CC BY
32
УДК621.В1В
И.З. Богуславский, B.C. Рогачевский
МЕТОД РАСЧЕТА АСИНХРОННЫХ РЕЖИМОВ МОЩНЫХ СИНХРОННЫХ МАШИН С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ В ДЕМПФЕРНОЙ ОБМОТКЕ
Постановка задачи
В практике эксплуатации различают в зависимости от скольжения 5 следующие асинхронные режимы:
при скольжениях 5 (например, кратковременные режимы при пуске двигателей, когда частота ЭДС в контурах ротора юрот = 2л50 с-1; длительные режимы при работе машины на нелинейную нагрузку, когда юрот
при скольжениях л = 0,05 (например, режимы длительностью г= 30 мин при юрот = 2л2,5 с-1 яв-нополюсных дизельных генераторов, турбогенераторов; асинхронный режим гидрогенераторов по ГОСТ 5616 не разрешен).
Отметим, что обмотка возбуждения при пуске двигателя и в асинхронных режимах генераторов замыкается на дополнительное сопротивление, так что ее влияние на эти режимы практически исключено. При работе в сети с преобразователями частоты влияние токов в обмотке ротора ослаблено; исследование осциллограмм токов в обмотке возбуждения подтверждает, что при определенных ин-дуктивностях ротора их отрицательная полуволна при использовании современных систем возбуждения частично или полностью «срезается». МДС таких токов в длительных асинхронных режимах значительно меньше МДС токов демпферной обмотки; при необходимости пульсирующее поле токов в ней удобно учесть методом наложения [1,7] (Приложение 4).
Система уравнений для магнитосвязанных контуров синхронной машины с учетом насыщения магнитной цепи и поверхностного эффекта в контурах ротора
Электромагнитные нагрузки машин во всех этих режимах в диапазоне частот 2л2,5 < юрот < < 2л600 определяются из нелинейной системы уравнений [1] магнитосвязанных контуров (Приложение 1); при этом оказывается возможным
использовать опыт разработки и создания мощных асинхронных двигателей с короткозамкну-тыми и фазными роторами [2]—[5].
Исходные данные и результаты решения системы уравнений. Заданы: напряжение сети ¿7Ф;
<
<
сопротивления стержней (7В) и участков обоих короткозамыкающих колец (2$) демпферной обмотки ротора при этой частоте ; характеристика холостого хода машины Г0 = /¡3(ФВЗ), где Г0 — МДС магнитной цепи, Фвз — поток взаимоиндукции; обмоточные данные статора и конструкция демпферной обмотки (число стержней 7У0 на полюсе , шаг по стержням и др.).
В результате решения для каждого значения
<
деляются: токи в обоих контурах машины (включая и токи в элементах конструкции демпферной обмотки); активная мощность РВ]ЛВ< потребляемая из сети, и полная мощность или совф.
Итерационный метод решения. Из уравнений (П1) и (П2) системы при задании первого приближения амплитуды Вт(т) результирующего поля вычисляются поток взаимоиндукции Фвз(т) и амплитуда ЭДС ЕСТобмотки статора, а из характеристики холостого хода по (ПЗ) — МДС магнитной цепи Ги ц (/я — порядок пространственной гармоники; в последующих уравнениях он опущен). Согласно уравнению (П4) можно несколько увеличить [2] эту МДС до /¡) за счет ее активной составляющей /7а1СГ; для этого необходимо вычислить потери холостого хода, соответствующие потоку Фвз, и механические потери машины.
Перейдем куравнению (П5). Для вычисления амплитуд гармоник МДС ротора /р"от согласно (П5) необходимо предварительно определить:
токи /л в участках короткозамыкающих колец итоки /л, в стержнях демпферной обмотки (метод определения этих токов) на основе результатов исследования регулярной замкнутой цепной схемы [6] изложен в следующем разделе статьи);
ступенчатую функцию распределения этих токов;
МДС и индукцию, создаваемые токами в обмотках ротора и статора.
Для явнополюсных машин, отличающихся величиной зазора по продольной (с!) и поперечной (#) осям, для этого потребовалась реализация ряда линейных преобразований, эквивалентных линейным преобразованиям МДС в теории двух реакций [7]. Эти линейные преобразования в комплексной плоскости для гармоник МДС ротора /рОТ порядка п > 1 и индукции порядка т > 1 выполнены в четвертом и пятом разделах. В рамках этих преобразований оказывается возможным учесть пространственные гармоники >>
разделяется на элементы по осям (с/, ф машины.
В шестом разделе выполнены линейные преобразования для гармоник МДС и индукции поля токов статора явнополюсных машин.
После того, как мы определили эквивалентные МДС /р"от, перейдем к уравнению (П6) системы, которое является формулировкой закона полного тока [ 1] и определяет связь между обоими контурами машины исходя из вычисленных значений амплитуд МДС магнитной цепи Г0и МДС /р"от. Из уравнения (П6) определяется амплитуда МДС обмотки статора а из (П7) — ток статора /ст. Согласно (П8) теперь возможно вычислить амплитуду напряжения ¿7ВЫВ на выводах обмотки статора машины.
Отметим, что все найденные величины — потока Фвз и ЭДС ЕСТ; МДС и /р"отдля обеих обмоток, Г0 и Г0\ токи ротора /л,, JN и статора /ст, напряжения ¿7ВЫВ — соответствуют произвольно принятому значению амплитуды индукции в зазоре Вт. В практических расчетах эта амплитуда Ввз должна быть выбрана такой, чтобы напряжение ¿7ВЫВ было равно напряжению
:11ф ~|£/выв|
решением системы уравнений (П1) — (П8).
Следовательно, решение системы (П1)—(П8) сводится к определению корня уравнения вида ивъю = ивъю(Бт) при условии
В алгоритме ¿7В1
^выв(5вз) используются
к
и.
1-1
ф
< м,
(1)
где и — точность вычислений; обычно принимают« <0,05.
нелинейные зависимости активных и индуктивных сопротивлений стержней демпферной обмотки от частоты юрот, характеристика холостого хода согласно (ПЗ) и др.
Корень уравнения при условии (1) может быть найден одним из численных методов решения нелинейных уравнений [9]. Начальное приближение для амплитуды Ввз определяется из уравнений (П1), (П2), (П8)и(1):
Д., <-
2тХюсти/стЛ'и,ст
(2)
Здесь Ь — активная длина статора (ротора); и>ст, КЖ1 — число витков и обмоточный коэффициент; х — полюсное деление.
При выполнении условия (1) вычисляется также активная мощность, потребляемая из сети:
Определение токов 1Л, в участках короткозамыкающих колец и токов ,/д в стержнях демпферной обмотки
Воспользуемся математической моделью токов демпферной обмотки для мощных синхронных машин, разработанной в [6]. Обозначим предварительно число стержней на каждом из 2р полюсов через 7У0; порядковые номера этих стержней: N = 0, 1, 2, 3.....1; участок между
соседними стержнями обозначим тем же номером (например, участку между стержнями с номерами N= 0 и N= 1 присвоим номер N= 0).
Сопротивления элементов демпферной обмотки с учетом ее конструкции. Установим предварительно связь между сопротивлениями элементов замкнутой цепной схемы в [1, 6] и элементами конструкции демпферной обмотки явнополюсных и неявнополюсных машин.
Стержни на полюсе с сопротивлением 2В и участки короткозамыкающих колец (сегментов) между ними с сопротивлением Zл образуют на полюсе группу; она состоит из стержней. Такие группы на полюсах соединены участками колец (сегментов) с сопротивлением Z/l-, причем Конструкция демпферной обмотки неявнополюсных машин имеет особенности: зубцы ротора числом = и клинья в его пазах тоже образуют симметричную группу. Эквивалентное сопротивление каждой пары клин — зубец обозначим также 2В. В пределах группы
они соединены параллельно по торцам машины участками вала. Сопротивление каждого из этих участков равно ZЛ, а сопротивление участков вала между группами равно Z/l-; здесь — число пазов ротора. Отметим, что конструкция демпферной обмотки мощных турбогенераторов предусматривает установку под клиньями медных полос; тогда Zй — эквивалентное сопротивление зубцов, клиньев и медных полос под ними, соединенных параллельно. На валу ротора в зоне бандажных колец у этих турбогенераторов устанавливаются медные листы (сегменты); тогда ZЛ, эквивалентное сопротивление соответствующих участков вала и медных листов. В конструкции турбодвигателей клинья выполняются из двух половин, отличающихся удельным сопротивлением; тогда Zй — полное эквивалентное сопротивление зубца и обеих половин клина. Таким образом, демпферная обмотка неявнопо-люсных машин также соответствует замкнутой цепной схеме, исследованной в [6].
Сопротивления Z/; обмотки соответствуют поперечным элементам замкнутой цепной схемы в [6], сопротивления Zл — продольным элементам, aZ/l-— сопротивлениям между симметричными группами данной цепной схемы. Метод расчета асинхронных режимов, изложенный в этой работе, предполагает, что Zй фДЛО; особенности их расчета пpиZй =Д Щ рассмотрены в [8].
Запишем расчетные выражения для сопротивлений элементов демпферной обмотки:
а) для явнополюсных машин обычно стержни — круглые, укладываются с торца ротора в полузакрытые пазы с узким шлицом; полюс — шихтованный; сопротивление стержня Zй вычисляется [2, 8] с учетом поверхностного эффекта, если «приведенная высота» стержня К'й^ = 1, где
К' = юротц0у /2 , — магнитная проницаемость воздуха; у — удельное сопротивление проводника; ¿/ст — диаметр стержня. Выражения для коэффициентов увеличения сопротивления (коэффициенты Фильда) и уменьшения индуктивности круглых стержней приведены в [2]. Сопротивление Zл вычисляется согласно [2] с учетом того, что длина участка кольца Ь между стержнями (шаг по стержням) равна Ь = Ьр/(7У0— 1), где Ьр = Ь'р — 2Д (й — ширина полюса; А — расстояние от кромки полюса до соседнего с ней стержня; в работе принято А « 0). Сопротивление Z/• вычисляется аналогично: длина участка кольца
между полюсами 2Ьр— (Т/2 — Ьр). При вычислении сопротивлений Zл и Z/lповерхностный эффект обычно не учитывается [2];
б) для неявнополюсных машин эквивалентное сопротивление стержня Zй определяется в общем случае тремя сопротивлениями, соединенными параллельно: сопротивлением Zй| пазового клина, сопротивлением медной полосы под этим клином, сопротивлением Zйzзубца ротора. Эквивалентное сопротивление коротко-замыкающего кольца Zл представляется двумя сопротивлениями, соединенными параллельно: сопротивлением ZЛ| участков вала (массив бочки ротора в зоне бандажного кольца) и сопротивлением ZЛ2 медного листа (сегмента) в этой же зоне. Рассмотрим основные расчетные выражения для этих сопротивлений.
Сопротивление Zй| вычисляется согласно [4], причем для машин с непосредственным газовым охлаждением ротора омическое сопротивление клина больше по сравнению с конструкциями, где клин — сплошной: сечение пазового клина уменьшено из-за вентиляционных каналов в нем.
Сопротивления Zйz зубца ротора и 2КХ участков вала (в зоне бандажного кольца) нелинейны: они зависят от степени насыщения массива ротора и глубины проникновения
«0,75 4О"4^АБ//рот , м; здесь АБ — линейная нагрузка (в А/м). Оба сопротивления вычисляются по соотношениям [41
Zgz -
(1 + ;0,б)Хр
РЕ ,
ь7А
лЛ
РрЕ
^банд^Ж
(3)
Здесь Ьг— средняя ширина зубца ротора; 6банд, А«шд ~~ длина участка вала и его диаметр под бандажом; р^—удельное сопротивление стали вала ротора; сопротивления 2В1 и 2К1 вычисляются согласно [2].
ЭДС в контурах демпферной обмотки. Установим теперь связь между ЭДС в звеньях активной цепной схемы [6] и ЭДС в контурах демпферной обмотки (см. рис.) явнополюсных и неявнополюсных машин с учетом особенностей их конструкции. Эти ЭДС индуктируются полем взаимоиндукции с амплитудой Вш.
ЭДС Е1:ъ контуре (7У0 — 1, 0) между стержнями соседних полюсов и ЭДС ЕА,+Л,+0 в контуре (N+ 1, N+ 0) соответственно равны
EF = -i® рот^вз—sin
пт
2пт
bF:
'N+l,N+0
= Ем ехр
,2nmb
-J-
Здесь Ем |х
пт V 1
хехр
-jf (2^))
IN =С,а? +
N
'N
2"2
ZBKB
ехр
-J^TbN I;
JN=qaC~l (я, -1) +
+ C2a2l(a2-1) +
JM
ZBKB
i I -пт-м,
l-exp| -J—2b
хехр| -j—2bN |,
(5)
где Ем находится по (4). Значения постоянных С,, С2, коэффициентов д,, а2- Кв с учетом конструктивных особенностей машин приведены в Приложении 2.
Проверка расчетных выражений для токов демпферной обмотки
Пример расчета. В табл. 1 представлено распределение токов в элементах демпферной обмотки (см. рис.)явнополюсноймашины (номинальная активная мощность — 20 мВт; номинальное напряжение — 10,5 кВ, 2р = 56, Т— 0,914 м, Щ = 6; 2ЬР= 207,214 м; 1=1,15 м; Ь = 50-10"4м, частота при пуске юрот = ЮОр с-1).
Токи в участках кольца /д и в стержнях ,/д демпферной обмотки. Токи 1А, в продольных элементах замкнутой цепной схемы [6] соответствуют токам в участках кольца (сегментах) демпферной обмотки, а токи /л, в ее поперечных элементах — токам в стержнях. Эти токи с учетом особенностей конструкции обмотки и размеров ее элементов имеют вид [6]
Сопротивления ее элементов: ZB=6,806-10 х хехр(/ 81,52); 2ZR = 4,093- 10^4ехр(/86,92); 2ZF = = l,696-10^exp(/81,52).
В табл. 1 ток в стержне с номером N=2 принят за 100 %. Из этой таблицы следует, что токи в сегментах между обоими полюсами равны по величине и противоположны по знаку: IN=_l = = - /у 5. Это соответствует закону Кирхгофа для распределения токов в сегментах демпферной обмотки на полюсах противоположной полярности и является дополнительной проверкой расчетных выражений (5).
Из табл. 1 также следует, что распределение токов в элементах отличается от гармонического: \JN\* const; Aa^ф const; |/м\ф const; ДРд,ф ф const. Ток в среднем стержне (N= 2) минимален (см. табл. 1), а токи в крайних (N— 0) и (N— 5) — максимальны. Отличие от гармонического распределения токов связано с влиянием обеих апериодических компонент в уравнениях (5) и зависит от соотношения активных и индуктивных составляющих в сопротивлениях ZF, ZB, ZR.
Частный случай: 2b,= b (беличья клетка асинхронной машины). В конструкциях мощных турбогенераторов многих фирм для выравнивания жесткости по продольной и поперечной осям ротора в каждом «большом зубе» выполняют пазы. Эти пазы заполняются сталью и заклиниваются;
Таблица 1
Распределение токов в элементах демпферной обмотки
N JN =|/^|exp(jaA,) IN = IN ехр(уРд,)
-1 - 2,52ехр(/8,09)
0 I,026exp(-yi20,04) 2,07ехр(—у18,79)
1 1,023ехр(—у'141,5) 1,81ехр(—у49,52)
2 1,0ехр(—yi64,53) 1,73ехр(—у82,53)
3 1,026ехр(/172,31) l,82exp(-yi 15,33)
4 1,1ехр(/150,59) 2,08ехр(—yi45,58)
5 1,21ехр(/131,28) 2,52ехр(—yi71,9)
под клинья укладываются медные полосы. В таких конструкциях демпферная обмотка аналогична беличьей клетке асинхронной машины: в ней 2 Ьр— Ь и соответственно Z/l-= ZЛ.
Токи ,/Л в стержнях такой клетки изменяются в зависимости от номера ТУпо гармоническому закону [7]. Следовательно, необходимо доказать, что в частном случае при Z/l = ZЛ обе апериодические компоненты тока /Л, с амплитудами С, и С2 в уравнениях (5) равны нулю.
Рассмотрим сначала выражение для амплитуды С| = Д/Д) (см. Приложение 2). Для этой конструкции {1р = ZЛ ф 0) имеем ахФ а2 ф 0 и, следовательно, определитель системы /)0 ф 0. Перейдем к выражению для В нем — два слагаемых; в первом из них имеется сомножитель
Ер
+ СЖ,
0 а0
а во втором —
ехр
. пт -у—х
*2Ь{ -1)
п
+ ехр -]—2Ь
Сомножитель в первом слагаемом пpиZ/l-= ZЛ имеет особенности: Ка0 = Кв, так что —Ер!2в = = С0АЬ0. Сомножитель во втором слагаемом при Z/ = Z/, также имеет особенности: оба слагаемых равны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, числитель /)-, = 0; аналогично и числитель /)4 = 0. В результате мы получили подтверждение справедливости полученных расчетных выражений (5) для токов /Л, и /л,.
Ступенчатые функции тока демпферных обмоток.
Комплексные амплитуды гармоник МДС
Основные допущения. В конструкции явно-полюсных машин стержни демпферной обмотки устанавливаются обычно в пазах с торца ротора, ширина шлица составляет Ьш = 2—4 мм, а отношение ее к шагу /п по пазам мало: /;т//п < 0,05—0,1. Поэтому можно считать, что ток в стержнях сосредоточен на оси паза. Соответственно функция тока в стержнях (МДС) в зазоре на периоде Т = кИ принимает ступенчатую форму. Очередной скачок МДС на величину тока в пазу имеет место при достижении оси симметрии паза по мере увеличения его номера.
В конструкции неявнополюсных машин пазы ротора выполняются открытыми (с немагнитными клиньями). Исследования показали [8]: даже при резком проявлении поверхностно-
го эффекта в зубце и клине можно допустить, что функция тока в пределах пазового деления нарастает линейно, на величину токов в зубце и в клине; при этом учет линейного изменения функции тока вдоль ширины паза практически не влияет на амплитуду низших гармоник МДС, представляющих наибольший практический интерес. Поэтому и для открытых пазов с достаточной для практики точностью можно считать, что ток сосредоточен на оси пазового деления, если ограничить расчет МДС гармониками порядка /7 = 5,7, 11. Учет конечной ширины пазов приведен в [8].
Особенности ступенчатой функции тока (МДС). Воспользуемся законом полного тока [1]. Элементы ступенчатой функции тока, полученные из этого закона, представлены в виде табл. 2.
В ее первом столбце указаны порядковые номера участков (номер ступени) между осями симметрии соседних стержней на соседних полюсах с номерами Ни Н + 1. На протяжении каждого такого участка функция тока сохраняет свое неизменное значение до встречи с осью следующего паза (по мере увеличения номера стержня), где она возрастает скачком на величину тока в этом пазу. Во втором столбце табл. 2 указана протяженность каждой ступени; при этом использованы следующие геометрические соотношения (см. рис. 1): (Лд - \)Ь + 2Ьр= 0,5 Т= т. В третьем столбце этой таблицы указаны значения функции тока^(х) или МДС («высоты ступеней под зубцами каждого полюса»); функция тока^(х) имеет период Т= кВ/р.
В табл. 2 указаны все необходимые параметры для графического построения ступенчатой функции тока^(х) и для математических операций над ней, в том числе для ее гармонического анализа.
Представление ступенчатой функции тока/,(х) в виде гармонического ряда в комплексной плоскости; физическая трактовка. Запишем сначала математическую формулировку гармонического ряда в комплексной форме [8, 9] для ступенчатой функции тока^(х):
1
/дПр(-л)ехр| +
+ ^ддоп(")ехР| }
,2ппх
+
(6)
Таблица 2
Ступенчатая функция тока /л(х) демпферной обмотки ротора
Порядковый помер ступени Протяженность ступени Функция тока («высоты ступепей»)^(х)
Полюс помер Н
0 -т + Ье<х< -т + Ье+ Ь ,(к) щ ">() •'о
1 -х + ЬР<х< -х + Ье+ 2Ь
2 -т + Ье+ 2Ь <х< -т + Ье+ ЪЬ 4*)+4*)+4*)
1 -Ьг<х< Ьт •'о +,/1 +--- + ,/Л'()-1
Полюс помер Н+ 1
0 ЬР<х< ЬР+ Ь
1 ЬР+Ь<х< Ье+ 2Ь /к)+ +/к)
2 Ьг+ 2Ь<х<Ьг+ЗЬ
Ьг+(^-2)Ь<х<х-ЬР № ■>щ-1
N,-1 х — ЬР<х<х 0
В этом выражении суммирование членов ряда ведется по номерам гармоник МДС ротора (п). Коэффициенты разложения равны [9]
^дпрС-") = ^ | /д(*)ехр
0,57"
-0,57"
. 2шхЛ
)-
■ шх.
(7)
Здесь /д(х) — в соответствии с табл. 2 (третий столбец). Выражение для амплитуды Гддоп(п) гармоники порядка п может быть получено из Гдпр(—п) заменой п на (—п).
Учитывая свойства магнитного поля [1] получаем, что коэффициент С0= 0.
Рассмотрим подробнее гармоники порядка п для обеих составляющих МДС ротора соответственно обоим слагаемым в выражении (6):
/д1(х,я) = ^дп (-я)ехр
/д2(х,я) = ,Рддоп(/7)ехр
,2лпх
,2лпх
(8')
(8")
согласно (6) для каждой гармоники порядка п справедливо:
/д(*,я)=/д1(*,я)+/д2(*,я). (9)
Отметим предварительно, что частота токов /д, и /д, равна юрот, так что эти токи можно представить в виде комплексов
•ГИ =МехР(>ротО' ^ =МехР(>рот?)-Поэтому выражение (8') принимает вид
/дМ*, М) =
-
ехр
.2лях4
(Ю)
Здесь — ^^^^туда МДС /д1(х,«,0.
'
да Гдпр(—п) является комплексной и равна
^„р^ехр^ю^/). (И)
^дпр(-л)2
Аналогично для гармоники порядка п составляющей МДС ротора соответственно второму слагаемому в выражении (6) имеем
Р (-п)
ДДОП V
ехр
,2ппх — у
РЛ пр(") = |^д пр(я)|ехр(./Юр011) • (12)
Уравнения дляУц ,(х, п) и ГпХ (х, п, 0 описывают вращающуюся волну МДС с комплексной амплитудой Рдпр(—п): ее направление вращения — в сторону положительных значений координаты х, то есть согласно направлению вращения ротора. Ее угловая скорость относительно статора равна юст_ рот , = арот/(рп) + ювр. Здесь Я=0,5В — расчетный радиус по полюсам; ювр — угловая скорость вращения ротора. Соответственно уравнения (8') и (12) описывают вращающуюся волну с комплексной амплитудой /,ддоп(/7); ее направление вращения — в сторону либо положительных значений координаты х, либо отрицательных в зависимости от величины ювр. Скорость ее относительно ротора равна: ^>от2= ~~ ^рот 1 <а скорость относительно статора:
® ст — рот 2 ® рот/^^) ®вр'
Таким образом, используя представление гармонического ряда (ряд Фурье) в комплексной плоскости и символический метод для гармонических функций тока /л, и /л,, мы получили возможность дать обоим слагаемым этого ряда физическую трактовку в виде двух групп вращающихся волн МДС, создаваемых токами в демпферных обмотках ротора машин переменного тока.
Расчетные выражения для комплексных амплитуд МДС демпферных обмоток. Выше, во втором разделе, получено выражение для расчета токов ,/Л н стержнях демпферной обмотки. Для удобства вычисления комплексных амплитуд . ддоп(я) представим его в виде
мдс/;пр(-«)и/;
JN = с,а,"(1-<*,-')+ ■ С2а? (1 -а-) + С0Ао" (1 -а-), (13)
гдеСп=^-
? в К ц
а0 = ехр
.я /я -у—26
Для краткости представим /Л,таким образом:
(14)
Здесь суммирование ведется по параметру К, причем он принимает значения: 0, 1,2; например, для коэффициентов %имеем: аке а0, аь а2-Воспользуемся выражениями для участков ступенчатой функции тока^(х) из табл. 2, а также выражением для комплексной амплитуды
/дпр(^) = Х1-^ехр
К I 7™эл
(ак -1)>
х а
к
1 + ак ехр
эл ./ \
]2шшЬ
х
х ак ехр
]2шш2Ъ
V эл
/
+ ак ехр
]2шэЛЬ
эл
+ ... +
+ а
N (,-1 К
ехр
{щ-1 )ь
Выражение в квадратных скобках является геометрической прогрессией со знаменателем
д = ак ехр
}2шЬ Т
Найдем ее сумму. Тогда ком-
плексная амплитуда Рдпр(—п) приобретает вид
^дпр(-я) =
= 1
к
]кп
ехр
г]кп2Ьрл
Упр (-я)
1 - ак ехр
]2кпЬ
-
]2ппЬ
(15)
Выражение для комплексной амплитуды Рддоп(п) получается из (15) заменой (п) на (—п).
Проверка расчетных выражений для МДС (частный случай). В третьем разделе отмечено, что для полной демпферной обмотки мощного турбогенератора и для беличьей клетки асинхронной машины справедливо соотношение 2Ьг= Ь. Следовательно, для таких конструкций мы должны получить из (15) известные [7] выражения для МДС обмотки статора машины переменного тока. Например, для гармоники порядка /7=1 должно быть
W = D = 0. (150
Здесь /Яф — число фаз, р — число пар полюсов. Для беличьей клетки: = N02p — число пазов; /ст— ток в стержне клетки; IVCT = 0,5; KWci= 1.
В третьем разделе было получено: С{ = 0; С2 = = 0 при 2bF — b. Тогда из выражения для числителя ^пр(я = — 1) имеем: [1 - a0exp(j2nb/T)m] = 0; знаменатель также равен нулю. Раскрывая неопределенность, получаем =—1) = N0; из выражения для ¥доп(я = 1) следует ^доп(я = 1) = 0.
В результате получаем при п = 1
Ишр^2"1)!2^; ^ддоп(" = 1) = 0.
Это подтверждает справедливость полученных расчетных выражений для комплексных амплитуд гармоник МДС демпферной обмотки ротора.
Комплексные амплитуды индукции поля демпферной обмотки ротора.
Эквивалентные МДС F"m
Поле в зазоре, возбуждаемое токами в демпферной обмотке, определяется не только гармониками МДС с комплексными амплитудами Fa Пр(-я), Faaon(n) согласно (6)-( 15), но и другими факторами: формой зазора между ротором и статором, уровнем насыщения магнитной цепи машины [7] и др. Для машин неявнополюсных и явнополюсных эти факторы имеют особенности.
Неявнополюсные машины. Зазор 5экву машин этого типа — постоянный (5ЭКВ= const). Представим поле 6д(х) токов демпферной обмотки в виде ряда в комплексной плоскости аналогично (6):
5ддоп(-т) =
Мо
5дпр(-т)ехр
-у'2лтхЛ
Т Г
+ Яддоп(т)ехр
j2nmx
(16)
Мо
B„„J-m) = -д р q к к
и экв iac ""карт
-
q к к ~ддоп "экв нас карт
W") • (17)
В этом выражении суммирование членов ряда ведется по номерам т гармоник индукции ротора; комплексные амплитуды индукции равны
Здесь ц0 — магнитная проницаемость воздуха; кнас — коэффициент насыщения магнитной цепи; £ — коэффициент Картера [2, 7]. Отметим, что коэффициент кнас обычно вычисляют для гармоники поля порядка т = 1; для гармоник порядка т > 1 его можно уточнить методом итераций. Аналогично для гармоники т = 1 вычисляется и А^рт.; при т > 1 его величина несколько изменяется, однако в практических расчетах этим обычно пренебрегают.
Из соотношений (17) следует, что для неяв-нополюсной машины при решении системы уравнений (П1)—(П8) можно в уравнении (П5) принять:
а) Fa пр(—т) = Fp0J, если расчет ведется для поля с угловой скоростью относительно статора
®ст-рот1 = ®рот/0»И) + ®ВР;
б) Гддоп(т) = /р"от, если расчет ведется для поля со скоростью относительно статора: ®CT_poT2 = = — юрот/0^) + ювр (Приложение 3).
Явнополюсные машины
Эквивалентный зазор в пределах периода Т.
Для этих машин изменение зазора 5ЭКВ в тангенциальном направлении вдоль угловой координаты ф = 2рх/ Г(вдоль расточки статора) определяется поперечным сечением машины. Функция
5экв(ф) представлена в табл. 3. Предполагается, ф
осью q ротора.
Здесь а = bP/x, bP = (N0 — 1 )b\ Ьл{ф) — индукция в зазоре поля токов демпферной обмотки ротора. В качестве эквивалентного зазора 5ЭКВ в расчетной практике принято [2]
8ЭКв = Srain + 0,33(5^ - 5rain) = const, (18)
где 5max, 5min — максимальное и минимальное значения зазора под полюсом.
Расчетные выражения для комплексных амплитуд индукции демпферных обмоток. Для явно-полюсных машин, как и для неявнополюсных, представим поле 6д(х) токов демпферной обмотки в виде ряда на комплексной плоскости [9]. Для каждой гармоники поля порядка т имеем
6д(х,т) = 6Д ,(х,т) + 6д2(х,т),
где Ьл1(х,т) = Влпр(-т)ехр(-]2ктх/Т)1 Ьл2(х,т) =Д,доп(т)ехр(/2ятх/7).
(19)
Таблица 3
Изменение зазора 5экв(ф) явнополюсной машины вдоль угловой координаты
ф(—я < ф < я)
Угловая координата Зазор 8(ф) Индукция
—я < ф < -(1 + а)я/2 8экв(ф)^ да
-(1 + а)я/2 < ф < -(1 - а)я/2 8эИ1(ф) = 8ЭО Ьх(ф)Ф 0
-(1 - а)я/2 < ф < (1 - а)я/2 8жв(ф)^да Цф)»0
(1 -а)я/2<ф<(1 + а)я/2 8эИ1(ф) = 8ЭО
(1 + а)я/2 < ф < я 8жв(ф)^да Цф)»0
Найдем комплексные амплитуды Вдпр(—т) и 5ддоп(т), учитывая соотношение 6д(х,т) = = [М1)/^эКв^наАарт)1/я(*>")> а также зависимость 5экв(ф) для эквивалентного зазора в табл. 3. Комплексная амплитуда Вддоп(т) равна
в {т) = Р^{-п)См -
л логА 4
х< ехр
у'2 п [п + т) у'2я {п + т){-Ьр)
-ехр
+ехр
у'2я[п + т){-Ьр -ЬР) Т
у'2я [п + т ){Ьр + ЬР)
-
у'2я ( + т )Ьр Т
| Рддоп(П№м х у'2я (-п + т)
х<! ехр
у'2я (-я + я? )(/•) Т
-ехр
+ехр
у'2я (-п + я?) (-Ьр-Ьр) Т
у'2я (-п + т )(Ьр +ЬР)
-
у'2я {-п + т)Ьр
здесь См =
Ъ к к
иэкв нас карт
Комплексная амплитуда Вд пр(—т) может быть получена из (20) заменой порядка т на (—т). Ограничим задачу вычисления этих амплитуд условием, представляющим наибольший практический интерес: т — п.
В этом случае для комплексных амплитуд индукции получаем
о , , ^дпр (-«)Сл/2 ЬР
дпр^
+/ддоп(«)СМ—«П
-1 пт
2птЬ Т
=
РМОП(п)См2ЬР
м
-1 . (2ятЬ —БШ я
'
Таким образом, ротору явнополюсной машины с зазором 5экв(ф), изменяющимся по периферии ротора согласно табл. 3, поставлен в соот-
5
согласно (18); токи в его демпферной обмотке образуют два поля: Ьж ,(х, т) с комплексной амплитудой В (—т) и 6д2(х,т) с комплексной ам-
'
'
явнополюсной машины при решении системы уравнений (П1)—(П8) можно в уравнении (П5) принять:
а) Влпр(-т)/вм = /р"от, если расчет ведется для поля с угловой скоростью относительно ста-
(20) тоРа: ®ст - рот 1= юрот/^>") + ю
вр'
б) Вяяоп(т)/См
д доп"А/ ч-"рот
дется для поля со скоростью ю( = — юрот/^я?) + ювр (Приложение 3).
'
рот 2
Комплексные амплитуды индукции поля обмотки статора. Эквивалентная МДС Рст
Расчетные выражения для комплексных амплитуд. Выражение для МДС обмотки статора имеет вид
/як1(хД) = ^якп „НОехр
-jlnkx
(21)
где /якпр = /як согласно (15'), к — порядокгар-моники этой МДС.
Для неявнополюсной машины 5ЭКВ = const; поэтому при решении системы уравнений (П1 )—
(П8) вуравнении (П7) можно принять РЯК = FCT
*
'
Дляявнополюсной машины гармоники порядка 5 поля токов статора вычисляются с учетом зазора 5экв(ф), изменяющимся по периферии ротора согласно табл. 3; индукция 6як(х, s) поля имеет вид
6як(х,5) = Яякп р(-5)ехр
-J-
"J+
+ В„
,(5)ехр
• 2я5х J ~
(22)
После преобразований в комплексной плоскости для амплитуд получаем
„ ,_ , {~k)GM7bp
як npV S>~ rp ■
^якдоп(5)~^якпр( k)GM sin
-1 _с
Я5
2ns b
■ (23)
Отметим, что выражения для этих комплекс'
с учетом выражения (21) яля/як ,(х,А;). Ограничим задачу вычисления этих амплитуд дополнительным условием: к = 5 = т = п. Из соотношений (23) следует, что для явнополюсной машины при решении системы уравнений (П1)—(П8) можно вуравнении (П5) принять:
а)
В,
як пр
= FCT, если рас-
('м Т
чет ведется для поля с угловой скоростью отно
сительно статора юст ООТ1 = рот + ю ;
рт
б)
Д,
¿к)
G
= Fr
м
якпр
, ,, -1 . (2nsb"
г
если расчет ведется для поля со скоростью
-ю
ю
ст-рот2
рот
рт
+ ювр (Приложение 3).
Проверка расчетных выражений для эквивалентной индукции в зазоре (частный случай). Найдем из выражений (22) для ЬЯК(хЛ) при к = 5 = 1 значения индукции;
при х = 0 (ось д) будет ЬЯК(х = 0, к = 1) = = [а — (1/п)8т(па)] РЯКпр(к = -1);
при х = Т/4 (ось с!) будет ЬЯК(х = Г/4, к = 1) = = [— + + ( 1/я)яп (яа)](-/) ГЯКпр(к = -1).
В теории двух реакций [7] используются коэффициенты формы поля статора — для поперечной реакции Кц и для продольной реакции К(1. Они соответствуют значениям индукции, полученным в уравнениях (22) и (23).
Приложение 1
Система уравнений для двух магнитосвязанных контуров с учетом насыщения магнитной цепи:
Фю(т) =—хЬВю(т); ш
-^ст 2 _вз> -^мц 2 -^М.Ц Кз ) >
F* — F (Ф )•
J. рОТ Л. рОТ V ^ вз / >
F — F ± F О ~~ СТ рот '
(Л;
"I ст I'
^ВЫВ ^СТ^СТ
(П1) (П2) (ПЗ)
; (П4)
(П5) (П6) (П7) (П8)
Приложение 2
Выражения для коэффициентов: С С =
д,
д,
D0=2(a2-al) + a"o(a2-2-a')-
N„-l N„-1.
л„ i г, л л„-1
-аг 0 (- 2-ст ) + а, » -а-
- Q |ехр[-./'Лф(Л?0 -1)] + exp(jAw)} ^а0=1 + (2+а')ехр[-УАФ(^0-1)]--ехр[-/Аф(Ж0-2)];
2 Zr
^ =4»-2
-(2 + а')
„N„-1
-1:
где Лф =
К в = ехр(/Аф)- (2н пт2Ь
-ехр( -/Аф),
Т
2+ct±VCT2+4CT
Для этого режима уравнение (П5) системы
преобразуется к виду: Е' =Г \2' +2' I.
• ст ст \ ст нагр I
Алгоритм решения системы (^,0т) = /(вз)
г г
при условии (*) ~(рот) аналогичен изло-
V р / шггер \ р /
шггер
женному в разделе 1.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
¿в w 2
Коэффициенты Д, и С2 могут быть получены из коэффициентов А, и заменой ах на а2 и соответственно а2 на flj.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Особенности системы уравнений (П1)—(П8) для полей со скоростью относительно статора
тст-рот2 = - юрот/^т) + «врт-
Режим при заданных значениях комплексных
амплитуд 5ддоп(т), Вякроп(к) и скорости юст__р0т2
соответствует режиму синхронного генератора с подключенным возбудителем.
Для расчета такого режима являются заданными: эквивалентный ток ротора, он соответствует
I
амплитуде = Вддоп(т); частота ЭДС статора
®ст =|fflcT-pox2/'m|i сопротивление нагрузки при этой частоте -2"наГр; скорость ювр = const.
Поле токов обмотки возбуждения, пульсирующее с частотой юрот, нетрудно разложить [1,7] на две составляющие; комплексная амплитуда одной из них суммируется с Вдпр(-т), а вторая-с Вллоп(т).
Выводы
Электромагнитные нагрузки определяются из нелинейной системы для магнитосвязанных контуров; уравнения ее используются для обоих полей: с амплитудами Вд пр(-т), ВЯК пр(-к) и
Вяк доп(^)'
-
получены в результате серии линейных преобразований функции тока демпферной обмотки в комплексной плоскости. Эта функция основана на распределении токов в элементах конструкции
демпферной обмотки исходя из ее математической
-
Д,
як пр
-як доп ) получены аналогично.
Практические примеры подтверждают справедливость выполненных преобразований и полученных расчетных соотношений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демирчян, К.С. Теоретические основы электротехники (в трех томах) [Текст] / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин,— М,- СПб.: Питер, 2004.
2. Проектирование электрических машин |Текст| / Под ред. И.П. Копылова,— М.: Энергия, 1980,- 495 с.
3. Глебов, И.А. Научно-технические проблемы крупного турбогенераторостроения [Текст] / И.А. Глебов, Я.Б. Данилевич,— М.: Наука, 1990.— 350 с.
4. Лютер, P.A. Асинхронные моменты вращения машины с массивным ротором и немагнитным бандажом [Текст] / Р.А.Лютер, Н.Я. Самой-лович, В.В. Коган // Электросила,— 1965,— N° 24.
5. Антонов, В.В. Метод расчета мощных асинхронных двигателей с нелинейными параметрами
[Текст] / В.В. Антонов, И.З. Богуславский, М.Г. Савельева // Электросила,— 1983. N° 35.
6. Богуславский, И.З. Моделирование токов в демпферной обмотке мощной синхронной машины посредством замкнутой активной цепной схемы |Текст] / И.З. Богуславский // Научно-технические ведомости СПбГТУ,- 2011. № 4,- С. 79-86.
7. Вольдек, А.И. Электрические машины [Текст| / А.И. Вольдек, В.В. Попов,— М,— СПб.: Питер, 2006.
8. Богуславский, И.З. Генераторы и двигатели переменного тока: теория и методы исследования при работе в сетях с нелинейными элементами. Т. 1, 2 |Текст] / И.З. Богуславский,— СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2006.
9. Корн, Г. Справочник по математике [Текст] / Г. Корн, Т. Корн / Пер. с англ.— М.: Наука. 1970,— 720 с.
