CC BY
43
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м IX 197 8
№ 6
УДК 533.6.011
РАСЧЕТ ПРОЦЕССА ЗАПУСКА СВЕРХЗВУКОВОЙ ТРУБЫ ЛЮДВИГА С ПУСКОВЫМ УСТРОЙСТВОМ ЗА РАБОЧЕЙ ЧАСТЬЮ
А. М. Наумов
Рассмотрена задача о течении в сверхзвуковой трубе Людвига с пусковым устройством за соплом и рабочей частью вовремя запуска. Расчеты проведены численным методом Лакса — Вендроффа в одномерной постановке. Для заданных конфигураций труб, у которых числа М сопл находятся в диапазоне М=1,5-^-3,0, приведены результаты вычислений.
1. Схема и принцип действия трубы Людвига (или трубы с каналом высокого давления) описаны в работе [1]. В зависимости от расположения пускового устройства перед или за соплом различают две схемы этой трубы. Интерес к схеме трубы с пусковым устройством за соплом и рабочей частью, несмотря на большую продолжительность процесса запуска, объясняется конструктивной простотой и меньшими нагрузками на модель во время запуска.
Волновая картина процесса запуска для этого варианта трубы принципиально ясна. Возникающая после раскрытия пускового устройства волна разрежения распространяется по направлению к соплу. Ее проникновение через горловину сопла в канал высокого давления прекращается с возникновением в критическом сечении сопла звуковой скорости течения газа. С этого момента времени в районе горловины образуется стартовая ударная волна, которая сносится течением по направлению к выходу из сопла, взаимодействуя при этом с хвостовой частью волны разрежения, не проникшей в канал высокого давления. Процесс запуска трубы заканчивается после прохождения стартовой ударной волной рабочей части трубы. С этого момента времени течение в сопле и рабочей части трубы квазистационарно.
Знание характера волновой картины течения газа в процессе запуска трубы, однако, не позволяет простым способом рассчитать его продолжительность. Указывая на попытки приближенного расчета времени запуска рассматриваемой трубы [I, 2), необходимо отметить, что до сих пор не существует надежной методики расчета как течения газа в процессе запуска трубы, так и продолжительности этого процесса.
2. В настоящей работе нестационарный процесс запуска сверхзвуковой трубы Людвига с пусковым устройством за соплом и рабочей частью исследуется численно методом Лакса — Вендроффа [3] в одномерной постановке с учетом переменности площади поперечного сечения канала. Для приведения переменных к безразмерному виду используются следующие параметры: Л — полувысота трубы в рабочей части; р„, рн—начальные значения давления и плотности в высоконапорном газе; ]//?н/Рн — характерная скорость; Л/Крн/Рн — характерное время.
Газ считается невязким, нетеплопроводным, с постоянным отношением удельных теплоемкостей х.
Во всех случаях, когда возбуждаемая при раскрытии пускового устройства волна разрежения имеет сверхзвуковую часть, ее дозвуковая часть распространяется одинаковым образом для трубы заданной формы.
При заданных длинах сопла и рабочей части и неизменном х в качестве единственного определяющего параметра задачи можно принять число М сопла. Заметим, что все величины, встречающиеся в дальнейшем в тексте и на графиках, имеют безразмерный вид.
Численный метод Лакса — Вендроффа, позволяющий проводить сквозной расчет поля течения без выделения сильных разрывов, опирается на разностную аппроксимацию уравнений движения Эйлера, записанных в дивергентной форме. При учете изменения площади поперечного сечения канала А в зависимости от координаты х в правой части уравнений появляются дополнительные члены:
д¥ , дР _ _ д\пА ^ (1ч
дЬ дх дх
где
9 ри ри
V? = р и , /?(^) = (3 — х) ри2/2 + (х — 1) £ , 50П = ри2
Е %Еи — (х — 1) р2 н3/2 Ей
Здесь р — плотность, и — скорость, Е — полная энергия единицы объема д1п А —
газа, а член ^ 5 учитывает изменение площади поперечного сечения канала.
Расчетная схема опирается на трехточечную систему с известными значениями искомых величин в каждой точке для момента времени t = пМ (и—номер шага по времени). Для нахождения решения в следующий момент времени Ь = = (я + 1)Д£ используется двухшаговая процедура. Сначала находятся параметры
течения в двух промежуточных точках для t = М по формулам:
= т (*?-! + *?) - й К - ^-0 - £ (5/-1 + 5') |п ■
ш (2)
у(^.+ К) - ^ Ии - ■?ї) - ^ (5г+1 + ^) 1п -^1 .
Окончательный результат в центральной точке для <=(л+ 1)Д£ находится в виде К+1 = т + (П-г + К+1) - £ {гЦщ - ?*-№) -
_ Д< (.4 .л. С. . .Л ІП А! + Ч2
(5/+1/2 + 5г-1/2)1п 1/+~ • (3)
X Л/-1/2
.Весовой* коэффициент р, введенный в схему для обеспечения устойчивости счета [4], приводит к сглаживанию сильных разрывов.
Результаты расчетов, проведенных для трубы постоянного сечения, удовлетворительно согласуются с точным решением задачи о распаде произвольного разрыва.
3. При расчете процесса запуска сверхзвуковой трубы Людвига с пусковым устройством за соплом и рабочей частью была использована схема трубы, представленная на фиг. 1. Различные значения числа М сопла достигаются изменением геометрического размера Я.
Вводимое количество расчетных точек ограничено как .памятью" ЭВМ, так и .разумным* временем для расчета одного варианта. Поэтому особую важность имеет задание граничных условий на торцах расчетного поля.
Значения параметров потока в крайней правой точке определялись линейной экстраполяцией по двум соседним точкам. Такая процедура оправдана в случае местной сверхзвуковой скорости течения газа, поскольку вносимые при этом возмущения не передаются вверх по потоку. Для проведения расчетов на левом торце было использовано частичное знание о течении на участке трубы постоянного сечения перед соплом. Это течение является „простой волной*.
поскольку граничит с областью покоящегося газа. Учитывая это, значения параметров течения в крайней левой точке с координатой х1 в момент времени Ь определяются следующим образом. В соседней точке с координатой лг2 вычисляется величина отношения
х2№ = а2 — а2,
где а3, а2— скорости потока и звука в точке х2 в момент времени Р, ^ отличается от х2 из-за того, что волна разрежения, прошедшая через сопло, перестала быть центрированной.
Значения ии ах в крайней левой точке можно найти из аналогичного соотношения для наклона прямолинейной характеристики, проходящей через точку (хи () на х — Ь диаграмме,
х'2 — Ах
--------= — аи
и выражения для инварианта Римана, выполняемого на характеристиках другого семейства,
2 2 /х
+ —— а ^----------
х—1 х—1
Дальнейшие расчеты проводятся по формулам (4) в порядке их записи:
Канал высокого
Сравнение результатов расчетов со случаем достаточно большого числа расчетных точек перед соплом показало правомерность использования такого способа задания граничного условия на левом торце.
С целью сокращения времени расчета одного варианта вычисления в точках, лежащих выше по потоку от критического сечения сопла, проводились только до возникновения в горловине сопла звуковой скорости В последующие моменты времени в расчетной точке, соответствующей горловине сопла, поддерживались значения параметров течения, равные критическим.
Учет переменности площади поперечного сечения канала в уравнениях (1) приводит к тем большей ошибке в вычислениях, чем сильнее форма канала отличается от цилиндрической.
На фиг. 2 сравниваются критическое давление р% и число М' потока на выходе из сопла при стационарном течении, полученные в настоящей работе (пунктирные линии) и по известным формулам одномерной стационарной газовой динамики. Видно, что при увеличении числа М сопла, т. е. при увеличении отличия формы канала от цилиндрической, расхождение между сравниваемыми величинами увеличивается. Поэтому представленные далее результаты будут относиться к диапазону чисел М= 1,5-<-3,0, где соответствие между сравниваемыми параметрами остается удовлетворительным.
При размере расчетного поля в 200 точек и Ах = 0,05 продолжительность расчета одного варианта на ЭВМ БЭСМ-6 для указанного интервала изменения числа М не превышала одного часа.
На фиг. 3 приведены эпюры статического давления, соответствующие различным моментам времени, для М’ = 1,89. Начало отсчета по оси х совпадает с положением критического сечения сопла.
Качественно расчетная картина -нестационарного процесса запуска трубы хорошо согласуется с волновой картиной действительного течения, описанного
Фиг. 3
н„ ^ 3
и
V “
1,0 1? 2,0 23 М1
Фиг. 4
выше. На эпюрах четко видна стартовая ударная волна, образовавшаяся после возникновения в горловине сопла звуковой скорости. С течением времени эта ударная волна смещается к выходу из рабочей части трубы.
На фиг. 4 приводится зависимость продолжительности процесса запуска трубы и составляющих его тре* этапов (2, 4 от М'. Здесь ^ — время, необходимое для возникновения в критическом сечении сопла звуковой скорости; —
время прохождения расширяющейся части сопла; (3 — время прохождения стартовой ударной волной рабочей части трубы.
При М'г2 функция ^Е = ^(М') для данной схемы трубы имеет минимум. Он создается за счет вкладов в общую продолжительность процесса запуска от (2 и 1Ъ. Скорость движения ударной волны относительно газа определяется, как известно, отношением давлений после и до волны. С ростом М' это отношение увеличивается, что приводит, судя по графикам зависимостей *а = *а(М') и <3 = = <з(М'), к уменьшению скорости распространения стартовой ударной волны по трубе.
При дополнительной эвакуации газа из рабочей части трубы в процессе ее запуска и снижении, тем самым, отношения давлений в ударной волне, можно увеличить скорость ее распространения по трубе, уменьшив продолжительность процесса запуска. При малых сверхзвуковых числах М для уменьшения ^ и, следовательно, необходимо ускорить разгон высоконапорного газа до звуковой скорости в горловине сопла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Falk Т. J. A tube wind tunnel for high Reynolds number supersonic testing. ARL-68-0031, 1968.
2. В a r b о u r N. М., I m r i e В. M. Calculating starting times for a supersonic nozzles upstream of a diaphragm, „А1АА J.“, vol. 13, N10, 1975.
3. Рихмайер. Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., „Мир", 1972.
4. Тугазаков Р. Я. Нестационарная задача о внезапном движении клина и конуса с до- и сверхзвуковой скоростями. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 4, № 1, 1973.
Рукопись поступила 26/VflI 1977 г.
