Расчет динамики линейных упруго связанных стержневых систем с упруго присоединенными массами в программном пакете «Mocodiss» Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 3(4)

УДК 62-503.55

С.В. Архипов РАСЧЕТ ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНЫХ УПРУГО СВЯЗАННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С УПРУГО ПРИСОЕДИНЕННЫМИ МАССАМИ В ПРОГРАММНОМ ПАКЕТЕ «MOCODISS»

Излагается общий подход в реализации алгоритмов расчета поперечных колебаний одномерных стержневых систем с массами на основе применения метода сплайн-преобразования координат. Приводится описание программного пакета MOCODISS, реализующего данный метод. Проведен сравнительный анализ точности расчетов на ряде модельных задач. Выявлен вычислительно значимый диапазон изменения жесткости упругих шарниров, связывающих стержни одномерной системы.

Ключевые слова: колебания, стержневая одномерная система, упругие шарниры, цепочки дискретных масс, метод сплайн-преобразования координат, программная реализация.

Необходимость создания надежных, прочных машиностроительных конструкций с минимальными затратами создает потребность в современных программных системах для их расчета и оптимального проектирования. Использование таких программных систем позволяет качественно выполнять расчеты, сократить цикл проектирования, выполнить диагностику существующих деталей и конструкций.

Программный пакет MOCODISS (Modeling of Continuous-Discrete Systems) предназначен для осуществления прочностного расчета и оптимального проектирования непрерывно-дискретных конструкций в виде стержневой системы, нагруженной цепочками упруго связанных масс.

В основу алгоритмов MOCODISS заложен расчет задач динамики и статики линейных стержневых систем аналитическим методом сплайн-преобразования координат, отличающимся учетом упругих шарниров, неоднородного упругого основания и упруго присоединенных разветвляющихся цепочек масс.

Основы теории сплайн-приближений и некоторых ее применений заложены в работах Дж. Алберга, Э. Нильсона, Дж. Уолша [1], А. Сарда, С. Вейнтрауба, Н.П. Корнейчука [6] и др. Существенный вклад в разработку аналитических методов исследования статики, динамики и устойчивости стержней и одномерных стержневых систем на основе сплайн-преобразований координат внесли В.А. Ла-зарян [7], С.И. Конашенко, Е.Т. Григорьев, Н.Б. Тульчинская, Н.Е. Науменко и др.

Построение расчетных схем

При создании расчетной схемы стержневая система аппроксимируется достаточно большим числом n + 1 однородных частей, связанных упругими шарнирами (рис. 1). Предполагается, что каждая однородная часть расположена на однородном (за исключением сосредоточенных включений) упругом основании. Все связи между частями стержня осуществлены упругими шарнирами с двумя характеристиками жесткости kMi и kg. (рис. 2). На каждом однородном участке имеется

N точечных масс Мг? (г = 1, п +1, q = 1, N), жестко прикрепленных в сечениях

х = <ігд. Кроме того, сечения X = ^д упруго защемлены с жесткостью к2гЧ, и в том же сечении имеется упругая опора стержня с жесткостью к\щ. В сечениях х = <іщ стержневой системы упруго присоединены цепочки сосредоточенных масс МщрЬ

соединенных между собой упругими элементами жесткости егдр1. При этом каждая

система масс прикреплена только к одному сечению составного стержня. В некоторых сечениях к стержню может быть присоединено несколько одномерных систем масс. Любая масса одномерной системы в свою очередь упруго прикреплена с жесткостью сгдр1 к неподвижному основанию. В индексе гцрі буква г означает номер участка стержня, ц - номер сечения, р - номер одномерной системы масс из прикрепленных к данному сечению стержня, р = 1, Р, і - номер массы в одномерной цепочке, отсчитываемой от сечения стержня, I = 1, К .

Рис. 1. Схема непрерывно-дискретной системы, Рис. 2. Схемы

состоящей из стержневой системы и упругого основания упругих шарниров:

а - первого рода; б - второго рода

Для облегчения преобразований формул, содержащих обобщенные функции, принято, что точечные включения в жесткость стержня (упругие шарниры) расположены бесконечно близко к сечениям скачков х = а1, но не в сечениях скачков

жесткости и интенсивности массы. Для краткости обозначено а* = ц + 0 . В случае сосредоточенных включений в интенсивность массы и параметры основания на концах стержня эти включения сдвигаются на бесконечно малые расстояния так, чтобы они оказались внутри стержневой системы.

Принятые допущения, особенно в части простановки индексов и пределов их изменения, нуждаются в пояснениях. То обстоятельство, что для жестко прикрепленных масс Мщ и точечных включений в жесткость основания кщ, к2гд приняты одинаковые индексы, не означает, что в каждом сечении х = ^д имеются масса Мгд, упругая опора жесткости кщ и упругое защемление сечения жесткости к2гд. Некоторые из этих масс и жесткостей могут быть равными нулю, а это означает,

что соответствующих масс и связей не существует. Однако принято, что на каждом участке стержня с номером п последовательно нумеруются все сечения х = в которых находится хотя бы один из перечисленных элементов. При этом число N сечений х = принимаем максимальным, достигаемым на каком-то из (п+1) участков рассматриваемой стержневой системы. Подобные рассуждения относятся и к наличию в расчетной схеме упругих шарниров, упругого кусочнопостоянного основания и упруго присоединенных цепочек масс.

Изложенный принцип построения расчетных схем позволяет рассматривать достаточно широкий класс механических конструкций, объединенных общим математическим описанием.

Математическая модель

Математическая формулировка задачи о собственных колебаниях составного стержня на упругом основании с упруго присоединенными цепочками дискретных масс с учетом сил диссипации по Фойгту приводит [2] к дифференциальному уравнению в частных производных и системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1) при начальных условиях (2) и одном из краевых условий вида (3).

ЕІ (х)—т

дх

д_

дх

д^

к2(х)^т

дх

+ к1 (х)н> + т(^ х)

дw

дґ +"0

п+1 N Р

г=1 д=1 р=1

= ТТТ Сгдр1 ( 1 + И -& ] [Угдр 1 (1) - н(&гд , I)] 01 (х - ),

&

Мгдрі [ Угдрі + ИоУгдрі ] + [^ + И ~^ Х Х { Сгдр1 (Угдрі - Угдр,Є-1 ) + Сгдр,Є+1 (Угдрі - Угдр,і+1 ) + СгдріУгдрі } = 0;

(1)

^х,0) = щ (х), х,0) = 1^0 (х), угдрі (0) = угдр0, угчр1 (0) = угдр0,

г = 1, п +1, q = 1, N, р = 1, Р, I = 1, К;

(2)

,, ■ 0, ^ = 0;

дх

д2 w д3 ^ п д 2w

----= 0,—- = 0; w = 0,—- = 0.

(3)

дх дх дх

В системе (1) обозначено w(x,t) - динамический прогиб стержневой системы; Угдр() - перемещения массы Ыгдр1; о0 и ^ - соответственно функция единичного скачка (функция Хевисайда) и единичная импульсивная функция (функция Дирака); р0 и р1 - коэффициенты внешнего и внутреннего вязкого сопротивления по Фойгту; Е1(х) и т(х) - распределенные параметры изгибной жесткости (4) и интенсивности массы (5) стержневой системы; к1(х), к2(х) - распределенные параметры неоднородного упругого основания стержневой системы (6).

-1

ЕІ (х) = ЕІ0 <

і+2 а (х - а) _ і=1

і=1

ЕІ

%ві

2 '(а* ) 2(а*),

ЕІ0 | ( * \ ЕІ0 2 (аг ) ( * \

-— |сті(х - а)--——— а2 (х - а)

Мі .

к<2* 2(аі)

П

п п+1 N мга

т(х) = т0 ^1 + £ р;ст0 (х - а) + £ £---------------------------------

г=1 г=1 а=1 т0

СТ1 (х - ^га )г;

(5)

и+1 N к

к1 (х) = Л 0 <{ 1 + 2 к I ®0 (Х - а ) + Е Е СТ1 (Х - ^ ) К *2 (х) = ЕЕ к2щ СТ1 (Х - Лщ )• (6)

[ /=1 г=1 д=1 к 0 ) г=1д=1

В (4) - (6) и далее 2 = -М(х)-(Е10)-1 = 7(х)-(/0)-1 -X' - взятый с коэффициентом -(Е10)-1 изгибающий момент М(х) в сечении х; Е10, т0 и к 0 - соответственно из-гибная жесткость, интенсивность массы и жесткость основания на базисном, например первом, участке стержня при 0 < х < а1; а,, в, и к; - параметры скачков момента инерции, интенсивности массы и жесткости упругого основания в сечениях х = а,.

Для решения задачи (1) - (3) применялся метод разделения переменных, согласно которому сначала разыскиваются частные нетривиальные решения системы (1), удовлетворяющие только краевым условиям (3) вида Т(()Х(х) и Лгдр1Т{(). В результате из второй части системы (1), описывающей движение дискретного множества масс, получены рекуррентные соотношения для определения амплитуд Лгдр1 перемещений каждой дискретной массы Мщр1 относительно перемещений сечений х = крепления гдр-й цепочки к стержню:

А

1

■др,£+1

1гдр£

"[ Атдр,£-1Югдр1 + А-др1 (

Для (7) следует принять АГЧР1 = АГЧР1X), где Л

гдр\

—2 2

Югдр1Югдр2

—2 2

Югдр2Югдр3

~2 ,,2 ~2 ,,2 ~2 ,,2

Югдр1 - v - Югдр2 - v - Югдр3 - v -

, £ = 1, КГдр - 1 .

Югдр,К-1ЮгдрК ~ 2 2

ЮгдрК - V

(7)

В последней формуле для написания цепной дроби использовано правило Роджерса, т.е. знак «-», которым заканчивается знаменатель дроби, показывает, что последующая дробь должна быть поставлена в знаменателе, а также обозначены квадраты парциальных частот:

^гдр1 -

сгдр£

Сгдр1 + Сгдр,£+1 + Сгдр1 —2 _ Сгдр,£+1

гдр£

м„

Далее, построен алгоритм [2], по которому задача о колебаниях стержневой системы с упруго присоединенными цепочками дискретных масс приводится к задаче о колебаниях стержневой системы с жестко присоединенными приведен*

ными массами М„„

X " = <

1 + 2 а *о (х - а)

г=1

п ЕТ ^ I п ЕТ

+ 2 *1 (X - а*)!■ г - 2 ^ г'(а\ )а2 (х - а*),

г=1 «м I

2" = ^4 ^1 -_«°_ + 2

Ш0У г=1

в _ «г «о

Рг 2

тоУ

п+1 N

+22<

г =1 д=1

«1г?

т0

ЕТо

Х(Лгд )*1 (Х - Лгд ) + Е0-ХКд )*2 (Х - Лгд ) \ ,

определяемыми по формуле

р 2

К = мщ +1 игчр1 ^р1 [ 4др1 -1]. (

р=1 V

Во втором из уравнений (8) выражение X4 = т0у2(Е10)-1 определяет собственные числа задачи X.

Уравнения (8) содержат кусочно-постоянные и сингулярные коэффициенты. Применив к (8) сплайн-преобразование координат вида

П

X = У0^ +1У;($-Ъ)ст0($-Ъ,) , (10)

,= 1

получим уравнение для форм собственных колебаний Х(^):

1 П+1 N 3 п

-X4X = X I I Ьащх(а)(егдК+1 &-ещ) + X Xдш.Х|а)(Ь -0)ст4_аЙ-Ь) +

а=0 г =1 #=1 а=1 /=1

2 п

+11«ах|а+1)(Ь, -0)аа+2($-Ь*). (11)

а=1г=1

Если построить решение уравнения (11) операционным методом и исключить

затем промежуточные параметры X|а) (егд) и X(Ъ1 - 0), то формы Х(^) могут

3 (С)

быть найдены в виде X(£) = £ XР^)(0)Ф^(£), где функции Ф^(£), С = 1, 2, 3, 4

С=о

можно интерпретировать как обобщенные функции А.Н. Крылова [2].

Далее, из краевых условий (3) известным образом определяются собственные числа X, (я = 1, 2, 3...) задачи. Затем для каждого собственного числа X, рассчитываются формы собственных колебаний Х/^) и соответствующие им собственные частоты V,. Наконец, применяя обратное сплайн-преобразование аргумента [2] формы собственных колебаний Х/^) пересчитываются по исходной координате х. Выводится условие ортогональности форм собственных колебаний непрерывнодискретной системы и определяется общее решение задачи (1) - (3).

Полученные аналитические выражения позволяют составить сравнительно несложные алгоритмы вычислений на ЭВМ собственных характеристик непрерывно-дискретной системы.

Программный пакет МОСОБ188

МОСОЭВБ предоставляет средства для создания расчетных моделей в интерактивном режиме с использованием графического и табличного редакторов. Имеются визуальные средства для включения в расчетную схему стержневых элементов с кусочно-постоянными параметрами, упругих шарниров с одной или двумя степенями свободы, жестко закрепленных масс, отдельных упругих опор с одной или двумя характеристиками жесткости, неоднородного упругого основания и упруго присоединенных к стержням цепочек масс.

МОСОЭВБ является многооконным приложением, т.е. пользователь, к примеру, может одновременно использовать табличный и графический редакторы. В интерфейс МОСОЭВБ включены такие функции редактирования, как отмена действия, копирование, выделение частей составной конструкции, диагностика исходных данных и др.

В режиме просмотра результатов расчета пользователю доступны формы собственных колебаний и эпюры усилий в стержневых элементах в графическом и

табличном вариантах. Предоставляется возможность сохранения и распечатки графической и текстовой информации.

Примеры вычислений в программном пакете MOCODISS

Для обоснования точности разработанных алгоритмов, реализованных в MOCODISS, проведены многочисленные сравнения с известными точными и численными решениями тестовых задач. Следующие примеры представляют лишь часть из них. Здесь для сравнительного анализа использовался программный пакет COMPASS [4], реализующий метод конечных элементов (КЭ).

b

тт

Lut

ЦУ*

2b

Для тестирования точности разработанного метода рассматривалась задача о собственных колебаниях консольного стержня [5], высота которого уменьшается по линейному закону, а ширина равна единице (рис. 3). Стержень длиной 0,1 разбивался на десять равных частей, начиная от свободного конца. При 0 < х < х1 жесткость Е10 = 0,2995ЕЬ3/3, а интенсивность массы т0=0,4667Ьр, где р - плотность материала. Значения аі, і = 1,9 принимались равными 1,29;

2,11; 3,14; 4,37; 5,80; 7,44; 9,30; 11,34; 13,66. Длина Ь равна 0,25 м, длина стержня Ь - 15 м, модуль упругости материала Е - 2-1011 Па, а плотность материала р - 7,8-103 кг/м3.

Рис. 3. Консольный стержень, ширина которого равна единице, а высота уменьшается по направлению к свободному концу по линейному закону

В табл. 1 приведены результаты вычислений низших собственных частот Vi и соответствующих им чисел L консольного

стержня по программам MOCODISS, COMPASS и точные значения чисел Xi [5].

Таблица 1

Собственные частоты V; (Гц) и соответствующие им числа XI консольного стержня,

изображенного на рис. 3

L

і MOCODISS COMPASS Точное значение

Vi *■/ 10 КЭ 20 КЭ

Vi =4- Vi =4- ї,

1 44,475 4,134 44,478 4,134 44,478 4,134 4,134

2 162,839 7,910 162,859 7,911 162,841 7,911 7,909

3 381,429 12,107 381,632 12,110 381,448 12,107 12,105

4 704,647 16,456 705,663 16,467 704,730 16,457 -

5 1133,817 20,874 1137,226 20,905 1134,135 20,877 -

При расчете собственных частот по программе COMPASS консольный стержень разбивался на 10 участков согласно рис. 3. Параметры жесткости и интенсивности массы стержневых КЭ соответствовали значениям, принятым выше. Для исследования сходимости результатов просчитан случай, когда посередине каждого стержневого КЭ находился дополнительный узел. Из табл. 1. видно, что при

увеличении числа КЭ результаты сходятся к значениям собственных частот, вычисленных по программе MOCODISS.

Рис. 4, а иллюстрирует формы собственных колебаний консольного стержня, вычисленные по программе MOCODISS. Формы, вычисленные по программе MOCODISS, нормированы по их значению на левом конце стержня. При сравнении их с формами, полученными по программе COMPASS (рис. 4, б), следует учитывать, что в COMPASS формы собственных колебаний нормируются по значению фТ-M ф, где ф - собственный вектор, а М - матрица масс. Поэтому третья и четвертая формы колебаний стержня, вычисленные по программам MOCODISS и COMPASS, симметричны относительно оси абсцисс. С учетом этого замечания можно отметить хорошее качественное соответствие форм собственных колебаний для данного примера.

Рис. 4. Формы собственных колебаний консольного стержня построенные: а - по программе MOCODISS, б - по программе COMPASS

Для тестирования алгоритма учета упругих шарниров и дискретных масс рассматривалась задача о собственных колебаниях составного стержня с сингулярной податливостью, обусловленной упругими шарнирами первого и второго рода с упруго присоединенными цепочками дискретных масс (рис. 5). Составной стержень длиной 100 м состоит из пяти однородных стержней равной длины. Первый и второй стержни соединены упругим шарниром второго рода, а четвертый и пятый - шарниром первого рода. Параметры стержневой системы приведены в табличном редакторе (рис. 5). В табл. 2 указаны параметры цепочек масс.

Результаты расчетов собственных частот составной конструкции в сравнении с данными анализа по программе COMPASS приведены в табл. 3. При расчетах по программе COMPASS упругие элементы цепочек масс моделировались в виде невесомых стержней длиной 1 м. При этом жесткость на растяжение и сжатие каждого стержня принималась равной соответствующему значению crqp табл. 2, а жесткость при изгибе E/=1015 H • м-1. Упругие элементы шарниров также моделировались в виде невесомых стержней с продольной жесткостью, равной kMi или kg,, и с жесткостью на изгиб E1=1015 H • м-1. Как и выше, расчеты проводились для двух вариантов. Из табл. 3 видно, что при увеличении числа КЭ значения собственных частот, полученных при использовании системы COMPASS, сходятся к значениям, полученным по программе MOCODISS.

Файл Редактирование Вид Таблица Схема Окно Справка

ЕхТотзк2 (Подготовка данных): 1 - П X ЕхТот5к2 {Результаты расчетов}: 1 |УЦ'П~||~Х]

?

?

§ •

9 ? #

1_

-1 форма —2 форма Зфорш —4 форма —5 форма

В '§ Дерево таблиц В Подготовка дан

||ф> Константы 0 Стержневая И Упругое оо 0 Массы Результаты рас

ИВ®

л!

Т аблица 1 1 1 я

КоЮ$с 4

$1ер 0,001

когйгсЬ 2

Игл 100

р1о1по$1 7800

ЕЦ1..П+1] 11666.6667 5460 8505,0000 4,914 7164,7917 4,640 5973,3333 4,36В 10002,7083 5,187

т[1..п+1]

кМ[1 п] 5000 5000

к0[1..п] 8000

< I И] >

Рис. 5. Рабочие окна программы МОСОБ188 с открытыми окнами проекта

Как видно на рис. 5, графики форм собственных колебаний стержня не имеют разрывов непрерывности в сечениях с сингулярной податливостью стержня. Наблюдается лишь негладкость первой формы в точках, соответствующих упругим шарнирам. Это объясняется достаточно большой жесткостью упругих шарниров.

Таблица 2

Параметры цепочек масс модели изображенной в рабочем окне проекта на рис. 5

Г Ч Р 4-я, м Мгап, т егат МН/м

2 1 1 30 4 600

2 4 600

3 4 600

4 4 600

3 1 1 50 10 600

2 - -

3 - -

4 - -

4 1 1 70 2 200

2 2 200

3 - -

4 - -

Таблица 3

Собственные частоты (Гц) динамической системы, изображенной на рис. 5

Номер тона MOCODISS COMPASS

10 стержневых КЭ 1б стержневых КЭ

1 2,9759 2,9898 2,989б

2 7,7812 7,9144 7,9142

3 14,9055 15,4213 15,4212

4 25,5431 2б,4494 2б,4494

5 3б,93б2 37,5433 37,5432

Приведенный пример показывает, что жесткость упругих шарниров оказывает существенное влияние на динамические характеристики составных конструкций. В этой связи проводились расчеты в широком диапазоне изменения жесткостных характеристик упругих шарниров. Одно из тестирований динамических характеристик проводились на конструкции, рассмотренной выше. При этом варьировались жесткости упругого шарнира второго рода при km = kgb Остальные параметры составной конструкции оставались без изменения.

Результаты расчетов низших собственных частот вариантов исполнения конструкции приведены на рис. 6. Здесь для каждого тона колебаний приведены две линии. Верхняя линия соответствует значениям собственных частот, вычисленным по программе COMPASS, а нижняя - MOCODISS. По оси абсцисс отложены значения жесткости упругого шарнира второго рода.

Жесткость, Н/м

Рис. 6. Значения собственных частот конструкции, вычисленные по программам MOCODISS и COMPASS для различных вариантов жесткости упругого шарнира второго рода

Как видно из рис. 6, изменение жесткости упругого шарнира второго рода в диапазоне значений км1 = ке1<105 и км1 = ке1>1012 (Н • м-1) не приводит к существенным изменениям собственных частот системы. В свою очередь, при вариациях жесткости упругого шарнира в диапазоне от 105 до 1012 Н • м-1 собственные частоты системы изменяются значительно. Приведенные рассуждения подтвердились и на ряде других модельных задач, что позволило определить вычислительно значимый диапазон изменения жесткости упругих шарниров в виде системы неравенств

тах ЕЇ,

max EIi

i=1, n+1 < iq5 І =1,П+1

min k

i =1, n

Mi

min kQi

i=1, n

max EIi max EIi

■< 105, 10-2 < -i=^+-, 10-2 < ■ =1,n+1

max к Mi

i=1, n

max kQi

i=1, n

Кроме динамических задач рассматривались задачи о стационарном нагружении стержневых систем. Вопрос о построении математической модели стационарного нагружения стержневой системы с упруго присоединенными цепочками масс на упругом неоднородном основании подробно рассмотрен в работе [2]. Приведем расчет напряженно-деформированного состояния составного стержня (рис. 7) от действия ступенчатой нагрузки сосредоточенной силы и момента.

Рис. 7. Расчет стационарно нагруженной стержневой системы по программам MOCODISS и COMPASS

Стержень длиной 15 метров имеет 10 ступеней равной длины, значения скачков момента инерции а,: 0,5880; 0,3652; -0,3652; -0,3166; 0; 0,6817; -0,3652; -0,3166; 0,3166; значения скачков распределенной массы р;: 0,1667; 0,0833; -0,0833; -0,0833; 0; 0,1667; -0,0833; -0,0833; 0,0833. Для первого (левого) участка т0 = 1,872 т-м-1, £/0=1440 МНм2. В сечениях ^21= 2,25 м и ^71= 9,75 м стержня жестко закреплены массы М21=2 т и М71=5 т. Параметры ступенчатой нагрузки (в обозначениях [2]) следующие: Q21 = Q22 = 5 00 МН, Qз1 = Qз2 = 300 МН,

641 = 642 = 651 = 652 = 400 МН и Q61 = Q62 = 900 МН. В сечениях с координатами d41 = 5,25 м и d81 = 11,25 м приложены сосредоточенные соответственно сила P41 = 600 МН и момент G81 = 900 МНм.

На рис. 7 представлены результаты расчетов изгибающих моментов и поперечных сил статически нагруженного составного стержня в сравнении с COMPASS. Как и ожидалось, эпюра изгибающих моментов имеет скачок в сечении приложения сосредоточенного момента. В свою очередь, эпюра поперечных сил имеет скачок в сечении приложения внешней сосредоточенной силы. В окрестности скачков интенсивности внешней нагрузки эпюра поперечных сил негладкая. Эти результаты хорошо согласуются с общим представлением поведения функций M(x) и Q(x). Из рис. 7 можно отметить хорошее соответствие эпюр изгибающих моментов и поперечных сил, вычисленных по программам COMPASS и MOCODISS.

Заключение

Результаты сравнительного анализа на примере расчетов многовариантных модельных задач свидетельствуют о вычислительной эффективности программного пакета MOCODISS. Показано, что значения собственных частот, вычисленные при помощи метода конечных элементов, сходятся к результатам, полученным по программе MOCODISS при увеличении дискретизации конечноэлементной расчетной схемы. Определен диапазон изменения жесткости упругих шарниров второго рода, существенно влияющий на собственные частоты стержневой системы.

Примеры сравнения программ MOCODISS и COMPASS показывают возможность применения разработанной программы для выработки рекомендаций по выбору конечно-элементной модели стержневых систем с учетом необходимой точности решения поставленной задачи.

В перспективе развития программного пакета рассматривается расширение базовых элементов расчетной схемы добавлением упруго связанных твердых тел, а также пластин в качестве несущего основания [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Алберг Дж, Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.

2. Архипов С.В. Обобщенные функции в задачах механики составных конструкций. Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2007. 160 с.

3. Архипов С.В. Собственные колебания пластины с упруго присоединенными одномерными цепочками твердых тел на упругом основании // V Междунар. науч. конф. «Прочность и разрушение материалов и конструкций»: Материалы конф. 12 - 14 марта 2008 г., Оренбург, Россия / Науч. ред. С.Н. Летута, Г.В. Клевцов. Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2008. Т. 2. С. 399 - 404.

4. Безделев В.В., Буклемишев А.В. Программная система COMPASS: руководство пользователя. Иркутск: Изд-во Иркутск. гос. техн. ун-та, 2000.

5. Бисплингхофф Р.Л., ЭшлиХ., Халфмен Р.Л. Аэроупругость. М., 1958.

6. Корнейчук Н.П., Лушпай Н.Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т. 33. № 6.

7. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Преобразование аргумента в задачах о поперечных колебаниях стержней // Прикл. матем. 1972. Т. 8. № 7.

Статья принята в печать 10.11.2008 г.