CC BY
32
И.А. Корнилов,
доктор экономических наук, профессор кафедры математической статистики и эконометрики МЭСИ, академик МАН ВШ В.В. Гудкова,
актуарий московской страховой компании ЗАО «Стандарт-Разерв»
Статистическая оценка тарифов в портфеле «АВТОКАСКО»
На основе результатов предварительно выполненного статистического исследования распределения величины ущерба при наступлении одного страхового случая и числа страховых случаев в одном договоре получены характеристики ущерба в одном договоре. Это позволило исследовать ситуацию во всем качественно однородном портфеле. Найдены нетто-премии и оценена величина резерва для отечественных и иностранных автомобилей.
В автотранспортном страховании (согласно многочисленным исследованиям как отечественных [5], так и иностранных [3] специалистов) ущерб X часто достаточно успешно аппроксимируется логарифмически-нормальным законом распределения. Поэтому переходим от самой СВ «(Х1А)» к СВ «1п(Х!А)», вычисляем оценки: т и а2 параметров этой (нормально распределенной) СВ: (математического ожидания т и дисперсии а2), чтобы, используя оценки в качестве самих параметров, «вернуться» к исходной СВ "(Х!А)", найти ее математическое ожидание и дисперсию (выраженные через т и а2).
Далее выполняются следующие этапы:
ц исследуется распределение числа страховых случаев в одном договоре; в различных портфелях пришлось применить законы распределения Пуассона, отрицательное биномиальное, гипергеометрическое, а также решать задачу численно;
ц конструируется распределение ущерба в одном договоре, как произведение двух (ранее полученных) случайных величин; что позволяет построить модель распределения ущерба во всем портфеле.
Использование индивидуальных моделей
Классическая актуарная модель функционирования страховой компании — модель индивидуального риска, предполагает выполнение следующих условий в анализируемом портфеле (совокупности рисков):
1) чтобы пренебречь инфляцией и доходом от инвестирования, анализируется фиксированный относительно короткий промежуток времени — обычно 1 год;
2) число договоров N фиксировано и неслучайно;
3) премия по договору страхования вносится единовременно в начале периода;
4) предполагается, что случайные величины ущерба в портфеле независимы.
Для построения тарифа необходимо учитывать не только распределение ущерба в одном договоре при условии наступления страхового случая, но также и вероятность наступления страхового случая. Обозначим индивидуальный риск [в одном договоре] как X; X! А — величина ущерба при условии, что страховой случай произошел. Вероятность того, что произошел хотя бы один страховой случай, обозна-
Экономика, Статистика и Информатика 45 №1, 2007
чим как Р(А), а вероятность отсутствия страхового случая — р (А). [Не учитывается возможность нескольких случаев в одном договоре!]
Для перехода к характеристикам безусловного распределения, необходимо знать характеристики условного распределения. Так как математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормального распределения нам неизвестны, рассчитаем оценки их по формулам [1]. :
(Ц_+ ~ )
М(х|а) =е 2 ;
О(X | А) = е(д2 +2а) • (ед2 - 1)
(1)
где а ид характеристики нормального распределения логарифмов ущерба. Ранее определены оценки: а = 10,38, д2 = 1,48 для одного страхового случая (считая весь портфель однородным и не разбивая его на субпортфели). С учетом приведенных формул (1) получены оценки характеристик логнормального распределения ущерба:
,1,48
^ (-—+10,38)
М (Х|А) = е 2 = 67 583,93 руб.
(1,48+2*10,38)
(3)
О(Х|А) = е— — • (е1'45 -1) = = 15 576 603 474,58 руб.2
Для перехода к безусловному распределению ущерба (предполагая возможность возникновения не более одного страхового случая в каждом договоре!) необходимо вычислить полное математическое ожидание и дисперсию по следующим формулам [2]:
М (X) = М (Х|А)- Р (А) (2)
О (X) = О (Х|А)- р (А) + + [ М (Х|А)]2- Р (А)- Р ( А )
При возможности нескольких случаев в одном договоре формулы модифицируются (см. формулы 12 и 13).
Количество договоров в анализируемом портфеле «автокаско» 2512, страховой случай произошел в 888 из них, то есть вероятность того, что произойдет хотя бы один страховой случай Р (А) = 0,35, а вероятность того, что страховой случай не произойдет Р (А) = 0,65.
Полное математическое ожидание и дисперсия в этом случае:
М (Х) = 67 583,93 - 0,35 = 23 891,13 руб.
О (Х) = 15 576 603 474,58 - 0,35 + + 4 567 867 286,45 - 0,35 - 0,65 = = 6 550 249 314,61 руб.2
Полученные характеристики показывают, что средняя величина ущерба в одном договоре для всего портфеля 23 891,13 руб. Причем эта характеристика учитывает, что в значительном числе договоров страховые случаи не произошли. (Но не учитывают возможности возникновения в одном договоре более одного страхового случая!).
Для расчета тарифа недостаточно знать распределение ущерба в одном договоре, необходимо аппроксимировать с помощью теоретического закона распределения значения суммарного ущерба во всем однородном портфеле.
Распределение суммарного ущерба играет ключевую роль в актуарных расчетах, поскольку финансовое благополучие страховщика определяется распределением риска, денежным покрытием из собственных средств и собранными взносами. Выражение для функции распределения суммарного ущерба Б(Х) можно получить с помощью свертки распределений индивидуальных ущербов Б1(Х), которые предполагаются независимыми.
Свертка есть интеграл произведения функций плотности, например, для двух величин:
X
/(х) = \А( х - у ) • /2( У ¥У
(4)
потребностям страховщиков. Основным приближением, применяемым в актуарной практике при аппроксимации суммарного ущерба, является нормальное приближение.
Оценки параметров закона распределения величины ущерба во всем портфеле можно вычислить (предполагая независимость рисков), как сумму оценок параметров законов распределения каждого договора:
IМ, (х) ; X 0 (х)
(5)
Задачу приходится решать численно, присоединяя СВ по одной.
На практике, когда число индивидуальных рисков N достаточно велико, такая задача практически неразрешима, однако для больших выборок существует более простой способ нахождения теоретического закона распределения — с использованием предельных теорем. Это связано с тем, что вероятность Р(Х1+...+^< х) с ростом N имеет определенный предел, который можно принять в качестве ее приближенного значения. Такое приближение обычно оказывается достаточно точным и удовлетворяет практическим
Если портфель однороден, формулы (5) примут вид: М (5) = N • М (X). О (5) = N • О (X)
(6)
8 — общий ущерб в портфеле. В страховании неоднородность портфеля компенсируется увеличением рисковой надбавки.
Для исследуемого портфеля получим характеристики нормального закона распределения величины ущерба во всем портфеле:
М(5) = 2512 - 23 891,13 = 60 014 518, 56 руб. Д5) = 2512 - 6 550 249 314, 61 руб.2 = = 16 454 226 278 300,30 руб.2
Рисковая премия определяется на основе математического ожидания ущерба в одном договоре, а рисковая надбавка — на основе среднего квадратического отклонения ущерба во всем портфеле. При отсутствии собственных средств у страховщика, уровень премии, соответствующий М (5) обеспечит страховщику надежность 50% (для симметричного закона распределения!), что является недостаточным для успешного ведения дела.
Страховщик, чтобы обеспечить определенную вероятность: 1 — е неразорения (выживания), должен иметь страховой фонд и в объеме:
и= М(5) + ^ VО(5),
где ) = у = 1 - 2е
Страховой фонд состоит из собранных (в отчетном периоде) премий, созданного ранее резерва и собственных средств страховщика. Для обеспечения высокой вероятности неразорения (например, 1 - е = 99%, тогда у = 0,98; 1 у = 2,326 ), страхов-
(7)
щик должен создать страховой фонд в размере:
и = M (S) + t0,99 -jd(S) =
= 60 014 518, 56 + 2,326 ■ 4 056 380, 96 = = 69 451 079, 51 руб.
Причем доля собранных премий с клиентов обеспечивает обычно до 60—65% надежности. То есть суммарная нетто-премия, собранная со всего портфеля, будет равна:
снп = M (S) + t0,65 л/d(S) =
= 60 014 518, 56 + 0,385 ■ 4 056 380, 96 = = 61 577 537 руб.
Следовательно, каждый из 2512 страхователей должен внести нетто-премию в размере: 24 513 руб.
На основе (требуемой) суммарной нетто-премии рассчитывается ставка по следующей формуле:
снп
Ставка »-. (8)
объем ответственности
Поскольку данные об объеме ответственности (у автора) отсутствуют, численно решить задачу получения ставок в нашем исследовании — невозможно, но полученные числовые характеристики суммарной нет-то-премии позволяют оценить ставки компаниям, владеющим информацией о страховых суммах объектов, принятых на страхование.
Обеспечение надежности от 65 до 99% (т. е. U - СНП = 7 873 542,51 руб.) должно осуществляться за счет создания резерва собственных средств или передачей части риска в перестрахование.
Такое высокое значение премии (24 513 руб.) является неоправданным, поскольку портфель неоднороден, подсчитаем премию для каждого субпортфеля (отечественные автомобили и иномарки). Рассуждая аналогично, получим следующие характеристики субпортфелей (табл. 1).
Таблица 1 иллюстрирует, что математическое ожидание ущерба для иностранных автомобилей выше, чем по всему портфелю, а для российских ниже. Поскольку стоимость иностранных автомобилей варьирует в большем диапазоне, чем для российских, а ущерб распределен на отрезке от нуля до страховой суммы, то его дисперсия выше для иностран-
Сравнение характеристик ущерба и субпортфелей российских полученных с помощью
ных автомобилей. Нетто-премия по всему портфелю получается большей, чем по втором субпортфелям, поэтому резерв, который придется создать страховщику (или отдать в перестрахование), по двум субпортфелям меньше, чем для всего портфеля на 1,4 млн. руб. Однако тарифы, рассчитанные на один договор, выглядят более справедливыми: вместо 24 тыс. руб., которую заплатил бы каждый водитель, владелец российского автомобиля заплатит 16 тыс. руб., а водитель «иномарки» 27 тыс. руб. Такие тарифы более точно отражают рисковую ситуацию и позволяют водителям более дешевых автомобилей не платить лишние деньги для покрытия риска владельцев более дорогих автомобилей.
Использование коллективных моделей
Поскольку индивидуальные модели не учитывают распределение ис-
_
Таблица 1
для всего портфеля «АВТОКАСКО» и иностранных автомобилей, индивидуальной модели
ков в портфеле, рассчитаны тарифы с помощью коллективных моделей. Основным отличием моделей коллективного риска от моделей индивидуального риска является допустимость в одном договоре более, чем одного, страхового случая. Такая модификация является существенной, особенно, для автотранспортного страхования, поскольку в договорах страхования «АВТОКАСКО» страховщик не ставит условие выплаты только по одному страховому случаю в период действия договора. Как отмечалось выше, вероятность страхового случая в страховании «АВТОКАСКО» достаточно велика и потенциальному страхователю будет невыгодно покупать полис с покрытием только одного страхового случая.
В коллективной модели поступающие иски не связывают с конкретными договорами, а рассматривают, как результат суммарного риска ком-
47 №1, 2007
Экономика, Статистика и Информатика
пании. Так же, как и в модели индивидуального риска, используется понятие вероятности разорения (е), т. е. вероятности того, что суммарный иск будет больше, чем резервы компании (плюс собранные взносы).
е = Р(Х1 +...+ Хн> и) (9)
Точный расчет вероятности разорения производится по формуле:
е = Р(X! +... + XN > и) = = ХР{[(X! | А) +... + (XN|A)] > и| к = И}-
к=о
• Р (к = и)
(10)
Вероятность выполнения (или невыполнения) страховщиком своих обязательств в коллективной модели вычисляется проще, если распределение числа исков в портфеле имеет закон распределения Пуассона или отрицательный биномиальный. Для расчета характеристик используют преобразование Лапласа [1] для величины ущерба 8 для составного пуассо-новского распределения или составного отрицательного биномиального распределения. Каждое составное отрицательное биномиальное распределение можно рассматривать, как составное Пуассоновское распределение с определенным образом подобранными параметрами [3].
Для коллективных моделей также существуют простые методы расчета характеристик теоретического закона распределения с помощью приближений, полученных различными способами.
Основным является нормальное приближение, как и для модели индивидуальных рисков. (При положительном числителе):
п,и-М(5) . _ .
Р(1О5Г <'')=^=у <")
При использовании коллективной модели характеристики суммарного ущерба рассчитаны по следующим формулам, (поскольку величина ущерба и число исков независимы):
М (5) = ММ (к) • М (X) (12)
О (5) = О (к) • М 2( X)+О( X) • М (к) (13)
Таблица 2
Сравнение характеристик для всего портфеля «АВТОКАСКО» и субпортфелей отечественных и иностранных автомобилей, полученных с помощью коллективной модели, (тыс. руб.)
Характеристики ущерба
Субпортфель Субпортфель
иностранных отечественных
автомобилей автомобилей
Весь портфель
снп
70 623,07
33 750,47
114 275,85
нп
на 1 договор
50,63
30,22
45,49
и
80 654,75
38 864,90
126 829,30
и-снп
10 031,68
5 114,42
12 553,45
Величина и рассчитана по формуле (7), результаты сведены в табл. 2.
Таблица 2 иллюстрирует, что премии, полученные с помощью коллективной модели, в 1,8 раза выше премий, полученных с помощью индивидуальной модели, а резерв, необходимый для обеспечения вероятности неразорения 99% , увеличился более, чем в два раза.
Премии, полученные с помощью коллективных моделей, можно считать более адекватными, поскольку в индивидуальной модели не принимается во внимание возможность возникновения нескольких страховых случаев в договоре. В нашем исследовании, во всем портфеле из 2512 договоров в 888 договорах возникли страховые случаи, но в индивидуальной модели число исков 888, когда на самом деле (в ряде договоров произошли более одного случая!) их 1654. Это и получилось по коллективной модели.
В ходе исследования применены идеи Г.И. Фалина [6] об использовании гамма — распределения, а также предложение Ж. Лемера об использовании смешанного распределения Пуассона. Однако повысить адекватность моделей удалось лишь в двух портфелях из 25 исследованных.
Поскольку собранные премии призваны обеспечить надежность
вероятность неразорения 65%, что является недостаточным для успешного ведения дела, применяются методы повышения надежности. Рычагом, обеспечивающим уменьшение риска страховщика, является франшиза, которая перекладывает мелкие ущербы со страховщика на страхователя, (что приводит к снижению взноса), а также — перестрахование, в которое страховщик передает, в основном, крупные ущербы. Этим вопросам будет посвящена следующая статья.
Литература
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Корнилов И.А. Основы страховой математики: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
3. Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели. М.: Янус-К, 2003.
4. Мак Т. Математика рискового страхования. М.: Олимп-Бизнес, 2005.
5. Салин В.Н., Абламская Л.В., Ковалев О.Н. Математико-экономичес-кая методология анализа рисковых видов страхования. М.: Анкил, 1997.
6. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом, 1994. я
