Аналитический Расчет электромеханического нагревателя воды на основе функций Бесселя с комплексным аргументом Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313

А. А. АФАНАСЬЕВ, А.Г. БАБАК, А.В. НИКОЛАЕВ

АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО НАГРЕВАТЕЛЯ ВОДЫ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ С КОМПЛЕКСНЫМ АРГУМЕНТОМ

Состояние вопроса. В последнее время в связи с обострением проблемы энергосбережения все актуальнее становится использование нетрадиционных источников энергии, к числу которых относится энергия ветра. Данный вид источника энергии является экологически чистым и возобновляемым, его потенциальные запасы огромны.

Для передачи вырабатываемой электроэнергии в общую сеть и большие и малые ветроэнергетические установки (ВЭУ) оснащаются сравнительно сложными системами регулирования напряжения и частоты. Для крупных ВЭУ это обоснованно, что же касается ВЭУ малой мощности, то сложная схема преобразования ограничивает их широкое применение. Дешевые и простые ВЭУ малой мощности могли бы использоваться гораздо шире - в небольших котельных, индивидуальных хозяйствах. Для этого нужно решить вопрос преобразования вырабатываемой электроэнергии непосредственно в тепло и последующего его использования, например, в системах отопления.

В средней полосе России отопление индивидуальных домов обычно заканчивается в мае, а в сентябре начинается вновь, да и летом его иногда включают при ненастье, чтобы исключить сырость в помещениях. Поэтому наибольший практический интерес представляет применение ВЭУ для выработки тепла, которое непосредственно идет на отопление производственных и жилых помещений.

Рассмотрим одну из схем выработки тепла. Для получения тепла электроэнергия, вырабатываемая генератором ВЭУ, подводится к электрическому радиатору или иному (например, термоэлектрическому) нагревателю (рис. 1).

Возможны также принципиально другие схемы, у которых отсутствует электрический генератор и осуществляется прямое преобразование механической энергии ветра в тепловую энергию. Оценка нагревательной способности некоторых конструкций таких ВЭУ рассматривается в настоящей статье.

Следует отметить, что для обоих типов ВЭУ не имеет большого значения качество вырабатываемой электроэнергии (нарушение синусоидальности, отклонения напряжения и частоты). Здесь вся электроэнергия преобразуется в тепло. Поэтому не требуется сложная схема преобразования энергии, необходимая в случае подачи ее в общую сеть. Не играет существенной роли и

непостоянство скорости ветра, так как отапливаемое помещение обладает значительной тепловой инерцией.

Рис. 1. Использование энергии ветра для отопления помещений:

1 - ветроколесо , 2 - генератор, 3 - электрический радиатор, 4 - отапливаемое помещение

Системы использования энергии ветра для получения тепла применимы везде, но особенно это актуально для безлесных, самых холодных ветреных регионов - степей, тундры. Столь необходимое здесь тепло частично может быть получено без затрат топлива с помощью ВЭУ, установка которых в таких местах не требует высоких мачт. Немаловажно, что для ВЭУ небольшой мощности не нужно отчуждение больших участков земли, они удачно компонуются с промышленными предприятиями (например, с местными котельными) и могут быть размещены на их крышах.

Постановка задачи и особенности конструкции нагревателя. Энергия ветра с помощью электромеханических устройств может непосредственно преобразовываться в тепловую энергию. Таким устройством может быть электрогенератор обращенного исполнения с постоянными магнитами, якорем которого является неподвижный массивный стальной цилиндр. Индуктор электрогенератора имеет большое число полюсов, изготовленных из магнитопластового материала в форме прямоугольных брусков, наклеенных непосредственно на внутреннюю поверхность стальной трубы, являющейся обращенным ротором. Индуктор, приводимый во вращение ветроколесом, будет наводить в стали якоря вихревые токи, вызывающие нагрев его стенок и воды, заполняющей внутреннюю полость цилиндра якоря (рис. 2). Простота конструкции и технологии изготовления, дешевизна магнитов обеспечивают невысокую стоимость данного устройства.

Макетный образец электромеханического нагревателя (ЭН), фрагмент поперечной геометрии которого показан на рис. 2, имеет следующие данные: наружный диаметр обращенного ротора 0,7 м; активная длина 0,058 м; воздушный зазор 1,0 мм; номинальная скорость вращения 200 об/мин; число по-

люсов 2р = 30; материал ярма ротора и якоря - сталь 3; материал магнита -магнитопласт на базе быстрозакаленного материала К^Ре-В с остаточной индукцией Вг = 0,52 Тл и коэрцитивной силой по индукции НсВ = 413,8 кА/м. Магнит является высоконаполненным композиционным материалом, изготовленным из порошка или мелких чешуек с полимерным связующим [5].

Для углубленного электромагнитного расчета ЭН с учетом особенностей конструкции (в том числе при применении дополнительных алюминиевых или медных короткозамкнутых обмоток, уложенных на поверхности или в пазах якоря), оптимизации функциональных свойств была разработана его адекватная численная полевая математическая модель на базе метода сопряжения конформных отображений [1, 2].

С поставленными задачами можно достаточно эффективно справиться более доступными и экономными аналитическими средствами, решая краевые задачи для кольцевых областей методом разделения переменных Фурье.

О! , ______I______ № і

Рис. 2. Поперечная геометрия макетного образца электромеханического нагревателя:

1 - ярмо обращенного ротора; 2 - полюса из магнитопластового материала;

3 - стальная труба

Допущения и принципиальные особенности аналитической модели.

Магнитное поле в рассматриваемом ЭН принимаем плоско-параллельным. Учет его лобовых эффектов производится известными приближенными методами [6].

Из уравнения для магнитной индукции материала магнита по оси легкого намагничивания а

ва = Д о [мга+(1 + Ка )н а], (1)

где Мга, Ка - соответственно остаточная намагниченность и восприимчивость по указанной оси, следует, что постоянный магнит в виде прямоугольного бруска высотой И, кривая размагничивания которого линеаризована в окрестности рабочей точки, способен развить в закороченном состоянии (при нуле-

вом значении магнитной индукции) максимальную («фиктивную») магнитодвижущую силу (МДС), равную

(2)

где -г - 1 + Ка; Нсв, Мга - точки пересечения указанной выше прямой осей координат.

В реальных условиях (при наличии внешней магнитной цепи) эта МДС будет создавать магнитное поле не только внутри магнита, но и вне его.

Будем полагать, что вдоль окружности воздушного зазора рассматриваемого ЭН МДС магнитов будет изменяться по закону прямоугольного косинуса. При разложении этой кривой в ряд Фурье имеем амплитудные коэффициенты

Рп - -

4 7с

-со8ап,

п п

(3)

номер гармо-

т - Ьм

где а =-----— п - половина расстояния между магнитами; п

2т

ники (1,3,5, ...); Ьм - ширина магнита; т - длина полюсного деления.

Рабочий участок кривой размагничивания (ближайший к оси индукции) высококоэрцитивных магнитов (в том числе и ферритовых) отличается повышенной жесткостью: коэффициент восприимчивости Ка для него не превышает значения 0,1 [10], т.е. относительная магнитная проницаемость магнита дг на этом участке близка к единице (магнитная проницаемость среды внутри магнита близка к проницаемости воздуха). Эти данные позволяют считать величину воздушного зазора в ЭН равной расстоянию между цилиндрами якоря и ярма индуктора, а МДС магнитов - расположенной у их основания.

Будем обозначать области (среды) якоря, воздушного зазора И ярма индуктора (рото- Рис. 3. К расчету магнитного поля

ра) цифрами 1, 2, 3 соответственно (рис. 3). в феРР°магнитн°м як°ре - 1;

воздушном зазоре - 2; индукторе - 3

Расчет магнитного поля в воздушном зазоре (среда 2). На внутренней цилиндрической поверхности ярма индуктора с радиусом г = Г2 имеем скалярный магнитный потенциал (СМП) магнитов

и 2 ( ^)- 2

п-1

<Х)

соє пу» 2 ,

п-1

(4)

где у - угловая координата точки наблюдения в магнитном поле (у - ру м , здесь у м - угловая координата той же точки наблюдения, но в механической

(геометрической) системе координат); - Еп .

Радиальную ось, проходящую через середину одного из магнитов, будем считать продольной осью d индуктора (рис. 3). Ее положение относительно аналогичной оси А, жестко привязанной к ферромагнитной трубе ЭН, задается углом S = S0 + pQt, где Q - угловая скорость вращения индуктора; р - число пар его полюсов.

Точка наблюдения на якоре имеет угловую координату ф относительно оси A. Учитывая, что у = ф - S, уравнению (4) при S0 = 0 можно придать вид

U2(r2,ф) = 2an2)cosпф + Ь><п2') sinпф, (5)

п=1

где = Fn2) cosnpD. t; ЪП2 = Fn2) sinп рШt.

На другой стороне воздушного зазора (с радиусом r 1) магниты и вихревые токи ферромагнитного якоря будут наводить СМП вида

ГО

U2(r1, ф) = 2 a1 cos Пф + sin Пф , (6)

п=1

где а(П\ Ъ1 - неизвестные коэффициенты.

Если принять а<'П'> = F'r(1) cos nS; Ъ1 = F^1^ sin nS, то из (6) будем иметь

ГО

и 2 (г 1, ф)= 2 Fn(1)cos п (ф-S). (7)

П=1

СМП, задаваемые формулами (5) и (6), позволяют найти решение задачи Дирихле для кольцевой области воздушного зазора [9]

U2(r,ф)= 2(rnAn + r~nCn)cosп ф + (гпВп + r~nDn)sinпф, (8)

n =1

где коэффициенты Ап, Вп, Сп, Dn определяются по формулам

Ап =(-r^)п -r12п)

Bn =(r2Ъ2)-r^)/(г22и -r12п)

Cn=(V2 )п (r2n«n1)-r^)/) - п2 п )

Dn = (r1r2 )п (r2Ь(1)- Г1ПЬП2))/(Г22” - r12 п )

Из выражений (6), (7) следует зависимость для радиальной составляющей напряженности магнитного поля (МП) на краю зазора с радиусом r :

(9)

д r

= — 2 п (у^П1^ 2 „а12))со5 п ф +

Г1 п=1

1 о! (10)

+ п (у1пЬ(^ 2пЬП2))®1П п ф = — 2 ^п^1 +V 2пРП2))с0^ п(ф-^

Г1 п=1

где Vln =(г12 п + Г22 п )/ (г22 п - Г12 п ), V 2 п =-2 (гЛ ) п / (г^ п - Г? п ) .

Из формулы (7) можем получить выражение для тангенциальной составляющей напряженности МП:

H2ф2,ф)=-^21 ф) = j 2п^е^-^ » j 2nFi21einф. (11)

Г19ф r1 п=1 r1 п=1

Расчет магнитного поля в ферромагнитном якоре. Обратимся теперь к неподвижному ферромагнитному телу (якорю) - среде 1 (рис. 3). Полагая ц1= const* и вводя векторный магнитный потенциал

^1H1 = rot A1,

из первого уравнения Максвелла, записанного в неподвижной системе координат, получим

rot rot A1 = ц51, (12)

где

51 = у E1 = y

- gradU1 —+ [v1 rot A1 ] (13)

- плотность тока в стали трубы (здесь v1 - скорость движения индуктора).

Из векторного анализа известно

rot rot A1 = graddivA1 -V2A1 .

Выбирая для калибровки векторного потенциала условие Кулона

div A1 = 0

и пренебрегая напряженностью электрического (кулоновского) поля внутри стального массива,

grad U1 = 0 ,

из уравнения (12) будем иметь

V2A1 + ^ —А + [ а] д t

= 0 .

При гармонически меняющемся МП с угловой частотой ю справедливо

У2Л - у юдуЛ - ду^гВ1гё2 = 0. (14)

Поскольку рассматриваемое МП плоскопараллельно, то в цилиндрической системе координат

1 Г Г д Л1ф д Л1г '1

rot г-1 = В1 г =

r

д r 5ф

= 0 .

Отсюда следует

A1r = А1ф = 0, А1 = Azez :

* Ниже это условие будет относиться только к сравнительно тонким элементарным концентрическим кольцевым областям, на которые будет разбиваться массивный ферромагнитный цилиндр якоря. На границах этих колец магнитная проницаемость будет испытывать скачки. Внутри же кольца среда будет линейной, т.е. ее параметры ц и у сохраняются неизменными. Монотонное изменение этих параметров будет наблюдаться при бесконечно большом числе элементарных концентрических колец.

+ т п 1 'д А1 г г д А^) 1 дА

гО ГА1 = В1г =

ю ф А! = дф = -

дф д г

'д А1 , д А1г ) ч д г д г

/

г дф д А1 г д г

Поэтому уравнение (14) можно переписать:

д2 Ли 1 д А1г 1 д2 Л1 _ д Л1г

-г-2-+—д-+— цу п“д---------------у юцу Л1г = 0 (16)

дг г дг г дф дф

Будем его решать методом разделения переменных, полагая

Л1 г = К (г)ф(п ф), (17)

причем, если выбрать ф(п ф) = в]п ф, то после подстановки (17) в (16) получим

обыкновенное дифференциальное уравнение

2 с1 К (г) dR (г) ( 2 1 2 Р + 121п() а

г ----^ + г — + 1 -п + к ------г IК(г) = 0,

dг d г ^ Р )

где к2 =-у юду; ю = рпО..

Его решение известно [4]:

К (г )= 2 ад (х) + С2 пуп (х), (18)

п=1

где Зп (х) Уп (х) - бесселевые функции порядка п соответственно первого и второго рода; х = кг Л ; Л = ^ (р +1) / р ; С1п, С2 п - произвольные постоянные. После подстановки (18) в (17) будем иметь

Л* = 2[С^п(х) + С2пУп(х)]епф , (19)

где постоянные С1п , С2п будут найдены из граничных условий задачи. Используя (15), получим для среды 1

і ГО

Аг =1 2п [С^п(х)+С2п?п(х)] епф, (20)

г п =1

З’п(х) = д Jn /дх, уп(х) = дтп/дх , (21)

где J'n (х) = д Jn / д х, Тп'(х)=д Уп/д х.

На границе областей 1 и 2 (г = г1) имеем

Дг = В г, Я1ф= Н2 ф. (22)

Обращаясь к уравнениям (10) и (11) для Н2 г и Н2 ф, из уравнений (22)

получим систему уравнений

- І [ClnJn (г1Л)+ С2 п^п (кг1л)] = Н-0 (у1 п^и 1 +У 2 пЕп

(23)

- — ЛС^^Л) С2 пг( л)] = ^п^.

№ г1

г

Расчет магнитного поля во внутренней полости ЭН (среда 4). Для

рассматриваемой двухмерной задачи внутренняя полость будет представлена кругом радиуса г = К .

Скалярный магнитный потенциал для этой области может быть представлен в виде ряда [9]:

\п

U4(r,ф)=2[ — I (an cosиф + bn sinпф). (24)

n=iv R j

Отсюда на границе области имеем

Hr (R, ф^-М^

^ r=R “ n=1 (25)

d r

і ж , 4

=--------2 n (an cos иф + bn sinиф) =

R n=i

і ж і ж - 1 ж

A ^ 1-і- / \ 1У ,иф a ^

= - — 2 nHncos(^- Yn)«- — 2 nHne ;Ynj = - — 2 nHrne

R n=1 R n=1 R n=1

H ф(R. фЬ-М^

ж

r дф

ж ж - . ж

= 2 n(an sin пф- bn cos пф) =

r =R n=1

(2б)

= 2 nHn cos(nф-4 n) 2 nHne j n е;пф = 2 nH^^e^,

n=1 n=1 n=1

где

Hn =Va2 + bl; Yn = arctg —;

an

4 n = -arctg 0й; Hrn = Hne~lj n; (27)

bn

n

Н фп = Нпе^п.

На границе областей 1 и 4 (г = Я) имеем

Аг = В4г ; Н1г = Н4г. (28)

Из уравнений (20), (21), (25), (26) получим согласно равенствам (28):

ЛС1пСп (хЯ ) + С2пУп (хЯ )] + И-0 ]гп = 0 , (29)

— ССя ) + С2пУп(хя )] + пНфп = 0, (30)

И1

где хЯ = к Я Л .

Поскольку из (27) следует, что

Нгп = іНфп, (31)

то окончательная система уравнений для нахождения неизвестных

С1п, С2п, ^, Нгп в соответствии с выражениями (23), (29)-(31) будет иметь вид

- І [С1« Сп (кг1 Л)+ С2п Уп (кг1 л)]- И0 V1« рпГ> = И0 V 2п ^ , (32)

- — С [к г л)+ С^кг л) ]] = 0, (33)

И г1

і [[ (к Я Л) + Є2пТп (кЯ Л)] + Цо І = 0, (34)

— [сЦкЯ Л) + С2пУ’(кЯ л) іпИгп = 0. (35)

Ці

Систему уравнений (32)-(35) можно записать в векторно-матричном виде:

[а]х = Ь , (36)

где

ХТ = [ Х2 Х3 Х4] = [сіп С2п Игп Р»1 ];

ЬТ = [і 0 0 0] = [цо V2п ЇР 0 0 о]; [А] = [а1} ]; і, і = 1, 2, 3, 4.

Решение уравнения (36) легко реализовать в аналитическом виде

Cln =^^Ц (З7)

Д

Д2 a24 bl

Д

al2 4 2 bl

С2п (38)

Д

Нгп = аі2 а24 Ьі , (39)

Д

р(і) = (а2і Ді + а22 Д2) Ьі (40) пД

где Ді = а32а43 — а33a42, Д 2 = а33 а4і — а3і а43 , Д = Ді (аіі а24 — аі4 а2і) + Д2 (аі2 а24 — аі4 а22)

Плотность тока в ферромагнитной трубе ЭН. В соответствии с выражениями (і3), (і4) комплексная амплитуда плотности тока в роторе будет равна

§і г =-і ЮУ Аі г - У^ гВіг . (4і)

После подстановки в (4і) формул (і9) и (20) соответственно для Аг и Віг получим

го

V2 V гг г к іп(Р

5i г = -j уш Л2 Z [ClnJn (kr л) + C2 nYn (kr л)] ejn(p . (42)

П=1

Функции Бесселя (первого, второго и третьего рода) с рассматриваемым комплексным аргументом

кг Л = ^/- j шцу Л r = j3/2 qn r , где qn = Л^шцу , выражаются через функции Кельвина

Jn j 3/2 qnr )= bern (kn r )+ j bein (kn r )=bn e Pn , h? j 22 qnr)=hern (knr)+j hein 2r),

П-~Нп> j 2 kn r )= kern (kn r)+ j kein (kn r),

Yn j2 kn r)= -bein (kn r) + hein (kn r) + j [bern (kn r) - hern (kn r )L

где H(1), H((2) - линейно-независимые функции Бесселя 3-го рода.

В последующем нас будет интересовать квадрат модуля плотности тока для п-й гармоники. Из формулы (42), опуская индекс 1 и вводя обозначения

«кп = К-е Скп; Ькп = 1т ; к = 1,2, получим

|8п|2 = (ую Л2 ^(р + 02п),

(43)

где

Рп = «1 п Ьегпх - Ь1п пХ + а2 п (- пХ + пХ) - Ь2 п (ЬеГпХ - Ьб^; °п = «1 п Ье!пХ + Ь1 п Ьегпх + «2 п ((пХ - ЬеГпХ) + Ь2 п (- Ь^пХ + Ьй пх);

Х = Чп г.

Потери в ферромагнитной трубе ЭН. Потери в стальном цилиндре от п-й гармоники вихревых токов с учетом (43) составят

I г12 п • пI Г1

Пп = — 1 1 5п 5п г ёг ёф = — 15п =

2 у я о у я

(44)

2 4 1

= пIую Л |

я

(Чпг)+(Чпг)

гёг,

где I - активная длина трубы ЭН.

По этой формуле путем численного интегрирования можно рассчитать потери в массивной ферромагнитной части ЭН от основной и высших гармоник вихревого тока в функции скорости вращения индуктора. График зависимости потерь в ферромагнитной части ЭН от основной гармоники приведен на рис. 4.

Рис. 4. Потери в массивном якоре от основной гармоники вихревого тока в функции скорости вращения индуктора

Глубину проникновения в стальной массив п-й гармоники магнитного поля можно определить по формуле

д/2/ юду

А п =-

(45)

Л

г

Электромагнитный момент. Как известно, поверхностная плотность электромагнитных сил, действующих в касательном направлении к цилиндрической поверхности якоря, будет равна [3]

Т ф = (в2 rH2 ф)| ,

Г = r + £

где £ > 0 - малая постоянная; г - радиус окружности, примыкающий к ротору.

На этой окружности (при £ ^ 0) радиальная составляющая магнитной индукции (^2 г) и тангенциальная составляющая напряженности (H2т ) магнитного поля в соответствии с формулами (20), (21) будут равны

ГО

В2 г Ф) = 2 Вг тах (r1 ) C0S (в)t - П ф) , (46)

n=1

H 2 ф(rl, Ф)= 2^,^ (г1 )cos t - П ф+-П |, (47)

где

ВПтах (Г1 )= — [C1nJn л)+ С 2 П Г Л)] =

Г1

= ВП U)eJ а гП

гтах V 1 /с >

H ф1х (Г1 ) = - к л[с1п Г(кГ1 л)+ С 2 П л)] =

= н(n) (г )ej( афП+^2)

_лф тах VI

В соответствии с теорией натяжений для электромагнитного момента ЭН будет справедливо выражение

2п 2 п / \

M = г12 1 1 Тп ф ^ф = г12 1 1 В2 г Оь ф)х H 2 ф(r1, ф)^ф =

0 0

ГО ^0 j N j N 2 П / \

= г12 I 2 2 ВГтах (г1 ) Hфтах (г1 ) 1 C0S (й)t - П ф + а„ )х

n=1 m=1 0

П

2

ГО ГО

х cos | m t - тф + — + аф m | й?ф =

(48)

Пг12 1 2 2 ^ах (г1 )Нфтах (г1 )sin (агп - афт ).

п=1 т=1

Учет изменения магнитной проницаемости в массивной ферромагнитной трубе ЭН. Зависимость магнитной проницаемости от глубины погружения магнитного поля в тело ферромагнитной трубы легко учесть путем разбиения его массива на элементарные участки, имеющие форму концентрических колец (рис. 5). Каждому /-му элементарному участку будет соответствовать свое значение магнитной проницаемости, равное / ц1 .

На границах элементарных участков магнитная проницаемость будет испытывать скачки. Внутри элементарного кольца параметры среды / д и / у

Рис. 5. Элементарные участки ротора в форме концентрических колец с номерами 1, 2, ..., т

являются неизменными, т.е. сама среда будет однородной (линейной), а исходное дифференциальное уравнение (16) для векторного потенциала в ней будет линейным. Поэтому для таких элементарных участков нет необходимости изначально рассматривать магнитную проницаемость как непрерывную функцию пространственных координат. Таковой она, очевидно, становится, если число элементарных концентрических колец берется бесконечно большим.

В соответствии с формулами (20), (21) будем иметь следующие выражения для составляющих комплексной амплитуды п-й гармоники магнитной индукции в элементарном участке

1в[п) = Г п \CinJn (кгл)+ Сп Уп (кг л)], (49)

= - к Л [С^П (кгл)+ С2 п УП (кг л)], (50)

где 1 = 1,2, к, т, к = д/- ] ю 1 ц1 у .

Неизвестные коэффициенты гС1п , 1 С2п, величины Нгп и РЩ1 с помощью

формул (37)-(40) для элементарных участков определятся из граничных условий вида (28).

Например, из граничных условий воздушного зазора и наружной поверхности ротора следуют уравнения

1С1п^ (1к г1Л)+ 1С2 пУп (1кг1Л)- У Д0 ЧыРп1 = У Д0 У2 п^п(2):

1СХп Jn(1k пл) + 1С2 пГп(кг1л)+(]п 1^1 / г11к л)^ = 0.

Введем в рассмотрение вектор неизвестных

X = [х1 х2 ... х2 т+2 ] T,

компоненты которого будут равны

(51)

(52)

Х2 = С2п,

Хз = 2С1п

С

2п

Х = тС ,

2 т -1 1 п ,

Х4 = С2 п,

Х =тС ,

2т 2п

Х =(т-1)С

2т-3 1п

Х2т+1 Нгп,

2т+ 2

Тогда из граничных условий 1-го и (1+1)-го элементарных участков,

имеющих граничную окружность радиуса г = г1 , получим уравнения

а11Х1 + а12 Х2 + а1,2тХ2т = а21Х1 + а22 Х2 + а2,2тХ2т = ^

(53)

(54)

2г'+1,2г—1 Х2г—1 + «2г+1,2г Х2г + °2гЧ1,2г+1 Х2г+1 + °2г+1,2гЧ 2 Х2г' +2 0,

2г + 2, 2г—1 Х2г—1 + °2г + 2,2г Х2г + «21 + 2,2г'+1 Х2г'+1 + °2г + 2,2г + 2 Х2г + 2 0,

Х2

Х2

Х2

Х2

(55)

(56)

ГДе 1 = 1, 2, («-1), «11 = Jn (1кПЛ), «12 = 7п (1^/1Л), «1,2т =— У Д0^п ,

«21 = •/П(1^Г1Л) ’ «22 = 7П(1кг1Л) ’ «2,2т = У^Д^г'кЛ,

, (г+1Л гг1л),

= — ¥п (г+1к гг1л),

«21+1,21—1 = -/п (к ‘г1л)> «2/+1,2г+1 =—'1п (‘^к ‘^Л1

г2г + 1,2г = 7п

(гк гг1л), «.

2 +1, 2 + 2

«2 г + 2, 2 г—1 = (г+1)Д11к^п(к ^4 «2 г + 2,2г = 'кУ’п( к ^л)

>1 (г+1)кХп ((г+1)к ^л), «.

2 +2, 2 +1 « 2 т+1,2 т—1 = ^

2 +2, 2 +2

кЯ Л

г2т+1,2 т = 7п I кЯ Л

Д1 И^+^к 1 гД

«2 т+1,2 т+1 = — у Д0 ,

^ )= 2 [—1 ( )— Гп+1 ( )]. «2 т+ 2,2 т—1 = ^п ( кЯ л), 1

= 7'

(ткЯ л),

2т+2,2т+1

т

£__Д

т

лк

Неизвестные постоянные колец и радиальная напряженность магнитного поля во внутренней полости у стенки трубы будут определяться из векторноматричного уравнения

Ах = Ь, (57)

где Ь1 = (^2п)п(2); Ьк = 0, к=2, 3, ..., 2т+2; матрица А имеет следующую структур

А =

ру: «11 «12 0 0 0 0 0к 0 0 0 «1,2т+2

«21 2 2 « 0 0 0 0 0к 0 0 0 «2,2т+ 2

«31 2 3 « 3 3 « 4 3 « 0 0 0к 0 0 0 0

«41 2 4 « 3 4 « «44 0 0 0к 0 0 0 0

0 0 3 1Л « 4 1Л « «55 «56 0 0 0 0 0

0 0 3 « 4 « 5 « 6 6 « 0. 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0... «2т+1,2т—1 «2т+1,2т «2т+1,2т+1 0

0 0 0 0 0 0 0. «2т+ 2,2т—1 «2т+2,2т «2т+ 2,2т+1 0

Решение системы уравнений (57) позволяет определить составляющие комплексной амплитуды п-й гармоники магнитной индукции в кольцевых участках ротора по формулам (49), (50). Следовательно, находятся модули амплитуд первой гармоники индукции в этих участках

В

(1) =

а/Ы

(1)

2 + [ В() ]2

г шах] I. 1ф шах]

п

2т+2, 2т

по которым (если обратиться к их действующим значениям [8]) с помощью кривой намагничивания материала ротора будет определяться магнитная проницаемость 1 -го участка - 1 д1 .

Если ввести обозначения

«1п = С1п, Ь1п = 1ш С1п , "I (58)

«2п = ^е С2п, Ь2п = 1ш С2п ._(

2 2

ЬегпХ = - keinx, ЪЫпХ = — (59)

П П

где

х = ^ю 1 д/ у1 Л (г —1)г1, г = 1, 2, ..., т, (0)г1 = г1, (60)

то амплитудным значениям радиальных и тангенциальных гармоник индукции на наружных границах кольцевых областей ротора с радиусами (г—1)г1

( = 1, 2, ..., т) можно придать вид:

Чп)= , (61)

'Г

Вф’ = тт/^фс;+фв;, (62)

где

Сп (х) =—'«1п ' ЬипХ—'Ь1п ' ЬегпХ+' «2п (—' ЬегпХ+' ЬегпХ) + Ь2п (' bei пХ —' ^ пХ),

'°п (х)= ' «1п ЬеГп Х—г Ь1п Ье1 пХ+г «2п (—г Ье1 пХ+г Ье1 пХ) — "г Ь2п (г Ьегпх—г Ьегпх),

ФСп (х+=' «1п (г Ьегп—1 Х—г ЬеГп+1 Х+г beiп—1Х—г beiп+1 х)+ +' Ь1п (—' bei п—1( bei п+1 Х+г Ьегп—1 Х—1 ЬеГп+1Х)+

+'« 2п (—' bei п—1 x+'bei п+, х+‘ hei п—, х—' hei п+, х +

2п п—1 п+1 п—1 п+1

+' ^п—1Х—1 ^+1 Х—1 ^Гп—1 Х+г ^Гп+1 х)+

1 Ь2п (—г ^п—1 Х+г Ь»п+1 Х+г ^Гп—1Х—г ^Гп+1 Х —

— ' bei п—1 Х+г bei п+1 Х+г hei п—1Х—1 Ьи п+1 х) ,

ФОп (х)=‘ «1п (—г ^Гп—1х+‘ bern+1Х+г п—1х-' beiп+1х) +

+' Ь1п ( п—1Х— ( п+1Х+г ^п—1х-' ^п+1х) +

+' «2п (г bein—1Х—г beiи+, х—‘ hei п—, х+г hei и+, х +

2п п—1 п+1 п—1 п+1

+' ^п—1Х—' Ь^п+1Х—г ^Гп—1Х+г ^Гп+1Х ++

' Ь2п (г Ь»п—1х-' Ь»п+1Х—г ^Гп—1Х+' ^Гп+1Х — — гbeiп—1Х+г^п+1Х+ hein—1х-' hein+1х).

(63)

(64)

(65)

Выражения (49), (50) позволяют сравнительно легко рассчитать двухслойный якорь [7] (первый слой - массивный цилиндр из железомедного сплава, второй слой - шихтованный сердечник из электротехнической стали) или учесть наличие омеднения поверхности массивного якоря, улучшающего рабочие характеристики нагревателя. В этом случае у одного или нескольких первых концентрических колец следует принять г Д =' Д е = Д 0 и ' у = уСи(А1).

При наличии однородных концентрических кольцевых элементарных участков формулы (42), (43) для плотности тока и потерь в роторе будут другими. В соответствии с исходным выражением (41) для плотности тока и, принимая во внимание формулу (49) для радиальной составляющей п-й гармоники магнитной индукции для -го кольца, будем иметь для комплексной амплитуды плотности тока в нем

Согласно введенным выше обозначениям (58)-(60), (63), (64) справедливо:

Поэтому для модуля амплитуды п-й гармоники плотности тока в -м кольце имеем

Потери в роторе от п-й гармоники плотности тока следует находить по формуле

1. Афанасьев А.А., Воробьев А.Н. К расчету плоскопараллельных магнитных полей в нелинейных средах // Изв. РАН. Энергетика. 1992. №2. С. 77-91.

2. Афанасьев А. А., БабакА.Г., Николаев А.В. Математическая модель ветроэлектромеханического нагревателя воды с постоянными магнитами // Электричество. 2006. №3. С. 30-34.

3. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М. : Высш. шк., 1989. 312 с.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука,

5. Кекало И.Б., Менушенков В.П. Быстрозакаленные магнитно-твердые материалы системы N(1 - Ее - В. М.: Московский институт стали и сплавов, 2000. 117 с.

6. Куцевалов В.М. Асинхронные и синхронные машины с массивными роторами. М.: «Энергия», 1979. 160 с.

7. Могильников В. С., Олейников А.М., Стрельников А.Н. Асинхронные двигатели с двухслойным ротором. М. : Энергоатомиздат, 1983. 120 с.

(67)

(68)

(69)

Литература

1971. 576 с.

8. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. М.; Л. : Госэнергоиз-дат, 1949. 190 с.

9. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физ-матлит, 2001. 576 с.

10. Постоянные магниты: Справочник / Под ред. Ю.М. Пятина. М.: Энергия, 1980. 488 с.

АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ родился в 1939 г. Окончил Московский энергетический институт. Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой управления и информатики в технических системах Чувашского университета, член-корреспондент Российской академии электротехнических наук, действительный член Нью-Йоркской академии наук. Автор более 140 научных работ, в том числе 3 монографий и 11 свидетельств и патентов на изобретения в области электромеханики и электропривода.

БАБАК АЛЕКСАНДР ГЕОРГИЕВИЧ родился в 1950 г. Окончил Московский авиационный институт (МАИ). Кандидат технических наук. Председатель Совета директоров, главный конструктор научно-технического центра НПП «Томилинский электронный завод».

НИКОЛАЕВ АЛЕКСЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ родился в 1979 г. Окончил Чувашский государственный университет. Аспирант кафедры управления и информатики в технических системах Чувашского университета.