CC BY
49
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Косышн Ю.П. Развитие электромеханики в теории и технологиях электромеханотроники // Электромеханика. Известия вузов. 2008. N° 1. С. 11—20.
2. Киселев Н.В., Мядзель В.Н., Рассудов Л.Н. Электроприводы с распределенными параметрами. Л.: Судостроение, 1985. 220 е., ил.
3. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. 352 с.
4. Гриценко A.B. Улучшение качества алгоритма управления "Предиктор Смита" посредством автоматического вычисления времени запаздывания // Промышленные АСУ и контроллеры. 2004. № 12.
5. Лукас В.А. Теория управления технически-
ми системами. Екатеринбург: Изд-во УГГГА, 2002. 675 с.
6. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978. 416 с.
7. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963. 456 е., ил.
8. Полетаев И.А. Оптимальный синтез проти-возапаздывающих регуляторов. // Электротехника, Машиностроение: Труды Псковского Политехнического института. Псков: ППИ, 2004. N° 8.3. С. 256-259.
9. Денисенко В. ПИД-регуляторы: вопросы реализации: Часть 2 // Современные технологии автоматизации. 2008. № 1. С. 86-99.
УДК 621.311
И.А. Арсеньев, И.З. Богуславский, Н.В. Коровкин
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗУБЦОВЫХ ГАРМОНИК ЭДС МНОГОФАЗНОЙ ОБМОТКИ С ЦЕЛЫМ ЧИСЛОМ ПАЗОВ НА ПОЛЮС И ФАЗУ
В практике создания современных многополюсных (2/?>40) генераторов для ветроэнергетики, МГЭС, ПЭС существует проблема обеспечения формы кривой линейного напряжения; эта кривая должна удовлетворять требованиям ГОСТ [ 1] и обычно определяется при испытаниях в режиме холостого хода генератора на стенде или на месте его установки. Необходимость ограничения величины коэффициента нелинейных искажений в соответствии с этими требованиями обусловлена несколькими причинами: возникновением в активной стали добавочных потерь, вызванных полями зубцовых гармоник; помехами, создаваемыми токами этих гармоник в телефонных линиях, расположенных вблизи ЛЭП, а также опасностью возникновения резонансных перенапряжений в этих Л Э П [2].
Для обеспечения указанных требований в практике используют несколько конструктивных решений [ 1,3—6].
При использовании обмотки статора с целым числом пазов на полюс и фазу (0=3) они предусматривают [1], [7]:
применение скоса пазов статора (полюсов ротора) на одно зубцовое деление статора;
локальный или групповой сдвиг полюсов ротора в тангенциальном направлении.
Для снижения ЭДС зубцовых гармоник используют также обмотки статора с дробным числом 0.
В практике использование этих решений имеет ряд особенностей:
для явнополюсных машин габаритов 16—17 и менее [7] чаще применяют скос пазов статора; дополнительные технологические трудности имеют место, например, если корпус статора изготовлен из нескольких секторов, а длина активной стали статора превышает 1 м; скос полюсов ротора [1] применяют обычно для машин больших габаритов;
помимо скоса пазов статора (полюсов ротора) нашла применение конструкция со сдвигом полюсов ротора в тангенциальном направлении. Известно [3—6] несколько модификаций такой конструкции, эффективность которых неодинакова: сдвиг соседних полюсов в пределах каждого периода Т= 2т (локальный сдвиг) и сдвиг соседних полюсов в пределах нескольких пери-
т
деление;
обмотки с дробным числом <2 < 3 по сравнению с обмотками с целым 0 обычно содержат в кривой МДС дополнительные пространственные гармоники [8], порядок которых т<р {р — порядок основной гармоники МДС при разложении в ряд с периодом Т = я/)раст, где йраст — диаметр расточки статора). Наличие таких гармоник ("субгармоник") [9] может вызвать дополнительные вибрации активной стали и корпуса статора с амплитудой, превышающей в несколько раз допустимую, несмотря на то, что амплитуды этих гармоник в МДС значительно меньше амплитуды основной гармоники. Для устранения таких вибраций приходится увеличивать габариты и вес генератора из-за необходимости повысить жесткость его корпуса. Выбор же числа 0 >3 ограничен технологическими возможностями: необходимостью разместить на статоре число пазов Д соответствующее этому 0 {2= = 2тх — число фаз генератора).
Рассмотрим сначала общую задачу о поле зубцовых гармоник взаимоиндукции в зазоре генератора с целым числом 0. Используя полученные соотношения, найдем для каждой из этих конструкций расчетные выражения для зубцовых гармоник ЭДС трехфазной обмотки, что позволит оценить эффективность каждой из конструкций. Применение этих выражений сопроводим примерами из практики.
Зубцовые гармоники машины с целым числом ():
амплитуда и частота (порядок гармоник) их поля взаимоиндукции в зазоре в режиме холостого хода
Формулировка задачи. При исследовании поля взаимоиндукции зубцовых гармоник примем, что отношение ширины Ьн прямоугольного паза статора к шагу равно: = 0,5. В реальных конструкциях это отношение меньше [7] и обычно 0,35<6Л,//^<0,5; соответственно амплитуды 5гзубцовых гармоник в таких конструкциях меньше, чем при Ьн/1г= 0,5; поэтому полученные в (3) результаты разложения в ряд несколько "пессимистичны (в запас)". Для получения результата "в запас" примем, что зубцовые гармоники в зазоре не затухают (это строго справедливо лишь при малых зазорах и больших полюсных делениях [10]). Примем также, что амплитуда В0 индукции результирующего поля в зазоре для основной гармоники (/7=1) незначительно влияет на уровень насы-
щения активной стали статора в зубцовой зоне, так что при /7>1 амплитуда индукции Вг поля зубцовых гармоник зависит от амплитуды В0 индукции результирующего поля в зазоре линейно: Вг= В0.
При исследовании зубцовых гармоник ЭДС трехфазной обмотки с целым числом 0 многополюсной машины учтем, что такая обмотка содержит 2ртф фазных зон. Поэтому машина с такой обмоткой может быть представлена в виде совокупности ряда единичных ("элементарных") машин [1,7], каждая из которых образована одной парой полюсов ротора (р = 1) и фазными зонами этой обмотки числом 2/Иф, занимая при этом Zeд =2тфО пазов (далее принято для определенности тф = 3). Число витков в фазе
обмотки такой машины (например, в фазе А) рав-=
единичных машин (при $>*<р) число витков =
=
— число витков в катушке (стержне), а — число параллельных ветвей). Отметим также, что обмоточные коэффициенты такой обмотки одинаковы для основной гармоники (п = 1) и для гармоник зубцового порядка [1]. Сокращение шага обмотки для гармоник этого порядка может быть учтено при вычислении ЭДС коэффициентом укорочения согласно [1], поэтому исследование проведено для обмотки с диаметральным шагом.
Влияние зубцовых гармоник поля взаимоиндукции в зазоре на ЭДС обмотки статора достаточно исследовать лишь для одной единичной ("элементарной") машины [1,7]. Исследования целесообразно провести для указанных выше конструкций одним и тем же методом, что позволит оценить с единых позиций их эффективность и сформулировать соответствующие практические рекомендации.
Решение. Определим сначала поле зубцовых гармоник Ьг(х,п) в зоне пазов статора; здесь х — пространственная координата вдоль расточки статора; п — порядок гармоник. Далее мы учтем влияние поля ротора (поле возбуждения), а затем исходя из результирующего поля 6го(х,/,/7) (взаимоиндукции в зазоре) определим частоту и амплитуду ЭДС е20(х,(,п) от зубцовых гармоник этого поля в обмотке статора в режиме холо-
стого хода машины (здесь / — время). В зубцо-вой зоне статора мы выберем для разложения в гармонический ряд период Г, который охватывает три полюса: два крайних полюса полярности N и средний полюс полярности 5 (рис. 1). Продольные оси (оси (1) двух полюсов полярности N обозначены соответственно АХА2 и период Т=А1Б1. Отрезки ^ С\ = СХВХ = ф = Т/2. В обычной конструкции ротора для среднего полюса полярности ^продольная ось й совпадает с С{ С2.
Однако мы проведем эти исследования для более общего случая: ось С\С2 среднего полюса сдвинута в положение ВХВ2 на величину О0 = = ВХСЬ так что отрезок А1В1 = тм<т, а отрезок В1В1 = т6> т, причем тб + тм = 2т= Т. На рис. 1 представлена для определенности зубцовая зона машины с числом (2 = 2 (расчетные данные машины приведены в Приложении 1). Нетрудно показать, что при произвольном числе 0 отношение периода Т к шагу по пазам (зубцам) составляет 77^= 6(?. Поэтому на рис. 1 при числе 0 = 2 периоду /"соответствует 12 пазовых (зуб-цовых) делений. Примем, что величина В0 = = 0,5 ^к, где к= 1,2,...; таким образом мы предположили, что эта величина изменяется в зависимости от шага ^дискретно.
Поле гармоник Ь^х^п) в зоне пазов статора. Примем сначала, что индуктор генератора (ротор) и его якорь (статор) взаимно неподвижны, а полюса ротора создают в зазоре поле взаимоиндукции (п = 1), соответствующее ЭДС холостого хода генератора, если бы он вращался с номинальной скоростью. В этом режиме индукция поля под зубцами достигает максимума, а в об-
ласти паза — минимальна. Разложим в гармонический ряд такую прямоугольную волну индукции Ь7(х,п) под зубцами и пазами в пределах периода Т. Обозначим амплитуду этой волны индукции при тм = т через Вг. Тогда при £)0 ф 0 на отрезке А1В1 (тм<т) она равна (т/тм)^, а на от-тт
тт
непрерывностью магнитного потока (сНу А = В) т
Отметим, что практически амплитуда индукции ^определяется отношением открытия паза й^у/^и зазором машины; отношение В2 к амплитуде индукции В0 результирующего поля в зазоре составляет для мощных генераторов обычно В2/В0<0,10—0,18, в том числе и для машин с малым зазором [10].
Представим зависимость Ь(х, п) в виде ряда
[9,11]:
п
+ С(+л)-ехр(у2яга/Г)]
(1)
(суммирование ведется по п). Амплитуды С(—п) вычисляются из соотношений
С(-л) = (1/Т)В2
м
(т/тм) |ехр(2ппх/Т))-
-(т/тб) |ехр(у2ппх/Т)ёх
(2)
Рис. 1. Зубцовая зона статора (А101 = А2В2 = Т; СхВг = ъА^ = тм<т; ВХСХ = В0; МК= М1У= МК= 0,5^
Выражение для комплексной амплитуды С(+п) в (1) нетрудно получить [9, 11] заменой в (2) знака при порядке гармоники п на противоположный (п на —п).
Вычислим сначала первый из интегралов для конструкции ротора при к — 1 и для обмотки статора при 0 = 2, /7 = 60 = 12 (рис. 1):
С,(-Я) = (1¡Т)Вг (т/тм) } ехр(2ппх/Т) =
о
= [1/ {Пш)]в2 (т/тм)СК-я),
где
ОД = (+1){ехр(^г/(2т))-1} +
+ (-1)[ехр(уя«42/(2т))-ехр(у'я«4/(2т))} +
+ (+1 ){ехр(у™*г3 Д2 т)) -ехр(у™*г2Д2 т))} +
+ (■-1 ) {ехр (/яя^ 4Д 2т)) -ехр 3 Д 2т))} + ... +
+ (+1 ){ехр(./яя*г11Д2 т)) -ех р(./яя*г10Д2 т))}.
Аналогично для второго интеграла имеем г
С,{-п) = (1/Т)Вг (т/тБ) |ехр(у2яях/:Т)х = = [1/(]2пп)]Вг (т/тм ) СЦ-п),
где
q(n) =
= (-1 ){ехр(./яя*г12Д2 т)) -ех р^яя^1/(2 т))} + + (+1 ) |ехр(у'яя/21 ЗД2 т)) -ехр(у'яя/212/(2 т))- + + (-1){ехр(у'яя/214/(2т))-ехр(у'яя/213/(2т))| + з + + (-1) [ехр (у'яя^ 24 ¡(2 т)) -ехр (у'яя^ 2 ЗД 2 т))-.
После ряда преобразований получаем комплексную амплитуду С(—я) для этой конструкции ротора (при к = 1 и для обмотки статора при 0 = 2, п = 60 = 12):
С(-я) = [-1/ (уя12 )М( ТАМ )П + (Фь )1 3].
В общем случае (к > 1, 0^2) расчетное выражение для комплексной амплитуды С(—я) приводится к виду
С(-я) =
= [-1/(уяя )]i?z[( т/тм )(6 Q-k ) + (т/тб )(6 0+¿ )]
при следующих условиях: = 3; целое число 0 — произвольно; отношения т/тм и т/тб — вычислены для произвольного к, причем тм+ тб = = 2т. Упростим полученное общее выражение. Запишем соотношения для полюсных делений тм и тбэтой конструкции рот opa 0):
тм = х - д, = х -Qy5tzk = т - 0, 5т [1/ (3 0)] к.
Тогда т/тм =60/(6Q-k).
Аналогично т/тб = 6 0/(6Q+k).
С учетом этих соотношений получаем соответственно
С(-я) = [-1¡{jnn )]Bz2(bQ) = [-2/{уя )]BZ,
С(+я) = (2/(уя) )BZ. (3)
Следовательно, обе амплитуды не зависят от
параметра к — 1,2.....причем выражения (3) спра-
т т т т
определяемыхэтим параметром:
С(-п)Ф№\ С(+П)Ф№. (4)
Соотношения, аналогичные (1)—(3), подтверждают, что закономерности (4) остаются справедливыми и при значениях параметра к < 1. Этим результатом мы воспользуемся при анализе конструкции ротора с групповым сдвигом полюсов.
Используя выражения (3), найдем расчетное соотношение для поля гармоник bz(x,n) в зоне
тт
т т т
Цх, n) = [2BzДуя)]х
х ^[-ехр{-у'2лях/Г)+ехр{у 2яях/Г)] =
= (4/я )5zsin( япх/т). (5)
При выводе этого выражения принято, что индуктор генератора (ротор) и его якорь (статор) взаимно неподвижны. Перейдем к реальным условиям работы генератора; примем, что ротор его заторможен, а статор вращается в положительном направлении отсчета углов с номинальной скоростью ювр = (üjp. Тогда выражение для индукции 6(х,/,я) приобретает вид
b(x, t, п) = (4/я) Bz sin (®zt- япх/т), (6)
где wz — круговая частота ЭДС зубцовых гармоник, подлежащая определению с учетом поля возбуждения (поля ротора).
Поле возбуждения (поле ротора) Ь0(х); результирующее поле (взаимоиндукции в зазоре) bzo(x,t,n) зубцового порядка. Конструкция полюсных наконечников ротора проектируется так, чтобы поле ротора 60(х) изменялось вдоль периода Г по гармоническому закону [7, 10]. С этой целью радиус RP поверхности наконечника выбирается меньшим, чем радиус R0 = 0,5DpacT — -25мин, так что зазор 5МИН под серединой полюса (по оси d) меньше, чем по его краям (5макс), причем их отношение [7] составляет обычно §макс/§мин = = 1,25—1,5. Поэтому с достаточной для практики точностью примем, что для наблюдателя, находящегося на роторе, распределение индукции таково: Ь0(х) = В0 с os (2 пх/ Т); здесь В0 — амплитуда этого поля (начало отсчета совпадает с осью d, т. е. с линией А где значение индукции 60(х = 0) = В0). В режиме генератора при номинальном линейном напряжении 1/л = 1 она равна В0 = 1; соответственно индукция Я/также определена при [/л— 1. Отметим, что для того же наблюдателя статор с его зубцовой зоной вращается относительно ротора с угловой скоростью ювр, так что результирующее поле взаимоиндукции зубцовых гармоник без учета влияния амплитуды В0 на насыщение активной стали статора в области зубцов определяется соотношением [6]
bZ0(x, t,n) = = [(4/я) Bz sin (&zt- яш/т)] соs(2ях/Т). (7) Представим выражение (7) в виде [11] bz(j(x, t, я) = B'Z sin(&zt- я(я-1)х/т) +
+ B'zún((üzt-я (я + 1)х/т), (8)
mtB'z = (2/ я )BZ.
Таким образом, поле взаимоиндукции зубцовых гармоник имеет две составляющие. Эти составляющие поля вращаются относительно неподвижного ротора с одинаковой и постоянной амплитудой; им соответствуют частоты roz зубцовых ЭДС, равные соответственно или Ю^:
bf ¿x,t,n) = B'z sin^/-п(я-1)*/т]; (9)
Ь%(х,(,п) = В'^1 п[ю^ - я(я + 1)х/т]. (10)
Частоты зубцовых гармоник ю^ и ю®. Определим эти частоты ЭДС из условия, что при вращении каждой из составляющих поля ее угловая скорость относительно ротора равна
®вр=®с /Р.
Из выражения (9) для первой составляющей поля имеем ю^Л = я(я-1)с/х/т; учитывая, что с/х/Л = юст/я, получаем
ю^ =юс(я-1) = юс(60-1). (И)
Аналогично из выражения (10) для второй составляющей поля следует
ю(^=юс(л + 1) = юс(6С?+1). (11')
Порядок я высших гармоник для частот зубцовых ЭДС можно представить и в ином виде, в том числе и для случая я?ф=3:
я(|) = я-1 = ^//?)-1 = 2тф0-1;
я(2) = я + 1 = (Цр) +1 = 2тф(2+1. (12)
Мы используем полученные соотношения (9)—(12) для вычисления ЭДС е^о(Л я) зубцового порядка в обмотке статора с целым числом О генераторов различного конструктивного исполнения.
Конструкция ротора с локальным сдвигом полюсов в тангенциальным направлении
Особенности практической реализации:
в заводских условиях при реализации такой конструкции выбор величины сдвига Д3 = = т — тм или же !)0 = тб — т может быть связан с определенными технологическими трудностями. Они зависят от типа крепления полюсов ротора. Например, при их креплении на ободе ротора необходимо весьма точно выполнить разметку под болты; при малых значениях сдвига Д3 для этого требуются "жесткие" допуски. При креплении полюсов на валу с помощью "ласточкиныххвостов" либо посредством одного или нескольких "хвостовиков" [1,7] задача еще более усложняется;
при реализации этой конструкции учитыва-
т
или сдвига Д3 ограничена не только технологическими возможностями изготовления ротора, но
и рабочими характеристиками генератора [1]. Это дополнительное ограничение связано с неравномерным распределением потоков рассеяния, замыкающихся между соседними полюсами N и 5 в пределах периода 2т; несимметрия в магнитном напряжении полюсов ротора влияет на уровень насыщения машины, особенно при эксплуатации в режимах с напряжением генератора и= 1,05£/ном (согласно ГОСТ [1,7]);
в эксплуатации при выборе неудачной конструкции ротора с тангенциальным сдвигом возможен повышенный уровень вибраций генератора [8], что исключает его работу даже в режиме холостого хода. В обычных конструкциях (при тб = тм = т) фазовый угол между полюсами ротора противоположной полярности (ТУ и 5) составляет у = 180 эл. град. В рассматриваемой же конструкции с таким сдвигом (Д0ф 0) это условие не выполняется: у ф 180эл. град.; в результате в кривой поля взаимоиндукции в зазоре появляются дополнительные пространственные гармоники, в том числе и гармоники, порядок которых п<р даже для обмотки статора с целым числом 0. Они вызывают вибрацию активной стали и корпуса статора, аналогичную вибрациям, которые вызывают гармоники этого же порядка (п<р) обмотки статора с дробным числом 0 [8]. Поэтому выбор конструкции многополюсного ротора с тангенциальным сдвигом полюсов требует проведения дополнительного анализа поля взаимоиндукции в зазоре [2, 9], в том числе определения амплитуды и частоты "субгармоник".
Зубцовые гармоники ЭДС е/{]и,п) в обмотке статора. В качестве расчетной единицы выберем группу со следующей последовательностью в ней полюсов: N N. Расстояние между первыми
тт
и третьим — тб > т, причем тм + тб = 2т. Найдем предварительно поток, соответствующий первой компоненте поля в зазоре:
тм
Ф (1\{х,г,п)= ^^(х,?,«) Ых = о
= В™Ь 2т/ (яя(' >)яп [ю(^ - ял(1)тм /(2 т)]х
Х8Ш[яЛ(1)тм/(2т)], (13)
где Ь — расчетная длина активной части статора [7]. Примем, что этот поток соответствует полюсу N.
Отметим, что этот поток может быть определен и иначе, как поток, соответствующий полюсу А
2т
фЩ,(х,М) = - |1^(х,(,п)Ых. (14) т
Соответственно ЭДС е^0(/,я) с учетом найденных выражений(11)и(13)для равна
=(-4/я2) И^ю^т^сов^я«(|)тм/(2т)] х х8Ш^яя(|)хм/(2х)] = = /(2х)]^дв, (15)
где амплитуда этой ЭДС в (15) равна
Ef.it,п) = (-4/ я2) ^федюс^т^дв, (16) а коэффициент локального сдвига
к^т= 8т[ял(1)хм /(2х)} (17)
Аналогично определяются для второй состав-ляющейв (8)—(10) погокФ^о (х, /, я)иЭДСе^о(Л которая равна
е%(ип) =
= 4>,/0со8[ю^-яЛм ¡{2 х)]4^в,
причем амплитуды ЭДС обеих составляющих отличаются только коэффициентом А"лсдв:
/(2 х )]• (18)
Отметим следующие особенности полученных выражений для ЭДС зубцовых гармоник:
частоты ю^ и зубцовых ЭДС значительно больше частоты сети юс, однако амплитуда этих ЭДС определяется только частотой юс;
амплитуды Ef.it,п) и практиче-
ски могут быть изменены лишь с помощью локального сдвига полюсов (коэффициентов А"л ^и);
при отсутствии локального сдвига (тм = тб = т; /)0 = 0) коэффициент А"лсдв = 1.
Отметим также, что при использовании обоих выражений для потоков (13) и (14) мы получаем удвоенное значение ЭДС фазы.
Пример расчета. Используем данные генератора из Приложения 1. Выберем для конструкции ротора с локальным сдвигом отношение т т т
т
= 0,5/^ = 26,2 мм; такое смещение может быть практически реализовано. Тогда согласно (12) для п(1) = 11; п(2) = 13 получаем из (17) и (18):
^лсдв = 4яв =0,1305. Выше были приведены обычные для мощных явнополюсных генераторов отношения индукций: Вг/Вп<0,10—0,18. Примем для определенности отношение Ву/В{) = = 0,14 и оценим значение коэффициента нелинейных искажений ^иск для обеих гармоник [2]. С учетом этого отношения В^В. и обоих полученных значений для Л'дсдв он равен ^иск «0,026, что удовлетворяет требованиям ГОСТ (А^1СК=0,05).
тт
амплитуда первой гармоники ЭДС генератора практически не уменьшается, так как при /7=1 К ~ 1
ЛСД В ~ А •
Конструкция ротора с групповым сдвигом полюсов в тангенциальным направлении Особенности практической реализации:
в заводских условиях реализована следующая конструкция явнополюсного ротора с групповым сдвигом [3]. Полюса подразделены на четыре группы, каждая из них содержит соответственно »У = 0,5р полюсов; расстояние
тт
а между группами тб = До(0,5;? — 1) + т. Расстояния между соседними полюсами на роторе (в пределах первой группы полюсов считая от полюса И, принятого за начало отсчета, при движении вдоль периферии ротора по часовой стрел-
тт далее размещены вторая и последующие группы
т
групповой сдвиг имеет преимущества перед локальным, так как дополнительные потоки рассеяния, замыкающиеся между полюсами N и 5 т
т
выбрать в такой конструкции лишь незначит
Соответственно меньше и уровень насыщения полюсов, вызванных дополнительными потока-
ми рассеяния между ними, особенно при эксплуатации в режимах с повышенным напряжением генератора (в пределах ограничений этого напряжения по ГОСТ);
реализация конструкции ротора с групповым сдвигом полюсов связана с дополнительными технологическими трудностями по сравнению с предыдущей конструкцией: при меньших значениях сдвига В0 требуются более "жесткие" допуски при разметке;
выбор числа связан с ограничениями по выбору числа параллельных ветвей (а) обмотки статора;
при выборе конструкции многополюсного ротора с групповым сдвигом полюсов, как и конструкции с локальным их сдвигом, требуется проведение дополнительного анализа поля взаимоиндукции в зазоре [2,9], в том числе определение амплитуды и частоты низших пространственных гармоник. В практике имел место неудачный выбор конструкции многополюсного ротора, что привело к повышенному уровню вибраций генератора [4] и исключило его работу даже в режиме холостого хода. Особенности этой конструкции изложены в [5]; ее анализ показал [4], что такие вибрации связаны в основном с влиянием "субгармоник".
Зубцовые гармоники ЭДС е/ли,п) в обмотке статора. В качестве расчетной единицы выберем группу из »У = 0,5/5 полюсов; расстояние между
тт
дем предварительно потоки, соответствующие первой из компонент (8)—(10) поля в зазоре:
хяп
- пп
О),
Л*)
sm
./(2т)"
ф;
'М
2т
= B'ZL2%I(пя(1 М х
xsin[«fi-™(1)5tM/(2t)] sin[n«(,)tM/(2x)] ;
®[iU. ] =]^t,n)Ldx =
т
= В?2Ь2т/(яя(|х
хяп[ю^-ля(|)9тм/(2т)] яп[ля(|)тм/(2т)] ;
(0,5/>-1К 4(0,5^2)тм
= В?2Ь 2т/(яя(| })х X ЯП[ю^-ля(|}(0,5р-и5) V/(2т)] х X ЯП[ля(|)тм
/(2 т)]. (19)
Соответственно ЭДС я) в элемен-
тах обмотки статора с учетом найденного выражения (11) для равна
фО) 1 +
>1»
^ ^[5тм,4тм] ^[[0,5/>-1)тм,(0,5;>-2)тм
к:
•J)
грсдв
(22)
повым сдвигом. При определении ЭДС е^Для) была вычислена сумма потоков
Ф' =
сум
+ 3
ф(1) .ф(|) .ф(|)
+ ФР
Представим одно из слагаемых, например
поток } п, в виде разности, которую дает
в результате интегрирования первообразная функция после подстановки в нее соответственно верхнего и нижнего пределов интеграла:
ФР
= /г 1-/г
[
[4т
d причем первая величина
^ычисляется для верхнего предела интеграла (при х = 5тм), а вторая ] — для нижнего т
ности можно представить и значения остальных потоков в этой сумме Ф^. Она приобретает вид
Ф' =
сум
/г !-/г
И.
После суммирования потоков [11] получаем
4>0(/,я)=
= Е% cos [^t - (0,5 р -1) яя(1)тм /(2т )), (20) где амплитуда
E%{t, я) = (-4/ я2)) ^BzxLx
хяп[о,5/жя(1)тм/(2т)]/со8[яя(1)тм/(2т)]. (21)
Определим теперь коэффициент группового сдвига, найдя для этого предел отношения ЭДС (20) в группе из S* элементов обмотки статора при тм<т к ЭДС при тм = т; в результате получаем
J[54]-J[44]
+ 3 +
1),] \(й,5р-2)\
Представим в виде такой же разности и выражение для потока (14), соответствующего полюсу »У:
Ф%(x,t,n) = -[j^ -Jи
(14')
Тогда аналогично (14') и первой сумме Ф.ум составим вторую сумму потоков Ф£ум для полюсов полярности »У:
-ф™ =
сум
Ju, i-Л
[
Р^]
1- h
[5х
+ . . .+
/г
-/г,
[(0,5;,) ] J[_(0,5p-1)
В результате получаем
ф = ф' + ф" =
^сум ^сум ^ ^сум
= (//^т^/ж^Ч, /(2т)] /со5[ я«(1)тм 1(2х)\.
Выше для конструкции ротора с локальным т т т
тельном вычислении потока взамоиндукции по (14) мы получаем удвоенное значение зубцовой ЭДС фазы. Покажем, что аналогичный результат справедлив и для конструкции ротора с груп-
2 _1/[o] + 2/[тц] _2/[2т
+ 2J<
[Зх
-2JU„ i+2/r^ i-з-1/г,
[4 ^ Р^К ]-■•■-"К^рК ]■ Прибавим теперь к последнему выражению
. Нетрудно показать, что
разность сумма
+1/[0] -1/[0]
+и[о] ■'[(o.s,)]
тождественно равна 93
нулю. В результате мы получаем: Фсум =2®^. Таким образом, учет выражений вида (14) или (14') приводит к удвоенному значению зубцовой ЭДС фазы для ротора с групповым сдвигом полюсов (при тм< т), поэтому значение коэффициента Л'фсдв по (21) остается справедливым. Нетрудно показать, что удвоенное значение зубцовой ЭДС фазы при таком учете имеет место не только для роторов со сдвигом полюсов (локальным или же групповым), но и для роторов с традиционной конструкцией без сдвига (тм = тб = т).
Перейдем теперь к определению ЭДС
еУоС'Я) и коэффициента группового сдвига А'грсдв- Они имеют вид, аналогичный (20)—(22): е%Ц,п) =
/(2т)]^2)сдв, (23)
причем амплитуды ЭДС обеих составляющих отличаются только коэффициентом А^2)сдв:
К(2) =
грсдв
.(24)
Пример расчета. Используем данные генератора из Приложения 1. Выберем для конструкции ротора с групповым сдвигом [3] отношение т т т
ния полюсов соответственно составляет Д3 = т
при достаточно тщательной разметке может быть практически реализовано. Тогда согласно (12) для /7(|) = 11, п{2) = 13 из (20) и (22) получаем
^=0,0902, ^2)сдв= 0,0764. Диапазон значений Вг/В{) для мощных генераторов был указан; примем для определенности то же значение отношения В^В., что и в примере предыдущего раздела. Оценим значение коэффициента нелинейных искажений Киск для обеих гармоник [2]. С учетом этого отношения Вг/В{) и обоих полученных значений для ^фСДВ он равен Каск—
= 0,0166, что удовлетворяет требованиям ГОСТ
тт
= 119/120 амплитуда первой гармоники ЭДС генератора практически не уменьшается, так как при п = 1 коэффициент сдвига равен А" «1.
Конструкция генератора с осевым скосом активной стали статора или полюсов ротора
Особенности практической реализации. Величину скоса Д3 обычно выбирают равной пазовому делению Этот выбор (Д) = определяется "коэффициентом скоса" Кск. Вывод его расчетного выражения основан [1, 7] на аналогии с выводом расчетного выражения для коэффициента укорочения шага витка обмотки статора; однако в качестве "расчетной единицы" при выводе Кск используется [ 1, 7] не виток обмотки, а только одна из его сторон; амплитуда и частоты ЭДС гармоник зубцового порядка при этом не определяются [ 1,7]. В практических расчетах это не позволяет оценить значения коэффициента нелинейных искажений Киск генератора с выбранным значением числа 0.
В Приложении II приведен вывод расчетного выражения для зубцовых ЭДС генератора со скосом пазов статора (полюсов ротора). При выводе использованы соотношения для гармоник потока взаимоиндукции зубцового порядка, полученные выше, в первом разделе статьи. С учетом выражения для зубцовых ЭДС может быть проведена оценка значения коэффициента нелинейных искажений Кжк генератора. Для машины с данными из Приложения 1 он приведен ниже, в примере расчета.
В таблице 1 вычислены согласно (12) и (П.4), (П.6) значения коэффициентов скоса А"ск при Д3//г= 1, Д)//^= 0,85 и Д//г= 1,15; они соответствуют практическим значениям технологического допуска на величину Д3. Расчеты выполнены для первых трех значений 0, представляющих практический интерес.
Результаты расчета этих коэффициентов Кск подтверждают, что при указанных значениях допуска эффективность скоса сохраняется не для всех значений 0. Поэтому при проектировании технологической оснастки более целесообразно предусматривать возможность некоторого увеличения реального скоса Д3 по сравнению с шагом а не его уменьшения.
Отметим, что для основной гармоники ЭДС коэффициент скоса (П. 3) при указанных значениях Д)//^ практически остается равным единице: Кск(п = 1, Д)« 1. Отметим также, что МДС обмотки статора при скосе (аналогично ЭДС) изменяет амплитуду на величину А"ск; изменяется и фазовый угол аналогично (П.2) и (П.5).
Коэффициенты скоса Кск для зубцовых гармоник
Q (1) (2) п , п
при D0 = tz при/)0= 0,85 tz при B=l,l5tz
1 5 7 0,1940 0,1364 0,3565 0,0084 0,0434 0,2085
2 11 13 0,0899 0,0760 0,2612 0,0851 0,0511 0,1783
3 17 19 0,0585 0,0524 0,2303 0,1126 0,0783 0,1632
Пример расчета. Используем данные генератора из Приложения 1. Согласно (12) для (2 = 2
при £>0 = ^имеем=0,0*99; К™ = 0,0760 (см. табл.).
Диапазон значений В^В^ для мощных генераторов уже неоднократно упоминался; примем для определенности то же значение отношения В^В^ что и в предыдущих примерах. Оценим значение коэффициента нелинейных искажений Киск [2]. В результате получаем согласно (П.4) и (П.6) Киск « 0,0165, что удовлетворяет требованиям ГОСТ.
Таким образом, в мощных явнополюсных генераторах (для МГЭС, ПЭС, ветроустановок) с обмоткой статора, отличающейся целым числом О пазов на полюс и фазу, в кривой напряжения помимо основной гармоники (с частотой /с = 50 Гц) появляются также и ряд дополнительных гармоник (с частотами/7= (60 ± 1)50 Гц). С ними связаны добавочные потери и перегревы активной стали статора; токи этих зубцовых гармоник могут вызвать помехи в телефонных линиях, расположенных вблизи ЛЭП, а также перенапряжения в этих ЛЭП из-за явлений резонанса. В статье получены расчетные выражения для зубцовых ЭДС в общем случае, когда в пределах периода Г (двух полюсных делений, Т= 2т) один из полюсов смещен так, что тм < т, а тб > т, причем тм + тб = 2т).
Исследованы конструкции, которые используются в практике и позволяют снизить амплитуду этих гармоник. Исходя из найденного общего выражения для зубцовых ЭДС рассмотрена эффективность эгихконструкций, получены соотношения для определения коэффициента Киск нелинейных искажений, величина которого ограничена ГОСТ.
Расчетные выражения, полученные для каждой из этих конструкций, применены для вычис-
ления соответствующих им коэффициентов нелинейных искажений Киск; в качестве примера использованы данные генератора 8750 кВА; U= 11 кВ;/= 50 Гц.
Приложение I
Данные генератора для расчета коэффициента нелинейных искажений Кпск: Р = 8750 кВА; U = = 11кВ;/=50Гц; диаметр расточки статора £>раст = = 8 м; активная длина сердечника статора L = = 720 мм; ширина пакета сердечника />пак = 50 мм; Шф = 3; Q = 2; число параллельных ветвей а = 2; число пазов Z = 480.
Приложение II
Зубцовые гармоники ЭДС ezo(t,n) в обмотке статора при осевом скосе активной стали статора или полюсов ротора
На рис. 2 представлен виток обмотки статора AGHCA со скосом GB = HF = D{) относительно оси вращения машины; она совпадает с CF; АС = BF= т. Длина активной стали статора машины [7] CF = ЛВ = L. Воспользуемся сначала выражением (9) для первой составляющей потока взаимоиндукции:
bf 0 (х, t, п) = B'Z sin- ™(1)хД] • (п-!)
А с\
Рис. 2. Виток обмотки статора (АСНОС) со скосом в осевом направлении на величину НЕ
Найдем амплитуды гармоник ЭДС порядка rfl), которые индуцируются в элементах витка AGHCA этим потоком взаимоиндукции. Для этого разделим длину активной стали машины L т N равных элементов (при N ^ да); на рис. 2 указаны три из них: СК} = К}Н} = H}F. Соответственно поверхность витка также подразделяется на N равных по площади элементов, например АК{К2СА, HlGHH1Hl. Определим поток Ф^кк(п{1)) гармоники порядка и(1), сцепленный с одним из элементов, например KlHlH2K2Kl, имеющим номер Мкк (1 = jVTeK= jV), считая от стороны витка АС:
фмеК =WN) У B'z sin[^-^x/x]c&.
Здесь (см. рис.2): S3S2~ DüNTeK/N] S3S{x DüNieKlN. С учетом этих соотношений после преобразований получаем
Определим сумму потоков во всех N элементах. При N ^ да после раскрытия неопределенности имеем
<S>^=2B'ZL^ (яяа >)х х sin [ш^ - яя(1)/2 - nnmD0/( 2т)] х
xsin^^sin]}^1'.^/(2т)]/[яя(1)/)0¡{2т)] .
При выводе использовано соотношение: lim Л^ш(яя(1)/)0/(2тЛ?)) = яя(1)/)0/(2т).
Соответственно ЭДС е'4' с учетом найденного выражения (11) для ю^Равна
xsin
та ),Do 18т[яя(1>Д0/(2т)
2т J [^4/(2*)J
= 4>,я(1) )sin[^/-W4M /(2т)} (П.2)
где амплитуда Ef.it, /7(|))этой ЭДС определяется выражением
п{1>) = -[/я2 (П.З)
а коэффициент скоса К™ = ап[яя^о/(гтДДяя^/(2т)} (П.4)
ЭДС е^2,0(/,я(2>) и коэффициент скоса К¿2| для
второй составляющей имеют вид, аналогичный (П.2)—(П.4):
(П.5)
причем амплитуды ЭДС обеих составляющих отличаются коэффициентом Кск:
42) = ап[яя<2)Д0/(2т)]/[яя<2)Д0/(2т)]. (П.6)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вольдек А.И., Попов В.В. Электрические машины. М,—СПб.: Питер, 2006. Том 1—319 е., том 2 — 346 с.
2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники (в трех томах). М,—СПб.: Питер, 2004. Том 1 — 462 е., том 2 — 575 е., том 3 — 376 с.
3. Толвинский В.А. Результаты испытаний гидрогенераторов Волховской ГЭС // Известия Электротока. 1929, N° 6.
4. Коваль A.A., Нецеевский А.Б., Цветков В.А. О силах магнитного тяжения и вибрациях низких частот в гидрогенераторах с групповым сдвигом полюсов // Электричество. 1988. N° 8.
5. Пинский Г.Б. Учет неравномерного размещения полюсов ротора // Сб.: Электросила. 1979. № 32.
6. Брагстад О.С. Теория машин переменного тока: Пер. с нем. Л.: КУБУЧ. 1933. 378 с.
7. Проектирование электрических машин / Под ред. И.П. Копылова // М.: Энергия. 1980. 495 с.
8. Детинко Ф.М., Загородная Г.А, Фастовский В.М.
Прочность и колебания электрических машин. Л.: Энергия. 1964. 440 с.
9. Богуславский И.З. Генераторы и двигатели переменного тока: теория и методы исследования при работе в сетях с нелинейными элементами: Монография. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2006. Том 1 - 390 е., том 2 - 130 с.
10. Шуйский В.П. Расчет электрических машин: Пер. с нем. Л.: Энергия. 1968. 730 с.
11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: Пер. с англ. М.: Наука. 1970. 720 с.
