Расчет пространственного пограничного слоя в окрестности изолированной критической точки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 4

УДК 532 526.2.011.7

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ОКРЕСТНОСТИ ИЗОЛИРОВАННОЙ КРИТИЧЕСКОЙ

ТОЧКИ

И. В. Петухов

Рассмотрена задача расчета пространственного пограничного слоя в окрестности изолированной критической точки на затупленном теле во втором приближении. Дан метод определения начальных данных на первом слое для последующего расчета по разностной схеме. Уравнения пограничного слоя использованы для случая регулярных течений совершенного газа при наличии массообмена. Метод решения может быть обобщен на случай реальных газов.

Картина течения имеет особенность в окрестности изолированной критической точки. Поэтому для расчета пространственного пограничного слоя на поверхности затупленного тела целесообразно предварительно определить начальные условия на некоторой замкнутой кривой, охватывающей критическую точку. В настоящей работе эта задача рассмотрена во втором приближении. Решение представляется в виде разложения по продольным декартовым координатам в касательной плоскости. Чтобы избежать операции дифференцирования нестандартных функций, таких как коэффициенты вязкости н теплопроводности, коэффициенты разложения определяются комбинированным способом: часть из них находится из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по поперечной координате, а другая часть — из решения системы дифференциально-разностных уравнений.

Задача определения начальных данных на первом слое может быть рассмотрена в первом или во втором приближении, т. е. с относительной погрешностью г/гс или (г/гс)4 соответственно, где г — расстояние от критической точки, гс — характерный размер тела. Пусть >. (>. > 1) -- показатель особенности узловой критической точки Р [1]; Г[ — среднее расстояние точек кривой С1 от Р (г = 1,2); Сг и С2 — кривые, на которых определены начальные данные из решения задачи в первом и во втором приближении соответственно. Решение во втором приближении позволяет определить картину продольных линий тока в малой окрестности

точки Р при >-«<3, в то время как решение в первом приближении — при С другой стороны, при одинаковой расчетной точ-

ности гх много меньше г2; чтобы от слоя Сх дойти до слоя С2, требуется просчитать некоторое число слоев, т. е. требуется существенно большее расчетное время. Таким образом, решение задачи во втором приближении позволяет определить картину продольных линий тока вблизи Р в более широком диапазоне X, а также более экономно определить начальные данные для последующего численного расчета пограничного слоя.

1. Вид решения в окрестности критической точки. Рассмотрим регулярное течение газа в окрестности узловой критической точки Р. С относительной погрешностью (rjrc)2 внешнее течение и течение в пограничном слое можно рассматривать на плоскости, касательной к поверхности тела F в точке Я[1]. Внешнее течение имеет вид

и] = и]-, х' +*-i- и'еаг х°хг; 7=1,2, (1.1)

ge = const; g-—p, р, i, v, k\ (1.2)

здесь и ниже x'f ■—декартовы координаты на касательной плоскости с началом в точке Я; — составляющие скорости; р, р, г,

и. и k — давление, плотность, теплосодержание, коэффициент вязкости и теплопроводности соответственно; индексом е обозначены параметры во внешнем потоке; индексы, обозначенные греческими буквами, принимают значения 1 и 2, причем индексы, по которым происходит суммирование, обозначены только буквами а и т; нижними индексами обозначены производные в точке Р: g-, — (dgjdxт)0, g^.^ (д2 g/dx^/dx'1)0; индексом 0 обозначены значения величин в точке Р\ величины, возводимые в степень, заключены в скобки. Коэффициенты разложения (1.1) — заданные числа. Направления осей х1 совпадают с главными направлениями течения:

и«|л = 0; у-ф т; 7=1, 2. (1.3)

Для определенности примем

«е2 > и\х >0, \ — UeijUei > 1.

При подготовке к расчету уравнения пограничного слоя выписываются в расчетной системе координат на Р, такой, что точка Р соответствует начальному слою у1 — 0, 0 <!у2-<ул[, где Ум — период для любой однозначной на Р функции Ф (у1, у2) —

— Ф(у1, у2-\-ум). Затем эти уравнения преобразуются путем вве-

дения масштабного множителя г1 поперечной координаты г и

функции тока ф, д'Ь/дг = ри:

д/г/дС = 6, /г = 2/2Л, (1.4)

др/д^ = и'і; 7 = 1, 2. (1.5)

Здесь и ниже 6 = ре/р; /т=о/ї/(рег3)\ С — новая поперечная координата.

При Хе>1 проведение расчета непосредственно с начального слоя J/1 = 0 оказывается затруднительным из-за наличия особенности в точке Р. Ниже приводится метод определения начальных данных на первом слое у1 = const >0. Уравнения пограничного слоя рассматриваются в декартовой системе координат xi при наличии преобразования (1.4), (1.5). Решение ищется в виде, аналогичном (1.1):

gi = g] xi + ~ g'L х° Х-- ; g = я, /; '(= 1, и] = df\jdL, и\ы = dflJdZ,

(1.6)

(1.7)

IV

£ = £о + £аХа; g = i, 6, а,

90 = сО101&, б7 = й/г^Л,

где в случае совершенного газа Ь — Ц1е.

Ниже коэффициенты и £0 называются первыми коэффициентами разложений, а выражения (1.6), (1.7), в которых отброшены члены второго и первого порядка соответственно, — решением в первом приближении; коэффициенты и g-[ называются вторыми коэффициентами разложений, а выражения (1.6), (1.7) в полном виде — решением во втором приближении. Коэффициенты разложений зависят только от С. При фиксированном С выражения (1.6) для и'1 определяют некоторое векторное поле продольной скорости и в касательной плоскости.

Поскольку главные направления продольных течений не зависят от С [2], то имеем аналогично (1.3)

Й = 0; рфъ т = 1. 2 (1.8)

и для показателя особенности X

X = Иг/и\, Х№ = (с1и21с1С)т/(й111/с1С)„0.

Здесь и ниже индексом гш обозначены величины при £ = 0.

Для решения во втором приближении картина продольных линий тока при фиксированном С в окрестности точки Р может быть определена при значениях Х<3 [1].

2. Исходная система уравнений. Уравнения пограничного слоя -при наличии преобразования (1.4), (1.5) приведены в [3]. Пусть масштабный множитель задан в виде

8{ = ^0 + 8»^, 5л = рг^- (2.1)

В обозначениях работы [3] имеем

у ___ as ___ (°s)3 __ -

?■ дх1 ’ > “e—PePe-

С учетом (1.1), (1.2) и (2.1) уравнения пространственного пограничного слоя в окрестности точки Р примут вид

Поперечная составляющая скорости ву определяется из выражения

где q — m\ms\ m = pw — массовая скорость; ms==pews — ‘Rjbs.

Решение ищется в области 0 < С < = const при внешних гра-

ничных условиях, которые следуют из (1.1), (1.2), (1.6), (1.7), и при следующих условиях на F: «ю = 0,

где Нч = гфг8\ — доля толщины вытеснения, определяемая мас-сообменом [3]; дт = тю/пг5; — заданная скорость массо-

обмена.

Граничное условие (2.6) взято для примера; оно может иметь и другой вид. Величина определяется из уравнения

При отсутствии массообмена следует принять тт) = 0. Относительная толщина вытеснения кл = га1г!. и относительная индуцированная скорость да = та1т5, где та = ре ъиг1 определяются из уравнений

Здесь и ниже fe,he■—значения ft, h при = h— f SrfC. В случае

совершенного газа 6 = 1Це и уравнение (2.3) можно рассматривать как уравнение третьего порядка для к при дополнительном условии Лш = 0.

При заданной массовой индуцированной скорости тй вместо условия (2.5) следует принять условие

где ка определяется из (2.9) при заданном цй. Соответствующая скорость массообмена т= т3 определяется из выражения

, д£_ Я -- Хч J as Л

(2.4)

fw ---------- h,, Ue,

\ (2.5)

(2.6)

(2.8)

(2.7)

(2.10)

(2.9)

0

f] = (he — hd)

(2.11)

(2.12)

При та — О определяется такое распределение скорости откоса, при котором пограничный слой не оказывает возмущающее воздействие на внешнее течение.

В выписанной системе масштабный множитель может быть выбран произвольно. При стандартном выборе г8 [3] величина определяется из уравнения

„ d(5o)3 dul

иї±± + 2(і,)*-і = 2ке. дх ox

Для коэффициентов разложения (2.1) имеем

о

=Vi

_£!

°s о

=-bh, bl

33 :

"в Cjf

(2.13)

(2.14)

где Ь\ъ — проекция вектора кривизны присоединенной линии тока на ось х<. В этом случае поверхность г = га ортогональна присоединенной линии тока. Из (2.8), (2.13) следует ^ = 1.

В общем случае первый коэффициент разложения (2.1) удобно взять в том же виде, что и в (2.14)

5,2 ^0 =

-7Г* as 0= —

Uea Ue,

(2.15)

Пусть при переходе g~g\gc {gc — const) от размерных газодинамических величин к безразмерным с сохранением прежних обозначений уравнения пограничного слоя не меняют вид [3] и пусть рс, и ис\хс выбраны из следующих условий для безразмерных величин: ре 0 = 0 = и° а == 1. В этом случае имеем с учетом (2.15): 0 = Ъ3 0 =

= asQ = ite=l, и выписанная система принимает наиболее простой вид.

3. Коэффициенты разложений для граничной функции тока, толщины вытеснения и индуцированной скорости. Прежде чем перейти к определению коэффициентов разложений (1.6), (1.7), приведем коэффициенты разложений вида g = g'0 + ^-xa Для ряда вспомогательных величин.

Для q — q0 4- q* ха из (2.4) имеем

<7о =- о f:> <?т =- '/і (Л +•2f:

'■SO

f°

J a '

(3.1)

Напомним, что = + в отличие от (т = 1, 2).

Пусть скорость массообмена задана в виде = тт 0 + Шш , X*. Для граничной функции тока из (2.5) получим, используя (1.6) и (1.3),

У™ V

f W [1.V

где с учетом (2.7), (3.1)

V =

aS о Яш 0 = 7

h„ П и: — hn а и\

Q о е IJL V ч V- е

— ha

4w о и Qw-{ &s

і ^9 7 ==_ ~Г~

Ss 0 Ss 0 + “so и‘е V

mw0i qw-f—7— —

°s о

°s о

(3.2)

(3.3)

(3.4)

и с учетом (2.8)

0 = «5 О К £* Т = 7-Т Н ^ + 211°е .) + 0 К а~[ ■ (3-5)

Для коэффициентов разложений На = Нй „ + кл, х° и цй = ^ 0 + ^ ах° из (2.9), (2.10) имеем

I, Чло , ^йо ^ /о дл

«йо — —. ----------;-1— > ^-Ь)

ё$0 ёя О + а5 О т

Яй 0 = Яе О “Ь ёй 0 ^1е 0> Ял -\=- Уе-\ + о §> •[ + (^5 0 + аУ0 Щ. ■[ ,

Яв 0=- «*0 =- 7.т (Лт + 2Л%) “ а,0 /апа

и для индуцированной массовой скорости

^0 “5 0 ( V

та о Яй 0) тй 7 — I Я а -[ ■ - Ча о

0 а5 О У ()S О

При заданной величине т([ = та 0 + та а х* для коэффициентов разложения граничной функции /е из (2.11) имеем

/;т = (Лео —Ай0)и1г (З-7)

Ли.-; = (Ае о — ^ о) и; + (Ае И. - Ьа ^ ЫТч + (Ае V — ка „) ат ^ ; (3.8)

здесь кйй, каопределяются из (3.6), где »

а£ 0 а.5 О ( \

Яао= — тао, ^т = — тйт + —' тао .

0 0 \ 0 у

Для соответствующей скорости массообмена получаем из (2.12)

^0 °5 0 / V

тш о — Яи> о> т = Я™ л 1; Яш о

а5 0 0 \ О

<7® 0 = а5 0 /да а> Я® V = 7-Т ( /X -( “I- 2/да а) 0 /ш я •

Коэффициенты (3.4) и (3.6) используются также при определении начальных данных на первом слое для последующего численного

решения уравнений (2.7) и (2.9) для кд и Ьа по разностной схеме.

Аналогично используются коэффициенты разложения (2.14) при решении уравнения (2.13) для 85. В последнем случае коэффициенты разложения (3.5) принимают вид = Ь &т = 0-

4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов разложений. Первые коэффициенты разложений (1.6), (1.7) определяются из следующей системы уравнений:

^ ( М0^\ + а, 0 /’ ^ + а, о (»т )* 60 = а, 0 (Ит)»; Т = 1, 2, (4.1 >

а С \ а£ / «С ' 1

— (АГо -М + Я, 0 /!:— = 0. (4.2)

йС \ «С/ й(С

Уравнения (4.1) получены дифференцированием (2.2) по л:11 при [1 = 7- При а ф '(■ соответствующие уравнения определяют тривиаль-

ное решение (1.8). В числе граничных условий имеем (3.2) или (3.7) и с учетом (2.6)

АТ* о (^) = ?•(*•-**)• (4.3)

Приведем аналогичную систему для определения вторых коэффициентов разложений (1.6), (1.7). Дифференцируя (2.2) по и х\ а (2.3) — по х'<, получим, принимая во внимание (1.8), (3.1),

±{ м/^+м,Щ+м*$\1**+

йй \ лс, (11 (Ц) й: d-_ йХ,

+ К о (и; т + и^ + и’ v) ИТ ^ + 2 (Zv ит ^ + Х[1 цт v) ит т ] 0О

+ ajo (Mi I,. ^ + ие v ®ii) i= о (м{ ++ «:) m5.v +

+ 2 ("/v “I + Хм. И1) «I .

(4.4)

d I di„ dia \ di„ A'n

— K0 — +K т —) — <70 —Q-{ — = asou''h- (4-5)

dC\vdH 1 dt. ) 0 dr, rfC т т v /

В числе граничных условий имеем (3.3) или (3.8) и с учетом (2.6) Kw о Y- j + ^ш>т ^ ~'j = Qw о г'«<т + Qwf ttw о h)- (4.6)

Система (4.4) — (4.6) является громоздкой и неудобной для расчета, поскольку возникает необходимость в вычислении производных Mj, К-, от функций, которые могут иметь сложный вид или могут быть заданы в виде таблиц. Однако в системе (4.4) имеются два уравнения простого вида, куда эти производные не входят, а именно при v = u-фч- С учетом (1.8) для этих уравнений получаем

d I du}..,\ dul„

— М0 —^ +a,0/a—-+а50(ит + 2иР ) цт бп = dX \ dX>) d'C, е т е Iх е w*

= о (и] + 2и£) и^; [J. ф т, 7 = 1, 2. (4.7)

Граничные условия (3.3) или (3.8) принимают вид

/I =— hn „ цт или р = (h. п — hп) цт

J w [Ajj. Q 0 g £ p.(x \ e yJ a e p-p.

соответственно.

Коэффициенты уравнений (4.7) и соответствующих граничных условий зависят только от первых коэффициентов разложений (1.6), (1.7). Имея это в виду, будем говорить, что вторые коэффициенты разложений и\2, И)! и f}22, /,2,, а также другие выражения, определяемые этими величинами, находятся на основе решения в первом приближении.

5. Структура течения в окрестности критической точки. Из результатов работы [1] следует

= (2«;t - и.]) I» = 7, Т == 1, 2, (5.1)

где № — кривизны главных продольных линий тока при С = const в критической точке Р.

Уравнения кривых нулевой геодезической кривизны продольных линий тока для поля и при С = const вблизи точки Р имеют вид [4j

< + UL Ю2

ху =

т т

; "Рфи-Х* v-Фч, 7 = 1. 2.

Следовательно, кривизны главных продольных линий тока и кривизны кривых нулевой геодезической кривизны продольных линий тока в точке Р могут быть определены на основе решения в первом приближении.

Из (4.7) следует

и1„ = аТ Ч ^ !А Ф Т. 7=1.2, (5.2)

где а' удовлетворяют уравнениям

Ж ( м° ж) + “*» П ¥ + ^о (Ч , + 2ие%) 00 = о (Ч + 2«р вт; (5.3)

и. ф V, 7 = 1,2

и граничным условиям а]= 1, =

Рассмотрим случай Хе = 1: и%2 = и1еУ При этих условиях за главные направления течения можно взять два любых взаимно ортогональных направления. Следовательно, вся картина продольных линий тока при любом С = const должна определяться на основе решения в первом приближении. Действительно, при Хе=1 имеем при любом С: X = 1, и\ — и\, а2 —а1. Выписывая уравнения (4.4) для и? и и? при \>-Фч и комбинируя их, получим с учетом (5.3)

2и^ = а1(и].а — 2и$м); рфч, Y=l, 2. (5.4)

При Х=1 выражение для кривизны kg продольных линий тока с начальным углом наклона ф в точке Р имеет вид [1]

kg = b\j cos3 <}> — eln cos2 <!» sin ф + е\2 cos <1» sin2 <ь — b'22 sin3 ']>,

где = (и]т - 2и£т)/и}; [х ф т, т = 1, 2,

и с учетом (5.1) W = и^/и1 ; Iх Ф 7, 7=1, 2. Используя в последних выражениях ^5.2) и (5.4), получим

, и\х (d.d\\dX,)w

и\ а ge’ kgw~ el(du\ldQw se'

Коэффициент ax u\ju\ зависит только от С. Картина продольных линий тока в сечениях С = const полностью определяется на основе решения в первом приближении.

Можно показать, что коэффициенты разложения и*., и"^ при р. ф j, а также комбинации и* ■—2при и\—и\ и ;j. ф не зависят от вида преобразования С = С(х1, хг, z); это преобразование может быть и отличным от (1.4).

6. Система дифференциально-разностных уравнений для определения вторых коэффициентов разложений. Пусть с помощью

(4.1) — (4.3) вычислены первые коэффициенты разложений, а с помощью (4.7) —вторые коэффициенты и\2, и\у и f\2, f\y Остальные вторые коэффициенты разложений определим из исходной системы

(2.2), (2.3), которую представим в виде системы диффенциально-раз-

ностных уравнений (системы ДРУ) на основе разностной схемы в касательной плоскости х1, х2 второго порядка аппроксимации по а-1 и х2.

Система ДРУ линеаризуется в итерационном процессе. Ниже черта над буквой означает, что соответствующая величина берется из предыдущего приближения. С учетом (1.6), (1.7) имеем

£т = £Т *т + -I. £Тт (^)2 + *1 *3 +^т (XI)2,

д^ = $ + £12^ + /?1г*, ~ дх‘ дх^

g = и, /; |1 ф 7; 7 = 1, 2; g = goJгgl х2; ^ = г,е, /2;

де — . .

£= *, т

дх'

1, 2.

(6.1)

(6.2)

Величины Ж и ЛГ определяются как функции г и 6. Коэффициенты ё]> ё^ ПРИ ^Фч и ёо вычислены ранее.

В нулевом приближении итерационного процесса принимается

£ = «./; Т = 1.2; ^1 = ^2 = 0; ё—;1, б. А.

Точки сетки (см. рисунок) симметричны относительно осей X1, я2 и

образуют два независимых шаблона. Точки ЕО, ПО, ОЕ, ОО образуют шаблон вида „крест"; точки 55, /?5, /?/?, 5/? образуют шаблон вида „прямоугольник".

Пусть — значение а в точкд Р(±. Из решения системы

ДРУ на шаблоне „крест11 определяются g'< и g[:

ёп'

£.1(00) + {ЕО)

„1(00) 12

„2+ б 22

(ЕО)

[Г

.2(00) 12

g = И, /.

г(0£)

; £=г,е, А,

2*1(00) ' 2х2(00)

а из решения на шаблоне „прямоугольник" — gJ2 :

. р-1 V"-/ — рЛ (5К>

----------------; г=и, /; т = 1, 2.

«1-

ГТ (55) ^7 (/?«) _ „7 (Я5) _ ,/[ (5Д)

12 4х1(55) Х2(55)

После этого одновременно исправляются все коэффициенты g]2 , ё]7> ёу в (6-1), (6.2) и итерационный цикл повторяется.

Приведем систему ДРУ для вычисления коэффициентов gj2, ■§!,> в описанном итерационном процессе.

А) В точках шаблона „крест“ исходная система (2.2), (2.3) упрощается с учетом того, что на оси х»-=0 величины g'^ и dg^/dx'\ где g — ue, и, /; 7 = 1, 2, имеют порядок [xt)2 и х~< соответст-

венно. С учетом (6.1), (6.2) имеем:

А1) в точках ЕО, DO на оси х2 = 0

д ( — диЛ / — dfa \ да1 ди*—- — ди1

к[Мк) + [Ъ /1 + а^)^ + а^^9==^ U

ди1 __2 ц1 ~ I ди'

дх1 Л'1 дл:1

д ( - di \ , ( — dfJ \ di — di di i — i di

«( K er) + (*./’ + *.*?)JT—— + s;

A2) в точках OE, OD на оси х1 = 0

d I — диЛ ( - д/\ ди- ди2 - _ ди2

— М — -{- у2 /- -f i-s —--------b а1 — 9 = Ко и2 — ,

д: \ д:} \ 7 dxzJ д: s е дх2 s дх’*

ди-___2 “2— ц2 г ди2

дх2 х2 дх2 ’

д f -г? di\ , ( 7„ . <Э/Л di

+ +“*«?) *=а-

Б) В точках 55, RS, RR, SR шаблона „прямоугольник" имеем с учетом (6.1), (6.2)

д ( — диЛ / - d~fa\ ди1 ди1-7, -

— М —■ + fcf* + 2, —------------b v-K— 6 = а. И1 — ,

д: \ д: / \ ЛJ s дх°) д: ' s едх° s дха

диУ и1 — ил д~и\ _ 1 о

,v -- V v > V1 1 1,2.

дх х дх

После вычисления всех коэффициентов разложений сначала с помощью (1.6), (1.7), а также (3.4), (3.6) и (2.14) находится решение в узлах первого слоя у1 = const (замкнутая кривая на рисунке) расчетной системы координат _у\ у3, а затем перевычисляются контрава-риантные составляющие и*, р из декартовой системы в расчетную.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петухов И. В. Структура течения невязкого газа в окрестности изолированной точки. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XIII, № 2,

1982.

2. HowarthL. The boundary layer in three dimensional flow.

Part II. The Flow near a Stagnation Point. Philos. Mag., vol. 42, N 335, p, 14ЯЗ, 1951.

3. Петухов И. В. Преобразование уравнений пространственного пограничного слоя для численного расчета. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XIII, № 5, 1982.

4. Петухов И. В. Экстремальные кривые течения на поверхности тела произвольной формы. .Ученые записки ЦАГИ“, т. XIV,

№ 3, 1983.

Рукопись поступила 9/XI 1981 г. Переработанный вариант поступил 3\П 1983 г.