Расчет страховых премий с учетом предыстории Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ |

УДК 519.22+368

А.Л. Ветрова

РАСЧЕТ СТРАХОВЫХ ПРЕМИЙ С УЧЕТОМ ПРЕДЫСТОРИИ

Рассмотрена задача назначения страховых премий с учетом истории страхового договора. В основу решения этой задачи положен принцип рандомизации, согласно которому предполагается, что каждый договор характеризуется некоторым случайным параметром.

В основе назначения страховых премий лежит принцип эквивалентных затрат, по которому страховая премия р представляется в виде р = Е (х^) + /¿; здесь х^ — случайная величина, равная суммарным выплатам по всем страховым случаям по г-му договору; Е (х^) — среднее значение страховых выплат; ^ — добавочная сумма, являющаяся платой за то, что страховая компания принимает на себя риск по г-му договору. Величина Е(х^) называется нетто-премией, ^ — страховой надбавкой.

Если в портфеле страховой компании содержится N договоров, то резервы компании имеют вид

N

и = ^(Е (жг) + /г) = Е (в) + I, ¿=1

где

N N

S ^ ^

i=1 i=1

Следовательно, вероятность разорения можно представить в виде

£*i, «= £ii.

Я = Р[в > и} = Р[в > Е(в) + /}. При больших значениях N можно использовать приближение Гаусса

Я = Р ( в^Ш > ' ) я 1 - ф( < ! = а;

[л/уаг( в) л/уаг(в^ \^уаг(в)у

здесь а — число, близкое к нулю, Ф (х) — функция распределения стандартного нормального закона, уаг(в) — дисперсия в. Отсюда имеем

I = ха^ уаг( в),

где ха — квантиль функции распределения Ф(х) уровня 1 — а.

Поскольку дисперсия уаг(в) описывает отклонения в от среднего значения, то страховая премия I является компенсацией за непредсказуемость величины суммарного иска в.

Обычно страховую надбавку Е (в) распределяют между договорами пропорционально ожидаемому иску, т.е.

л/уаг( в) и = кЕ(х^), к = Ха Е(в) •

Соответственно, имеем

\ЛаФ)

V Ха E (-) )

Рг =(1 + к) Е(х^) = Е(х*) 1 + Ха

Е (в)

Отметим один недостаток, которым обладает такой порядок назначения страховых премий. При таком назначении страховых премий относительная страховая надбавка имеет вид

= = \/уаг( в)

= Е (Хг) = Ха Е (в) •

Она одинакова для всех страховых договоров, что несправедливо по отношению к страхователям, договоры которых имеют малую дисперсию возможного иска уаг(хг). Поэтому более справедливо делить суммарную страховую надбавку между договорами пропорционально дисперсиям уаг(хг) или среднеквадратическим отклонениям. Тогда

/' = к' уаг(хг), /'' = к"у/уаг(хг);

здесь

к, = у, = \/var( -)

^/varcsy' n

Y, v/var(xi) i=1

Соответственно, имеем

pi = E (xi) + var(xi), (1)

Vvar( -)

,, ч xn\/var( -) /-т—-

pi' = E (xi) + ^-(-^V/var( Xi). (2)

X) \/var(Xi)

i=1

Относительные страховые надбавки имеют вид

i=1

Вопрос о том, какой из этих двух принципов назначения страховых премий является более предпочтительным (для страхуемого), в актуарной математике однозначно не решен. Для страховой компании он не является принципиальным, так как в любом случае компания получает страховую надбавку

Таким образом, для того, чтобы учесть особенности конкретных договоров, необходимо знать величины среднего значения Е(ж^) и дисперсии уаг(¡ж) ожидаемого иска ж^ В настоящей работе исследуется зависимость страховых премий от количества ожидаемых страховых случаев.

Для описания модели конкретных исков воспользуемся идеей рандомизации.

Положим, что каждый договор характеризуется двумя случайными величинами: числом и страховых случаев за период страхования и размером выплат , ] = 1, 2,..., в каждом из страховых случаев.

Случайные величины ж\ полагаются независимыми и одинаково распределенными с известным средним значением т = Е(ж^1) и дисперсией стг2 = уаг(ж^), а случайные величины и — не зависящими от величин и имеющими распределение Пуассона.

Здесь интенсивность X^ наступления страховых случаев по г-му договору зависит от договора и предполагается случайной величиной с заданной плотностью распределения Д(ж) (одинаковой для всех договоров). В принятых обозначениях суммарный иск по г-му договору составляет

Ak e-A

па i,k = P {ui = k} = -L——

j=i

и, следовательно,

E (xi) = miE (ui), var(xi) = ct2E (ui).

Рассмотрим случайно выбранный договор и обозначим через и и ж3, ] = 1,..., и, число страховых случаев и иски по этому договору соответственно (в дальнейшем при описании случайно выбранного договора индекс г опускаем). Суммарный иск представим в виде

X = £ .

3=1

Тогда

Е (X) = Е (ж* )Е (и) = тЕ(и), уаг( X) = уаг(ж*)Е (и) = а2Е (и),

где и и а2 предполагаются известными.

Совместная плотность распределения случайных величин и и Л имеет вид

/(ж,п) = пЖ)П/Л(ж), ж> 0, п = 1, 2,----

Плотность распределения случайной величины и представим в виде

Ри(п) = ^ пЖ)П/л(ж)^ж, 0

а ее среднее значение — в виде

оо

E(и) = ^ npu (n).

n=1

Для суммарного иска имеем

E(s) = (> >f )E(и), (4)

(ёm) (X "2)

уаг(= а^ Е(и). (5)

В случае отсутствия информации о значениях Л* (например, в случае нового договора) индивидуальные страховые премии рассчитываются по формулам (1), (2), где Е(в) и уаг(в) определены по формулам (4), (5). При этом

Е (ж*) = (и), уаг(ж^) = а2Е (и);

Pi = miE (v)

' [N \ 1 +

V (

pi = miE (v)

1

X) m^E(v)

i=1

xa"i

V i=i (

Е"2л/ЕМ

pi = miE (v)

N

X a "i

1

E

i=1

"

V

N _

i=1

Пусть известно, что по г-му договору за предыдущий период страхования зарегистрировано к страховых случаев. Тогда естественно при назначении страховой премии р* для случайной величины Л* использовать условную плотность распределения

Д (ж|и = n) =

f (x,n) Pu (n)

В этом случае величины и имеют распределение Пуассона с параметром

/ жпЖ)&/л(ж)^ж

Л« = Е (Л|и = к) = -.

/ пх,к /л(ж)^ж 0

При подсчете индивидуальных страховых премий следует учитывать, что

Е (ж*) = т*Л(к), уаг(ж*) = а2Л(к).

Рассмотрим частный случай, когда параметр Л имеет плотность гамма-распределения с параметрами а и в:

/л(х) =

важа-1е-вж

Г(а)

В этом случае

e(л) = а, var(Л) = 4. v ; в в2

Случайная величина и имеет плотность распределения

а(а + 1) ...(о: + п — 1) а n

Ри(n) =-:-p q

n!

— отрицательное биноминальное распределение с параметрами а и p = в/(в + 1), q =1 — p. При этом E(и) = aq/p.

Итак, если при отсутствии информации о страховом договоре при назначении страховой премии используется величина E(и) = a/в, то при наличии информации о том, что за предыдущий период имелось k страховых случаев, следует использовать величину

, ч a + k

E (A|u = k) =-,

( 1 ) в + 1,

так как

сю

1 Г xxke-x вaxa-1e-ßx а + k

E(Aju = k) = pUM/ "Й--Г(а) dX = в+Г•

0

Отсюда видим, что при k = 0 страховая премия уменьшается, а с возрастанием k она увеличивается.

Пусть теперь известно, что за последние m лет имело место k страховых случаев. Для того, чтобы использовать эту информацию при расчете индивидуальной страховой премии, введем новую единицу измерения времени Т0 = m Т. Обозначим через и0 число страховых случаев за m лет. В этом случае

(xm)ke

P (и0 = kj A = x) =-—-= nmx,k •

Пусть A0 = mA. Тогда

fx> (x) = -f (^)

mm

является плотностью гамма-распределения

r(a, ^ = Г(а, в0), m

где в0 = в/m. Отсюда имеем

E (A0) = - = - m, E (A0|u0 = k) = , V ' в0 в в0 + 1

,ч A0 , , \ 1 a + k а + k

E(Aju0 = k) = E - и0 = k = ~—— \m у m в0 + 1

m в0 + 1 в + m

Таким образом, в этом случае в качестве Л; следует использовать величину (а + к)/(в + т) вместо а/в.

Рассмотрим численный пример [2]. Предположим, что в портфеле страховой компании имеется N = 50000 договоров о страховании автомобилей. О предыдущем периоде страхования известно, что 40544 человека не попали в аварию ни разу, 8082 человека — попали в аварию 1 раз, 1205 человек — 2 раза, 145 человек — 3раза, 20 человек — 4 раза, 3 человека — 5 раз и 1 человек — 6 раз.

Используя эти данные, оценим параметры отрицательного биномиального распределения

р = ^ 0,934, а = Х _ и 2,065, в2 в2 — х

где

1 * 1 *

х= N£xi, в = N 1 ^ (х — Х) ¿=1 ¿=1

— выборочное среднее значение и выборочная дисперсия соответственно. Отсюда находим параметр в = р/? = 14,244 и среднее ожидаемое число страховых случаев для случайно выбранного страхового договора Е(г>) = а?/р = 0,145.

Предположим для простоты, что для всех страховых договоров одинаков размер ожидаемого предъявляемого иска, т.е. т; = 10000,

= 20000 при всех г. Тогда в случае договора, для которого отсутствует информация о предыдущих периодах страхования, страховая премия равна

а ( хао \

р; = т— 1 +--^- ~ 1455.

в V ту^Е^) у

Если же известно, что за предыдущий период страхования страховых случаев не было, то страховая премия равна р; = 1360. В таблице представлены величины страховых премий, рассчитанные при условии, что по данному договору за последние т страховых периодов было зафиксировано к страховых случаев (т = 1,..., 4, к = 0,..., 6).

m k

0 1 2 3 4 5 6

1 1360 2017 2674 3331 3988 4645 5301

2 1276 1893 2510 3126 3743 4359 4975

3 1203 1784 2364 2945 3526 4106 4687

4 1137 1686 2235 2784 3333 3882 4430

В принятых предположениях о том, что размеры предъявляемых исков одинаковы, величины страховых премий pi и pi0 будут совпадать с величиной p^.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Г.Д. Карташову.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баскаков В. Н., Карташов Г. Д. Введение в актуарную математику. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 63 с.

2. Фалин Г. И. Математический анализ рисков в страховании. - М.: Росс. юрид. издательский дом, 1994. - 130 с.

3. Фалин Г. И., Ф а л и н А. И. Введение в актуарную математику. - М.: Финансово-актуарный центр МГУ им. М.В. Ломоносова, 1994. - 85 с.

Статья поступила в редакцию 25.09.2003

Анна Леонидовна Ветрова родилась в 1981 г. Студентка МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области теории вероятностей, математической статистики, актуарной математики.

A.L. Vetrova (b. 1981). Student of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of probability theory, mathematical statistics, actuarial mathematics.

УДК 658.5

В. А. Павлов, С. В. Юрицына

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕИНВЕСТИРОВАНИЯ СРЕДСТВ В РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЯХ

Рассмотрена задача оптимального распределения прибыли на вложения в производство и выплату дивидендов. Предложена концептуальная модель одного варианта условий инвестирования, исследование которого позволяет оптимизировать принятие решений о реинвестировании средств. В качестве критериев оптимальности рассмотрены экономические показатели. В аналитических и численных решениях показана экономическая обоснованность полного реинвестирования прибыли на начальных этапах проектов.

Инвесторы, как правило, вкладывают средства с целью приумножения капиталов. Инвестируемые средства могут расходоваться на создание предприятия, которое существует в течение ряда лет, принося прибыль, после чего ликвидируется, и тогда "отдача" вложений складыва-