Фрактальні властивості прямокутного хвилеводу з метаматеріальною пластиною Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

А. О. Micrnpa, В. М. Онуфр1енко, О. В. Крапивный: ФРАКТАЛЬН1 ВЛАСТИВОСТ1 ПРЯМОКУТНОГО ХВИЛЕВОДУ 3 МЕТАМАТЕР1АЛЬНОЮ ПЛАСТИНОЮ

angular Composite Cylinders// IEEE Trans. Antennas Propagat. - Vol. AP-51. - Oct. 2003. - P. 2845-2851.

3. Chumachenko V. P., Krapyvny A. V. Open-cell Layer Approach for Scattering on the Impedance Cylinder // Proceedings of 2004 Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Dnepropetrovsk, Ukraine. - September 14-17, 2004. - P. 577-579.

4. Крапивной А. В., Чумаченко В. П. Применение метода открытого слоя к расчету рассеяния электромагнитных волн на импедансных цилиндрах // Радиоэлектроника, информатика, управление. - 2005. - № 1. - С. 9-13.

5. Jin J. M., Volakis J. L, and Liepa V. V. A Comparative Study of the OSRC Approach in Electromagnetic Scattering / / IEEE Trans. Antennas and Propagation. - Vol. AP-37.-Jan. 1989. - P. 118-124.

Надшшла 13.09.05

Визначений Ha6ip внутрШтх napaMempie методу eid-критого шару, як суттево впливають на розрахунок характеристик розствання електромагттних хвиль на

опуклих цилiндpaх 3i складним контуром поперечного nepepiзу i проведено доcлiджeння впливу цих величин на кiнцeвi результати. Отримат дат дозволяють виз-начити критерп тдбору значень цих napaмempiв в за-лeжноcmi вiд геометрп зaдaчi.

In the paper the set of inner parameters the open-cell layer approach has been defined. Those parameters essentially effect on the calculation of characteristics of the electromagnetic waves scattered from convex cylinders with combined cross-section contours. The analysis of the influence of these variables on the final results is carried out. Obtained data allow to define the selection criterions for the parameters under study depending on initial geometry of the structure.

УДК 537.8:621.372.8

A. 0. Мююра, В. M. 0нуфр1енко, 0. В. Крапивний

ФРАКТАЛЬШ ВЛАСТИВ0СТ1 ПРЯМОКУТНОГО ХВИЛЕВОДУ 3 МЕТАМАТЕР1АЛЬНОЮ ПЛАСТИНОЮ

Наведено результати досл1дження фрактальних влас-тивостей поверхневого 1мпедансу у прямокутному хвиле-вод{ з метаматер1альною пластиною. Для знаходження а-характеристик компонент поля у наведеному середо-вищх використаний апарат дробового штегро-диферен-щювання. Визначена залежтсть поверхневого 1мпедансу в1д величини скейлтгового показника, що характеризуе стутнь фрактальност1 магттод1-електричноЧ пластини.

ВСТУП

Метаматер1али, широко в1дом1 як штучно струк-туроваш середовища з незвичайними електромагштни-ми властивостями, що визначаються елементами IX внутр1шньо! структури, розташоваш за заданою схемою на мжроскошчному р1вш та замщають атоми або молекули природно шнуючих матер1ал1в, е новою парадигмою у ф1зищ та шженери [1-10]. 1х можна вщ-нести до класу однорщних середовищ з зануреними у них фрактальними неоднор1дностями, що характеризуются одночасно в1д'емними екв1валентними параметрами 8, ц; вщ'емним показником заломлення п та дробовим показником фрактальноси а. Для них запропоновано кшька термшолопчних назв типу «на-лежних до л1во! системи координат» середовищ, середовища «з в1д'емним показником заломлення» [1-3], «поворотш середовища» (ВШ середовища) [4], «дв1ч1 вщ'емш (БЫС)» метаматер1али [5], «вщ'емно-показ-ников1 середовища (ШМ)» [6].

© М1сюра А. О., Онуфр1енко В. М., Крапивний О. В., 2005

Досл1дженню та конструюванню метаматер1ал1в присвячено велику к1льк1сть роб1т. Так, у 1968 р. В. Веселаго теоретично дослщжував розповсюдження плоско! хвил1 у матер1ал1 з одночасно в1д'емними д1електричною та магштною проникностями [1]. Його теоретичне дослщження показало, що для монохрома-тично! однорщно! плоско'! хвил1 у такому середовищ1 напрямок вектора Пойнтинга антипаралельний до напрямку фазово! швидкост1, всупереч випадку розповсюдження плоско! хвил1 у звичайних середовищах. У 1996 р. Д. См1т та ш. сконструювали таке складне середовище для мжрохвильового режиму та експе-риментально продемонстрували наявн1сть аномально! рефракцп у цьому середовищ1 [2]. Припущення Д. Пендр1 про можлив1сть комплексних середовищ з в1д'емним показником заломлення [3] уловлювати та «перефокусовувати» еванесцентш хвил1 (загасаюч1 хвил1, що м1стять велику к1льк1сть 1нформацИ про м1к-роскоп1чну структуру об'екту) призвело до констру-ювання так званих «суперлшз». У 2003 р. групою Цанга експериментально доведено, що у такому середовищ! виникае процес збудження поверхневих хвиль, вщомих також, як «поверхнев! плазмони», що шдсилюе та в!дновлюе еванесцентн! хвил! [6]. А. Грбик та Д. Елефтер!андес розробили аналоговий метаматер!ал на основ! ланцюг!в електропередач!, що складаються з ком!рок посл!довно з'еднаних !ндуктив-ностей та паралельно з'еднаних конденсатор!в. Вико-ристанням такого матер!алу ними було проведено пе-

рефокусовку компонент ближнього поля на частот! 1,057 ГГц [7]. Групою рос!йських вчених проведено досл1дження розс!ювальних та в1дбивальних власти-востей плазми як р1зновиду метаматер1алу [8]. У [9, 10] Н. Енгета також пов!домляе про явища аномально! рефракц!! на меж! розглядуваних середовищ, що ство-рюеться спец!альними тополог!чно конф!гурованими елементами, яке може бути використаним у проекту-ванн! нових техн!чних пристро!в, компонент!в та вуз-л!в таких, наприклад, як фазовий коректор. 1нш! по-тенц!альн! застосування пов'язан! з !деею створення компактних нап!вхвилевих ендов!братор!в у метама-тер!альних середовищах.

Подальше досл!дження властивостей метаматер!-ал!в та електромагн!тних хвиль, що випром!нюються або поширюються у таких штучних середовищах, уяв-ляеться нам можливим за допомогою залучення особливого математичного апарату - дробового !нтегро-ди-ференц!ювання.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ!

У постановц! задач! використаемо !нтегро-дифе-ренц!альну модель взаемод!! електромагн!тного поля з геометрично фрактальними поверхнями, яка базу-еться на введенн! у розгляд а-характеристик поля [11]. 3а такого п!дходу повед!нку компонент и (г,^) плоско! електромагн!тно! хвил! у середовищ! з фрак-тальними властивостями !! ф!зичних параметр!в ^ (наприклад, проникностей, пров!дностей ! т. !н.) опи-суемо дробовим дифер!нтегралом

иа( ) = Л^ ) = 2' ^- ¿г,

Г(а) а (г - г')1 - а

де Г(а) - гамма-функц!я Ейлера, а - скейл!нговий по-казник, (аОаиа)(г,^') задовольняе р!вняння Гельм-гольця

У2(аваиа)() + к\ паиа)(г,Ь) = 0

з крайовими умовами на плоскому контур! Г

I Сш(Хтиа)(г|) = 9(М), М е Г.

т = 1

де ^2 = ^2/^2 - хвильовий оп!р !деального середо-вища, к = ю - л/б2_- стала розповсюдження, 1а -множник вир!внювання розм!рностей.

В!дзначено, що за допомогою Т^ та вар!ювання д!йсного скейл!нгового показника можна описувати !деальне середовище з фрактальними властивостями або випадок в!дбиття хвиль в!д метал!зовано! фрактально! меж! розд!лу середовищ [12].

Застосуемо наведений п!дх!д до анал!зу поверхнево-го !мпедансу, що виникае на поверхн! метаматер!ально! пластини у прямокутному хвилевод! (рис. 1).

Рисунок 1 - Прямокутний хвилев1д з метаматер1альною пластиною

Область I (0 < х < ¿1), як ! область III (й2 < х < а), являе собою пов!тряний зазор з параметрами 80, ^ Магн!тод!електрична пластина займае область II (¿1 < < х < ¿2 ) ! описуеться д!електричною проникн!стю 8, магн!тною проникн!стю ц ! скейл!нговим показником а, що характеризуе ступ!нь фрактальност! наповню-вача.

ПОВЕРХНЕВИЙ 1МПЕДАНС МЕЖ1

ФРАКТАЛЬНОI ПЛАСТИНИ

При в!дсутност! залежност! в!д координати у поля у перш!й та трет!й областях зг!дно [13] розглядаються у класичному вигляд!, а у друг!й - у вигляд! а-харак-теристик компонент поля [14, 15].

1. Область I

У [11] показано, що хвильовий оп!р ^2 магн!то-д!електричного середовища, що характеризуе зв'язок м!ж векторами електричного та магн!тного пол!в в !де-альному середовищ!, у середовищ! з фрактальними властивостями перетворюеться в

< = Ж2(/£/)а,

(1)

Еу1(х,г) = 8т(- х) - е

-] - к\- г

Нг1 (х,г) = (//Wo) - ео8(^1 - х) - е

-1 - к- г

(2)

2. Область II

Запишемо вираз для а-характеристик компонент поля

А. О. Mi^a, В. M. Ощфр1енко, О. В. Kpanuвнuй: ФPAKTAЛЬHI BЛACTИBOCTI roßMO^^Ora XBИЛEBOДУ З METAMATEPIAЛЬHOЮ ПЛACTИHOЮ

( xDaœ Eyz )( x,z ) = A ■ sin ( h2 ■ x) ■ e J 2 * +

-j ■ k '2 ■z

Jy2

+ B ■ cos (h2 ■ x) ■ e

-j ■k '2 ■z

( xD1hzO))( x,z ) = -W— ■ sin ( h2 ■ x)- ^ ■ k'2 ■z + W2 (2)

j л tu \ -j ■k'2 ■z + T-j-r— ■ A ■ cos ( h2 ■ x )■ e .

W2 ( 1 )

Biдновлeнi з а-xаpактepиcтик (шляxом iнтeгpо-ди-фepeнцiювання влаcниx фyнкцiй [12, 15]) компотенти eлeктpомагнiтного поля мають вигляд

hl ■ ц

B = -—— ■ cos(hl ■ dl) ■ sin(h2 ■ dl) -h2 l l 2 l

+ sin(hl ■ dl) ■ cos(hl ■ dl)

- амплиуди поля, що визначаютьcя з гpаничниx умов

„ . ,-,а т-(а) тт . ,-,а гг(а)

для cклaдовиx Ey i xD-œEy ', Hz i xD-œHz ', коли

A ■ sin(h2 ■ ^2) + B ■ cos(h2 ■ ^2)

x = d, ; С = -——--r—-- амплиу-

1 sin (h1(a - d2))

да поля, що визнaчaeтьcя з гpaничниx умов для жла-„ . „а „(а) „ . „а гг(а) ,

довиx Ey i xD-rßEy , Hz i xD-œHz , коли x = d2.

Ey<2)( x, z ) =

B

(h2 ■ d1 )0

sin 1(а ■ п/2) +-

A

(h2 ■ dl)0

■ cos (а ■ п/2 )

-j ■ k '2 ■ z

x sin ( h2 ■ x ) ■ e +

B

(h2 ■ dl)0

A

cos(o ■ п/2 )

v(h2 ■ dlГ

-j ■ k '2 ■

x cos(h2 ■ x) ■e

sin (а ■ п/2 )

x,z) = --j— ■ sin(h2 ■ x) ■ ^ k'2 ^ z+

тт/(а) W2 ( 1 )

тт/(а) W2 ( 2 )

cos(h2 ■ x)e

-j ■ k '2 ■z

(3)

3. Oблacть III

Ey3(x,z) = С ■ sin[h3 ■ (a - x)] ■ e

-j ■k '3 ■z

Hz1 (x,z) = -(j ■ С/ W0)■ cos [h3 ■(a - x)] ■ e1 'k 3 ■z. (4)

У (2)-(4) познaчeно: Wo = и ■ ц0/hl - xapaктepиcтич-ний опip I та III облacтeй; W2 = Wo ■ ц ■ hl/h2 -xapaк-тepиcтичний опip мaгнiтодieлeктpичного cepeдовищa; hl = h3 - коeфiцieнт фази плоcкоï xвилi y повiтpi; h2 - коeфiцieнт фази плоcкоï xвилi y пластиш; Bo, ц0 - вiдповiдно eлeктpичнa та мaгнiтнa cтaлa; в, ц -вщповщно дieлeктpичнa та магштна пpоникнicть; ю -

кpyговa чacтотa; k' 1 = k' 3 = ^ю2 ■Bo ■ ц0 - h^ - cтaлa пошиpeння плоcкоï xвилi y повiтpi;

k '2 = Ja2 ■ в ■ ц - h2 - стала пошиpeння плоcкоï xвилi y плacтинi;

hl ■ ц

A = —— ■ cos (hl ■ dl ) ■ cos(h2 ■ dl ) + h2 l l 2 l

+ sin(hl ■ dl) ■ sin(hl ■ dl);

l

l

_ = A

2(1 ) W2

l

B

2 ( 1)

w20)) W2(2) ■ (h2 ■ dl)°

sin (а ■ п/2 ) +

2( 1) vv 2(2) * V'^'"1 +----------------------l---------------------а--

W2( 1)■(h2 ■ d1)0 ll

w202) W2(2) ■ (h2 ■ dl)0

cos (а ■ п/2 ) ;

cos (а ■ п/2 ) -

2(2) vv 2(2) * V'^'"1 1

W2( 1 )■(hh2 ■ d1)0

sin (а ■ п/2).

(5)

У (5)

W2()), W2( 2) cклaдовi повepxнeвого iмпe-дaнcy, що виникае на мeжi мeтaмaтepiaльного cepeдо-вища за paxyнок icнyвaння y ньому фpaктaльниx нeод-ноpiдноcтeй. Biдмiтимо, що у клacичномy випадку, коли а = ^ W2°i) = W2 ( 1) та W2"(2) = W2 (2 ).

Заст^уванням кpaйовиx умов Щyкiнa-Лeонтовичa

->(о) [n,E ]

W^^i ■ [и,[и,и,H( ']]|г = f, ( f - заданий вeк-

(о) _ „„

тоp, n - зовнiшня ноpмaль на повepxнi Г, W( вepxнeвий фpaктaльний iмпeдaнc) отpимaeмо виpaз

ттДо)

для Wïоâ , що вpaxовye поглинання eлeктpомaгнiтноl xвилi у доcлiджyвaнiй cтpyктypi

W

,(о)

(о) = Ey 2

(а) z2

H

x = dl

^ w ( 1 /)■ tg ( h2 ■ d 1) + (l W2 ) ) 2 ( 1 /w2((2)) ■ tg(h2 ■ dl)+( 1 /w2<0i))).

/а)

(б)

Подальшш aнaлiз зводитьcя до чиceльного знaxод-жeння коeфiцieнтa hl, ноpмовaного до вeличини по-в^яного зaзоpy dl/a, з тpaнcцeндeнтного piвняння, отpимaного з гpaничниx умов (збepeжeння нeпepep-вноcтi компотент H и rDaœHf^, коли x = d2, [15]).

2

+

А пот!м обчислюемо ! вс! !нш! параметри, що входять до хвильових р!внянь.

ЧИСЕЛЬНI РЕЗУЛЬТАТИ

Використанням р!вняння (6), чисельно визначено поверхневий !мпеданс, що виникае на меж! метамате-р!ального середовища. Скейл!нгов! залежност! поверх-невого !мпедансу, нормованого до характеристичного опору у вакуум! ^0, наведено на рис. 2 та рис. 3. Дро-бовий показник у цьому випадку мае комплексний характер

де а ' - коеф!ц!ент, обумовлений переносом енерг!! хви-лею, а а' ' - коеф!ц!ент, обумовлений втратами енерг!! у пластин!.

На рис. 2 крив! 1-4 розрахован! в!дпов!дно для а' = -0, 3; а' = 0; а' = 0, 0758; а' = 0,3. В!дпов!д-ним чином обрано й значення для коеф!ц!ента а' ' на рис. 3. Метаматер!альна пластина зм!щена до початку координат та займае область в!д ¿1 /а = 0, 05; до ¿2/а = = 0, 35; параметри магн!тод!електрика обран! наступ-

ним чином: 8 = 5; ц = 7; нормований до ¿1 /а коеф!-ц!ент фази у цьому випадку чисельно дор!внюе Н^ = = 0, 496983.

Граф!чн! залежност! показують, що при деяких зна-ченнях д!йсно! частини скейл!нгового показника (на-приклад, а = 0, 0758, крива 3) поверхневий !мпеданс е чисто д!йсним. Цей випадок в!дпов!дае повному по-глинанню енерг!!, тобто проникненню електромагн!тно! хвил! всередину пластини. А випадок, коли скейл!нго-вий показник е д!йсною величиною (а' ' = 0, крива 2) поверхневий !мпеданс е чисто уявним, що в!дпов!дае повному в!дбиттю енерг!! (електромагн!тна хвиля роз-повсюджуеться вздовж поверхн! пластини). Випадки !нших значень а в!дпов!дають частковому в!дбиттю та частковому поглинанню енерг!! метаматер!альною по-верхнею. Це явище св!дчить про можлив!сть керування поширенням хвиль у хвилеводах, частково заповнених штучним середовищем.

В!д'емн! значення поверхневого !мпедансу в!дпов!-дають фактично в!д'емним значенням д!електрично! та магн!тно! проникност!, що п!дтверджуе нашу г!потезу про застосування фрактально! математично! модел! до опису метаматер!ал!в.

11.4 /У

11. /у

-1 -о 5 / □ 0 ч 5 а"

V 11.4^

а)

| ' |

N 'У\ 1

\ 2

\о,2 .¡¡¡Г

\ Л„ \ 4

\ / - -Г

-1

-0,5

□

в)

0,5

о.

Рисунок 2 - Скейлтговг залежностг поверхневого гмпедансу при сталих значеннях дшсног частини дробового показника

а = а'- 1а ' ,

А. О. Micrnpa, В. М. Онуфр1енко, О. В. Крапивный: ФРАКТАЛЬН1 ВЛАСТИВОСТ1 ПРЯМОКУТНОГО ХВИЛЕВОДУ 3 МЕТАМАТЕР1АЛЬНОЮ ПЛАСТИНОЮ

3

\ / 4 У 4

2 t

_ _ j ■—1

-1 -o 2-5 ,5—0 \1 -75- o— 0, 25 £i -£L 75 a'

а)

w'^'l яее

л 3 2 0"

ну / 4" it

-u. 4 2'

-1 -0,75 -0,5 -0,25

0

в)

0,25 0,5 0,75 а

Рисунок 3 - CKe^iHioei зaлeжноcmi поверхневого iMnedaicy при сталих значеннях уявноЧ частини дробового показника

ВИСНОВКИ

Дослщженням магштод1електрично! пластини, роз-ташовано! у прямокутному хвилевод1, виявлено фрак-тальш властивост метаматер1ального середовища. Отримано вирази для поверхневого !мпедансу меж1 фрактально! пластини. Побудовано скейл1нгов1 залеж-ност1 поверхневого !мпедансу, як1 св1дчать про можли-в1сть поглинання або в1дбиття електромагн1тно! хвил1 однор1дними середовищами з зануреними у них фрак-тальними неоднор1дностями. Проведений анал1з показав можлив1сть практичного керування процесом роз-повсюдження електромагштних хвиль у метаматер1аль-них середовищах шляхом варшвання дробового показ-ника.

UEPEMK nOCHMAHb

1. Veselago V. G. The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of e and | // Soviet Physics Uspekhi. - 1968. - V. 10, No. 4. - P. 509-514.

2. Smith D. R. and Kroll N. Negative refractive index in left-handed materials // Phys. Rev. Lett. - 2000. -V. 85, No. 14. - P. 2933-2936.

3. Pendry J. B. Negative refraction makes a perfect lens // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 85, No. 18. - P. 3966-3969.

4. Lindell I. V., Tretyakov S. A, Nikoskinen K. I. and Ilvonen S. BW media - Media with negative parameters, capable of supporting backward waves // Microwave and Optical Technology Letters. - 2001. - V. 31, No. 2. - P. 129-133.

5. Ziolkowski R. W. and Heyman E. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability //Physical Review E. - 2001. - V. 64, No. 5. - 056625.

6. Kong J. A., Wu B.-I, and Zhang Y. A unique lateral displacement of a Gaussian beam transmitted through a slab with negative permittivity and permeability // Microwave and Optical Technology Letters. - 2002. -V. 33, No. 2. -P. 136-139.

7. G. V. Eleftheriades, A. K. Lyer, and P. C. Kremer. Planar negative refractive index media using periodically L-C loaded transmission lines // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. - Dec. 2002. - Vol. 50, No. 12. - P. 2702-2712.

8. DanilovA. V., Ilchenko S. A., Kunavin A. T., Markov A. V., Permyakov V. A., Sapozhnikov D. V., Tsemko S. N., Vol-sky V. A., Yakovlev V. Y. Electromagnetic wave scattering by an array of tubes filled with plasma // J. Phys. D: Appl. Phys. - 1997. - V. 30. - P. 2313-2319.

9. Engheta N. An idea for thin subwavelength cavity resonators using metamaterials with negative permittivity and permeability // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. - 2002. - V.1, No. 1. - P. 10-13.

10. Engheta N. Electromagnetics of complex media and metamaterials // Conference Proceedings 2002 International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2002). - V. 1. - Kiev (Ukraine). - 2002. -P. 175-180.

11. Ony&pieHKO B. M. ITorAMHaHHfl eHepri! nAocKoi eAeKTpo-MarHiTHo! XBMAi noBepxHeio 3 <£paKTaAbHoio npoBiA-HicTio // PaAMo$M3MKa m 3AeKTpoHMKa: C6. Hayn. Tp. / HAH VKpaiMHbl, Mh-T paAMo<£lM3MKM M 3AeKTpoHMKM mm. A. fl. VcMKoBa. - XapbKoB. - 2000. - T. 5, № 1. - C. 20-23.

12. Онуфр'/енко В. М. Взаемод1я плоско! електромагштноТ хвил1 з метал1зованою фрактальною поверхнею // Радиофизика и электроника: Сб. науч. тр. / НАН Украины, Ин-т радиофизики и электроники им. А. Я. Уси-кова. - Харьков. - 1999. - Т. 4, № 2. - С. 19-22.

13. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волно-водных задач. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981. - 312 с.

14. Онуфр/енко В. М. Диферштегральш а-форми у хаусдо-рфовш метриш на фрактальних множинах // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2002. - № 2 (8). - С. 31-35.

15. Мисюра А. А., Онуфриенко В. М. Электромагнитное поле в прямоугольном волноводе с фрактальной ферри-товой пластиной // Радюелектроыка. ¡нформатика. Уп-равлшня. - 2005. - № 1(13). - С. 14-18.

Надшшла 16.02.05 Шсля доробки 12.09.05

Представлены результаты исследования фрактальных свойств поверхностного импеданса в прямоугольном

волноводе с метаматериальной пластиной. Для нахождения а-характеристик компонент поля в представленной среде использован аппарат дробного интегро-дифферен-цирования. Определена зависимость поверхностного импеданса от величины скейлингового показателя, характеризующего степень фрактальности магнитодиэлектри-ческой пластины.

The investigation results of fractal properties of surface impedance in rectangular waveguide with metamaterial plate have been showed. The apparatus of fractional integro-differential calculus has been used to find a-charac-teristics of the field components in presented medium. The dependence of surface impedance on values of scaling index which characterizes the fractal degree of magnetodielectric plate has been determined.