CC BY
23
В. М. Онуфр{енко, I. В. Лисоконь, П. О. Самолчев, Т. I. Слюсарова: ЕЛЕКТРОМАГН1ТН1 ХВИЛ1 НА ФРАКТАЛЬНШ МЕЖ1 РОЗД1ЛУ ДВОХ СЕРЕДОВИЩ
лах, что и индексы т и п.
Подставляя в выражение для значения коэффициентов а и с , получим рг рг' -3
Zpr = S C0S (У Sq '
q = 0
где Sq - значения интегралов из (10). q
ВЫВОДЫ
Формула (13) может определить с любой степенью
точности, но громоздка. Проводить расчёты трудно, так как в выражении для имеются ряды по пространственным гармоникам, что требует применения вычисли-
тельных средств. Метод определения можно использовать для исследования более сложной системы, например, когда отверстия связи находятся в широкой стенке прямоугольного волновода.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Фильтр поглощающего типа на высокий уровень мощности. /
Больман В.И., Логачёва Л.М. // Радиотехника, 1979.-T.34.-N1.-с.25-28
2. Исследование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных волн (обзор). / Миллер М.А., Таланов В.И. // Радиофизика, 1961.-T.IV.-N5.-c.795-830 (Изд. высш. учебн. заведений)
3. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. -М.-Л.: Энергия, 1967.-376с.
4. Толстой Г.П. Ряды Фурье. -М.: Наука, 1980. -384с.
5. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.11 / Пер.с англ.- М.: Наука, 1974.-296с.
Надшшла 23.06.98
УДК 537.871
ЕЛЕКТР0МАГН1ТН1ХВИЛ1 НА ФРАКТАЛЬНШ МЕЖ1 Р03Д1ЛУ ДВОХ
СЕРЕДОВИЩ
В. М. Онуфр1енко, i. В. Лисоконь, П. О. Самолчев, Т. i. Слюсарова
На основе рассмотрения фрактальных множеств точек как модели границы раздела двух сред с разными проницаемостями вводится понятие а -характеристики электромагнитной плоской волны. Полученные выражения для компонент поля подаются через скейлинговый показатель, который характеризует степень сингулярности точек границы. Результаты численных расчетов для фрактальных границ сравниваются с классическими, при этом обнаруживается новый физико-математический смысл волнового импеданса.
На основг розгляду фрактальних множин точок як моделг меж роздыу двох середовищ з ргзними проникностями вводиться поняття про а -характеристики електромагттноЧ плоскоi хви-л1. Одержат вирази для компонент поля подаються через скейлгнговий показник, що характеризуе сингуляртсть точок межг. Результати чисельних розрахункгв для фрактальних меж поргвняюються з класичними, при цьому виявляеться новий фгзико-геометричний змгст хвильового гмпедансу.
On the base of fractional ensembles of spots as models borders of two ambiences with different permeability a notion а -features of electromagnetic flat wave is entered. Expressions for the component of field are given through scaling factor, which characterizes a degree singularity spots borders. The Results data calculations for fractional borders with classical dates are compare. Is it herewith found new physicist mathematical sense wave impedance.
ВСТУП
Устхи класично! мехашки сприяли появ1 впевненост у можливост просл1джування розвитку будь-якого природного явища, якщо точно задаються початков1 умови.
Згодом цей погляд був розповсюджения 1 на сущльш середовища. Так, Максвелл, зв'язавши ус1 параметри рухомо! щеально! р1дини, одержав сво! знаменит! р1в-няння (усього 20 р1внянь, що м1стили 20 величин). Саме модельний тдх1д та строгий г1дродинам1чний вив1д забезпечив р1внянням Максвелла максимально можливу для того часу в1дпов1дшсть !х в опис1 реальних електромагштних явищ.
Добре в1дом1 результати класично'! макроскотчно! електродинам1ки щодо впливу меж1 середовища з р1з-ними властивостями на структуру електромагштного поля 1 характер розповсюдження хвиль. Розгляд взаемоди плоско! хвил! з поверхнею розд!лу середовищ дае мож-лив!сть проанал!зувати можлив! явища в!дбиття (частин-ного ! повного), проходження хвиль в середовище, явища дифракц!! тощо. Але стае зрозум!лим той факт, що плоска однор!дна електромагн!тна хвиля в необмежено-му середовищ! до пад!ння на поверхню розд!лу п!сля взаемод!! з ц!ею поверхнею не може розглядатись як реальний объект за т!ею ж схемою. Абстракц!я неск!н-ченного простору з незм!нними ф!зичними властивостя-ми мае деяку ц!нн!сть, але не дозволяе у багатьох важ-ливих практичних випадках виявити характерн! риси явищ електромагнетизму. Наявн!сть поверхонь розд!лу з дисперсними та поглинаючими властивостями можуть призводити до спотворення не лише структури початкого поля, але й !! поляризац!!.
РАДЮЕЛЕКТРОН1КА
У випадках, коли нер1вност1 звичайно! поверхш знач-но б1льш1 довжини хвил1, неравна поверхня зображаеть-ся у вигляд1 суми квазиплоских штервал1в поверхш. По-чаткова форма поля (просторова амплитуда та фазова обвщна) теж впливае на характер розияного поля. Особливо'1' уваги потребуе розгляд таких явищ у розв'я-зуванш важливих граничних задач, пов'язаних, напри-клад, з анализом розповсюдження радюхвиль у природ-них умовах з урахуванням впливу меж розд1лу середо-вищ на поверхш земл1.
Апроксимащя некоординатних меж поверхш за допо-могою покриття простими компактами (прямокутниками, кругами, елшсами) [1] дае можлив1сть у значнш м1р1 алгоритм1зувати процес розв'язування граничних задач. Але досвщ показуе, що подальшим зменшенням д1амет-р1в компактов покриття, що необхщно робити для ураху-вання малих за розм1рами неоднор1дностей поверхонь, не вдаеться врахувати шорстюсть, пористость, густу по-р1зашсть поверхонь у мШметровому та субмШметрово-му диапазонах.
Дал1 у робот1 ми покажемо, що продовження досл1-джень у зазначеному напрямку можливий на основа уяв-лення про фрактальну структуру зазначених неоднорщ-ностей, а це вимагае вводу у розгляд специального математичного диферштегрального апарату.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1
В1домо, що всупереч уявност1 про повноту, р1вняння Максвелла не в1дображають розвиток електромагштного процесу у кожнш точщ простору з урахуванням оточення, бо вони створювались на модели плоского руху щеально! субстанцп саме у площиш. Для в1дображення процес1в в окол1 кожно! точки простору необхщно, щоб розглядались в1дмшност1 в умовах вихороутворення у двох паралельних площинах, щоб у р1вняннях був опис явищ, що в1дбуваються уздовж вихор1в. За допомогою сучасних технологий прецизшного вим1рювання виявле-но ряд нев1дпов1дностей теоретичних моделей стосовно випромшювання електромагштно! енергп проводниками та взаемоди електромагштних хвиль з реальною поверхнею розд1лу середовищ [2].
Усшхи математично! розробки питань про будову фракталов, що виступають у якоси ф1зичних та гео-метричних моделей багатьох природних явищ, особливо виявлення !х розм1рностей [3] сприяло розвитку 1 засто-суванню диферштегрального апарату до вивчення явищ взаемоди електромагштних хвиль з фрактальними по-верхнями за допомогою розгляду а -характеристик поля [4] - розв'язюв електродинам1чних задач (сформульова-них на основа р1внянь Максвелла) для яких ус1, або у крайньому раз1, деяк1 параметри, що входять до почат-кових 1 межових умов та мають розм1рност1 незалежних змшних, перетворюються в нуль або нескшченшсть. Ц1 розв'язки дають опис властивостей явища, що не зале-
жать в1д деталей початкових та межових умов 1 утворю-ють множину так званих пром1жкових асимптотик [5].
Розглянемо дал1 алгоритм вводу у розгляд а -характеристик електромагштного поля в умовах задача про взае-мод1ю хвиль з фрактальними межами розд1лу двох середовищ.
Будемо анал1зувати в1льн1 гармон1чн1 коливання електромагштного поля, що змшюеться у простора лиш вздовж одного прямол1н1йного напрямку, наприклад, ос1 ОЪ декартово! системи координат, причому вектори
електричного Е та магнитного Н поля зм1нюються у час1 I за законом
А _ £ гюt ^ _ г юI Е — Етв , Н — ,
(Ет , Нт - комплексна ампл1туди поля, ю - частота коливань).
Подальше моделювання процесу поширення хвиль традиц1йно зд1йснюють, виходячи з р1внянь Максвелла у 1нтегральн1й, диференц1альн1й форм1, або з р1вняння Гельмгольця, одержаного з р1внянь Максвелла у диференщальнш форм1. Розв'язок для одновим1рного процесу у середовишд з д1електричною е та магнитною ц проникностями за в1дсутн1стю пох1дних по х та у (комплексна амплитуда залежить в1д координати г 1 мае х-складову) можна записати у вигляд1
Ет — %о(Ле 'кг + Бвкг) , к — ю4щ , (1)
Поблизу поверхн1 розд1лу середовищ за наявност1 скачк1в електродинам1чних параметр1в та сингулярних точок неможливе застосуваня р1внянь Максвелла у диференщальнш форм1, а, зв1дси, 1 диференц1ального р1вняння Гельмгольця (бо вони вимагають неперервност1 компонент пол1в та !х пох1дних). 1нтегральна ж форма
р1внянь в1дносно вектор1в напруженост1 Е , Н та 1ндук-цп Б , Б , струм1в та зарядов з густиною ) та р
> с> > сдБ * с* * А г* ■>
°НА/ — |А +1 дАБ ; °ЕА/ — -АЦ-^БАБ ;
Ь Б Б Ь Б
° Бс1Б — ^рdV; °БАБ — 0 (2)
Б V Б
мае так1 властивост1 математично! конструкций що спри-
яють 'х застосуванню для випадк1в моделювання про-
цес1в в областях з межами, де компоненти вектор1в поля
зазнають розрив1в.
Для одержання межових умов складових поля на контур1 (поверхн1) розд1лу середовищ вибирають "до-статньо малий елемент" А/ (або АБ ), який можна вважа-ти прямолшшним (плоским), а прилежне поле вважаеть-ся при цьому незм1нним вздовж меж1 розд1лу середовищ.
1нтегрування у р1вняннях Максвелла (2) проводиться за схемою знаходження границь в1дпов1дних 1нтеграль-
них сум по елементах контуров А , поверхонь аБ;- та
22
"Радюелектронжа, 1нформатика, управл1ння" № 1, 1999
В. M. Онуфр1енко, I. В. Лисоконь, П. О. Самолчев, T. I. Слюсарова: ЕЛЕКТРОМАГН1ТН1 ХВИЛ1 НА ФРАКТАЛЬНШ МЕЖ1 РОЗД1ЛУ ДВОХ СЕРЕДОВИЩ
об'ем!в ДVi за умови !х необмеженого зменшення.
Звичайно, у цих р!вняннях граничн! переходи застосову-ються у класичному розум!нн!: неперервн!сть компонента /( г) вектор!в поля, визначених, наприклад, на мно-жин! г с R, забезпечуеться, коли достатня близк!сть зм!нно! точки г до ф!ксовано! точки Го в!дпов!дае до-
статн!й близкост! точки f(г) до точки ДГо) .
"Геометричний" п!дх!д базуеться на !де! Ф.Хаусдорфа про визначення неперервност! в!дображення у точц! не за допомогою в!дстан! г м!ж точками, а через покриття та вим!рювання околу 0£ : г(£,, ^о)<£ точки. У практиц!
для вим!рювання довжини криво!, площ! поверхн! або общему розглядають покриття геометричних об'ект!в кубами з ребрами е., сферами з д!аметром е. ( тахе. < е )
тощо. М!ра величини множини одержуеться як к!льк!сть достатньо малих сфер з центрами в точках множини, коли точки, що знаходяться в околах на в!дстан! г < е/2 , покриваються цими сферами.
Множини точок, що утворюють л!н!ю (поверхню), можуть бути "закрученими" так сильно, що довжина (площа) !х може виявитись неск!нченною (крива Пеано , наприклад, заповнюе площину; !снують поверхн!, що заповнюють прост!р тощо).
У зв'язку з цим застосовуеться узагальнення м!ри величини множини (див.,наприклад,[3]), пов'язане з вибором деяко! пробно! степенево! функц!! з ваговим коеф!ц!ентом у(у)
Н(е) = у(у)х еУ (геометрично: в!др!зок прямо!, квадрат, круг, куля, куб) ! покриттям розглядувано! множини точок з утво-ренням V -м!ри Хаусдорфа
Ы, = £Н(е) .
Для покриття прямол!н!йними в!др!зками, квадратами та кубами геометричний ваговий коеф!ц!ент у^) = 1 (фактично, це довжина одиничного в!др!зка, площа квадрата, об'ем куба), для круг!в у(,) = п/4 (площа одиничного круга), для куль у^) = п/ 6 (об'ем одинич-но! кул!). Для фрактальних об'ект!в видно, що у загаль-ному випадку при е ^ 0 м!ра Ы, дор!внюе нулю або
неск!нченност! в залежност! в!д значення показника V .
Наприклад, у задач! про визначення заряду Q , розпо-д!леного на фрактальному в!др!зку, змодельованого у вигляд! континууму Кантора, за поданою схемою вим!-рювання знаходимо, що густина розпод!лу заряду qi на
кожн!м елемент! покриття Д1. мае вид
qj = q0(Д1.)а -1, ДЦ = г - г , (з)
де а - фрактальна розм!рн!сть розпод!лу. Граничний пе-
рех1д у цьому випадку приводить до штеграла 1
^а г dr' _
- а '
„а г dr
Q = J qo (—TX-
0 (r - r)
(4)
який називаемо а -характеристикою заряду (якщо а=1, то одержуемо звичайну класичну формулу обчислення для неперервного розпод!лу заряду через !нтеграл в!д густини).
Пом!чаемо, що зам!сть складно! процедури геометрич-но! побудови фрактально! множини кожного разу, зна-ходження м!ри Хаусдорфа з наступним процедурами граничних переход!в, можна використати апарат дробового !нтегрування та диференц!ювання функц!! ф( х) (наприклад, у форм! Р!мана-Л!ув!лля (див.[ 6 ] або [7]))
( </>)(* ) = 0
dt
( x -1 )
1 - a
, x > a , a > 0 ; (5)
a
-.a . . . . T-a
(aPx Ф)(x) = ( Jx Ф)(x) •
Отже, a -характеристику (4) заряду, розпод1леного на континуум1 Кантора, можна одержати формально за будь-якого скейл1нгового показника a (а саме в1д нього залежить структура розпод1лу ф1зично'! величини), за-стосовуючи дробовий 1нтеграл до густини розпод1лу ро •
Анал1з п1д1нтегрального виразу вказуе на можлив! ви-падки опису явищ за допомогою a -характеристик: при наявност1 геометричних особливостей контур1в та повер-хонь (геометрична сингулярн1сть) або коли ф1зичн1 па-раметри (проникн1сть, пров1дн1сть, густини заряд1в, струм1в тощо) мають фрактальну природу.
У так1й постановц1 й будемо дал1 розглядати процес взаемодп плоско! електромагн1тно! хвил1 з фрактальною поверхнею розд1лу середовищ.
МОДЕЛЮВАННЯ ПОЛЯ ПЛОСКО/ ХВИЛ1
Нехай фрактальний контур розд1лу середовища на велик1й в1дстан1 паралельний фронту плоско! хвил1 (1). Для розгляду поля поблизу меж1 розд1лу середовищ роз-м1стимо декартову систему координат так, щоб середо-вища з р1зними властивостями розд1лялись площиною ХОУ: середовище 1 (л1вий нап1впрост1р, z< 0) характеризуемся комплексними у загальному випадку проник-ностями Ё1 та ц.1 , а середовище 2 (правий нап1впрост1р,
z > 0 ) - проникностями £2 та •
Поблизу фрактально! меж1 (в окол1 z = 0 ) повед1нку плоско! електромагн1тно! хвил1, що розповсюджуеться перпендикулярно до меж1, описуемо за допомогою a -характеристик !! складових ( a = 0 ):
-ik, z
Em ( 1 ) = x0Ae , Hm ( 1 ) = ^0
(6)
x
