К вопросу статистического исследования риска в автотранспортном страховании Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

К вопросу статистического исследования риска в автотранспортном страховании

Миронкина Ю.Н.,

к.т.н., доцент Скорик М.А.

к.э.н., доцент,

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Автотранспортное страхование находится в настоящее время в очень активной стадии своего развития — как страхование автогражданской ответственности, так и страхование автомобилей КАСКО. Автострахование сохраняет стабильные темпы роста в течение последних трех лет, существенно опережая другие сегменты страховых услуг. Статистическое исследование и моделирование числа исков в портфеле договоров страхования позволяют сделать вывод, о применении наиболее подходящей модели совокупности страховых договоров нужно признать отрицательное биномиальное распределение, являющееся смешанным пуассоновс-ким/гамма распределением. Полученные результаты могут быть использованы для математически обоснованного построения тарифа страхования автокаско по договорам такого типа.

Бум развития страхования автокаско начался в 2003 г., когда дилерские сети иностранных производителей значительно расширили ассортимент автомобилей, стали предлагать альтернативные 100%-ной предоплате схемы покупки, банки стали активнее выдавать автокредиты. Свою лепту в рост продаж внесли и иномарки, собранные в России.

За первое полугодие 2007 г., по данным Ассоциации европейского бизнеса, россияне купили 720 143, автомобиля иностранного производства, включая иномарки, собранные в России. Это на 70% превышает итоги первого полугодия 2006 г.

Рост продаж автомобилей иностранного производства является главным условием увеличения объемов премии по страхованию автокаско. Рост премий по страхованию автокаско, млрд. руб. и темпы прироста (по данным Аналитического отдела Центра стратегического планирования ОСАО «Ингосстрах») представлены на рис.1.

Процесс увеличения объемов рынка страхования автокаско идет параллельно с ростом убыточности по этому виду страхования. По данным Аналитического отдела Центра стратегического планирования ОСАО «Ингосстрах»:

ц рост объема страховых выплат на 42% в целом по рынку добровольного страхования имущества (по розничному автокаско, огневому страхованию юридических лиц и авиакосмическим рискам), превосходит динамику страховых премий в 2 раза;

ц размер средней выплаты на договор страхования с физическими лицами увеличился на 69%, тогда как по юридическим лицам— на 18%.

Говорить о критической убыточности страхования автокаско пока еще рано: высоких значений уровня выплат не наблюдается. Однако ряд ведущих страховщиков, активно развивающих розничный сегмент автокаско, продемонстрировали увеличение убыточности, в среднем на 20%.

Объем премий по ОСАГО за 1 полугодие 2007 г. составил 34,5 млрд. руб., увеличившись на 17,6% по сравнению с 1 полугодием 2006 г. Страховые выплаты увеличились на 21,9% до 18,4 млрд. руб.

Аналогично с ситуацией страхования автокаско, характерной тенденцией ОСАГО в последнее время является рост убыточности. В целом по рынку уровень страховых выплат вырос с 51,5% в 1 полугодии 2006 г. до 53,5% за I полугодие 2007 г.

Все это предъявляет высокие требования к актуарным расчетам, на основе которых рассчитываются страховые премии. В практической деятельности страховых компаний при выполнении актуарных исследований одной из важнейших задач является оценка распределения количества страховых случаев по изучаемому портфелю договоров.

Представленный материал используется в преподавании актуарных расчетов в МЭСИ и предлагает некоторые подходы к решению этой важной задачи практических актуариев.

В работе рассмотрен анализ закона распределения количества урегулированных убытков при наступлении нескольких страховых случаев в одном договоре. Расчеты производились в ППП Microsoft Excel.

Процесс анализа данных включает следующие этапы:

ц обработка и группировка первичной информации;

ц оценка параметров закона распределения изучаемой дискретной случайной величины;

ц построение различных теоретических распределений, аппроксимирующих изучаемое распределение числа страховых случаев;

ц проверка статистической гипотезы о виде закона распределения и параметрах распределения;

ц выбор наилучшего распределения.

Классическая актуарная модель поступления исков предполагает следующие допущения:

1. Анализируется фиксированный промежуток времени.

2. Число договоров n фиксировано и неслучайно.

3. Риски попарно независимы, т. е. наступление страхового случая по одному договору не влияет на наступление страховых случаев по другим договорам.

Распределение числа выплат по портфелю является дискретной случайной

величиной. Если известны фактические значения случайной переменной, то на их основании можно вычислить выборочные значения оценок математического ожидания и дисперсии числа исков, а при необходимости, и других моментов. Используя полученные значения, необходимо с требуемой точностью (и надежностью) аппроксимировать эмпирические вероятности с помощью теоретических законов распределения вероятностей.

Для аппроксимации числа исков в страховом портфеле обычно используются хорошо зарекомендовавшие себя на практике распределения:

и биномиальное; и распределение Пуассона; и геометрическое; и отрицательное биномиальное; и более сложные модели — как правило, смешанные пуассоновские распределения.

Каждое распределение имеет свои особенности, поэтому, аппроксимируя фактическое количество исков, необходимо учитывать характеристики наблюдаемых значений.

Биномиальное распределение предполагает, что за время действия договора страховое событие может реализоваться за время действия договора только один раз, а вероятность того, что оно произойдет, одинакова для всех договоров. Поэтому биномиальное распределение можно использовать при исследовании страхования от угона, но портфели рисков КАСКО и ОСАГО требуют иных законов распределения. Вследствие этого данное распределение рассматриваться не будет.

Пуассоновскоераспределение является более простым приближением биномиального, при условии, что вероятность страхового случая достаточно мала, а число договоров велико. Пуассоновское распределение может применяться и в том случае, если по договору может быть предъявлено несколько исков, однако оно накладывает определенные ограничения на исследуемую совокупность: математическое ожидание и дисперсия должны быть равны. Для отрицательного биномиального распределения дисперсия больше, чем математическое ожидание, поэтому его применение чаще дает более адекватный результат. Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения. Существует также обобщенное геометрическое распределение, которое также часто приводит к адекватным результатам.

Для изучения реальных неоднородных страховых портфелей необходимо рассматривать и более сложные модели — например, смешанные пуассоновские распределения.

Статистическое исследование риска в автотранспортном страховании выполнено на основе реальных данных одной из московских страховых компаний. Сформулированные рекомендации применимы в большинстве рис-

Рост премий по прироста в %

страхованию автокаско в России, млрд. руб.

Таблица 1

Расчет выборочных оценок параметров распределения числа страховых случаев в одном договоре

к тк рк тк'к к к2 тк •к2 k 2

0 1624 0,646 0 0 0

1 490 0,195 490 1 490

2 208 0,083 416 4 832

3 98 0,039 294 9 882

4 48 0,019 192 16 768

5 23 0,009 115 0,658 25 575 1,834

6 10 0,004 60 36 360

7 5 0,002 35 49 245

8 3 0,001 24 64 192

9 2 0,001 18 81 162

10 1 0,000 10 100 100

п 2512 1 -

ковых видов страхования. Предложенный материал иллюстрирует роль статистических исследований при решении актуарных задач, поэтому может использоваться как в научных, так и в учебных целях.

Исходные данные: По исследуемому портфелю, состоящему из п=2512 договоров по страхованию «автокаско», за год поступили иски по т=888 договорам в связи со страховыми случаями. Число страховых случаев к, произошедших по одному договору, варьировалось в изучаемом портфеле от 0 до 10.

Эмпирические частоты р рассчитаем по статистическому определению вероятности события как т/п.

Найдем выборочные оценки параметров распределения числа страховых случаев в одном договоре (среднее значение

1 г 1 = — У ^ ■ ; п = У и выборочную П 1=1 1=1

Экономика, Статистика и Информатика

дисперсию Бк2 = к2 - (к )2). Расчетная таблица представлена ниже (табл.1).

Итак, по результатам расчетов, оценки параметров распределения случайной величины К — числа страховых случаев в одном договоре :

Выборочная средняя: к = 0,6584;

Выборочная дисперсия:

Б2 = 1,834 — 0,б582 = 1,4001.

Аппроксимируем эмпирическое распределение числа поступивших исков с помощью упомянутых выше теоретических законов распределения.

Распределение Пуассона.

Случайная величина К — число страховых исков в заданный год имеет распределение Пуассона, если вероятность наступления к страховых случаев в одном договоре страхования вычисляется по формуле:

№4, 2007

Pk =-

kl

k = 0,1,2,.

Числовые характеристики распределения Пуассона:

m[k]= d[k] = np = X

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения при p ^ 0, n ^ <х. Отсюда следует, что распределение Пуассона с параметром X=np можно применять вместо биномиального, когда число опытов n достаточно велико, а вероятность p — достаточно мала, т.е. в каждом отдельном опыте интересующее событие происходит крайне редко.

Статистическая оценка параметра распределения Пуассона X как по методу моментов, так и по методу максимального правдоподобия, по выборке находится как среднея по формуле:

_ _ 1 1 1

~ = k = - £• mt; n = £ mt.

n i=1 i=1

В исследуемом портфеле, несмотря на большой объем выборки (n = 2512), вероятность наступления страхового случая недостаточно мала (m/n = 888/2512 = 0,35), поэтому применение для анализа самой удобной модели — распределения Пуассона, не является корректным. Тем не менее, в учебных целях студентам предлагалось выполнить необходимые расчеты. Результаты аппроксимации числа поступивших исков на основе распределения Пуассона приведены в табл.2.

Значения теоретических частот pk получены с применением функции Пуассона (ПУАССОН( k; k ;0)) в Excel, а затем рассчитаны теоретические частоты mkT_n • pk.

Далее с помощью критерия согласия c2 проверяется гипотеза об адекватности пуас-соновской модели. Следует учитывать, что для корректного использования критерия согласия Пирсона интервалы должны быть достаточно заполнены частотами. Если отдельные теоретические частоты на концах распределения окажутся слишком малы (меньше 5), то при вычислении критерия необходимо объединять такие интервалы в более крупные. Поэтому предварительно контролируется выполнение указанного условия и, при необходимости, некоторые интервалы по mkT объединяются таким образом, чтобы в каждом было не менее 5 наблюдений, и только потом определяется величина %2 — наблюдаемого по формуле:

г >

Таблица 2

Расчет теоретических значений распределения Пуассона для аппроксимации числа исков в портфеле договоров «автокаско»

Число страховых случаев в договоре k Эмпирические Теоретическ

частотыг mk вероятности Pk вероятности Pk ча

0 1624 0,646 0,5177

1 490 0,195 0,3408

2 208 0,083 0,1122

3 98 0,039 0,0246

4 48 0,019 0,0041

5 23 0,009 0,0005

6 10 0,004 5,8610-5

7 5 0,002 5,51 • 10-6

8 3 0,001 4,54-10-7

9 2 0,001 3,3210-8

10 1 0,000 2,1810-9

всего n =2512 1,000 1,000

Таблица 3

Выборочное и теоретическое пуассоновское распределения числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона

k mk ткт (mk - mk mkT

0 1624 1300 80,55

1 490 856 156,63

2 208 282 19,36

3 98 62 21,10

>=4 92 12 551,89

Сумма х2на6л= 829,54

количество договоров по группам 1800

1600 —г

10

номер группы, соответствующий числу исков k

Рис. 2. Моделирование числа исков по виду страхования «автокаско» с помощью пуассоновского распределения

Хнабл _

4=1 ткТ

Результаты расчетов приведены в табл. 3, содержащей фактические данные о числе договоров с указанным количеством страховых случаев и данные, предсказанные по пуассо-новской модели. Согласно условиям применения критерия согласия Пирсона, интерва-

лы, в которых теоретические частоты менее 5, были объединены:

Далее на заданном уровне значимости находим Х2крит(а; V) согласно правилу: V = I - г - 1 (I— количество интервалов после объединения, г—количество параметров теоретического закона распределения). Закон Пуассона характеризуется одним параметром X => v= I - 2. х2крит(а = 0,05; V = 5 - 2 = 3) = 7,815. Таким образом, в рассматриваемом примере Х2тб/=890 541) > х2 а = 0,05. на л

(=829,541) > Х2крит( = 7,815) при

Следовательно, проверяемая гипотеза отвергается, и пуассоновская модель признается неадекватной для аппроксимации распределения урегулированных убытков при моделировании числа исков в портфеле рисков по виду «автокаско». Этот вывод о разногласиях структуры реальных данных и пуассоновского распределения проиллюстрирован на построенном графике (рис. 2):

Пуассоновское распределение может применяться адекватно при моделировании распределения числа страховых случаев индиви-

-XXk

дуального страхователя для однородного портфеля договоров—в том случае, если по договору может быть предъявлено несколько исков (не одновременно) (например, имущественное, автомобильное, медицинское и т.п. страхование).

Кроме того, распределение Пуассона может подходить для описания в коллективной модели числа страховых случаев, происходящих в определенном фиксированном временном промежутке и относящихся к портфелю рисков.

В нашем случае согласие с пуассоновс-ким распределением оказывается очень низким, на правом «хвосте» пуассоновского распределения недостаточно массы, поэтому оно не может применяться для моделирования этого портфеля договоров автомобильного страхования. Нужно подобрать распределение, дисперсия которого превосходит его среднее.

Обобщенное геометрическое распределение.

На предварительном этапе для определения вероятности поступления определенного количества исков, необходимо (по найденным выборочным моментам к и б^2) рассчитать следующие параметры:

в =

Б; - к+(к)2 б; + к + (к )2

а _ 2(к )2 _

«2 + к + (к )2

После получения оценок параметров вероятности определяются по следующим формулам:

р0 _ 1 - а в 0< в <1

рк _ а ■ вк ■ (1 - в) к > 1, 0 < а < -

в

Результаты выполненных расчетов для полученных в нашем случае в = 0,472 и а = 0,348 приведены в табл.4:

В дальнейшем, по аналогии с предыдущими выкладками, наблюдения объединялись в группы, и вычислялось значение %2набл (табл. 5). На основании того, что Х2набл>Х21

(Х2набл= 662,652, X2

(а = 0,05; V = 7 - 2 - 1 =

= 4) = 9,488), гипотеза отвергается, т.е. обобщенная геометрическая модель признается неадекватной для распределения урегулированных убытков в группе «автокаско». Несогласованность эмпирической и теоретической кривых также проиллюстрирована на следующем графике (рис. 3).

Как видно, простые распределения—пу-ассоновские, геометрические и т.п. на практике часто оказываются не адекватными для моделирования сложных портфелей договоров страхования, отличающихся неоднородностью. Необходимо рассмотреть более сложные модели.

Отрицателъное биномиальное распределение (смешанное пуассо-новское/гамма распределение).

Таблица 4

Расчет распределения числа исков в портфеле договоров «автокаско» с помощью обобщенного геометрического распределения

Число страховых случаев в договоре к Эмпирические Теоретичес

частотыг тк вероятности Рк вероятности Рк ч

0 1624 0,646 0,836

1 490 0,195 0,087

2 208 0,083 0,041

3 98 0,039 0,019

4 48 0,019 0,009

5 23 0,009 0,004

6 10 0,004 0,002

7 5 0,002 0,001

8 3 0,001 0,000

9 2 0,001 0,000

10 1 0,000 0,000

всего 2512 1,000 1,000

Таблица 5

Выборочное и обобщенное геометрическое распределения числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона

к тк ткТ (тк - т ткт

0 1624 2100 107,8:

1 490 218 340,18

2 208 103 107,9'

3 98 48 50,72

4 48 23 27,71

5 23 11 13,88

>=6 21 9 14,36

Сумма %2на6л= 662,6:

количество договоров по группам 2500

2000

1500

1000 -

500

номер группы, соответствующий числу исков к

Рис.3. Моделирование числа исков по виду страхования «автокаско» с помощью обобщенного геометрического распределения

Отклонение пуассоновской и геометрической моделей, постулирующих одинаковую вероятность наступления страхового случая для всех договоров, показывает, что распределение страхователей в нашем портфеле договоров не является однородным. Необходимо построить модель, которая учитывала бы разнородность рисков.

На практике параметр пуассоновского распределения X часто оказывается непостоянным вследствие:

ц различия параметров пуассоновского распределения у разных страхователей при моделировании числа случаев в индивидуальных моделях;

Экономика, Статистика и Информатика 63 №4, 2007

1

ц различия в параметрах X для разных лет в портфеле с одинаковыми рисками с случае коллективных моделей (погодные условия, экономическая конъюнктура и т.п.).

Возникает проблема введения дополнительной случайной величины Q, отвечающей за изменение параметра X, и отражающей неоднородность портфеля (в 1-м варианте) или служащей для моделирования ежегодно меняющихся внешних воздействий в однородном портфеле коллективной модели (2-й вариант).

Предполагаем, что Q.—независимые одинаково распределенные случайные величины, характеризующие индивидуальность страхователя в 1-м случае и «качество года» во 2-м случае. Это распределение называется смешивающим.

Таким образом, смешивающее распределение ^ выступает мерой неоднородности страхового портфеля.

Плотность распределения случайной величины Q будем обозначать через и(Х) и называть структурной функцией.

Итак, предположим, что распределение р(Ю (М = 0, 1, 2, ... 10) числа страховых случаев на счету каждого застрахованного имеет пуассоновское распределение:

Pu =-

k!

, k = 0, 1, 2,

Причем, каждый страхователь характеризуется своим значением X, что позволяет учесть неоднородность рисков.

Жан Лемер (Jean Lemaire), Томас Мак (Thomas Mack) предлагают для учета разнородности страхователей использовать структурную функцию u(?), которая приводит к так называемому смешанному пуассоновскому распределению:

Таблица 6

Расчет распределения числа исков в портфеле договоров «автокаско» с помощью отрицательного биномиального распределения (смешанного пуассоновского/гамма распределения)

Число страховых случаев в договоре к Эмпирические Теоретическ

частоты mk вероятности Pk вероятности Pk ча

0 1624 0,646 0,6434

1 490 0,195 0,1992

2 208 0,083 0,0836

3 98 0,039 0,0382

4 48 0,019 0,0181

5 23 0,009 0,0088

6 10 0,004 0,0043

7 5 0,002 0,0022

8 3 0,001 0,0011

9 2 0,001 0,0005

10 1 0,000 0,0003

всего 2512 1,000 1,000

Таблица 7

Выборочное и теоретическое отрицательное биномиальное распределения числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона

k mk ткт (mk - m ткт

0 1624 1616 0,037

1 490 501 0,219

2 208 210 0,019

3 98 96 0,048

4 48 46 0,137

5 23 22 0,036

6 10 11 0,073

7 5 5 0,033

>=8 6 5 0,2

Сумма %2на6л= 0,806

Pu = J

k!

- u(X)dX

В качестве структурной или смешивающей функции можно выбирать различные функции. Наиболее часто в актуарных расчетах используется гамма-распределение с параметрами а и Ь:

u(k) = ■

Г(а)

ь >0

Г(а) = | ^ 1в - гамма - функция Эйлера,

о

Г(а +1) = аГ(а),

Г(а + 1) = а!, а - натур.число

Именно гамма-распределение хорошо описывает ситуацию, когда значения 1 колеблются вокруг некоторой величины при том, что как очень маленькие, так и очень большие значения 1 хоть и возможны, но маловероятны.

Распределение числа страховых случаев в портфеле {р k = 0, 1, 2, ....}тогда приводится к следующему виду:

Pk =J — u(X)dX = J —--=г— dX =

Ъа

'! Г(а)(1 + Ъ)'+а

Г(' + a) ■ Ъа " k!T(a) ■ (1 + Ъ)'+

'! Г(а) >-;ч1+Ъ|(Ш + Ъ))'+а-1 d(X(l + Ъ)) =

Г(' + a) I Ъ Y I l ' Г(' + 1)Г(а)I l + Ъ II l + Ъ

Если а — целое то, учитывая, что Г(а + 1) = а.:

k + а - 1)! I b

а-11 1 + b J I 1 + b

* *!(а - 1)! + Ь Д 1 + Ь

Таким образом, мы пришли к отрицательной биномиальной модели вида:

Рк = • ра • (1 - р)"

с параметрами и числовыми характеристиками:

Р =

1 + b

= 1 - p =

1 ;

1 + b '

m(K)=a ; d(K)=a Î1+1

b b I b

Вычисление вероятностей отрицательного биномиального распределения не требует таблицы значений гамма-функции. Последовательное использование свойства Г(а+1)=

=аГ(а) позволяет перейти к рекуррентной формуле:

k + а

Pk+1 (k + 1)(1 + b)

при начальном значении

Ро

■ Pk

1 + b

Оценки параметров распределения по выборке с использованием метода моментов осуществляются по формулам:

b =-

(k )2

С учетом найденных выше выборочных характеристик, среднего и выборочной дисперсии к = 0,658; Я,2 = 1,834 - 0,б582 = 1,400, получим:

ь = -

— = 0,8878; а = -

— = 0,5846 .

Б/ - к - к

Пользуясь рекуррентной формулой, рассчитываем частоты, результаты представлены в табл. 6.

S2 - k

S2 - k

В дальнейшем, по аналогии с предыдущими выкладками, наблюдения объединялись в группы, и вычислялось значение X 2набл (табл. 7).

Сравнение X2 б = 0,806 и X2 (X = 0,05;

r 'V набл ' 'V крит ' '

V = 9 - 2 - 1 = 6) = 12,592 показало, что Y2 < X2 , поэтому проверяемая гипотеза

набл крит

не отвергается, т.е. отрицательная биномиальная модель признается адекватной и достаточно точно отражает распределение числа поступивших исков. Отрицательная биномиальная модель, принятая на таком уровне надежности, может быть использована для проведения актуарных расчетов.

Полученные результаты и согласованность эмпирического и отрицательного биномиального распределения наглядно проиллюстрированы на графике (рис. 4).

В актуарной литературе (Жан Лемер (Jean Lemaire), Томас Мак (Thomas Mack), Корнилов И.А. и др.) отмечается успешное применение отрицательного биномиального распределения в подгонке числа страховых случаев для неоднородных портфелей.

Смешанное пуассоновское распределение — модель «хорошиериски/плохие риски».

Жан Лемер (Jean Lemaire) предложил для расчета числа исков еще одну модель, которая тоже относится к смешанным пуассонов-ским распределениям—модель «хорошие риски/плохие риски». В этой модели предполагается, что существует две категории водителей —«хорошие» (для моделирования которых вводится пуассоновское распределение с параметром и «плохие» водители (характеризуются значением параметра X2)). Проанализируем исследуемый портфель по этой методике.

Оценки теоретических вероятностей рассчитываются с помощью формулы:

-M k

Pu = ai -

X\

k!

+ a,

где ара2, X1 X2>0,

k!

a+a=l,

^ a -X2 X X A + VA2 - 4B

a, = -—j)2- ; Xi, X2 =-~-

- X. где A =

ab ac - b

; в = -

количество договоров по группам 1800 т

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

9 10

номер группы, соответствующий числу исков к

Рис.4. Моделирование числа исков по виду страхования помощью отрицательного биномиального распределения

<автокаско»

Рассчитанные оценки параметров распределения

Таблица 8

X2

k k2 k3 a b c A B X

0,658 1,833 7,4108 0,658 1,175 3,2269 3,3078 1,0028 0,3376 2,9702 0

Таблица 9

Расчет распределения числа исков в портфеле договоров «автокаско» с помощью смешанного пуассоновского распределения модели «хорошие риски/плохие риски» (по Ж. Лемеру)

Оценки параметров распределения по методу моментов рассчитываются по следующим формулам:

Число страховых случаев в договоре k Эмпирические Теоретически

частотыг mk вероятности Pk вероятности pk 40

0 1624 0,646 0,6328

1 490 0,195 0,2301

2 208 0,083 0,0633

3 98 0,039 0,0313

4 48 0,019 0,0206

5 23 0,009 0,0121

6 10 0,004 0,0060

7 5 0,002 0,0025

8 3 0,001 0,0009

9 2 0,001 0,0003

10 1 0,000 0,00009

всего 2512 1,000 1,000

Ь - а Ь - а*

а = к; Ь = к2 - к ; с = к3 - 3к2 + 2к;

к, к2, к3 — начальные выборочные моменты 1-го, 2-го и 3-го соответственно порядка случайной величины К— числа страховых случаев.

Для нашего портфеля договоров рассчитаны следующие оценки параметров распределения (табл. 8).

Полученные оценки могут быть проинтерпретированы следующим образом: в наш

портфель договоров попало 87,81% ( а1) хороших водителей, частота страховых случаев которых составляет 0,33 аварии в год ( ^) и 12,19% плохих водителей, которые в год совершают в среднем 2,97 аварий.

Таким образом, вероятности смешанного пуассоновского распределения модели <хорошие риски/плохие риски», аппроксимирующего распределение числа исков в исследуемом портфеле, будем рассчитывать по следующей формуле:

e -°'338 0,34* e -2'97 2,97k pk = 0,878-^-+ 0,122

k! k!

Результаты расчетов приведены в табл. 9.

Теперь с помощью критерия согласия X2 проверим гипотезу об адекватности построенной модели (табл. 10).

Х2набл=37,882 > Х2крит(а = 0,°5; V = 8 - 2 -- 1 = 5) = 11,070, следовательно, гипотеза отвергается, модель «хорошие риски/плохие риски» признается неадекватной для распределения урегулированных убытков.

Рис. 5 иллюстрирует, что это распределение (визуально) дает более точный результат, чем рассмотренные выше пуассоновское и обобщенное геометрическое распределения, но все же значение Х2набл= 37,882 (хотя и намного меньшее, чем для упомянутых распре-

Экономика, Статистика и Информатика 65 №4, 2007

1

Таблица 10

Выборочное и теоретическое смешанное пуассоновское распределение модели «хорошие риски/плохие риски» числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона

(тк- тк

к тк ткТ ткТ

0 1624 1590 0,749

1 490 578 13,40

2 208 159 15,12

3 98 79 4,751

4 48 52 0,275

5 23 30 1,761

6 10 15 1,654

>=7 11 10 0,168

Сумма %2на6л= 37,88

количество договоров по

номер группы, соответствующий числу исков k

Рис. 5. Моделирование числа исков по виду страхования «автокаско»с помощью смешанного пуассоновского распределения — модели «хорошие риски/плохие риски»

делений) при числе степеней свободы V = 5 вынуждает отвергнуть гипотезу о распределении числа исков по этому смешанному пуассоновскому распределению.

Статистическое исследование и моделирование числа исков в рассмотренном портфеле договоров страхования позволили сделать вывод, что в исследуемой совокупности страховых договоров наиболее подходящей моделью нужно признать отрицательное биномиальное распределение, являющееся смешанным пуассоновским/гамма распределением. Полученные результаты могут быть использованы для математически обоснованного построения тарифа страхования автокаско по договорам такого типа. Перечисленные аспекты в первом приближении характеризуют важность этапа статистического исследования риска, являющегося базовым для актуарных исследований.

Литература

1. Ж. Лемер. Автомобильное страхование. Актуарные модели / Пер. с англ. — . М.: Янус-К, 1998. — 319 с.

2. Ж. Лемер. Системы бонус-малус в автомобильном страховании / Пер. с англ. — . М.: Янус-К, 1998. — 270 с.

3. Томас Мак. Математика рискового страхования / Пер. с нем. — М.: Олимп-Бизнес, 2005.—432 с.

4. Корнилов И.А. Основы страховой математики. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 400 с.