Температурное поле в вязкой жидкости вокруг схлопывающегося кавитационного пузырька Текст научной статьи по специальности «Физика»

Васильев А.П.

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ВОКРУГ СХЛОПЫВАЮЩЕГОСЯ КАВИТАЦИОННОГО ПУЗЫРЬКА

Рассматривается задача о сферически-симметричном поле температур в вязкой жидкости, окружающей схлопы-вающийся кавитационный пузырек. Учтен механизм вязкой диссипации кинетической энергии. Уравнение энергии решалось численно методом конечных разностей. Показано, что температура жидкости вблизи пузырька прогревается не более, чем на 10С в условиях, соответствующих работе водяных насосов. Сделан вывод о допустимости решения задач динамики паровых пузырьков в приближении изотермической жидкости.

Исследование гидродинамики и теплообмена схлопывающихся паровых кавитационных пузырьков представляет интерес в связи с проблемой кавитационной эрозии элементов проточной части гидрооборудования.

В работе [1] была высказана гипотеза, что из-за высоких скоростей при схлопы-вании пузырька слои жидкости вблизи меж-фазной границы вследствие вязкой диссипации могут сильно прогреваться. В результате этого жидкость с межфазной границы будет интенсивно испаряться в пузырек и смягчать гидравлический удар в момент исчезновения пузырька.

Обосновать или опровергнуть этот механизм демпфирования ударного повышения давления можно лишь на основе расчета температурного поля в жидкости вокруг схлопы-вающегося пузырька.

Для решения данной задачи примем допущение, что межфазная граница “пар-жидкость” обладает свойствами непроницаемости и адиабатичности. Это допущение, с одной стороны, позволяет исключить влияние температурного поля на поле скоростей в жидкости, а с другой стороны, дает возможность определить предельно допустимые температуры разогрева жидкости.

У-(р0 и )= о, (1)

Течение вязкой несжимаемой жидкости вокруг парового пузырька описывается уравнением неразрывности уравнением Навье-Стокса (массовые силы не учитываются)

Рі

"эГ

+ (и -У)бі

= -Урі +Ц1У2 и

и уравнением притока теплоты

Рі

ди+( -у)

= -у% + Р° Аі

(2)

(3)

где работа внутренних сил р10А1 применительно к рассматриваемой задаче определяется выражением [2]:

Р0 А = -Рі РіАі = Р0

др0+(<¡1 у)р 0

(4)

а р10А1г - работа вязких напряжений в радиальном течении жидкости.

В уравнениях ( 1 )-(4) приняты обозначения: р 10-плотность, - скорость, р1- давление, ц1 - вязкость, и - внутренняя энергия,-плотность теплового потока, Х1- теплопроводность жидкости.

Принятое допущение позволяет рассматривать параметры состояния пара в пузырьке, зависящими только от температуры пара.

В сферической системе координат для сферически -симметричных полей скорости и температуры несжимаемой жидкости, закона теплопроводности Фурье, выражения для внутренней энергии жидкости и=е1уф+и0, где е1у- изохорная теплоемкость, а ^-избыточная температура жидкости, система уравнений (1)-(3) с учетом (4) может быть записана в виде:

дг

(г2 "і(г4

=о

(5)

Р1

диг1 д«і ^= др

д!

- + «'і

дг

д! + «1 дг

дг

Я 1

+ Иі

Рі С1У

г2

дг

± дґ г2 дг

2 дд г2 дг

г2 ^ дг

- 2 «і

(6)

+і2_^«2: .(7)

Рі СіУ

г2

і(г. !) =

са (!)

! = 0: д(п,0)= 0; П = 0: д(0,г)= 0;

п = Ь - а(!): дд;ПЛ) = 0

Здесь

Здесь w1-радиальная компонента вектора скорости и1{ w 1,0,0}. Последнее слагаемое в (7) учитывает вязкую диссипацию кинетической энергии жидкости.

Принятое допущение о не влиянии температурного поля на поле скорости позволяет рассматривать гидродинамическую задачу (5), (6) не зависимо от тепловой (7).

Поле скорости w1(г,t) в жидкости вокруг пузырька имеет вид [1]:

А =

Яд

Р°С!у

дп

В = і2

Ці

р0 СіУ

(і0)

Г(п,! )=-

)=

2А

______ | Са (!)

ь-п" (ь-п)2

Є(п, !) =

ВС2а (!)

(ь-п)6

Решение нелинейного уравнения (9) с краевыми условиями (10) может быть найдено численными методами, например, методом конечных разностей. Пусть 5п=Ь-а(:)/М, 5t=Tс/ К- шаги по пространственной и временной переменным, Тс- время схлопывания пузырька, известное из решения гидродинамической части задачи. Тогда заменяя частные производные в (9) и (10) конечными разностями:

где С1а-объемная скорость схлопывания пузырька- функция известная из статьи [і], подстановка которой в уравнение (7) делает тепловую задачу не зависимой от гидродинамической.

Условия однозначности для уравнения (7) задаются в виде:

Чд! Ущк

81

“'щк+і ^щк

дп

-'щ+і,к ^щк/

«2 (щк+і 2дт,к +дт-і,к 1

Оп

д

г

д

2

г

і

і

2

д

! = 0: д(г,0)= 0; г =^ : д(°оД )= 0;

г = в(1):- Х ^ = 0, (8)

дг

где а©- радиус пузырька, известная из [1] функция времени и параметров пузырька.

Поскольку температура невозмущенной жидкости задана на бесконечности, то, переходя к новой системе координат п=Ь-г, где Ь- бесконечно удаленная точка, учитывая знаки у скорости и вектора плотности теплового потока, преобразуем уравнение энергии к виду:

Р( ), (9)

Э! Эп2 дп

а условия однозначности так:

для температуры в последующий момент времени в данной точке сетки получим следующее алгебраическое выражение:

--|^Г(т8п, к§! )(т+1,к -вщк )+8!С(т8п, к8!) . °п

Начальные условия записываются так: вт,0=0, условия на бесконечности: в0,к=0, условия на пузырьке: вМ,к=вМ-1,к.

На рис.1 показан пространственный график нестационарного одномерного поля температур (в градусах Цельсия) в жидкости, окружающей схлопывающийся кавитационный пузырек. Начальный радиус пузырька принимался равным а0=3 мм, а величина избыточного

Васильев А.П.

Температурное поле в вязкой жидкости вокруг схлопывающегося пузырька

m

Рис.1.

Температурное поле вокруг схлопывающегося пузырька.

Величина т=400 (пространственная переменная п) соответствует поверхности пузырька, а к=200 (временная переменная )- моменту исчезновения пузырька.

давления, под действием которого происходило схлопывание кавитационного пузырька, 50 кПа. Бесконечно удаленная точка во всех расчетах располагалась на расстоянии Ь=1000а0. Сходимость решения контролировалась удвоением числа шагов по пространственной (М) и временной (К) переменным с погрешностью не выше 1%. В результате проведенных расчетов было выяснено, что увеличение неравновесного перепада давления, под действием которого происходило схлопы-вание пузырька, при не изменном его радиусе очень слабо влияло на температуру. Эту особенность можно, видимо, объяснить тем, что

с увеличением давления резко уменьшается время схлопывания пузырька, и не смотря на увеличение мощности вязкой диссипации при этом, общее количество теплоты, подведенной к жидкости, почти не меняется.

На рис. 2 показаны температурные поверхности для различных начальных радиусов пузырьков : а0=3, 5 и 10 мм при неизменном давлении

Рис.2. Температурные поверхности в жидкости вокруг пузырька при различных начальных радиусах а=3 ,5 и 10 мм

50 кПа. С увеличением радиуса пузырька растет область максимально прогретой жидкости, наибольшая температура жидкости в момент исчезновения пузырька не превышает 1 0С.

Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что процессами массообме-на при фазовых переходах “жидкость-пар” из-за незначительного прогрева жидкости под действием теплоты вязкой диссипации можно пренебречь, и считать жидкость в задачах динамики кавитационных пузырьков изотермической.

Список использованной литературы

1.Васильев А.П., Павлов А.С. Ударное повышение давления при схлопывании изотермического кавитационного

пузырька в вязкой жидкости. Весник ОГУ № 2000 г. С. .

2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. т.1, т.2. М.: Наука, 1987.-464 и 359 с.