CC BY
49
ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА
УДК 621.313
А.А. АФАНАСЬЕВ, A.B. НИКОЛАЕВ
РАСЧЕТ РАБОЧИХ ХАРАКТЕРИСТИК АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С МАССИВНЫМ ФЕРРОМАГНИТНЫМ РОТОРОМ С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЯ ЕГО МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ Постановка задачи
Настоящую статью следует рассматривать как продолжение предыдущей [2], в которой обосновывались аналитические подходы к расчету электрических машин с массивным ротором на основе решения краевых задач для кольцевых областей методом разделения переменных Фурье.
В данной работе основной акцент делается на расчет рабочих характеристик асинхронного двигателя с учетом изменения магнитной проницаемости материала ротора как функции пространственной координаты, влияющей на плотность вихревых токов и потери в роторе.
Расчет магнитного поля и магнитной проницаемости ротора
Зависимость магнитной проницаемости от глубины погружения магнитного поля в тело ротора легко учесть путем разбиения его массива на элементарные участки (ЭУ), имеющие форму концентрических колец (рис. 1). Каждому /-му элементарному участку будет соответствовать свое значение магнитной проницаемости, равное .
, На границах ЭУ магнитная проницаемость будет испытывать скачки.
Внутри ЭУ параметры среды гщ - Ч являются неизменными, т.е. сама среда
будет линейной, однородной, а исходное дифференциальное уравнение для векторного потенциала в ней [2] - линейным. Поэтому для таких ЭУ нет необходимости изначально рассматривать магнитную проницаемость как непрерывную функцию пространственных координат [5]. Таковой она становится, если число ЭУ будет достаточно большим.
В соответствии с [2] будем иметь следующие выражения для составляющих комплексной амплитуды п-й гармоники магнитной индукции в элементарном участке
= U п \с]п J„ ('А^r)+ 'С2„ Y„ ('* (1)
где
'В
kjs~„ ['с1иJ'nг)+ 'с2„г;j, ( = 1,2,... от, lk=,J-jсо 'щ Y ,
(2)
Рис. 1. Элементарные участки ротора в форме концентрических колец с номерами \,2, ...,т
sn = 1 + (1 - íj ) п,
Veo- скольжение ротора относительно первой гармоники магнитного поля;
верхний знак ( -) соответствует значениям п~6к + \ (к= 0,1,2, ...;
«=1,7, 13,...);
нижний знак (+) соответствует значениям п = 6к-\ (к= 1, 2, 3, ...; я=5, 11, 17,...).
Для последнего (от-го) участка, имеющего форму круга, следует принять
'С
2 п
О.
Неизвестные коэффициенты ‘С^ п, ’(.'2п и определятся из граничных условий для нормальных составляющих магнитной индукции и тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля.
Например, из граничных условий воздушного зазора и наружной поверхности ротора следуют уравнения
1с1« 1с2и у2и/2)^Р)
1С1йуЦ1*>/^г1)+ 1С2иуД1*л/^г1)±^и *щ/2 г\ к^)р$ = 0. (3) Введем в рассмотрение вектор неизвестных . х = кх2-х2т!Т’
компоненты которого будут равны
*1= С\п> *2 = ^2п, = С\п, х^ = С'2п'"'х2т-Ъ _ ^ ^1/7’
х2т-2 = ^ ^С2«> *2от-1 = *”С1и’ х2т=
Тогда из граничных условий ¿-го и (/+7)-го элементарных участков, имеющих граничную окружность радиуса г-'гх, получим уравнения
а\\х\ +а\2х2 +а],2т х2т ~Н’ (4)
а21х1 + а22 х2 + а2,2т х2т = °> а2й-1,2М *2М + а2й-1,2/*2г + а2г+1,2/+1 *2/+1 + а2г+1,2г+2 *2г+2 = °> ^
а2/+2,2г-1 *2Ы +аИ+2,Их21+а21+2,2Мх21+\ + а2/+2,21+2 *2/+2 = °> (7) где
/ = 1,2,...,(ш-1),
а2т-\,2т ®,а2т,2т
" =\\г„-№-гпМ\
Неизвестные постоянные колец будут определяться из векторноматричного уравнения
[а]х = Ь, (8)
где
=±(з7ц0у2и/2)р^;Ьк = 0, к = 2,3,. ..,2т;
Матрица [а] имеет следующую структуру
[А] =
~аи «12 0 0 0 0 ' о.. . 0 0 0 «1,2 т
"21 «22 0 0 0 0 о.. . 0 0 0 «2,2/и
«31 «32 «33 «34 0 0 о.. 0 0 0 0
«41 «42 «43 «44 0 0 о.. 0 0 0 0
0 0 «53 «54 «55 «56 о.. . 0 0 0 0
0 0 «63 «64 «65 «66 о.. 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0. • а2т-\,2т~3 а2т-\,2т-2 а2т-\,2т -10
0 0 0 0 0 0 о.. ■ а2т,2т-3 а2т,2т~2 а2т,2т- 1 0
Решение системы уравнений позволяет определить составляющие комплексной амплитуды п-й гармоники магнитной индукции в кольцевых участках ротора по формулам (1), (2). Следовательно, находятся модули амплитуд первой гармоники индукции в этих участках
'е!1) =
1тах
1гтах
В,
\<р тах
по которым, обращаясь к их действующим значениям [5], с помощью кривой намагничивания материала ротора будет определяться магнитная проницаемость /-го участка - V] •
Если ввести обозначения1
Функции Бесселя второго рода с комплексными аргументами
___________ }Ъп/ ]Ъп/
г ~ г - дпг е /4 = хе , 8п > 0;
___________ утс/ ]п/
к^Щ^ г = г = дпге =хе , Зп < 0;
где
Яп =л103М^п\,х = я„г, выражаются через функции Кельвина:
Уп р1Л) хе /н
)
/А ~2
хе ) п
2 (2 ,
=—кегих-Ьеіпх + у —ке\пх + Ьег/7х , л I л
-кеги х - Ъс\пх - у
—кеі пх + Ьегих
сое пп,
Ч„=Яе'С1л, Ъ]п = 1т'С, „, 'а2п^С2п, Ъ2п=\т'Сг„,
2 2
Ьегл х = — кеі„ х, Ьеіпх = —кегих, п ж
где
Х = і1<й V] ‘у Ни| ^ ^1.
/ = 1,2,...,/я, °/і=/і|,
то амплитудным значениям радиальных и тангенциальных гармоник индукции на наружных границах кольцевых областей ротора с радиусами
(/ = 1,2,...,/«) можно придать вид
= (9)
І (|0)
1<Р ~ 2 V 2
где выражения для функций Сп и Оп зависят от знака скольжения .
1) 8п >0
Сп -~а\п І Ьеіи х-Ь\п г Ьег„ х+’а2п(~г Ьег„ х+гЬег„ (* Ьеіи х-г 1іеіи х),
При малых значениях аргумента х (X < 10) функции кеги х и ке^х (так же как и функции Ьегих и Ье1их) вычисляются через определяющие их (теоретически) бесконечные суммы [1].
При больших значениях аргумента х (х > 10) расчет этих специальных функций через бесконечные суммы приводит к быстрому накоплению ошибок округления. Поэтому при х > 10 следует пользоваться формулами асимптотических разложений [1]
кетпх = Мпсо$Фп, к&пх = Ип5тФп,
где
* і 1 \п( 71 ) і Ц-1 1 і (^Хн--25) 1
л/2 2 \2х) 872 * 384>/2 х3
МХн-1з) і
128
+ 0
1
Ч-»
Фи = -
л/Г
1 1,^-1!, рі-іХи-25) 1 [ с
16 х2
384л/2
\хЬ )
ц = 4«"
гВп=^а\п г Ьег„ х-1'^ г'Ьеіл.х+га2и(-г'Ьеіи х+*Ьеіи Ьеги х-Ьегп х),
П- “V
Ьег/Н*"
Ьег«+1Х-
ЫтпА х-1 Ьеги+] х+гЬе^„, х-гЬеіи+, х)+г61л(-гЬеіи_1 х+'Ьеі^ х + Ьеги+] х)+1а2п(-1 Ьеі^ х+'Ьеі^ х+'Ьеі^, х-гЬеі„+1 х+'Ьег^ х-Ьег„_! х+1Ьегп+1 х)+1Ь2п{~1 ЬегнЧ х+гЬеги+1 х+'Ьег^ х-^ег^ х-Ьеі„ч х+гЬеіи+] х+'ііеі^ х-Ьеі^ х),
а1п(-'Ьеги-І х+'Ьег«+1 *+^‘«-1 Ьеі»+1 *)+гМгЬеіл-1 *“Ьеі„+1 * + ЬеГ/г+1 дг)+,а2и(,Ьеі„_1 х-'Ьеі„+1 х-'Иеі^ х+'Ьеі^ х+'Ьег^ х-
Ьеги_, х4гИеги+1 х)+1Ь1пСЬегиЧ х-гЬеги+1 х-'Иег^ х+'Ьег^.-, х-
Ьеіи-1 *+*^+1 х+гЬеіи_ггЬеі„+1 х).
Ьег«-1 х~ Ьеги+] л'-
2) < О
гСи=гО|пг Ьеіп х-гй^г Ье^ х+га2п(г Ье^, х+гЬе^ хУб2и(г Ьеі„ х+г Иеі^ х),
ГОп =ЦИ7Ьег„ х+^]п' Ьеі„ х-га2и(*Ьеіи х+гЬеі„ х\г1Ь2п^Ьегп х+г1іег„ х), =га1п(г Ьег^ч х-г Ьег„+1 х+г Ьеі^ х-г Ьеі„+] х)+гЬь (г Ьеіи_, х-г Ьеі„+1 х -ЬегиЧ х+гЬеги+] х)+1а2п(-1Ьсіп_1 х+гЬеі„+1 х-гЬеі„ч х+'Ьеі^ х+'Ьег^ х-Ьеги+] х+'ЬегпА х-1 Ьеги+1 х)+г62„ (г ЪетпА х-1 Ьег„+1 х+г Ьег„_, х-г Иегл+] х + Ьеі^_1 х-1 Ьеі^+1 х+'Ьеі^ х-гЬеіи+1 х),
^А^Ч/Ьег^ х~ЬйТп+1Ьеія-1 х+'Ьеі«+1 *)+^і/Ьеі«-1х~ Ьеі«+1 х + ЬегиЧ х-'Ьеги+| х)+1а2п(г1Ьї\пА х+гЬеі„+] х-'Ьеі^., х+'Иеі^ х-'Ьег^, х+ Ьегп+\ х-1 Ьег„_! х+1 Ъегп+] х)+1Ь2п{1 Ьег^, х~гЬеги+] х+гЬег^ х-1 Ьег„+1 х--Ьеі„_і х+гЬеіп+1 х~1Ы\пА+1Ы\п+х х).
Выражения (9), (10) позволяют сравнительно легко рассчитать двухслойный ротор [4] (первый слой - массивный цилиндр из железомедного сплава, второй слой - шихтованный сердечник из электротехнической стали) или учесть наличие омеднения поверхности массивного ротора, улучшающего рабочие характеристики асинхронного двигателя [3].
В этом случае у одного или нескольких первых концентрических колец
следует принять гц=гИе = Ио и Ч ~ "^Си(АІ) ■
4-
Расчет рабочих характеристик асинхронного двигателя
Расчет рабочих характеристик производится по формулам, приведенным в [2], за исключением выражений для плотности вихревых токов и потерь в массивном роторе. При наличии однородных концентрических кольцевых элементарных участков будем иметь для комплексной амплитуды плотности тока /-го кольца [2]
г'б|и)=-; гусо5„[гС1/?іл(^^г^С2/7у(гА^'-)1 (1 О
Согласно введенным выше обозначениям справедливо
где
х = т[®1ц1 'у 18пг=1д„г,
знак(+)соответствует Бп>0, знак (-) соответствует < 0.
Поэтому для модуля амплитуды п-й гармоники тока в /-м кольце имеем
\ «)ЯпУ1±гС^дпг)+ ±ГоЦ1Чп^. (12)
Потери в роторе отя-й гармоники плотности тока следует находить по формуле
На рис. 2-5 показаны некоторые показатели магнитного поля в массивном роторе и рабочие характеристики двигателя мощностью 40 кВт, полученные расчетным и опытным путем.
а
б
Рис. 2. Зависимости первых гармоник радиальной (а) и тангенциальной (б) составляющих магнитной индукции в четырех слоях (т-4) массивного ротора
в функции скольжения
Видим, что уровни индукции во внутренних слоях существенно меньше, чем в наружном слое.
Рис. 3 показывает значительное снижение магнитной проницаемости в наружном слое ротора.
Из рис. 4 следует, что высшие гармоники магнитной индукции присутствуют только в наружном слое ротора.
Расчетные рабочие характеристики асинхронного двигателя с массивным ротором, изготовленного на базе асинхронного двигателя типа 'А02-81-2 [3], близки, как видно из рис. 5, к опытным данным.
ц, 1000 o.e.
800
600
400
200
О1
о 0.2 0.4 0.6 0.8 81 1
Рис. 3. Магнитная проницаемость на верхних границах четырех слоев массивного ротора
а
б
Рис. 4. Зависимость от скольжения радиальной (а) и тангенциальной (б) составляющих 5-й гармоники магнитной индукции в массивном роторе, разбитом на 4 слоя (т=4)
Рис. 5. Ток (а) и электромагнитный момент (б) асинхронного двигателя с массивным
ротором типа А02-81-2 мощностью 40 кВт (о, А - опытные точки соответственно
тока и момента)
Литература
1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.
832с.
2. Афанасьев A.A. Аналитические подходы к расчету электромагнитного поля электрической машины с массивным ротором // Вестник Чувашского университета, 2002. №2. С. 208-220.
3. Лищенко А.И., Лесник В.А. Асинхронные машины с массивным ферромагнитным ротором. Киев: Наукова думка, 1984. 168 с.
4. Могильников B.C., Олейников А.И., Стрельников А.Н. Асинхронные двигатели с двухслойным ротором. М.: Энергоатомиздат, 1983. 120 с.
5. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1949. 190 с.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ родился в 1939 г. Окончил Московский энергетический институт. Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой управления и информатики в технических системах Чувашского университета, член-корреспондент Российской академии электротехнических наук, действительный член Нью-Йоркской академии наук. Автор более 140 научных работ, в том числе 3 монографий и 11 свидетельств и патентов на изобретения в области электромеханики и электропривода.
НИКОЛАЕВ АЛЕКСЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ родился в 1979 г. Окончил Чувашский государственный университет. Аспирант кафедры управления и информатики в технических системах Чувашского университета.___________________
