, Я - газовая постоянная для пара, р5 - давление насыщения.
В системе уравнений (1) и в условиях на меж-фазной границе (3) вязкость пара не учитывается, а влияние вязкости жидкости описывается без учета ее сжимаемости и вызываемого ею изменения энергии. Анализ показывает, что эти допущения являются приемлемыми (т.к. нарушаются лишь кратковременно в финальной высокоскоростной стадии суперсжатия).
Уравнения состояния парообразного и жидкого дейтерированного ацетона (2) и функции физических параметров этих сред Ц;, о, к;, рЛ I от темпе-
ратуры Т принимаются в виде аппроксимаций [9], построенных по экспериментальным данным. Коэффициент аккомодации а выбирается равным 1 (что типично для углеводородов). Для расчета радиальной динамики пузырька используется эффективная математическая модель, в которой процесс расширения и сжатия пузырька подразделяется на две стадии [7, 9, 49]. В первой и наиболее продолжительной низкоскоростной стадии, включающей всю фазу расширения и начало фазы сжатия пузырька, применяются не сами уравнения (1)-(3), а их значительно более простые приближения. Жидкость возле пузырька в них полагается вязкой несжимаемой, а пар в его полости - идеальным с однородным распределением давления. На фазе высокоскоростного сжатия, где указанные приближения несправедливы, используется полная гидродинамическая модель (1)-(3), учитывающая сжимаемость жидкости и несовершенство пара за счет межмолекулярного взаимодействия (холодного давления) [9, 63].
p
к
g
+
1.3 Деформация пузырька
Для описания эволюции отклонения ап применяется модель [54], в которой учет влияния плотности пара производится согласно [60]:
(1 + qn )an +
R v
3 — + 2(n + 1)(n + 2) v.
R
R2
2 4v; (n2 — i)R , 1W1 R
+—d3-------------(n—1)(1—q.)— an +
R R
(5)
n(n +І)
R
vLQn (R, t) + 2vL (2n +1) а + Rp
R R 2~n n R
n +1 г Q,
Qn =
Т j ft.=j
1 R ' R
(n + 1)pg
2n + І R r
ш = o(n — 1)(n + 2)
n P/0 Р/0R
Здесь - средняя (по объему пузырька) плотность пара, полученная на основе расчетов сферического движения пузырька, v/ = M-/p/0 - кинематический коэффициент вязкости. В рамках этой модели газ предполагается гомобарическим, жидкость -вязкой несжимаемой, учитывается ее вихревое движение. В ходе всего расширения-сжатия при описании несферического возмущения предполагается p/ = p/0. Функция Qn(r, t) вводится следующим образом [54]
Vx w = Vx I X Qn (r,t)Pn (cos 0)
V n=2
где w - вектор скорости жидкости, er - единичный вектор вдоль радиальной координаты r. Функция Qn(r, t) определяется из уравнения
dQn
dt
+ Vl
n (n +1) Qn dQ
r
dr2
= G
(6)
и граничных условий
n + 1
Qn (R, t) =
(n + 2)cin — (n — 1)—an + (2n +1)Rn Тал R
Qn (», t) = G. (7)
Используемая в работе [52] модель эволюции отклонения без учета влияния плотности пара и неоднородности его давления может быть получена из уравнений (5)-(7) при qn = G.
1.4 Давление жидкости Давление жидкости вдали от пузырька pr изменяется по закону
pr = po - pa sin (Ш + ф0), (8)
где pa и ш - амплитуда и частота колебаний давления, p0 - статическое давление жидкости, ф0 - фаза колебаний давления в момент зарождения пузырькового кластера (в работе [1] - момент включения нейтронного источника). В настоящей работе, как и
[
в эксперименте [1], принимается ш = 2пх19.3 кГц, Ра = 15 бар.
Следует отметить, что при изучении динамики пузырька в кластере применяются и другие более сложные законы колебаний давления жидкости (например, в [9]). Таким способом стремятся учесть влияние других пузырьков кластера. Расчеты показывают, что замена закона (8) на закон, применяемый в [9], не приводит к значительным изменениям уровней искажений. Поэтому другие законы колебаний давления жидкости в настоящей работе не рассматриваются.
1.5 Параметры уравнений состояния
Значения параметров, входящих в уравнения состояния (2), принимались в соответствии с экспериментами [1]. В частности, для жидкой фазы:
А = 9.747-107, Ь = 19.07, а * 1, С = 0, К = 4.535-108, в = 2, А' = 0, В' = 6.048-105, су = 1516.8 Дж/(кг-К),
Г(р) = gl
g2 — gз ехр[-р/g4]— g5 ехр[—р7g6] — g7 ехр[—р7g8] +
+g9 ехр[—р—7 glo]—gll ехр[—р7 gl2]],
gl = 1.175, g2 = 0.67, gз = 0.075, g4 = 0.205, g5 = 0.11, g6 = 0.125,
gv = 0.39, ^ = 1.15, g9 = 3, glo = 0.36, = 0.045,
gl2 = 0.061,
для пара:
= 129.9 м2/(с2-К), А = 4-107, Ь = 24.028, а = 1.9394,
С = 1.7435-109, К = 1.7840-109, в = 1.9,
А' = 1014 при р > 1, А' = 0 при р < 1, В' = 6.554-105, р' = 2000 кг/м3, су = 1148.029 Дж/(кг- К),
Г(р) = 0.125.
1.6 Начальные данные
За начальный момент времени ? = 0 берется момент инициирования зародыша микропузырька, который в экспериментах [1, 2, 4-7]) наступает за 0-4 мкс до минимального значения акустического давления в (8), соответствующего ф0 = п/2, т.е. когда ргх = р0 -ра = - 14 бар. В экспериментах вследствие значительных отрицательных напряжений в жидкости зародыши микропузырьков увеличиваются до размеров Я = 200-800 мкм, после чего сжимаются. Условием реализации такого сценария является преодоление микропузырьками критического размера Ясг « 0.04 мкм, при котором их расширения из состояния покоя не происходит из-за поверхностного натяжения. В настоящей работе начальный радиус пузырька Я0 принимается равным критическому Ясг при отличной от нуля начальной скорости расширения Я0. Разнообразие возникающих в экспериментах пузырьковых зародышей, которые в процессе своего роста преодолевают критический размер, описывается вариацией начальной скорости в интервале 0 < Я0 < 30 м/с. Правая граница этого диапазона примерно равна
an +
+
0
а
r
2
скорости расширения на довольно продолжительном участке роста пузырька, где Я ~ 0.
Предполагается, что в начальный момент времени г = 0
Я = Яг Я = Яo,
0 < г < Я0: Т(г, г) = Т0, р(г, г) = р8(Т0),
Я0 < г < «>: Т(г, г) = Т0, р(г, г) = р;0, где Я0, Я0, Т0 = 273 К [1] - начальные значения радиуса пузырька, радиальной скорости и температуры жидкости и пара, р;0 = 858 кг/м3 - начальная плотность пара (этим значениям температуры и плотности жидкости соответствует давление р0 = 1 бар)-
Предполагается, что искажение сферической формы пузырька возникает на стадии расширения в момент г = г (г > 0), а до этого времени пузырек остается сферическим. Принимается, что в момент появления искажения сферичности (при г = ?°): ап (г0) = аО, ая (г0) = 0,
Я(г0)<г<-: йп(г,г0) = 0.
Для расчета уравнений (5)-(7), описывающих эволюцию искажения сферичности пузырька, момент г0 является начальным, поэтому соответствующее ему искажение будет называться начальным.
Главной целью настоящей работы является исследование эволюции искажений сферичности пузырька в процессе его расширения и последующего сжатия и, в конечном итоге, получение оценок максимально возможных искажений в момент экстремального сжатия пара в условиях экспериментов [1]. Большое внимание направлено на заключительную стадию сжатия, где значения плотности, давления и температуры пара в пузырьке становятся экстремально большими. На первый взгляд может показаться, что результатов исследования эволюции искажений лишь при нулевых начальных значениях скорости ап и завихренности Qn недостаточно для получения оценок максимально возможных искажений. Однако это не так, поскольку оценку максимальных искажений можно получить варьированием не только этих, но и других параметров. В частности, в настоящей работе в достаточно широких диапазонах варьируются такие параметры, как момент возникновения начального искажения г (меняется в пределах стадии расширения) и длина волны возмущения сферичности (номер сферической гармоники п, определяющей длину волны возмущения Хп = 2пЯ/п, меняется в интервале от 2 до 10000). Так как искажение сферичности в процессе расширения-сжатия пузырька изменяется, в основном, в режиме колебаний, то при варьировании каждого из этих параметров для величины искажения в момент экстремального сжатия пара получается довольно большое количество локальных экстремумов. Оценки максимальных искажений на приведенных рисунках получаются
огибающими таких локальных экстремумов (по
o
времени возникновения начального искажения t , по номеру гармоники n).
2. Результаты
2.1 Радиальное движение
На рис. 1 показаны зависимости pr(t) и R(t) в ходе расширения-сжатия пузырька. В моменты
max col
максимального расширения (t ) и коллапса (t ) пузырька его радиусы соответственно равны
max max col col
R = R(t ) « 457 мкм и R = R(t ) « 14 мкм. Под
моментом коллапса понимается момент экстремального сжатия пара в пузырьке, что соответствует моменту фокусировки ударной волны в центре пузырька. Радиальная динамика пузырька практически не зависит от величины начальной скорости радиального движения Ro из рассматриваемого
диапазона 0 < Ro < 30 м/с. Это объясняется тем, что
вследствие больших отрицательных напряжений в жидкости (~І4 бар) радиальная скорость, даже при близком к нулю начальном значении, очень быстро (через ~ 2 нс) становится равной ~30 м/с. В результате этого эволюция радиуса при Ro= 0.01 и 30 м/с
различается лишь на величину порядка 0.1% от максимального радиуса (соответствующие кривые на рис.1 графически совпадают).
0 10 20 ^,мкс 30
Рис. 1. Зависимость радиуса пузырька Я (сплошная линия) и давления жидкости р<*> (штриховая линия) от времени и приближенное изменение радиуса при сжатии согласно (9) (пунктирная линия). Символами «♦» и «о» отмечены соответственно значения радиуса пузырька в моменты его максимального расширения (Ятах „ 457 мкм) и коллапса (ЯСо1 ~ 14 мкм).
При численном решении задачи (1)-(8) наиболее трудоемкой частью является расчет радиальной динамики пузырька на фазе сжатия. Для упрощенного описания изменения радиуса пузырька на стадии сжатия можно воспользоваться следующими зависимостями [33, 64]
R=FT11—•- I , G<t<th; R=R11
t—t"
th <t < th +1", (9)
где
th=t 1—f—Ї" 1/2 , N 1/2 , t = Rmax f1 , t" = 2 " 3p,o(Rh)5 "
c _ 1RmaJ_ c 13prJ c 5 _ 2 pr (Rmax )3 _
2
h
c
t
t
c
Здесь и далее в упрощенных формулах pTO = const. Выражения (9) являются приближенными решениями задачи схлопывания пустой полости в невязкой несжимаемой жидкости без учета поверхностного натяжения. При их получении вместо точного выражения
R = К, R
принималось
= -(2p_/3p,0 Г (R”“/R)’ -1
R » Rex (RmaxjR) (при 0 < t < th),
R *-(2 pj 3p, 0 )1/2 (Rmax/R )”
(при th < t < th+th).
Для обеспечения непрерывности скорости сжатия
,-h max
полагалось R(t) = 0.68 R . Решение (9) при p„ = = -14 бар, что примерно соответствует среднему давлению жидкости на фазе сжатия, представлено на рис. 1 пунктирной кривой. Для приближенных оценок аппроксимация (9) может быть удовлетворительной.
Для приближенного определения максималь-
max
ного радиуса R можно воспользоваться выражением из [33], которое при ф0 = п/2 имеет следующий вид
R”
р, бар
3 pq
4np a
2
3p/c
2 pa
П-2 pj pa
-pq
10 i
; \ 7(коллапс)
■ 6Д : С
■ J 1
1 4
1 1 1 1 1
10и
0 20 40 Г, мкм 60
Рис. 2. Пространственное распределение давления в паре и жидкости в конце стадии сжатия пузырька: 1-6 - формирование и распространение сходящейся ударной волны; 7 - экстремальное сжатие пара (момент коллапса); 8 - распространение расходящейся ударной волны. Точками показана граница пузырька.
Отсюда в рассматриваемом случае следует
тах
Я = 450 мкм (в численном решении по модели настоящей работы 457 мкм).
Финальная стадия сжатия пузырька характеризуется большими радиальными скоростями движения жидкости и газа. Из-за этого в пузырьке образуется сходящаяся сферическая ударная волна. На рис. 2 показано ее формирование, распространение и фокусировка в центре пузырька и возникающая расходящаяся ударная волна. Уровень ис-
кажения формы пузырька в момент его коллапса сильно зависит от особенностей сжатия пузырька (например, его продолжительности). Поэтому для оценки уровня искажений необходим точный расчет финальной стадии сжатия пузырька и величины
со/
его радиуса в момент коллапса R .
Эволюция межфазной поверхности после достижения содержимым пузырька экстремальных значений давления и температуры является несущественной, хотя процесс сжатия пузырька еще какое-то время продолжается. Пузырек сжимается до тех пор, пока расходящаяся ударная волна не дойдет до его поверхности и не развернет ее движение. Разница между радиусами пузырька в момент достижения экстремального сжатия пара в пузырьке (Rco1) и момент достижения минимального радиуса пузырька (Rmin) незначительна (менее 5%).
Диссоциация и ионизация [9] проявляются лишь в центре пузырька в течение очень короткого промежутка времени (~0.1 нс). Вследствие этого их влияние на эволюцию формы пузырька незначительно, так что в математической модели, как уже было отмечено, они не учитываются.
Финальная стадия сжатия пузырька, в том числе и динамика волн в его полости, в значительной степени определяется массой пара, образовавшегося на стадии роста пузырька и отчасти сконденсировавшегося на межфазной поверхности в начале сжатия, когда температура пара еще ниже критической. Если процессы испарения-конденсации не учитывать, то пузырек будет оставаться пустым, а его радиус R при схлопывании будет стремиться к нулю (R ^ 0) со скоростью R ^ <^, что приведет к разрушению пузырька при сколь угодно малых начальных искажениях его сферичности в силу неограниченного роста их амплитуды.
2.2 Изменение искажения сферической формы пузырька на фазе расширения
Искажение сферичности пузырьков в кластере может возникать из-за их взаимодействия, коагуляции, в результате тепловых флуктуаций, под действием силы тяжести и т.д. Искажение сферичности пузырька характеризуется величиной £n / £°. Изменение этого параметра на фазе расширения для трех значений радиуса Ro = R(to), при котором возникает начальное возмущение сферической формы 2° (n = 2 и 10), показано на рис. 3.
Из рис. 3 следует, что на стадии расширения искажения сферичности пузырька довольно сильно уменьшаются. При этом сильнее уменьшаются те, что возникают раньше и чья длина волны Xn меньше (т.е. чей номер n больше). Так, при Ro = 0.04 мкм относительная амплитуда эллипсоидального искажения |е2 / еП | падает к концу расширения в ~ 106 раз, а при R° ~ 100 мкм - в 7 раз. Для n = 10 аналогичное уменьшение составляет ~ 1020 и 20 раз соответственно.
Поскольку |еп /е° | = |ап /а° | Я /Я, то важную роль в уменьшении искажений, возникающих при малых значениях Я°, играет увеличение Я. Так, при Я° = 0.04 мкм величина 1е2 /I понижается при
расширении в 104 раз за счет роста Я и в 102 раз за счет уменьшения амплитуды отклонения 1а21, а при Я° ~ 100 мкм - в 4.5 и 1.5 раза соответственно.
Эволюция искажения может сильно зависеть от вязкости жидкости и поверхностного натяжения. Из (5) следует, что для анализа их влияния в сопоставлении с аналогичным эффектом сил инерции радиального движения можно воспользоваться следующими числами Рейнольдса и Вебера
Re
pl о RU
We =
pl о RU2
(10)
(п + 1)(п + 2)ц; о(п + 1)(п + 2)
где и - характерная скорость. На стадии расширения удобно принять и = у/2(ра — р0)/3р;0 , что соответствует максимуму скорости расширения адиабатического пузырька при постоянном давлении жидкости р0 - ра < 0. В рассматриваемом случае кавитационного пузырька Я ^ на большей час-
ти стадии расширения за исключением финального участка, где скорость падает до нуля. При расширении пузырька влияние вязкости жидкости и поверхностного натяжения возрастает пропорционально п2 и убывает обратно пропорционально Я.
КГ 10° КГ 1 о-1 Я/Ятах]
Рис. 3. Эволюция относительного искажения еп /е°п на фазе расширения при п = 2 и 10, соответствующая трем значениям радиуса пузырька Я° = 0.04, 6, 100 мкм, при которых возникает начальное возмущение сферической формы е°п. Моменты возникновения начального возмущения отмечены точками.
Расчеты показали, что при Яе > Яесг = 10 и We > Wecг = 10 влияние вязкости жидкости и поверхностного натяжения незначительно (не превышает 15% по амплитуде колебаний искажения). Число Яесг для случаев п = 2, 10, 50 достигается при
о тах
Я /Я = 0.0045, 0.05, 1 соответственно. При расширении величина Яе оказывается примерно в два раза больше величины We, поэтому число Wecг достигается при в два раза большем радиусе, чем
Recr. Так, если в случае R = 0.04 мкм
o max Л-5\ ^
(R /R = 8.6* 10 ) при пренебрежении вязкостью и
поверхностным натяжением значение |an| при n = 2 завышается в 35 раз, то уже при R° ~ 6 мкм (R°/Rmax = 0.013) - лишь на = 1% (при n = 10 - в 1C17 и 7 раз, соответственно). Пренебрежение вязкостью и поверхностным натяжением при R° ~ 1CC мкм приводит к завышению \an\ для n = 1C лишь на 5%.
Интересно отметить, что обусловленная вязкостью завихренность жидкости не способствует, а наоборот, препятствует уменьшению искажения. Например, при R0 = C.C4 мкм без ее учета уровень искажения оказался бы заниженным в 10 раз (для n = 2) и более (для n > 2). При увеличении R0 влияние вихревого движения жидкости быстро уменьшается.
В работе [29] показано, что при равномерном расширении пузырька в невязкой несжимаемой жидкости без учета поверхностного натяжения величина an, уменьшаясь, стремится к константе. Отсюда следует, что при таком расширении \еп\ < \ г°п | R°/R. В рассматриваемом случае расширения кавитационного пузырька подобная ситуация наблюдается для низкочастотных возмущений на большей части расширения (за исключением начального и финального участков), т.к. там влиянием вязкости, поверхностного натяжения и радиального ускорения можно пренебречь. Кроме того, и на начальном, и на финальном участках расширения искажение не возрастает, поскольку от основной стадии расширения они отличаются наличием демпфирующего влияния вязкости жидкости на первом и стабилизирующего влияния отрицательного радиального ускорения на втором. Поэтому для амплитуды низкочастотных искажений оценка \еп\ < \ еП | R/R справедлива в ходе всего расширения. Отсюда следует, что она верна и для высокочастотных искажений, поскольку с ростом n возрастает демпфирующее влияние вязкости.
Влияние R0 на эволюцию искажения заметно
oo
лишь при малых R и с ростом R быстро уменьшается: при R(to) = 6 мкм разница между значениями искажения в момент максимального расширения пузырька (и коллапса) для случаев R0 = C.C1 м/с и R0 = 3C м/с оказывается менее 8% при 2 < n < 1C. В дальнейшем эволюция искажения будет рассматриваться только для случая R0 = 3C м/с.
2.3 Эволюция искажения сферичности пузырька на фазе сжатия
Эволюцию искажения на фазе сжатия пузырька характеризует рис. 4. Как видно, искажение при сжатии изменяется в виде колебаний относительно сферической формы. При n < 50, что соответствует длине волны возмущения сферичности пузырька
Хп > Я/8, на всей стадии сжатия влияние вязкости незначительно (не превышает 15% по амплитуде колебаний искажения). Влияние поверхностного натяжения также невелико. Пренебрежение им завышает период колебаний менее чем на 10% (при этом завышение амплитуды колебаний искажения к моменту коллапса составляет не более 20%). Значительно более существенное влияние оказывает радиальное ускорение Я . Так, при п = 50 пренебрежение
влиянием Я вызывает уменьшение частоты нарастающих колебаний искажения примерно в 10 раз.
160
80
0
р /р° &п' Ьп
сжатие
п = 40
%%'®п = 200
10"
101 Я/Ятах кг
Рис. 4. Эволюция относительного искажения гп /£°п на фазе сжатия, Я° = Ятах (жирные кривые; кружочком отмечен момент коллапса). Тонкими кривыми показан не зависящий от п размах возрастающих колебаний еп / е°п в приближенном решении (13) задачи о схлопывании пустого пузырька в невязкой несжимаемой жидкости при отсутствии поверхностного натяжения.
Амплитуда колебаний длинноволновых возмущений (п < 50) возрастает, практически, как в невязкой жидкости пропорционально Я-714. При этом увеличение п от 2 до 40 вызывает некоторый немонотонный (из-за изменения фазы колебаний) рост амплитуды искажения в момент коллапса.
При уменьшении длины волны возмущений сферичности Хп в области п > 50 быстро возрастает вязкое демпфирование, что приводит к уменьшению амплитуды искажения на фазе сжатия и, как следствие, в момент коллапса. Так, при п = 200 она оказывается примерно в 10 раз меньше, чем при п = 40.
2.3.1 Эволюция длинноволновых искажений (когда влияние вязкости мало)
На наиболее продолжительной начальной низкоскоростной стадии сжатия влияние сжимаемости жидкости мало, давление пара в пузырьке намного меньше давления окружающей жидкости, т. е. пузырек ведет себя как пустая полость в несжимаемой жидкости. Поэтому в случае длинноволновых искажений (п < 50) для описания эволюции е„ /£° можно
воспользоваться решением задачи о росте малых искажений сферичности пустого пузырька при его радиальном схлопывании в невязкой несжимаемой
жидкости без учета поверхностного натяжения. Точное решение этой задачи имеет вид [29]
Up 1.1 1
an i; F I ^п ’ а , о ’ 1
гуп у 3 2 п
a°° r° [ 2р
п I 3р.
о inax
1 -П)F[3-Z-1 ~z--!;1 -П|,(m
где R = R , n = (R /R) , F - гипергеометрическая функция,
^n =—~ n Zn =---------8n =—(24n - 25)1/2
jn 12 12 12
i=4—1.
В [29] получена также асимптотика для R ^ 0
RL
R
8„
(Cn COS Уп + Dn sin Уп )
где yn = 3Sn ln(R / Ro), Cn, Dn - константы.
I i i—i—i—i-1 i
1 0.1 R/Rmax 0.02
Рис. 5. Сравнение точного (11) (пунктирная линия) и приближенного (12) (тонкая сплошная линия) решений для пустого пузырька с численным решением для пузырька с паром (жирная сплошная линия). Кружочком отмечен момент коллапса, а крестиком - его аппроксимация по формуле (14). Направленные вниз заострения в областях перехода искажения через нулевое значение обусловлены применением для ie40 / е40! логарифмической шкалы.
В [33] найдено приближенное решение
£° COS yn + 5 (£° - 2tc8n ) sin yn
n •' n 12g V n c n J •' n
( R° ^ 5/4
£п “ n
1 R J
n
2 R
5
2 P,
10_
~ J
При больших n из (12) следует
e„ «80
fR°\
V R У
COS Уп .
(12)
(13)
На рис. 5 для п = 40 дается сравнение решений (11) и (12) для пустого пузырька с тем, что получается в численном решении для пузырька с паром при использовании (1)-(8). Искажение практически на всем протяжении сжатия возрастает в виде нарастающих колебаний из-за проявления неустойчивости Биркгоффа-Плессета [28-31, 33, 34, 64]). Точное
+
о
tc =
решение (11) для пустого пузырька хорошо соответствует численному решению для пузырька с паром до уменьшения радиуса пузырька примерно в 10 раз. Далее в численном решении из-за влияния пара частота нарастающих колебаний искажения уменьшается, а их амплитуда возрастает. Решение (12) удовлетворительно согласуется с точным решением для пустой полости (11), за исключением короткого начального участка сжатия, где имеет место значительное расхождение периодов колебаний.
Следует отметить, что изменение амплитуды колебаний искажения до R/Rnax « 0.1 и их частоты при 0.7 > R/Rnax > 0.1 довольно хорошо описывается и простой зависимостью (13) при всех п < 50 (рис. 4).
Решения (11)-(13) описывают сжатие пустой полости до нуля, в то время как полость с паром
col col
сжимается до R «R . Для оценки R можно использовать выражение (справедливое при гомоба-рическом адиабатическом сжатии)
pb
і
З(у-І)
(14)
_(у-1) Р«
где рь - давление газа в пузырьке в начале сжатия. Если принять давление жидкости рт = -14 бар, у = 1.4 и учесть, что рь = 0.063 бар, то (14) даст
Ясо1/ятах _ 0.0238 (на рис. 5 отмечено крестиком). Из рис. 4, 5 следует также указанная в [32-34, 64] оценка, что бурное возрастание искажения сферичности начинается, когда размер пузырька становится равным 110 ~120 части начального размера.
2.3.2 Эволюция коротковолновых искажений (когда влияние вязкости существенно)
При увеличении п в области п > 50 вязкое демпфирование и влияние поверхностного натяжения при сжатии возрастают. Для их анализа по сравнению с эффектами сил инерции радиального движения здесь также можно воспользоваться введенными выше в (10) числами Рейнольдса и Вебера. Однако теперь в качестве характерной скорости уместно принять и = у12(ра + р0)(Ятах)3/3рг0Я3 , что
получается из выражения полной энергии свободных незатухающих радиальных колебаний сферического адиабатического пузырька в диапазоне от Ясо1 до Ятса. Следует также отметить, что при сжатии, в отличие от расширения, числа Ие и We изменяются (увеличиваются) и из-за зависимости коэффициентов вязкости р и поверхностного натяжения а от растущей температуры на межфазной поверхности.
На стадии сжатия пузырька, как и при его расширении, влияние вязкости жидкости и поверхностного натяжения возрастает пропорционально п2. При этом в ходе сжатия, в отличие от фазы расширения, влияние вязкости жидкости убывает пропорционально Я0.5, а поверхностного натяжения -Я2. Расчеты показывают, что на отрезках сжатия, где Ие > Иесг « 10, влияние вязкости жидкости не-
значительно, а где We > Wecr« 10 - незначителен эффект поверхностного натяжения.
Амплитуда искажений на отрезках, где
Ие > Иесг, нарастает в режиме колебаний. Так, в рассмотренном выше случае п < 50 область с Ие > Иесг (наряду с We > Wecr) включает всю стадию сжатия, а при п > 50 только ее часть. С уменьшением числа Ие от Иесг до Ие « 1 скорость роста амплитуды колебаний падает до нуля, а при Ие < 1 колебания становятся затухающими. В частности, при сжатии пузырька в случае п = 300 (рис. 6) амплитуда колебаний искажения сначала (при
0.33 < Я/Ятах < 1, где Ие < 1) уменьшается, затем (при Я/Ята < 0.33, где Ие > 1) постепенно начинает расти, так что с некоторого радиуса (при
Я/Ята < 0.1, где Ие > Иесг) она увеличивается практически аналогично невязкому случаю.
Отметим, что без учета вязкости амплитуда колебаний искажения при п = 300 растет по степенному закону, однако несколько быстрее зависимости (Я/Ятах)-5/4, что поясняется в разделе 2.3.4.
| I I I—I—г-
1 0.1 К/Я""" 0.02
Рис. 6. Эволюция относительного искажения при сжатии пузырька с учетом (сплошная кривая) и без учета (штриховая кривая) вязкости жидкости (Я°= Ятах). Тонкая прямая линия - зависимость (Я/Ятах)-5/4. Кружочком отмечен момент коллапса, точками 1-3 - моменты, когда Яе = 0.326 (1), Яе = 1 (2), Яе = Яесг ^ 10 (3).
Влияние поверхностного натяжения с уменьшением We в области We < Wecr возрастает. Проявляется оно в первую очередь в уменьшении периода колебаний искажения, слабо влияя на их амплитуду. В частности, при пренебрежении поверхностным натяжением завышение величины периода колебаний достигает 30% при We = 1 и ~3 раз при We = 0.1.
Влияние вязкости жидкости при сжатии пузырька на величину амплитуды искажений его сферичности в момент коллапса I ес°1I в зависимости от
длины волны искажений на интервале 2 < п < 10000 характеризует рис. 7. На этом рисунке даны зависимости I 8со1 /8° I от номера гармоники п с учетом и
o nax
без учета вязкости жидкости в случае R /R = 1. Здесь под £c°l понимается максимальное искажение в процессе сжатия, которое обычно достигается либо в момент коллапса, либо незадолго до него. В силу колебаний £п в процессе сжатия зависимости
| £c°l /8П | от п также имеют колебательный характер. В настоящей работе начальная скорость изме-
• о
нения амплитуды отклонения ап всегда равна нулю. В реальности же она может быть и ненулевой, что, естественно, нужно учитывать. Вариация начальной скорости ai0n привела бы к изменению амплитуды искажения в момент коллапса |£“l |. Расчеты показали, что в качестве аппроксимации зависимости max |e“l / £° | (максимальных значений
/£п |, реализующихся при вариации ai°n) от п можно использовать огибающую функции |£“l / £0п | от п, полученной при а0 = 0. Такие огибающие и метод их построения показаны на рис. 7.
2 101 102 103 п юг
0'со/ Оо
Рис. 7. Огибающие зависимостей 18п / 8п | от п, полученных с учетом (жирная сплошная линия) и без учета (жирная штриховая линия) вязкости жидкости при Я°/Ятах = 1 (фрагменты соответствующих зависимостей показаны тонкими штриховой и сплошной линиями). В начале сжатия (Я = Ятах) при п = 2, 20, 40 (отмечены точками) Ие = 2470, 64, 17 и We = 1312, 34, 9, соответственно.
При учете вязкости жидкости амплитуда возмущения в момент коллапса 18с°11 с увеличением п
сначала немного возрастает, а затем, после п ~ 40, быстро понижается. Если же вязкость жидкости не учитывать, то величина |£п°г / £о I с увеличением п
неограниченно нарастает. Отсюда следует, что с ростом п критическое для целостности пузырька значение | £со11 = 1 (в линейном анализе обычно
1 п
принимается, что при | £с°11 > 1 пузырек разрушает-
ся [20]) будет достигаться при все меньших значениях начального возмущения i £сп! (при i £сп! ^ 0).
Таким образом, в сохранении формы пузырька при сжатии близкой к сферической вязкость жидкости играет важнейшую роль.
В разделе 2.3.3 будет показано, что рост |£“l / £П | при невязкой жидкости не является следствием неустойчивости Рэлея-Тейлора. Причины этого роста будут приведены в разделе 2.3.4.
2.3.3 Влияние плотности пара
Как видно из уравнения (5), описывающего эволюцию отклонения формы пузырька от сферической, влияние плотности пара на искажение сферичности пузырька регулируется параметром qn = (п +1)pj(пp10) (а точнее его величиной по
сравнению с единицей). При расширении пузырька плотность пара значительно меньше плотности жидкости (qn<<1). Поэтому ее влияние при расширении несущественно.
Влияние плотности пара в ходе сжатия пузырька иллюстрирует рис. 8. На этом рисунке приведены решения с учетом (qn ф 0) и без учета
о nax
(qn = 0) плотности пара (n = 100, R = R ). На стадии сжатия эволюция искажения во многом определяется радиальным ускорением R (его изменение показано в верхней части рисунка). Влияние R, как видно из (5), регулируется стоящим перед ним сомножителем (1 - qn). При (1 - qn) R < 0 радиальное ускорение сдерживает рост искажения (подобно поверхностному натяжению), а при (1 -
qn) R > 0, наоборот, способствует его увеличению.
10° 10"1 R/Rmax КГ
Рис. 8. Эволюция | £п / є° | при сжатии (п = 100, Л° = лтах) с учетом (жирная сплошная линия) и без учета (пунктирная линия) плотности пара и изменение
радиального ускорения Л (тонкая сплошная линия). Символами отмечены момент смены знака разности 1 - Чп (•) и момент коллапса (о).
Рис. 9. Эволюция | £п /£п | для п = 40 (толстая штриховая линия), 10000 (толстая сплошная линия) при = 0.
Для п = 10000 при Я/Ятах > 0.12 вместо эволюции искажения | £п /£° | показано изменение амплитуды его колебаний;
■~>max\-5/4
тонкая пунктирная линия - аппроксимация изменения амплитуды колебаний | єп / £п | законом (Л/Лтах)
тонкая сплошная - законом (Л/Лтах)-7/4.
В начале сжатия плотность жидкости значительно выше плотности пара ^п << 1), поэтому влиянием плотности пара можно пренебречь. В финальной стадии сжатия плотность пара сильно возрастает, в результате чего разность 1 - дп меняет знак. Однако эта смена знака происходит практически одновременно со сменой знака ускорением Я, поэтому знак произведения (1 - qn) Я сохраняется, так что в конце сжатия неустойчивость Рэлея-Тейлора не возникает: воздействие положительного радиального ускорения Я на сферичность пузырька здесь также оказывается стабилизирующим.
Если же влияние плотности пара не учитывать ^п = 0), то в конце сжатия, где Я > 0, возникает неустойчивость Рэлея-Тейлора. Этим и объясняется имеющийся на рис. 8 при qn = 0 всплеск искажения вблизи коллапса. Величина этого всплеска с ростом п возрастает. Из-за этого с увеличением п от 2 до 100 возрастает и амплитуда искажения в момент коллапса | £°°11, несмотря на то, что при п > 50 начинает все сильнее проявляться демпфирующее влияние вязкости жидкости. При увеличении п от
100 величина | £с°11 убывает, так как эффект вязкого демпфирования в ходе расширения-сжатия оказывается больше эффекта неустойчивости Рэлея-Тейлора. Таким образом, пренебрежение влиянием плотности пара ведет к сдвигу максимума зависимости |£по/ / £п | от п в сторону более коротковолновых возмущений: от п = 40 (рис. 7) до п ~ 100.
2.3.3 Причины роста амплитуды искажения в момент коллапса с уменьшением длины волны Хп без учета влияния вязкости жидкости Без учета влияния вязкости жидкости величина
|£по/ / £п | с увеличением п неограниченно возрастает (рис. 7). В этом случае уравнение для ап имеет вид
(І + qn )an + 3 Ran +
а^ - 1)(n + 2) pl 0 R
- (n -1)(1 - qn)-R
Из (15) следует, что на довольно продолжительном участке сжатия, где qn « 0 и R/Rnax << 1, искажение при а = 0 будет возрастать в виде колебаний с амплитудой, пропорциональной R~7/4 [29], а при а = const и R = 0 - с амплитудой, пропорциональной, как показывают расчеты, R74. Согласно (15) влияние поверхностного натяжения пропор-
3
ционально n (слагаемое с а), а радиальной инерции (слагаемое с R) - п. В результате, с увеличением п соотношение между стабилизирующим форму пузырька влиянием сил поверхностного натяжения и инерции радиального движения изменяется. Сначала при п < 100 преобладают силы инерции, поэтому здесь на продолжительном начальном участке сжатия, где qn « 0, закон изменения амплитуды колебаний |£П / £П | близок к (R/Rnax)-7/4 (рис. 9). При п > 1000 вклад поверхностного натяжения оказывается заметно больше, так что в этом случае на участке сжатия, где qn « 0 и а « const, амплитуда колебаний |£П / £°П | изменяется по закону, близкому к
/ гу /r)nax\-7/4
(R/R ) .
В ходе сжатия температура на поверхности пузырька значительно возрастает. В результате, поверхностное натяжение а(Т) уменьшается до нуля. При п > 1000 рост амплитуды колебаний | 8п / £П | в начале сжатия ограничивается силами поверхностного натяжения. Если бы в этом случае а при сжатии было постоянным, то, как отмечалось, амплитуда колебаний | 8п / £ П | на всей стадии сжатия
a = 0
(І5)
изменялась бы по закону, близкому к (Я/Ятах)-7/4, а величина |£по/ / £°п |, как показывают расчеты, была бы не больше 500. Из-за уменьшения а в силу указанной зависимости от температуры амплитуда
колебаний | £п / £п | в начале сжатия растет уже не как (Я/Ятах)-7/4, а несколько быстрее (рис. 9, п = 10000). При Я/Итах « 0.11 температура на меж-
фазной границе достигает критического значения, после чего силы поверхностного натяжения исчезают. Далее стабилизирующее влияние на форму пузырька оказывают лишь силы инерции радиального движения.
И, наконец, при переходе от продолжительной по времени стадии сжатия с отрицательным ускорением R к очень короткой заключительной стадии с положительным R основные сдерживающие рост искажения силы инерции радиального движения становятся очень малыми. В результате при больших
п в зависимости | £п / 8П | от R/Rnax в окрестности R/Rmax = 0.033 возникает всплеск (рис. 9, п = 10000), величина которого с ростом n увеличивается.
Таким образом, без учета влияния вязкости
жидкости амплитуда |£П° / £П | возрастает с увеличением n из-за того, что 1) при увеличении n определяющее влияние на ограничение скорости роста искажения в начале сжатия начинают оказывать не силы инерции радиального движения, а силы поверхностного натяжения; 2) в процессе сжатия силы поверхностного натяжения уменьшаются до нуля; 3) сдерживающие рост искажения силы инерции радиального движения на коротком участке перехода от продолжительной по времени стадии сжатия с отрицательным радиальным ускорением к очень короткой заключительной стадии с положительным радиальным ускорением сильно уменьшаются.
2.4 Степень роста амплитуды искажений к моменту коллапса пузырька в зависимости от момента их зарождения в фазе расширения На рис. 10 представлена кривая ABC, характеризующая зависимость величины ^П^ / 8П | от R0. При ее построении использовались зависимости амплитуды искажения сферичности пузырька в
nc°l о
момент коллапса |8п | от времени t возникновения
начальной несферичности £П на стадии расширения (t° < tmax), а также их огибающие. В принятых
col
на рис. 10 осях зависимости | £П | от t° приведены в
виде функций |£П°1 / £°| от R0/Rnax. Для каждого п эти функции сильно немонотонны (с заострениями вниз) из-за немонотонности изменения искажения £
п в процессе расширения-сжатия. Фрагмент такой функции для n = 40 приведен на рисунке тонкой сплошной линией. Поэтому и здесь для оценок удобнее использовать огибающие таких функций. Метод их построения иллюстрируется на примере искажения с п = 40. Кривая ABC является, по существу, огибающей всех огибающих, соответствующих разным значениям п > 2. Она характеризует максимально возможные по всем n амплитуды искажения. Участок AB на кривой ABC образует отрезок огибающей для п = 3, участок BC - отрезки огибающих для п от 34 до 50 (максимум при ro = Rnax достигается при п = 40).
Кривая ABC свидетельствует о том, что когда бы на стадии расширения не возникло возмущение
сферичности пузырька £°П (т.е. при любом радиусе R0) и какой бы вид оно не имело (т.е. при любом
номере п), его амплитуда в момент коллапса не превысит амплитуду начального возмущения более чем в 300 раз. Поскольку в ходе расширения амплитуда возмущений уменьшается, то искажения, возникающие при размерах пузырька, близких к максимальным (Л0 ~ лтах), оказываются в момент коллапса больше других. По той же причине искажения сферичности в момент коллапса убывают по мере уменьшения радиуса Л0. Так, если начальное
ло
возмущение £п возникает при радиусах много меньше максимального (л0/лтах < 10-2), то возмущение в момент коллапса £°°1 будет уже не больше,
а меньше начального (^^ /£П | < 1), т.к. в этом случае уменьшение на стадии расширения с избытком компенсирует рост на стадии сжатия. Если начальное возмущение возникнет при радиусах пузырька, близких к критическому на разрыв жидкости (т.е. при Е° ~ Лсг), то амплитуда искажения в момент коллапса будет меньше амплитуды начального возмущения более чем в 103 раз.
Рис. 10. Огибающие зависимостей относительной амплитуды искажений в момент коллапса | £по/ / £п | от относительного радиуса Я°/Ятах (стадии расширения), при котором возникают искажения, для п = 40 (штриховая линия), п = 200 (пунктирная линия) и п > 2 (жирная сплошная линия). Фрагмент зависимости, соответствующей п = 40, показан тонкой сплошной линией.
Отметим, что значительный запас устойчивости сферичности пузырька к возмущениям в случае Я0 ~ Ясг обеспечивается, кроме всего остального, малостью отношения Я°/Ясо1 ~ 0.003. В этом случае
гусо1
радиус пузырька в момент коллапса Я оказывается значительно больше начального Я0 вследствие превышения массы испарившейся жидкости на фазе медленного расширения пузырька над массой пара, сконденсировавшейся в ходе более скоростной фазы сжатия.
Уменьшение длины волны возмущения сферичности, как правило, вызывает уменьшение искажения в момент коллапса, что обусловлено демпфирующим влиянием вязкости жидкости. При малых Я0/Ятах эта тенденция наблюдается при всех п. С ростом Я°/Ятах влияние вязкости ослабевает, так что указанная тенденция начинает проявляться лишь с некоторого числа п > 2. По мере роста Я0/Ятах до 1 это число увеличивается до 40.
рсо/ рО
Рис. 11. Огибающие зависимостей | п / п | от Я°/Ятах: с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктирная линия) плотности пара для п > 2 (а); с учетом вязкости (сплошная линия) и при ее пренебрежении (пунктирные линии), для номеров п из указанного на рисунке диапазона.
В качестве критерия целостности пузырька обычно принимается выполнение условия | £п | < 1. Согласно такому критерию, целостность пузырька не будет нарушена ни по одной из гармоник, если
о -2
возмущение с амплитудой | £ п | < 10 возникнет при радиусе Л0, не превышающем Лтах/2.
На рис. 11а приведено сравнение огибающих зависимостей амплитуды относительного искажения в момент коллапса | £с°1 / £П | от относительного радиуса Л°/Лта:х для п > 2 с учетом (то же, что и на рис. 10) и без учета (дп = 0) влияния плотности пара. Видно, что влияние плотности пара незначительно. Без учета плотности пара максимальные по п значения амплитуды искажения в момент коллапса при малых и больших Л0 несколько завышаются. В частности, при Л0 ~ Лтах они оказываются больше в 2.5 раза. Вместе с тем, и без учета плотности пара
максимальное по п значение отношения | / £ 0 |
при любых Л0 не превышает 103.
Отметим, что если плотность пара учитывать другим способом, применяемым в работах [23, 24, 54], то уровень искажений на участке АВ незначительно (до 5%) повысится, а на участке ВС останется без изменений.
Влияние вязкости жидкости на величину амплитуды максимальных по всем п искажений сферичности пузырька в момент коллапса в зависимости от фазы стадии расширения, в которой возникает начальное искажение £°п, характеризует рис. 12Ь. Здесь показано сравнение огибающих зависимостей
| £СпЫ /К | от Л0/Лтах, полученных с учетом (для п > 2, то же, что и на рис. 10) и без учета (для п < 5000 и п < 10000) вязкости жидкости. Видно, что без учета вязкости жидкости амплитуда максимально возможных искажений в момент коллапса пузырька с ростом п все более завышается, и сильнее всего в
л0 птах т~г п0
случае Л » Л . При этом диапазон изменения Л , в котором это завышение наблюдается, все более увеличивается в сторону меньших значений.
Заключение
1. При расширении пузырька возмущения его сферической формы уменьшаются. При этом, чем раньше они возникают, тем сильнее падает их амплитуда, что объясняется как уменьшением радиуса пузырька в момент зарождения возмущения, так и увеличением влияния вязкости жидкости. Из-за роста влияния вязкости жидкости степень понижения амплитуды возмущений возрастает и с уменьшением длины волны возмущения Хп = 2пЯ/п (Я -радиус, п - номер сферической гармоники).
2. Значительный рост возмущений сферической формы пузырька возможен лишь при его сжатии. Решающую роль в ограничении их нарастания здесь играют:
- наличие в пузырьке пара, образовавшегося в нем на стадии расширения и отчасти сконденсировавшегося на межфазной поверхности в начале сжатия, когда температура пара была еще ниже критической,
- вязкость жидкости.
3. Влияние пара в полости пузырька связано с тем, что в высокоскоростной финальной стадии сжатия давление пара сильно возрастает (в ударноволновом режиме). В результате этого радиус пузырька при сжатии уменьшается не до нуля, а до некоторого малого конечного значения (для рассмотренных режимов радиус пузырька на стадии сжатия уменьшался в ~ 30 раз - от 450 до 14 мкм). Это может «спасти» пузырек от разрушения, так как в противном случае при сколь угодно малых начальных искажениях его сферичности при схло-пывании пузырька до нулевого радиуса (Я = 0) он бы разрушился.
4. Вследствие роста плотности пара в финальной стадии сжатия пузырька неустойчивость Рэлея-Тейлора практически не проявляется. Объясняется это тем, что в конце сжатия, когда ускорение направлено от пара к жидкости, пар и жидкость на межфазной границе находятся в состоянии с близкими плотностями. Если влияние плотности пара не учитывать, то амплитуда искажений при сжатии
может вырасти примерно в 2.5 раза больше. При этом наибольший рост наблюдается у более высокочастотных искажений (п = 100 против п ~ 40).
5. Без учета вязкости жидкости степень роста амплитуды гармонических искажений сферичности пузырька на фазе сжатия с уменьшением длины волны возмущения Хп (с увеличением п) неограниченно возрастает, а при учете вязкости в области п > 40 быстро уменьшается.
6. Демпфирующее влияние вязкости жидкости
при сжатии характеризуется числом Рейнольдса Яе = рг0Ли/(п + 1)(п + 2)|Л.г (Рю, Цг- плотность и динамическая вязкость жидкости,
и =^2(ра + р0)(Лта)3/3рї0Л3, Ра + Р0 - давление
тах
жидкости, Л - радиус пузырька в начале сжатия):
с ростом п оно увеличивается пропорционально п2; по мере уменьшения радиуса пузырька - падает обратно пропорционально Л 1/2. При Яе > Яесг « 10, что выполняется в ходе всего сжатия для п < 50, влияние вязкости жидкости незначительно, с уменьшением Яе от Яесг до Яе « 1 быстро возрастает, так, что при Яе < 1 амплитуда возмущений при сжатии уже не растет, а падает. В результате для сверхкоротковолновых возмущений, начиная с номера п = 250, при котором величина Яе при умень-
тах
шении радиуса до 0.5 Л остается меньше 1, искажение в конце сжатия становится не больше, а меньше, чем в его начале.
7. Влияние поверхностного натяжения для длинноволновых возмущений (п < 50), где эффект вязкости жидкости несущественен, значительно меньше влияния инерции радиального движения жидкости. Рост искажения сферичности в этом случае определяется силами инерции. Для коротковолновых возмущений (п > 50) поверхностное натяжение, как и инерция радиального движения, несущественно из-за вязкости жидкости. Если вязкость жидкости не учитывать, то при достаточно больших п (> 500) поверхностное натяжение будет играть главную роль в ограничении скорости роста искажения в начале сжатия.
8. В условиях экспериментов [1, 2, 5-8]) амплитуда возмущений сферической формы пузырька в
конце сжатия | £по11 не может быть больше, чем в его начале | £ | более чем в 300 раз. Максимум отноше-
ния | £с°1 / £'т‘а‘ | достигается при п ~ 40 (когда в начале сжатия Яе « 17). С уменьшением п от 40 до 2 отноше-
0сої ~тах
ние | п / п | уменьшается до 200, а с увеличением п от 40 - довольно быстро убывает к нулю.
9. Если предположить, что в экспериментах [1] амплитуда отклонения от сферической формы пузырька в начальной стадии расширения при Л = 10 мкм равна 1ап1 = 10-2Л (что представляется вполне возможным), то, согласно полученным оценкам, в результате последующего расширения
nax
она уменьшится к началу сжатия (R = R ) до | an| < 10-4 R. Затем при сжатии она может возрасти, но лишь так, что ее значение в конце сжатия при любом п будет превышать начальное (10-2R) не более, чем на 3%. Это означает, что с точки зрения устойчивости сферической формы обоснование термоядерной природы регистрируемых в экспериментах [1] ядер трития и прироста нейтронов не является противоречивым. Вместе с тем, из-за несферично-сти поверхности пузырька возникающая в нем ударная волна не будет строго сферической. По мере схождения амплитуда ее несферичности будет нарастать, что будет оказывать влияние на положение и конфигурацию области в полости пузырька с экстремальными значениями газодинамических параметров. Последнее подтверждается результатами численного моделирования [62] с использованием двумерного обобщения одномерной модели [9], которая была использована в настоящей работе для описания сферической составляющей движения жидкости и пара. Для оценки влияния несферично-сти ударных волн в пузырьке нужны исследования несферической динамики содержимого пузырька в окрестности его центра.
Работа выполнена в рамках программ РАН, грантов Президента Российской Федерации (№ МК-2712.2011.1) и РФФИ (№ 12-01-00341-а).
ЛИТЕРАТУРА
1. Taleyarkhan R. P., West C. D., Cho J. S., Lahey R. T., Nigmatu-lin R. I., Block R. C. Evidence for nuclear emissions during acoustic cavitation // Science. 2002. V. 295. P. 1868-1873.
2. Taleyarkhan R. P., West C. D., Cho J. S., Lahey R. T. (Jr), Nigma-tulin R. I., Block R. C. Additional evidence of nuclear emissions during acoustic cavitation // Phys. Rev. 2004. 69. 036109.
3. Xu Y., Butt A. Confirmatory experiments for nuclear emissions during acoustic cavitation // Festschrift Edition Celebrating the 65th Birthday of Prof. Richard T. Lahey, Jr. 20-24 September 2004. Edited by Ruis P. Taleyarkan, Paolo Di' Marco and Gunther Lohnert. 2005. V. 235. Issue 12. P. 1317-1324.
4. Taleyarkhan R. P., West C. D., Lahey R. T. (Jr), Nigmatulin R. I., Block R. C., Xu Y. Nuclear Emissions During SelfNucleated Acoustic Cavitation // Phys. Review Let. 2006. V. 96. 034301.
5. Нигматулин Р. И., Талейархан Р. П., Лэхи Р. Т. (мл). Термоядерный синтез на основе дейтерия при акустической кавитации // Вестник Академии наук Республики Башкортостан. 2002. Т. 7. №4. С. 3-25.
6. Nigmatulin R. I., Taleyarkhan R. P., Lahey R. T. (Jr). The evidence for nuclear emissions during acoustic cavitation revisited // J. Power and Energy 2004. V. 218-A. P. 345-364.
7. Nigmatulin R. I. Nano-scale thermonuclear fusion in imploding vapor bubbles // Nuclear Eng and Design. 2005. V. 235. P. 1079-1091.
8. Lahey R. T. (Jr), Taleyarkhan R. P., Nigmatulin R. I., Akhatov I. Sh. Sonoluminescence and the search for sonofusion // Advance in Heat Transfer, V. 39. N.Y.: Academic Press, 2006. 168 p.
9. Nigmatulin R. I, Akhatov I. Sh., Topolnikov A. S., Bolotnova R. Kh., Vakhitova N. K., Lahey R. T. (Jr), Taleyarkhan R. P. The Theory of Supercompression of Vapor Bubbles and Nano-Scale Thermonuclear Fusion // Physics of Fluid. 2005. V. 17. 107106.
10. Nigmatulin R. I., Akhatov I. Sh., Vakhitova N. K., Bolotnova R. Kh., Topolnikov A. S., Nasibullayeva E. Sh., Kalyakina O. L., Zakirov K. R. Mathematical modeling of a single bubble and multi bubble dynamics in a liquid // Intl. Conf. On Multiphase Systems. Ufa, Russia. Ufa: Gilem Publ. 2000. P. 294-301.
11. Didenko Y. T., Suslick K. S. The energy efficiency of formation of photons, radicals and ions during single-bubble cavitation // Nature. 2002. V. 418. P. 394-397.
12. Camara C., Putterman S., Kirilov E. Sonoluminescence from a single bubble driven at one megahertz // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. 124301.
13. Vazquez G., Camara C., Putterman S., Weninger K. Sonoluminescence: nature's smallest blackbody // Optics Letters. 2001. V. 26. Iss. 9. P. 575-577.
14. Forringer E. R., Robbins D., Martin J. Confirmation of neutron production during self-nucleated acoustic cavitation // Trans. Am. Nucl. Soc. 2006. V. 95. 736.
15. Forringer E. R., Robbins D., Martin J. Confirmation of neutron production during self-nucleated acoustic cavitation of deute-rated benzine and acetone mixture // Proc. Intl. Conf. Fusion Energy. Albuquerque, NM, USA. November 2006.
16. Bugg W. Report of bubble fusion confirmation experiment // Report on Activities on June 2006 Visit. Purdue University. 2006.
17. Taleyarkhan R. P., Lapinskas J., Xu Y., Cho J. S., Block R. C., Lahey R. T. (Jr), Nigmatulin R. I. Modeling, analysis and prediction of neutron emission spectra from acoustic cavitation bubble fusion experiments // Nuclear Engng and Design. 2008. V. 238. P. 2779-2791.
18. Илькаев Р. И., Гаранин С. Г. Исследование проблем термоядерного синтеза на мощных лазерных установках // Вестник РАН. 2006. Т. 76. №6. С. 503-513.
19. Лебо И. Г., Тишкин В. Ф. Исследование гидродинамической неустойчивости в задачах лазерного термоядерного синтеза методами математического моделирования. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2006. 304 с.
20. Hilgenfeldt S., Lohse D., Brenner M. Phase diagrams for sonolumi-nescing bubbles // Phys. Fluids. 1996. V. 8. №11. P. 2808-2826.
21. Putterman S. J., Weninger K. P. Sonoluminescence: How
Bubbles Turn Sound into Light// Annu. Rev. Fluid Mech.
2000. V. 32. P. 445-476.
22. Hilgenfeldt S., Brenner M., Grossmann S., Lohse D. Analysis of Rayleigh-Plesset dynamics for sonoluminescing bubbles // J. Fluid Mech. 1998. V. 365. P. 171-204.
23. Augsdorfer U. H., Evans A. K., Oxley D. P. Thermal noise and the stability of single sonoluminescencing bubbles // Phys. Review E. 2000. V. 61. P. 5278-5286.
24. Yuan L., Ho C. Y., Chu M.-C., Leung P. T. Role of gas
density in the stability of single-bubble sonoluminescence //
Phys. Review E. 2001. V. 64. 016317
25. Lin H., Storey B. D., Szeri A. J. Rayleigh-Taylor instability in violently collapsing bubbles // Physics of Fluid. 2002. V. 14. P. 2925-2928.
26. Kwak H.-Y., Karng S. W., Lee Y. P. Rayleigh-Taylor instability on a sonoluminescencing gas bubbles // J. Korean Phys. Soc. 2005. V. 45. N 4. P. 951-962.
27. Kull H. J. Theory of the Rayleigh-Taylor instability // Phys. Rep. 1991. V. 206. P. 197-325.
28. Plesset M. S. On the stability of fluid flows with spherical symmetry // J. Appl. Phys. 1954. V. 25. N 1. P. 96-98.
29. Plesset M. S., Mitchell T. P. On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a liquid // Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. N 4. P. 419-430.
30. Birkhoff G. Stability of spherical bubbles // Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. P. 451-453.
31. Eller A. I., Crum L. A. Instability of the motion of a pulsating bubble in a sound field // J. Acoust. Soc. Am. Suppl. 1970. V.
47. N 3. P. 762-767.
32. Ильгамов М. А. Качественный анализ развития отклонений от сферической формы при схлопывании полости в жидкости // ДАН. 2005. Т. 401. №1. С. 37-40.
33. Ильгамов М. А. Качественная теория устойчивости сферической формы полости при сжатии в жидкости // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Казань: Изд-во КГУ, 2006. С. 8-35.
34. Ильгамов М. А. Отклонение от сферичности паровой полости в момент ее коллапса // ДАН. 2011. Т. 440. №1. С. 35-38.
35. Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ-Гостехиздат, 1947. 928 с.
36. Birkhoff G. Note on Taylor Instability // Quart. Appl. Math. 1954. V. 12. N 3. P. 306-309.
37. Plesset M. S., Prosperetti A. Bubble dynamics and cavitation // Ann. Rev. Fluid Mech. 1977. V. 9. P. 145-185.
38. Нигматулин Р. И., Ахатов И. Ш., Вахитова Н. К. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька // Докл. РАН. 1996. Т. 348. №6. С. 768-771.
39. Flynn H. G. Cavitation dynamics I. A mathematical formulation // J. Acoust. Soc. Am. 1975. V. 57. P. 1379-1396.
40. Keller J. B., Miksis M. Bubble oscillations of large amplitude // J. Acoust. Soc. Am. 1980. V. 68. N 2. P. 628-633.
41. Prosperetti A., Crum L. A, Commander K. W. Nonlinear bubble dynamics // J. Acoust. Soc. Am. 1986. V. 83. N. 2. P. 502-514.
42. Wu C. C., Roberts P. H. Shock wave propagation in a sonoluminescing gas bubble // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3424-3427.
43. Wu C. C., Roberts P. H. A model of Sonoluminescence // Proc. R. Soc. Lond. A. 1994. V. 445. P. 323-349.
44. Moss W. C., Clarke D. B., White J. W., Young D. A. Hydrodynamic simulations of bubble collapse and picosecond sonoluminescence // Phys. Fluids. 1994. V. 6. N 9. P. 2979-2985.
45. Moss W. C., Clarke D. B., Young D. A. Calculated pulse widths and spectra of a single sonoluminescing bubble // Science. 1997. V. 276. P. 1398-1401.
46. Аганин А. А., Ильгамов М. А. Колебания сферического пузырька газа в жидкости с образованием ударных волн // Изв. АН. МЖГ. 1999. №6. C. 126-133.
47. Аганин А. А., Ильгамов М. А. Численное моделирование динамики газа в пузырьке при схлопывании с образованием ударных волн // пМтФ. 1999. Т. 40. №2. С. 101-110.
48. Аганин А. А., Нигматулин Р. И., Ильгамов М. А., Ахатов И. Ш. Динамика пузырька газа в центре сферического объема жидкости // Докл. АН. 1999. Т. 369. №2. C. 182-185.
49. Aganin A. A. Dynamics of a small bubble in a compressible fluid // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2000. V. 33. P. 157-174.
50. Аганин А. А., Ильгамов М. А. Динамика пузырька газа в центре сферического объема жидкости // Мат. Моделирование. 2001. Т. 13. №1. С. 26-40.
51. Аганин А. А., Ильгамов М. А. Динамика газового пузырька при возбуждении импульсами сжатия и разрежения в жидкости // ДАН. 2002. Т. 382. №2. C. 176-180.
52. Нигматулин Р. И., Аганин А. А., Ильгамов М. А., Топорков Д. Ю. Искажение сферичности парового пузырька в дейте-рированном ацетоне // ДАН. 2006. Т. 408. №6. C. 767-771.
53. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976. 400c.
54. Prosperetti A. Viscous effects on perturbed spherical flows // Quarterly of Appl. Math. 1977. V. 34. P. 339-352.
55. Hao Y., Prosperetti A. The effect of viscosity on the spherical stability of oscillating gas bubbles // Phys. Fluids. 1999. V. 11. N 6. P. 1309-1317.
56. Аганин А. А., Ильгамов М. А., Топорков Д. Ю. Влияние вязкости жидкости на затухание малых искажений сферической формы газового пузырька // ПМТФ. 2006. T. 47. №2. C. 30-39.
57. Wu C. C., Roberts P. H. Bubble shape instability and sonoluminescence // Phys. Lett. A. 1998. V. 250. P. 131-136.
58. Aganin A. A., Khismatullina N. A. Liquid vorticity computation in non-spherical bubble dynamics // Int. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. V. 48. Iss. 2. P. 115-133.
59. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М: Мир, 1990. 512 с.
60. Lin H., Storey B. D., Szeri A. J. Inertially driven inhomogeneities in violently collapsing bubbles: the validity of the Rayleigh-Plesset equation // J. Fluid Mech. 2002. V. 452. P. 145-162.
61. Nagrath S., Jansen K., Lahey R. T. (Jr). Computation of incompressible bubble dynamics with a stabilized finite element level set method // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2005. V. 194. P. 4565-4587.
62. Аганин А. А., Халитова Т. Ф., Хисматуллина Н. А. Метод численного решения задач сильного сжатия несферического кавитационного пузырька // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15. №1. С. 14-32.
63. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред, т. 1 и 2. М.: Наука, 1987.
64. Ильгамов М. А. Расширение-сжатие и устойчивость полости в жидкости при сильном акустическом воздействии // ДАН. 2010. Т. 433. №2. С. 178-181.
Поступила в редакцию 10.05.2012 г.
