CC BY
31
УДК 621.313
А. А. АФАНАСЬЕВ, А.В. НИКОЛАЕВ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К РАСЧЕТУ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В МАССИВНОМ МНОГОСЛОЙНОМ РОТОРЕ С ЗУБЧАТОЙ СТРУКТУРОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Ключевые слова: разделение переменных, уравнение и функции Бесселя, стальной массив, магнитная проницаемость, многослойный ротор, наружные пазы.
Предлагаются алгоритмы аналитического расчета магнитного поля в массивном роторе электрической машины, полученные на основе разделения переменных Фурье и аппарата функций Бесселя. Благодаря дискретизации массивной среды с помощью совокупности коаксиальных цилиндрических поверхностей и радиальных плоскостей достигается возможность адекватного учета изменения магнитной проницаемости среды, наружной геометрии границы и многослойного исполнения конструкций роторов.
A.A. AFANAS’EV, A.V. NIKOLAEV ANALYTICAL APPROACHES TO CALCULATION OF THE MAGNETIC FIELD IN THE MASSIVE MULTILAYERED ROTOR WITH GEAR STRUCTURE OF THE SURFACE
Key words: division of variables, the equation and functions Bessel, a steel file, magnetic permeability, a multilayered rotor, external grooves.
Algorithms of analytical calculation of a magnetic field in a massive rotor of the electric machine, received are offered on the basis of division of variables Fourier and the device of functions Bessel. Due to digitization of the massive environment with the help of set of coaxial cylindrical surfaces and radial planes the opportunity of the adequate account of change of magnetic permeability of Wednesday, external geometry of border and multilayered performance of designs of rotors is reached.
1. Постановка задачи. Настоящую статью следует рассматривать как продолжение предыдущих [1, 2], в которых обосновывались аналитические подходы к расчету электрических машин с массивным ротором на основе решения краевых задач для кольцевых областей методом разделения переменных Фурье.
В данной работе основной акцент делается на расчет магнитного поля в массивном роторе с учетом разбиения радиальными плоскостями уже самих элементарных концентрических колец, которыми представлен массив, на элементарные участки с однородными изотропными электрическими и магнитными свойствами.
Рассматриваемый подход позволяет получить наиболее адекватную математическую полевую модель электрических машин с массивным ротором. В частности, с помощью упомянутой дискретизации колец легко смоделировать конструкцию с многослойным массивным ротором [3], учесть изменение магнитной проницаемости внутри каждого кольца как функции угловой координаты и, наконец, учесть возможную зубчатость наружной поверхности ротора, когда ряд ближайших к поверхности колец будут иметь элементарные участки с магнитной проницаемостью воздуха.
2. Магнитная индукция в точках наблюдения массивного ротора. Поперечная геометрия электрической машины с массивным ротором, разбитым на М виртуальных концентрических колец, показана на рис. 1.
Здесь принято: юр = pQ = (1 - s1) ю - электрическая скорость вращения
ротора; Q - механическая (физическая) скорость вращения ротора; АО -неподвижная магнитная ось фазы А обмотки статора, являющаяся одновре-
менно вещественной осью неподвижном комплексной плоскости; а — ось, жестко привязанная к ротору, являющая одновременно вещественной осью вращающейся комплексной плоскости; & - угловая координата положения ротора & = &0 + (1 - 5;)юґ ; о < у < 2п — угловая координата точки наблюдения на роторе (во вращающейся системе координат); ф — угловая координата точки наблюдения на роторе в неподвижной системе координат (в этой системе координат будет записано исходное дифференциальное уравнение Бес-2п
селя [1]); 1 Дуу = — угловой размер V -го элементарного участка (ЭУ) на
iN
2п
7-м кольце (при одинаковости ЭУ 1 ), где N - количество ЭУ у 7-го
кольца; 1 - угловая координата правой стороны у-го ЭУ 7-го кольца1; • -
точки наблюдения ЭУ (в верхнем правом углу).
Рис. 1. Поперечная геометрия электрической машины с массивным ротором и оси систем координат
В исходной (неподвижной) системе координат фазный множитель в формулах для комплексных амплитуд радиальных и тангенциальных составляющих магнитной индукции был равен
ei (ю (1)
Из рис. 1 видно, что во вращающейся системе координат d, q (жестко привязанной к ротору) с фиксированным углом у точки наблюдения имеем2
ф = & + у = S0 + (1 - s1) ю t + у, (2)
где у = const.
После подстановки (2) в (1), приняв S 0 = 0, получим в системе координат
d, q :
eJ W [1m(1-s1) n ]+ пу} = eJ l>tsn +пу ) = e m jn у (3)
1 Для начала применения метода полагаем, что угловые координаты у-х ЭУ всех колец одинаковы.
2 ф и у - здесь электрические углы, которые больше аналогичных механических углов в р раз (р - число пар полюсов машины).
Полагая, что вся материальная среда 7-го кольца ротора имеет параметры у-го ЭУ, можем для этого ЭУ иметь следующие выражения для п-х гармоник комплексных амплитуд соответственно радиальных (г) и тангенциальных (ф) магнитных индукций в точке наблюдения [1]:
где 7 = 1,2,к,М; V = 1,2,к,N ^ = (у-1)Лу, Д = ^- уш V^ Vу , ^ = 1 + (1 - ^)п , п = 1, 2,3,...
Мгновенные значения этих магнитных индукций при принятии во внимание формул (3)-(5) будут равны
Хи) =| Хп)|со8(*п ш Г+V а Гп)), (6)
^ =| ^ссфп ш г+V а фп)), (7)
где
V аГп) = агв Вп); (8)
V афп) = агв ^ВЩ). (9)
По формулам (6), (7) можем определить мгновенные значения магнитных индукций в точках наблюдения ЭУ для произвольного момента времени, например, для г = 0. Вычисляя далее результирующую амплитуду первой гармоники в ЭУ
;в(1) ^в? ]2, (10)
можем по кривой намагничивания найти мгновенное значение (для г = 0) магнитной проницаемости ЭУ.
3. Расчет постоянных. Количество Л'С1п , ’С2 п неизвестных постоянных в формулах (4), (5) равно при фиксированном п числу 2MN- N. Кроме того, к неизвестным следует отнести магнитные потенциалы ^ (V = 1,2,к,N) наружной границы первого кольца, имеющей радиус г = г1 = 0г1. Таким образом,
общее число неизвестных, определяемых из граничных условий для магнитного поля ЭУ, составит 2MN - N + N = 2MN.
Этому же числу будет равно и количество уравнений для граничных условий на внешних границах М колец.
Учитывая, что при нахождении указанных выше неизвестных постоянных не использовались граничные условия на боковых (радиальных) границах ЭУ, следует определять В1г и В1ф по формулам (4), (5), добавляя в них слагаемые,
являющиеся постоянными, зависящими соответственно от координат г и ф:
(,-1)г1)+‘С2и7иС'к^ (г-1)г1)
+С, (її)
Сї?КСку& ^ГіКС^ВД^ (,-1)гі)
+і і
+ ‘С4„. (12)
Наличие этих постоянных позволит обеспечить стыковку нормальных и тангенциальных составляющих векторов соответственно индукции и напряженности магнитного поля в точках наблюдения на радиальных границах соседних ЭУ3.
Общее число новых неизвестных постоянных составит, очевидно, 2МЫ. Такое же число новых уравнений будем иметь по граничным условиям магнитного поля на радиальных границах.
Следовательно, полное число неизвестных постоянных будет равно 4МЫ. Введем в рассмотрение вектор неизвестных размером 4МЫ. т
X
[ !С 1. і і п п 2С і і п 2с 12 п — п р 7 ~ М п р 7 ~ М п и" р(1) 1г п
!С 2 !п !С 2 2п 2С 2^!п 2с 2 2 п - м-1с м-1с 2 С!п 2 С2 п п и" Р( 2Г п
п С п О 2с !п N 2 2 п п и" п О 7 ^ М п С 7 ^ М
п 3 о п 4 3е п !С 2 4п •• !С С • 3п 4 п
2С і 3п 2С і 4п п 3 С3 2С 2 4п - N 2 3 п N 2 4 4 3 1 •
3 п Мс !С4п п 4 С4 п 3 С3 п 4 С4 п 3 С3
Этот неизвестный вектор находится из уравнения Ах = Ь, где
(3 ■ ^
Ьт = [ 0 Ьз0 Мк Ьж-1 0 0-0], ък =±
I 2 у
Структура матрицы А имеет следующий вид:
р(2), к=2у-і, V = 1,2,3,—N.
а
2V-і, 2(V-1)М+1
= (гі);
2V-і, 2(V-1)М+2
а2 V-1, 2М V = +
2
. ]'г1
2 V-1,2 МЫ+(2 V-1)
где V = 1,2,3,-, N.
п
а2 V, 2( V-!) М+1 = Кп ( vkVSn Г1);
= К ( їк^пГіУ;
2 V, 2( V-!) М+2 _ -‘-пУ V
3 Эти постоянные можно рассматривать как дополнительные составляющие индукции, обу-
словленные влиянием остальных ЭУ данного кольца с неодинаковыми параметрами среды.
ч2 Г1 "ЧЭп у
2 V ,2М^+2 V _ , ,
гдеv = 1,2, к,N.
а = +—е-}п'vv Т ( гКI? V )•
2 ^+2г-1+2(М-1)( V-1), 2 г—1+ 2М (V-!) _ — г е ° п\ vкЧ лп ' 1) ■>
Г1
- -1п.е+1п ^ т (г'г Г
а = + —е + ]п 'Vv у ( г'К/9 гГ )•
ы2^+ 2г-1+ 2(М-1)( V-1), 2г + 2М ^-1) _ — г е -* п V л п '1/’
Г
а2N + 2г-1+ 2(М-1)(V-1), 2г+1 + 2М (V-1) = ±
Г1
а =±^е Т]п 'Vv у ( ^/К/? гГ )•
2N + 2г-1 + 2(М-1)(V-1), 2г + 2+2М(V-1) “ — г * 1 п\ V* V п М/>
Г1
а2 N+2г-1 + 2( М-1)( V-1), 2МЫ + 2 N (г-1)+1 + 2 V - 2 = 1 • а2N+2г-1 + 2(М-1)(V-1), 2MN+2N1 +1+ 2V-2 = -1 ,
где г = 1,2,3,...,(М -1); V = 1,2,3,к,N .
а =__V____у_я +>п ^ Т> ( гк I? гГ )•
2N+2г + 2(М-1)(V-1), 2г-1 + 2М^-1) _ г е °п^^\лп ' 1 ) ■>
V Ц 1
гк I? _
а =- v V п е - 1п ^ у' ( гк1„ гГ )•
2 N+2г + 2(М-1)( V-1), 2г + 2М ( V-1) г е -* п V л п '1/’
vЦ 1
г+1 и?
____5!_п_ е - 1п 'Vv Т < ( г+1£л/9 гГ )•
2N+2г + 2(М-1)(V-1), 2г +1 + 2М(V-1)_ г +1 е и п^ V* V ^ п '1/’
V Ц 1
2N+2г + 2(М-1)(V-1), 2г + 2+2М^-1)_ г+^ п\ ^ V п ’1>^
vЦ 1
1
а
2 N+2г + 2( М-1)( V-1), 2MN+2 N (г-1)+2+2 V-2 _ г
V, Ц 1
1
2 N+2г + 2( М-1)( V-1), 2МЫ+2 N (г-1) + 2+2 V - 2+2 N ~ г +1
V Ц 1
где г = 1,2, к,(М -1); V = 1,2,...,N .
Теперь введем в рассмотрение комплексные амплитуды индукции в левой и правой точках наблюдения ЭУ, находящихся на наружной окружности и соответственно на левом и правом радиусах. Видим, что приведенные выше форму-
а2V, 2М V = ±
1
лы (її), (12) для комплексных амплитуд у-го ЭУ соответствуют, очевидно, правым радиусам. Тогда для левых точек наблюдения у-го ЭУ будем иметь:
лВ ’=Ы;' - :с,п) + ;с3п, (14)
лЖ? = (;в« - Х,,) о’ + ;с4п, (15)
где амплитуды л,В1(г”) и Л,ІВ1(^п) задаются формулами соответственно (її) и (12).
Для указанных точек наблюдения будем иметь следующие дополнительные уравнения, соответствующие граничным условиям для магнитного поля в этих точках:
і в(п) ' В(п)
(v+1) 1г = л^ 1г (16)
( V+1) М і Vм
і В(п) = і В ('
(v+1)£Чф _л^^!ф
'ВУ = л^ВЩ), (17)
где V +1 = N +1 = і.
Уравнениям (16), (17) соответствуют коэффициенты матрицы А
а = ’ ■ Р’іп ^+1 Т ( 'клГ^ (і-1)г )/ ' М •
u2MN+2i-1 + 2(M-1)(v-1), 2i-1 + 2Mv _ ’ (,-і) ^ ° п\(V+1^ ^ Л/ п і" (V+і^ Ні ?
Г -
а = ’ ■п е’іп ^+і у ( (і-1)г )/ ' М •
2 МЫ+2,-1+ 2(М-1)( V-і), 2і + 2Му_ ’ (І-і) 1 п\^+1)лД/ д п ’і)' ( V+1^ М-1 5
Г1
і
а
2МЫ+2і-і + 2(М-і)(V-і), 2МЫ+2Ы,+і + 2V-2 _ ,
( V +1) М і
]п ’ іпш„
-р 1 Тп І Vкл^п ч' Т
а2МЫ+2і-і + 2(М-1)^-1), 2І-1 + 2М (V-!)- — (,-і) ^ Р Тп ( V к ^ %> Гі ^ / V М і;
а = ± іп Р’іп^+і у ( ,кл[Г (,-!>г 1/,м •
2МЫ + 2і-1+2(М-і>( V-і), 2і+2М (V-!) _ — ^ 1 п\ ** п г і ' ^ і’
(І-і) г , 1 ;
і( v-1),2,+ 2М (V-!) — п\
(і-1) г
і
і
а2МЫ + 2і-і+2(М-і)(V-і), 2МЫ + 2Ы(і-і)+1+2v-2 = ;
V м і
а =- 'к 1^ РТ]пv+1> Т'( 'к 1^ (і-і)Г 1 •
3МЫ+2і-1+2(М-і)( V-і), 2і-1+2Му ( v+1)ft V Лп^ ° п І ^і^А/ Лп гі І’
а =- ,к^[Гр ’ іп^( v+l> уА 'ьГГ (,-1>г 1 •
и3МЫ+ 2і-1+2(М-і)( V-і), 2і+ 2М^_ ^і)* V п Ап І ^і^Д/ п гі І’
а3МЫ+2і—і+2(М-і)(V-!), 2МЫ+2Ы,+2+2V-2 = 1 •
а = кГр’^ Т'( 'к.Г^ (І-і)Г 1 •
3МЫ + 2і-1+2(М-і)( V-і), 2І-1+2М ^-і)- vK \ Лп^ ° п V Л \ Лп гі >
а3МЫ + 2І-і+2(М-і)(V-і), 2І+ 2М(V-!)
= їк^пР’■ ’• у;(;ф„"-!>ГіІ•
а3МЫ+ 2і-1+2(М-і)( V-і), 2МЫ+2+ 2Ы (І-і)+2 v-2 =-ї, где ' =!,2,3, ”• ,М У=!,2,3, —,Ы.
Литература
ї. Афанасьев А.А. Расчет рабочих характеристик асинхронного двигателя с массивным ферромагнитным ротором с учетом изменения его проницаемости / А.А. Афанасьев, А.В. Николаев // Вестник Чувашского университета. 2003. № 2. С. 137-146.
2. Афанасьев А.А. Аналитические подходы к расчету электрических машин на основе решения краевых задач для кольцевых областей методом разделения переменных Фурье / А.А. Афанасьев, А.Г. Бабак, А.В. Николаев // Электричество. 2006. № 6. С. 34-41.
3. Могильников В.С. Асинхронные двигатели с двухслойным ротором / В.С. Могильников, А.М. Олейников, А.Н. Стрельников. М.: Энергоатомиздат, 1983. 120 с.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ. См. с. 84.
НИКОЛАЕВ АЛЕКСЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ родился в 1979 г. Окончил Чувашский государственный университет. Кандидат технических наук, ведущий специалист АКБ «Чу-вашкредитпромбанк». Область научных интересов - электромеханика и информатика. Автор более 25 научных работ.
