Расчет течения в ударной трубе вблизи раскрывающейся диафрагмы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VII 1976

№ 2

УДК 533.6.011

РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ В УДАРНОЙ ТРУБЕ ВБЛИЗИ РАСКРЫВАЮЩЕЙСЯ ДИАФРАГМЫ

А. М. Наумов, Р. Я. Тугазаков

Рассмотрена задача о немгновенном раскрытии диафрагмы в ударной трубе. Численным методом Лакса — Вендроффа в двумерной постановке рассчитано нестационарное поле течения газа с последующим установлением данного течения до квазистационарного состояния. Для некоторых значений определяющих параметров задачи приведены результаты расчетов, которые сравниваются с точным решением задачи о мгновенном раскрытии и с экспериментальными данными.

1. Одним из факторов, влияющих на отклонение течения в ударной трубе от идеального, является немгновенность раскрытия диафрагмы. Среди теоретических работ последних лет, посвященных изучению этого влияния, нужно отметить работы Муминова [1] и Киреева [2, 3]. В них реальное течение заменяется одномерной моделью. В [1] задача решается в лагранжевых переменных. Рассматриваемый участок трубы делится сечениями, перпендикулярными оси, на слои, для каждого из которых записывается уравнение движения. Параметры газа в слое считаются постоянными. Предполагается, что диафрагма раскрывается по линейному закону от времени, а истечение в каждый момент времени происходит по усеченным конусам. Однако в этой модели при стремлении к предельному случаю мгновенного раскрытия в районе исчезающих стенок конусов возникает зона разрежения, существенным образом искажающая картину течения. В [1, 2] расчет ведется методом характеристик. Так же как и в [3], здесь не учитывается двумерность течения в районе раскрывающейся диафрагмы, а также взаимодействие со стенками.

В настоящей работе задача решается в двумерной постановке. Расчет параметров потока проводился на ЭЦВМ БЭСМ-6 численным методом Лакса — Вендроффа, с использованием безразмерных параметров:

здесь х, у—безразмерные время, продольная и поперечная координаты, и, и — составляющие скорости, р, р — плотность и давление соответственно, £> — характерная длина. Индексами „0‘ и „1“ обозначаются начальные параметры газа справа и слева от диафрагмы. Газ считается невязким, нетеплопроводным, с постоянным отношением удельных теплоемкостей 7.

О ’

и

V

V

|/>

" Ро

„ Р\ „ Р] 7- ’ Ро

Р^То’ = ^ ’

где — время полного раскрытия диафрагмы.

В дальнейшем для удобства черта над безразмерными величинами в тексте и на фигурах будет опущена.

Метод, выбранный в данной работе, позволяет вести расчет поля течения без выделения сильных разрывов.

Для обеспечения устойчивости счета на разрывах в разностную схему вводится .весовой* коэффициент, сглаживающий сильные разрывы, с сохранением точности второго порядка на гладких решениях. Метод подробно описан в работе [4]. Здесь же отметим, что поле течения покрывается прямоугольной сеткой. Для расчета параметров течения в каждом узле выделяется девятиточечная ячейка.

Для проведения необходимых вычислений течение в трубе с диафрагмой или быстродействующим клапаном заменяется следующей моделью.

В прямолинейном канале имеется перегородка с нулевой толщиной, по обе стороны которой находится газ с различными параметрами. В начальный момент

1 ■ ~1 = / / у

✓ / V" * у*

/ / * > "■ -<* № 0 ^

✓ И" Чг '

Ударная Волна. аналитическое решение пасчет

¿35- Конта нтнй9 поверхность аналитическое решение ! х расчет ( (

________________________ I Л н . I I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 х.

Фиг. I

времени перегородка начинает раскрываться от центра к стенкам по заданному закону от времени. Наличие открывающейся перегородки требует выполнения условия непротекания на ней так же, как и на стенках канала.

Чтобы удовлетворить этому условию, в расчетное поле вводится двойной ряд точек, разделенных перегородкой. Значения параметров течения в точках одной пары из этого ряда различаются до тех пор, пока они разделены перегородкой. В противном случае в каждую из них заносятся средние значения параметров течения и пара точек уже рассматривается как одна.

В связи с таким расчетом парных точек для каждого момента времени проводится анализ взаимного расположения конца открывающейся перегородки и расчетной ячейки, прилегающей к ней. В зависимости от результата такого анализа выбирается нужный вариант расчета.

В силу осевой симметрии течения рассматривается только половина трубы с выполнением условия непротекания на оси. Значения в торцевых точках расчетного поля определяются линейной экстраполяцией для левого торца и простым сносом из соседних точек поля для правого. В каждый момент времени расчет проводился только для возмущенной части расчетного поля.

2. Для выяснения общей картины течения расчеты проводились при сле-

дующих значениях определяющих параметров:

р = 100, Я = 100, 7 = 1,4, ¿* = 0; 2 и 10.

Диафрагма раскрывалась по линейному закону от времени. На фиг. 1 в ко-

ординатах путь — время показано движение ударной волны и контактного раз-

рыва при различных временах раскрытия диафрагмы и в случае аналитического решения для мгновенного раскрытия = 0).

Представленные результаты соответствуют оси симметрии. Расчетные точки для контактного разрыва в случае = 0 хорошо ложатся на аналитическую кривую. Несколько более высокая скорость ударной волны в случае расчета при ¿* = 0 объясняется начальным возмущением, которое вносит простое осреднение величин, соответствующих парным точкам расчетного поля. При увеличении времени раскрытия ф 0 влияние этого возмущения на расчет скорости ударной волны уменьшается.

Процесс раскрытия диафрагмы сопровождается ускорением ударной волны. Скорость ударной волны достигает своего предельного значения значительно позже момента полного раскрытия диафрагмы. Следовательно, слои газа, прошедшие через ударную волну, в разные моменты времени имеют переменные параметры.

На фиг. 1 также приводится сравнение пути ударной волны для плоского и осесимметричного (V = 1) случаев при одинаковом = 10.

Из фиг. 1 видно, что чем медленнее открывается диафрагма, тем скорость ударной волны меньше своего предельного значения. При прочих равных условиях предельное значение скорости достигается позже в осесимметричном случае.

На фиг. 2 сравниваются эпюры давления р, плотности р и скорости и в некоторый момент времени после разрыва диафрагмы при = 0. Точка х = 0 соответствует положению диафрагмы. Видно, что соответствие расчетных и аналитических (сплошная линия) эпюр удовлетворительное.

Была проведена оценка расчетов, произведенных путем простого осреднения и по формулам распада произвольного разрыва в двойных точках на диафрагме. Оказалось, что результаты, полученные для каждого из вариантов, практически не различаются между собой. Это объясняется быстрым „сглаживанием“ начального возмущения в процессе вычислений.

На фиг. 3 приведены эпюры давления р и плотности р для ^=2 в момент времени t = 2,18. Части эпюр, соответствующие течению слева от диафрагмы, так же как и на фиг. 2, здесь не приводятся. Эпюры сильно отличаются от случая = 0. Наряду с ударной волной ясно виден и вторичный скачок уплотнения, связанный с перерасширением газа в сверхзвуковой струе, вытекающей через образовавшееся в диафрагме отверстие. Этот вторичный скачок распространяется по толкающему газу против течения, повышая давление в нем до величины, превышающей давление за головным скачком. При данной скорости раскрытия диафрагмы величина давления за вторичным скачком превышает предельное значение давления за головным скачком. Это объясняется существенной неста-ционарностью течения в первые моменты времени и приводит к ускорению первичной ударной волны. В дальнейшем вторичный скачок становится все слабее и исчезает совсем, а скорость ударной волны достигает своего предельного значения.

№№ При меньшей скорости раскрытия диафрагмы (например, = 10) перепад давлений на вторичном скачке и его скорость в лабораторной системе коорди-

ч \ ч II

X \

\ - . 1 и.

X

/ р

1 1

1 у 1 \ р

аналитическое решение расчет ' . 1 1 1 . . V

Фиг. 2

Фиг. 3

нат в одинаковые моменты времени меньше. Таким образом, эффект перерас-ширения проявляет себя различным образом при разных ¿*#0. Более детальное рассмотрение поведения вторичного скачка требует дополнительных исследований и не будет представлено в этой работе.

На фиг. 4 представлены поля изобар и изохор для случая = 10 в момент времени ¿ = 2,18. Масштаб по вертикали увеличен вдвое. Линия А4' соответствует раскрывающейся диафрагме. Места наибольших сгущений линий соответствуют наличию больших градиентов плотности и давления. Область ВВ' соответствует волне разрежения, СС' — вторичному скачку, — контактному разрыву, ЕЕ' — головной ударной волне, .Р —застойной зоне между стенкой трубы и диафрагмой.

Видно, что на расстояниях порядка нескольких калибров картина течения двумерна, что не может не повлиять на дальнейшее ее развитие по времени.

^=10, г=2,18

Нужно отметить также неоднородность параметров в пробке между головной волной и контактной поверхностью по х и у на нестационарном этапе течения.

Для оценки этой неоднородности были проведены следующие вычисления. С момента времени, когда полностью открывшаяся перегородка уже не возмущает течение в трубе, рассчитывались параметры потока в слое газа за головной волной, включающем и контактную поверхность. Для случая = 2 головная волна принимает форму, близкую к плоской уже на расстоянии порядка семи калибров от положения перегородки, а максимальная величина отклонений параметров газа в пробке от своих средних значений по х и у не превышает 6%. При == 10 подобная неоднородность достигается после прохождения головной волной расстояния в 15 калибров.

3. Общая картина течения, рассчитанная при немгновенном раскрытии диафрагмы, а также поведение вторичного скачка сравнивались с результатами эксперимента, изложенными в работе [6]. В расчетах полагалось, что диафрагма раскрывается по закону, выведенному в работе [3], который хорошо согласуется с экспериментальными данными, а именно:

t >

где Ух — координата конца диафрагмы,

2 т

На фиг. 5 представлены экспериментальные и расчетные значения пути вторичного скачка I (() для плоского и осесимметричного (V = 1) случаев при следующих исходных параметрах:

р = 115, = 115, 7 = 1,4, tls = 3,4.

Для трубы, в которой проводился эксперимент, = 3,4 соответствует времени раскрытия, равному 400 мкс. Расчетные кривые начинаются с того момента времени, когда на эпюрах давления и плотности вторичный скачок становится четко выделенным. До этого момента трудно однозначно определить положение этого скачка, так как он является крайне слабым. Это относится и к экспериментальной кривой.

ш),

60

40

20

0 100 200 300 £ _, мкс

Фиг. 5

2 БШ2

2£(т)

эш2

£(7)

Для осесимметричного случая наблюдается хорошее качественное и количественное согласие сравниваемых' параметров. Различие в начальной стадии движения вторичного скачка связано, по-видимому, со следующими причинами:

— разрыв диафрагмы на четыре лепестка отличается от осесимметричного раскрытия перегородки;

— в принятой для расчета модели течения не учитываются энергетические потери, связанные с совершением газом работы по раскрытию диафрагмы, что приводит к завышенной скорости вторичного скачка на начальном этапе течения.

Кроме этого, видно, что в плоском и осесимметричном случае характер движения вторичного скачка различается существенным образом. Удовлетворительное соответствие между расчетами и экспериментом показывает, что принятую методику расчета можно использовать для исследования нестационарных явлений в каналах с переменным расходом газа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Му ми нов М. М. Влияние времени раскрытия диафрагмы на течение газов в ударных трубах. Сб. .Волны в неупругих средах“,

АН Молд. ССР, 1970.

2. Киреев В. Т. О движении ударной волны при немгновенном раскрытии диафрагмы в ударной трубе. „Изв. АН СССР, ОТН“, „Механика и машиностроение*, 1962, № 6.

3. Д у н ц о в а Ж. С., Ершов И. В., Киреев В. Т., Руза-

вин Е. И. Расчет движения ударной волны и параметров потока при

немгновенном открытии диафрагмы в ударной трубе. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 2 '

4. Тугазаков Р. Я. Нестационарная задача о внезапном движении клина и конуса с до- и сверхзвуковой скоростями. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 1, 1973.

5. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П.

Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. I, № 6, 1961.

6. Ш т е м е н к о Л. С. Возникновение скачка уплотнения в на-

чальный период течения газа вблизи диафрагмы в ударной трубе. Вестник МГУ, сер. „Физика, астрономия*, № 3, 1968.

Рукопись поступила 27\1Х 1974 г.