CC BY
28
УДК 629.463.64
КРИТЕРИИ ДЕЛЕНИЯ СТРАХОВОЙ НАГРУЗКИ НА ОСНОВЕ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ТАРИФИКАЦИИ СТРАХОВАТЕЛЕЙ
В.В. Кульба, Н.В. Хорохордина, А.А. Хвастунов
Рассматривается задача расчета страховых взносов при наличии статистических данных по каждому страхователю без их объединения в однородные группы
Ключевые слова: критерий, нагрузка, система, страхователь, тариф
Основываясь на известных результатах теории страхования [1-3], рассмотрим вариант концепции индивидуальной тарификации1.
Суммарные страховые взносы обычно делят на две составляющие:
В = М + Ь, (1)
где М - суммарная страховая премия, Ь - суммарная рисковая надбавка. Страховщик способен
выполнить свои функции в полном объеме, если выполняется неравенство:
Я + В - X > 0, (2)
где Я - сумма накладных расходов и наличных резервов страховщика, X - суммарный размер страховых выплат. Суммарные страховые взносы поступают от п страхователей:
в = м+ь = £ (м,.+ь ),
1=1
где М1, Ь1 - рисковые премия и надбавка , -го страхователя.
На практике указанные выше соотношения имеют вероятностную природу, причем, если в коммерческом страховании случайной величиной полагается только возможный ущерб X, то в системе обязательного страхования от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний, вообще говоря, и доходная часть бюджета В является также недетерминированной величиной. Кроме того, взносы страхователей поступают не в начале страхового периода, а по месяцам, т.е. в данном случае речь идет не о стационарной страховой схеме, а о нестационарной. Обычно в коммерческом страховании в нестационарных схемах страховые взносы несколько превышают размер единовременных страховых взносов, осуществляе-
мых в начале страхового периода. Другими словами, в выражение (1) следует добавить дополнительное слагаемое Ь, - плата за рассрочку внесения страховых взносов.
Учитывая вероятностный характер, как суммарного размера возможного ущерба, так и суммарного размера страховых сборов и полагая страховую премию равной среднему значению ожидаемого ущерба, выражение (1) можно представить в виде:
Е(В) = Е(X) + Ь ,
где через Е(.) обозначено математическое ожидание случайной величины. В дальнейшем для простоты будем полагать Е(В) = В .
Рассмотрим различные способы определения рисковой надбавки.
1. По среднему значению:
В = (1 + а) Е (X), (3)
где рисковая надбавка Ь = аЕ^) пропорциональна первому моменту, коэффициент а называется коэффициентом нагрузки. Существенным недостатком определения суммарных взносов по формуле (3) является тот факт, что в ней не учитываются особенности распределения случайной величины возможного ущерба - нельзя отличить два риска с одинаковыми математическими ожиданиями возможного ущерба.
2. По дисперсии:
В = Е( X) + аУаг^), (4)
где Уаг(.) - дисперсия случайной величины.
3. По среднему квадратичному отклонению:
В = Е( X) + а Уаг( X). (5)
4. В системе обязательного социального страхования целесообразно использовать модифицированные формулы (3)-( 5), а именно:
Кульба Владимир Васильевич - ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, тел. (495) 334-79-00 Хорохордина Наталья Васильевна - ВГАСУ, канд. экон. наук, ст. преподаватель, тел. (4732) 76-40-07 Хвастунов Александр Александрович - ВГАСУ, аспирант тел. (4732) 76-40-07
D = (1 + а) E (X) + C; (6)
D = E( X) + aVar( X) + C; (7)
В = Е(X) + аУаг(X) + С, (8)
где дополнительное слагаемое С имеет смысл дополнительной или солидарной нагрузки на страхователей, связанной с выплатами по страховым случаям, не обеспеченным страховыми взносами, а также накладными расходами.
Выразим солидарную нагрузку как часть средних ожидаемых ущербов:
С = РЕ (X). (9)
Тогда суммарные страховые взносы отдельных страхователей также распадаются на три слагаемых:
в, = м,+ь, + с,
(10)
где М1 = Е(X,.), Ь1, С 1 - математическое ожидание возможного ущерба, рисковая надбавка, определяемая по одному из выражений (3) или (4), и солидарная нагрузка , -го страхователя соответственно.
Таким образом, возможны следующие базовые схемы начисления страховых взносов страхователям с учетом (9):
В, = (1 + а + Д) Е (X,.); (11)
В, = (1 + Д)Е (X,) + а,.Уaг(X¡); (12)
В, = (1 + ) + а1Л/ Уаг( X.). (13)
Проведем сравнительный анализ предложенных способов определения рисковой надбавки.
Формула (3) самая простая - нужно только определить коэффициенты нагрузки и солидарной ответственности, но она не учитывает вариабельность возможных ущербов.
Формулы (4) и (5) требуют получения оценок дисперсии случайной величины возможных ущербов. Заметим, что использование выражения (4) удобно при расчетах, поскольку выполняется условие линейности: применительно к сумме рисков X = X1 +... + Xn общий взнос равен сумме индивидуальных взносов:
В = £ (1 + Д) Е^,) + а,.Уaг(X¡.) = В, +... + Вп.
,=1
Для формулы (5) свойство линейности не выполняется, но ее использование инвариантно к изменению стоимости денег. Действительно, пусть изменен масштаб оценки ущерба X 1 = mX¡. Тогда:
В1 (X) = (1 + Д)Е(та,) + а„1 Уаг^.) = тВ1 (X.).
Что касается расчета страховых взносов по выражениям (11)-(13), то эта задача имеет неоднозначное решение и требует наличия статистических данных по каждому страхователю, что, в принципе, реализуемо, однако достаточно трудоемко и, глав-
ное, лишает отдельных страхователей того главного преимущества, которое дает их объединение в однородные группы. Этот известный факт теории страхования обсуждается далее.
Методику расчета рисковой надбавки проиллюстрируем следующим примером.
Пример 1. В табл. 1 представлены данные четырех страхователей за период наблюдения по трем видам страховых случаев с известными распределениями:
Таблица 5.1.1.
Расчетная таблица для получения прогнозных оценок
1 Страхователь 1 2 з 4
Данные за период наблюдения
2 Фонд оплаты труда, на который начисляются взносы Ф^ , 1400 1200 400 1000
]=й
3 Количество страювьп случаев по видам Пр } =1,4 I П Ш I П Ш I П Ш I П Ш
1 3 5 2 8 I I 6 10 2 4 I
4 Всего страховых случаев 9 И 17 7
5 Общий убыток страхователей , 69 109 118 77
]=й
6 Удельные веса затрат страхователей , ] = 1.4 0,0493 0,0908 0,2950 0,0770
Прогнозные данные
7 Средний ожидаемый ущерб Pj , 76,30 93,26 144,13 59,35
]=й
8 Нетто-премия ] =1,4 86,97 106,31 164,29 67,65
1) случайная величина X1 с фиксированным ущербом, равным X; = 20 ;
2) случайная величина X 2 с равномерно распределенным ущербом на интервале [0; 16];
3) случайная величина X 3 - экспоненциальное распределение ущерба со средним Я = 5.
Суммарный фонд оплаты труда составил Ф = 4000 у.д.е. (суммарный итог стр. 2). Всего за наблюдаемый период произошло 44 страховых событий (суммарный итог стр. 3), которые распределились по страхователям следующим образом (стр. 4):
п-1 = 1 + 3 + 5 = 9,
п2 = 2 + 8 +1 = 11, п3 = 1 + 6 +10 = 17,
П4 = 2 + 4 +1 = 7.
Рассчитаем числовые характеристики по видам страховых случаев - математические ожидания Е и среднеквадратические отклонения а (или
дисперсии ст2):
1) Е(X1) = 20; а(^) = 0; Е (X 2) = ^ = 16 = 8;
2)
а (X2) =
2
(Ь — а)2 12
256
12
21,33
3) Е(X3) = 5; о2(Х3) = Х2 = 25 .
Для заполнения стр. 5 рассчитаем затраты за период наблюдения на выплаты страхового возмещения для каждого страхователя по формуле Ру = Му х р , где N у - количество страховых случаев і -го вида у -го страхователя (у = 1, 4 ), р -размер возмещения страхового случая -го вида (р =20; р =8; Р = 5):
Р1 = 1 х 20 + 3 х 8 + 5 х 5 = 69;
Р2 = 2 х 20 + 8 х 8 + 1х 5 = 109;
Р3 = 1х 20 + 6 х 8 +10 х 5 = 118;
Р4 = 2 х 20 + 4 х 8 + 1х 5 = 77.
Общая сумма возмещения: Р = £Ру =373
у=1
(у.д.е.).
Для заполнения стр. 6 рассчитаем удельные
Р;
веса затрат страхователей по формуле у, =
і 0,1364
Р = и 0,4773 , р3 =— ! 44 44
0,3863 .
Результат проверки: р1 + р2 + р3 = 1 . Ожидаемый размер возмещения на один страховой случай составит:
Е(Р1) = 0,136 х 20 + 0,477 х 8 + 0,387 х 5 =
= 2,728 + 3,8184 +1,932 = 8,478.
Общая сумма ожидаемого ущерба составит Е(Р) = 8,478 х 44 = 373 и равна суммарному ущербу за период наблюдения.
Для заполнения стр. 7 рассчитаем ожидаемые ущербы по каждым страхователям по формуле
р= Е(Р)х п,, , = 14:
Р* = 8,478 х 9 * 76,30; Р2* = 8,478 х 11 * 93,26; Р3* = 8,478 х 17 * 144,13;
Р* = 8,478 х 7 * 59,35 .
у = 1,4 (в долях): 69
1400
: 0,0493 ; у2 =
109
1200
118 77
у3 =---И 0,2950 ; у4 =------------и 0,0770.
400 1000
Групповой удельный вес рассчитывается как 373
у =------* 0,0933 или, что представляется более
4000
приемлемым, по первичным данным, как взвешенное среднее удельных весов:
Рассчитаем дисперсию ущерба на один страховой случай:
о2 = Е Рі хР2 - Е 2(Р1) = і=1
= 0,1364 х 202 + 0,4773 х 82 + 0,3 863 х 52 - 8,4782 и и 54,56 + 30,55 + 9,66 - 71,88 = 94,77 - 71,88 и 22,89.
Соответственно дисперсия и среднеквадратическое отклонение ущерба на 44 страховых случаев составят:
Гср =Е
і=1 Ф
1400 • 0,0493 +1200 • 0,0908 +1000 • 0,077
4000
і 0,0933.
Оценим рисковую ситуацию в данном примере в предположении, что интервал прогноза равен интервалу периода наблюдения. Будем полагать независимость количества убытков по видам, а общее число страховых случаев на предстоящий период равно их количеству за период наблюдения, т.е. N = 44 при неизменном количестве страховых случаев и размерах фондов оплаты труда у отдельных страхователей.
В этих предположениях рассчитаем относительные частоты страховых случаев по видам
Рі =
N
N
где М - количество страховых случаев
о424 = 0-1 х 44 = 22,89 х 44 = 1007,16 ;
о = д0 = V1007 и 31,74.
В предположении нормального распределения размера группового страхового ущерба имеем на уровне значимости 5%:
Р Р-ЕР<£-ЕР 1 = 0.95 =• г„,5 =.
о
о
^ и = X +1,6450 = 373 +1,645 х 31,74 и 425,2.
Таким образом, получена верхняя оценка возможного группового ущерба с доверительной вероятностью 100 - 5 = 95%. Расчетный групповой удельный вес затрат (в долях) составит:
и 425,2
у = — =------- = 0,1063,
Ф 4000
6
і -го вида (і = 1, 3):
что существенно выше группового удельного веса за наблюдаемый период.
Теперь выполним аналогичные расчеты для каждого страхователя. Рассчитаем относительные частоты, как соотношения , -х и общего фондов
оплаты труда р1 = Ф, / Ф, , = 1,4:
1400 035 1200
р. =--------------------------= 0,35 , р2 =-= 0,3 ,
1 4000 2 4000
400 _ 1000 _
Р3 =---= 0,1. р4 =---------------= 0,25 .
3 4000 4 4000
Тогда ожидаемый средний удельный вес затрат составит:
Е(у) = £р, х7, =
>1
= 0,35 х 0,0493 + 0,3 х 0,0908 +
+ 0,1 х 0,2950 + 0,25 х 0,077 =
= 0,0175 + 0,027 + 0,03 + 0,02 = 0,0933.
Рассчитаем дисперсию и среднеквадратичное отклонение:
Отсюда следует и верхняя оценка группового ущерба:
X = Р х Ф = 0,21х 4000 = 840 .
По полученным расчетным данным можно сделать следующий вывод: расчет по удельным весам затрат дает слишком завышенную прогнозную оценку, поскольку группа страхователей в данном примере слишком неоднородна по удельным весам затрат.
Поскольку в данном примере нет информации о дисперсии отдельных страхователей, назначение нетто-премий осуществим по средним прогнозным значениям В = (1 + а) Е (X) , где
В = 425,2, Е(X) = Е(Р*) = 373 ,
D - E(P*) 425,2 - 373
E( P*)
373
; 0,1399.
Для заполнения стр. 8 рассчитаем чистые тарифы (нетто-премии) каждого страхователя по
формуле В, = Р* + аР*, , = 1,4:
о2(г) = £ Ру ху2 - Е2(у) = у=1
= 0,35 х 0,04932 + 0,3 х 0,09082 +
+ 0,1 х 0,29502 + 0,25 х 0,0772 - 0,09332 =
= 0,000875 + 0,00243 + 0,009 + 0,0016 -- 0,0087 = 0,0139 - 0,0087 = 0,0052;
о (у) = у]о2(г) = V0,0052 и 0,0721'.
В предположении нормального распределения размера группового страхового ущерба имеем на уровне значимости 5% верхнюю оценку группового удельного веса затрат:
p Y-E(у) < U - E(у)
а(у) а(у)
== E (у) + 1,645<t(y) =
= 0,0933 +1,645 х 0,0721 и 0,2119.
Ц = 76,30 х 1,1399 и 86,97; D2 = 93,26х 1,1399 и 106,31; D3 = 144,13x1,1399 и 164,29 ; Ц4 = 59,35 х 1,1399 и 67,65.
Литература
1. Комментарий к Федеральному закону «Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний» (постатейный с приложениями) // Под ред. Дубровского В.Н. М., Библиотека журнала «Вестник социального страхования», 2003
2. Шахов В.В., Миллерман А.С., Медведев В.Г. Теория и управление рисками в страховании. - М.: Финансы и статистика, 2002.
3. Никитина Т.В. Страхование коммерческих и финансовых рисков. - СПб.: "Питер", 2002.
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва Воронежский государственный архитектурно - строительный университет
CRITERIA OF DIVISION OF INSURANCE LOADING ON THE BASIS OF INDIVIDUAL SYSTEM OF
TARIFFING OF INSURANTS
V.V. Kulba, N.V. Khorokhordina, А.А. Hvastunov
The problem of calculation of insurance payments is considered at presence of statistical data on each insurant without their association in homogeneous groups
a =
Key words: criterion, loading, system, the insurant, the tariff
