CC BY
373
УДК 627.07+539.3
А. Х. Валиуллин
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ШАРНИРАМИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Ключевые слова: статически неопределимая рама, промежуточный шарнир, метод конечных элементов.
Предлагается способ учета промежуточных шарниров при расчете статически неопределимых плоских рам методом конечных элементов. Учет шарниров сводится к добавлению новых уравнений в связи с появлением новых неизвестных - скачков угла поворота, что приводит к увеличению на число шарниров числа строк и столбцов матрицы жесткости и высоты столбца правой части системы уравнений.
Key words: satically indeterminate frame, an intermediate hinge, finite elements method.
The way of accounting for an intermediate hinges is offered in the calculation of statically indeterminate plane frames by finite element method.
Accounting hinges is reduced to be adding new equations in connection with appearance new unknown - jump angle, which leads to an increase in the joints number of the rows and columns number in the stiffness matrix and the column height in the right-hand side of the system equations.
В плоских рамах довольно часто встречаются промежуточные шарниры, которые существенно влияют на распределение внутренних усилий, в расчете они должны приниматься во внимание. Известно, что при расчете рамы методом сил наличие шарниров несколько упрощает задачу, так как ровно на число таких шарниров понижается степень статической неопределимости. Известно также, что при решении задач методом перемещений (а именно он положен в основу применяемого нами метода конечных элементов) наблюдается обратная картина.
Наличие шарниров вызывает появление новых неизвестных перемещений - в каждом шарнире происходит скачок угла поворота, значит, увеличивается число уравнений и столько же уравнений становятся длиннее. В результате в глобальной матрице увеличивается число строк и столбцов, также увеличивается высота столбца правой части системы.
Здесь предлагается способ учета промежуточных шарниров при расчете рам методом конечных элементов. Напомним, что шарниры различаются порядком. Шарниром первого порядка, или простым шарниром, называют шарнир, в котором сходится два стержня,
различают двойной, тройной шарниры, в
шарнире n-го порядка сходится n + 1 стержней.
Дальнейшее обсуждение метода и разработку алгоритма расчета проведем на
следующем примере рамы (рис.1), которая была
рассмотрена в работе [1] без шарниров. В раме имеется 3 шарнира, один из них двойной, поэтому число простых шарниров nS = 4. В
местах шарниров образуем узлы, если они не угловые, то приходится увеличивать и число участков. Пронумеруем узлы и участки, номера участков обозначены в кружочках со стрелками, показывающими направление возрастания номеров узлов. У нашей рамы число участков Рис. 1 - Расчетная схема рамы пи = 11, число узлов nUz = 21, числ°
неизвестных перемещений n = 3nUz + nS = 3 • 21 + 4 = 67.
Составим глобальную матрицу жесткости и столбец правой части системы уравнений. Вначале, как в [1], составляются матрица 63*63 и столбец 63*1. Глобальная матрица жесткости формируется из локальных, или элементарных, матриц жесткости. Здесь применяется трехточечный элемент четвертого порядка, разработанный в [1]. Так как локальная матрица жесткости используется при решении задачи, приведем ее здесь:
к 0 0 0 0 0 -к 0 0
0 63,2 18,8/ 0 -102,4 0 0 39,2 - 6.8/
0 18,8/ 7,2/2 0 - 25,6/ 0 0 6,8/ -1,2/2
-0,5 0 0 1 0 0 - 0,5 0 0
0 -102,4 - 25,6/ 0 204,8 0 0 -102,4 25,6/
0 15 0,25/ 0 0 / 0 -15 0,25/
- к 0 0 0 0 0 к 0 0
0 39,2 6,8/ 0 -102,4 0 0 63,2 -18,8/
0 - 6.8/ -1,2/2 0 25,6/ 0 0 -18,8/ 7,2/2
(1)
I2
Здесь I - длина, Еи - изгибная жесткость элемента, к = —, 1у - радиус инерции
/2 у
сечения относительно нейтральной оси.
Четыре дополнительных уравнения - это условия равенства нулю изгибающего момента в каждом шарнире. При составлении этих уравнений примем следующую сквозную нумерацию искомых перемещений:
Х 3 = ^1, ■ ■ ■ , Х 61 = и 21 4-5 1(13-6 лп 3-9 лп 7-8
х1 = и1
х 64 =л-эг,
Х 65 = Л^10
Х 66 = Л^10
Х 67 = Л^14
х63 = $21 - основные перемещения, скачки угла поворота, нижний
индекс обозначает номер узла-шарнира, верхний - между какими участками находится шарнир.
Для составления дополнительных уравнений воспользуемся матричной формулой из [1]:
иу а у
ит
Шт \ (2)
ик Шк &к
где N - нормальная сила, 01, 02 - поперечная сила в начале и конце элемента,
М0, Мс, Мк - изгибающий момент в начале, середине и конце элемента.
Автор считает своим долгом сообщить, что в этой формуле в работе [1] допущена
опечатка по вине автора, в формуле (2) ошибок нет.
Итак, первое дополнительное уравнение - условие равенства нулю изгибающего момента в узле-шарнире 7 - четвертая строка последней матрицы (2):
- 2215Ш7 - 8152 (а7 +Л34-5)+ 3215Ш8 -1015Ш12 + 2152а12 = 0.
Так же запишем уравнения для остальных шарниров:
-2216Ш10 -816 (аю +ла3о6)+ 3216Ш11 -1016Ш12 + 216^12 = 0>
' N ■- к 0 0 0 0 0 к 0 0 "
01 0 108 30/ 0 -192 0 0 84 -18/
02 0 8 - -18/ 0 192 0 0 -108 30/
М 0 > — 0 - 22/ -8/2 0 32/ 0 0 -10/ 2/2
мс 0 8/ /2 0 -16/ 0 0 8/ - /2
М К, _ 0 -10/ - 2/2 0 32/ 0 0 - 22/ 8/2 _
- 22/9м7 - 8/д (-Э10 + А^309)+ 32/9м 17 -10/9м 19 + 2/9$19 - 0,
- 22/8^ 14 - 8/8 ($14 + А$748 )+ 32/8№ 15 - 10/8№ 16 + 2/8$16 - 0-
Перепишем эти уравнения в глобальной системе координат. При этом первое, третье и четвертое уравнения останутся в том же виде. Только изменится нумерация перемещений, а второе претерпит и изменения, связанные с ориентацией 6-го элемента, здесь вместо локальных перемещений № 10 , № 11 и № 12 войдут глобальные перемещения - и10, - и11, - и12:
- 22/5Х20 - 8/5 Х21 + 32/5Х23 - 10/5Х35 + 2/5 $36 - 8/5 Х64 - 0,
22/6Х28 - 8/6 $30 - 32/6Х31 + 10/6Х34 + 2/6 Х36 - 8/6 Х65 - 0
- 22/9 Х29 - 8/£5 Х30 + 32/9 Х50 - 10/9 Х56 + 2/£5 Х57 - 8/£5 Х 66 - 0,
- 22/8Х41 - 8/8Х42 + 32/8Х44 - 10/8Х47 + 2/8Х48 - 8/8Х67 - 0-
Так выглядят четыре новых уравнения, коэффициенты этих уравнений составят четыре новые строки глобальной матрицы жесткости, добавочные члены столбца правой части системы уравнений, как видно, будут нулевыми.
В матрице жесткости появляется и четыре новых столбца. Выясним закономерность их появления. Рассмотрим первое дополнительное уравнение. Коэффициенты этого уравнения расположены в 64-й строке глобальной матрицы и занимают клетки матрицы на пересечении 64-й строки с 20-м, 21-м, 23-м, 35-м, 36-м столбцами. Значит, в глобальной матрице нужно образовать 64-й столбец, в клетках которого, симметричных указанным относительно главной диагонали, появятся ненулевые коэффициенты.
Рассмотрим, например, 20-е уравнение или, что тоже самое, 20-ю строку глобальной матрицы жесткости. В уравнении главным неизвестным перемещением, стоящим на главной диагонали, является Х20 . Это, как нам известно, локальное перемещение №5 , то есть прогиб в
первой точке пятого элемента, и в то же время 1/У4 - прогиб в последней точке четвертого элемента. Таким образом, в коэффициенты этого уравнения внесут вклад все участки, которые граничат с пятым. Запишем это уравнение полностью:
^20,20Х20 + а20,21Х21 + ^20,23Х23 + ^20,35Х35 + ^20,36 + ^20,64Х64 - Ь20 ■
Проследим, как изменяются коэффициенты этого уравнения в ходе поэлементной загрузки глобальной матрицы жесткости. Начальные значения всех коэффициентов матрицы равны нулю. При загрузке 4-го элемента получат приращения первые два коэффициента
/3
нашего уравнения (множитель —— опускаем):
а20,20 - 39,2 , а20,21 - 6,8/4-
При загрузке 5-го элемента все коэффициенты уравнения получат приращения:
а20,20 - 39,2 + 63,2 - 102,4, а20,21 - -6,8/4 + 18,8/5 - 12/5 ■
^20,23 - -102,4, а20,35 - 39,2, а20,36 - -6,8/5, ^20,64 - 18,8/5 .
Загрузка 7-го элемента изменит коэффициенты:
а20,35 - 39,2 + 63,2 - 102,4, а20,36 - -6,8/5 + 18,8/7 - 12/5-
При загрузке 6-го элемента коэффициенты уравнения опять изменятся, кроме того, в связи с различием углов наклона 5-го и 6-го элементов в уравнении появится новый коэффициент:
а20,34 - -63,2, а20,35 - 39,2 + к а20,36 - -6,8/5 - 6,8/6
В таком же порядке заполняются и остальные клетки дополнительных строк и столбцов, в программе все эти операции выполняются автоматически, следует только правильно задать места расположения шарниров.
Составлена программа расчета для ПК на алгоритмическом языке Бог1гап-90, по этой программе выполнен расчет рамы, приведенной на рисунке, при следующих данных: / - 2 м,
М - 16 кНм, Г - 18 кН, Ц - 10 кН/м. Сечение всех элементов принято одним - двутавр №16, его можно уточнить впоследствии из условий прочности и/или жесткости. Результаты расчета (а длится он доли секунды) приведены на рис. 2 в виде эпюр внутренних силовых факторов.
Рис. 2 - Эпюры внутренних силовых факторов для рамы с шарнирами
Для надежной работы программы важно правильно организовать и осуществить ввод исходных данных: величин нагрузок, мест их приложения, физико-механических
характеристик материала и - особенно важно - самой схемы рамы. Схема рамы составляется заранее, определяется число участков и узлов, узлы образуются в местах соединения элементов, приложения сосредоточенных сил и моментов, в начале и конце распределенной нагрузки, в промежуточных шарнирах и подсчитывается число неизвестных перемещений и, следовательно, уравнений. В блоках data указываются номера начального, среднего и конечного узлов участков, длины участков и углы наклона, отсчитываемые от обычного положительного направления. При нумерации узлов и участков вблизи шарнира нужно выполнить следующие требования. В шарнире, а каждый шарнир имеет свой номер, сходится несколько стержней (участков), стержень с наименьшим номером считается главным элементом этого шарнира, по запросу программы надо ввести номер этого участка. Далее, тоже по запросу программы, следует ввести номера следующих за этим шарниром участков, их номера должны быть больше номера главного элемента. Значения нагрузок вводятся также по запросу программы с указанием направления, они ориентируются в глобальной или локальной системе координат, положительными считаются направления вправо, вверх и против часовой стрелки. В данной программе предусмотрено поэлементное приложение нагрузок, при этом способе сосредоточенную силу (или момент) следует относить целиком к одному из элементов, сходящихся в точке приложения силы.
Для сравнительной оценки влияния шарниров на распределение внутренних сил и моментов в раме на рис 3 приведена эпюра изгибающего момента для той же рамы, только без шарниров.
Рис. 3 - Эпюра изгибающего момента для рамы без шарниров
Литература
1. Валиуллин, А.Х. Балочные элементы высокого порядка для расчета рам методом конечных элементов/А.Х. Валиуллин // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - №9. - С 444 - 452.
© А. Х. Валиуллин - канд. техн. наук, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ, 1ш8ш&к81и.т.
